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4.6 - Base e dimensa˜o de um espac¸o vetorial
Definic¸a˜o: Um conjunto B = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V e´ uma base do espac¸o vetorial V se:
i) B e´ LI,
ii) B gera V .
Teorema 4.6.1: Se B = {v1, v2, ..., vn} for uma base de um espac¸o vetorial V , enta˜o todo conjunto
com mais de n vetores sera´ LD.
Prova: Seja B′ = {w1, w2, ..., wm} um conjunto qualquer de m vetores de V , com m > n. Sejam
x1, x2, ..., xm tais que
x1w1 + x2w2 + ...+ xmwm = 0 (*)
Como B e´ base de V , existem escalares αi, βi, ..., δi ∈ R tais que
w1 = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn
w2 = β1v1 + β2v2 + ...+ βnvn
...
wm = δ1v1 + δ2v2 + ...+ δnvn
Substituindo em(*), temos:
x1 (α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn)+x2 (β1v1 + β2v2 + ...+ βnvn)+ ...+xm (δ1v1 + δ2v2 + ...+ δnvn) = 0⇒
(α1x1 + β1x2 + ...+ δ1xm) v1 + (α2x1 + β2x2 + ...+ δ2xm) v2 + ...+ (αnx1 + βnx2 + ...+ δnxm) vn = 0
Como v1, v2, ..., vn sa˜o LI, segue que
α1x1 + β1x2 + ...+ δ1xm = 0
α2x1 + β2x2 + ...+ δ2xm = 0
...
αnx1 + βnx2 + ...+ δnxm = 0
O sistema linear homogeˆneo acima possui mais varia´veis que equac¸o˜es, logo possui soluc¸o˜es na˜o
triviais. Portanto B′ e´ LD.
Corola´rio: Qualquer base de um espac¸o vetorial teˆm o mesmo nu´mero de vetores. Este nu´mero
e´ chamado dimensa˜o de V e denotado dim V.
Prova: Sejam B = {v1, v2, ..., vn} e B′ = {w1, w2, ..., wm} bases de um espac¸o vetorial. Como B
e´ base e B′ e´ LI, segue que m ≤ n. Como B′ e´ base e B e´ LI, segue que n ≤ m. Portanto m = n.
Teorema 4.6.2: Qualquer conjunto de vetores LI de um espac¸o vetorial V de dimensa˜o finita pode
ser completado de modo a formar uma base de V.
1
Prova: Exerc´ıcio.
Corola´rio: Se dim V = n, qualquer conjunto LI de n vetores formara´ uma base de V .
Teorema 4.6.3: Se U e W sa˜o subespac¸os de um espac¸o vetorial V que tem dimensa˜o finita, enta˜o
dim U≤dim V e dim W≤dim V. Ale´m disso,
dim(U +W )=dimU + dimW - dim(U
⋂
W )
Teorema 4.6.4: Dada uma base B = {v1, v2, ..., vn} de V , cada vetor de V e´ escrito de maneira
u´nica como combinac¸a˜o linear de v1, v2, ..., vn.
Prova: Exerc´ıcio.
Definic¸a˜o: Sejam B = {v1, v2, ..., vn} base de V e v ∈ V onde v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn.
Chamamos estes nu´meros a1, a2, ..., an de coordenadas de v em relac¸a˜o a` base B e denotamos por
[v]B =

a1
a2
...
an
 .
2
5 - Transformac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o:Sejam V e W espac¸os vetoriais. Uma aplicac¸a˜o T : V −→ W e´ chamada transformac¸a˜o
linear de V em W se:
i) T (u+ v) = T (u) + T (v)
ii) T (ku) = kT (u)
para todos u, v ∈ V e para todo k ∈ R.
Exerc´ıcio: Mostre que T : R −→ R e´ uma transformac¸a˜o linear se, e somente se T (v) = αv, para
algum α ∈ R.
5.1 - Transformac¸o˜es no plano
Sa˜o transformac¸o˜es lineares de R2 em R2.
5.1.1- Reflexa˜o em torno do eixo-x
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x,−y)
5.1.2- Reflexa˜o na origem
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (−x,−y)
3
5.13- Expansa˜o (ou Contrac¸a˜o) uniforme
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (αx, αy), α ∈ R
5.1.4- Cisalhamento horizontal
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x+ αy, y), α ∈ R
5.1.5- Cisalhamento vertical
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x, y + αx), α ∈ R
4
5.1.6- Rotac¸a˜o de um aˆngulo θ (no sentido anti-hora´rio)
T : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (xcosθ − ysenθ, xsenθ + ycosθ)
Exerc´ıcio: Os pontos A(−1, 1), B(4, 3) e C(x, y) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equ¨ila´tero. Deter-
mine o ve´rtice C, sabendo-se que sua ordenada e´ positiva.
5.2- Transformac¸o˜es no espac¸o
Sa˜o transformac¸o˜es lineares de R3 em R3.
5.2.1- Reflexo˜es em relac¸a˜o aos planos coordenados
Plano x0y:
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x, y,−z)
Plano x0z:
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x,−y, z)
Plano y0z:
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (−x, y, z)
5.2.2- Reflexo˜es em relac¸a˜o aos eixos coordenados
Eixo-x:
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (x,−y,−z)
Eixo-y:
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (−x, y,−z)
5
Eixo-z:
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (−x,−y, z)
5.2.3- Reflexa˜o na origem
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (−x,−y,−z)
5.2.4- Rotac¸a˜o de um aˆngulo θ em torno do eixo-z (sentido anti-hora´rio)
T : R3 −→ R3
(x, y, z) 7−→ (xcosθ − ysenθ, xsenθ + ycosθ, z)
5.3- Determinando uma transformac¸a˜o linear
Teorema: Dados dois espac¸os vetoriais V e W e uma base de V , {v1, v2, ..., vn}, sejam w1, w2, ..., wn
elementos arbitra´rios de W . Enta˜o existe uma u´nica transformac¸a˜o linear T : V −→ W tal que
T (v1) = w1, T (v2) = w2, ..., T (vn) = wn. Esta aplicac¸a˜o e´ dada por:
se v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn,
T (v) = a1T (v1) + a2T (v2) + ...+ anT (vn).
5.4- Nu´cleo de um transformac¸a˜o linear
Definic¸a˜o: Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Denomina-se
nu´cleo de T e indica-se por N(T ) ou por Ker(T ) o seguinte conjunto:
N(T ) = {v ∈ V/T (v) = 0}
Proposic¸a˜o: Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. N(T ) e´ um subespac¸o vetorial de V .
Definic¸a˜o: Dada uma aplicac¸a˜o (ou func¸a˜o) T : V → W , diremos que T e´ injetora se dados
u, v ∈ V , com T (u) = T (v), tivermos u = v. Ou equivalentemente, T e´ injetora se dados u, v ∈ V
com u 6= v, tivermos T (u) 6= T (v).
Proposic¸a˜o: Uma transformac¸a˜o linear T : V → W e´ injetora se, e somente se, N(T ) = {0}.
5.5- Imagem de uma transformac¸a˜o linear
Definic¸a˜o: Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Denomina-se
imagem de T e indica-se por Im(T ) o seguinte conjunto:
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Im(T ) = {w ∈ W/T (v) = w, paraalgumv ∈ V }
Proposic¸a˜o: Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Im(T ) e´ um subespac¸o vetorial de W .
Definic¸a˜o: A aplicac¸a˜o T : V → W sera´ sobrejetora se a imagem de T coincidir com W , ou seja,
Im(T ) = W .
5.6- Teorema do Nu´cleo e da Imagem
Teorema: Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o
dimN(T ) + dimIm(T ) = dimV
Corola´rio 1: Se dimV = dimW , enta˜o T linear e´ injetora se, e somente se T e´ sobrejetora.
Corola´rio 2: Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear injetora. Se dimV = dimW , enta˜o T
leva base em base.
5.7- Isomorfismo
Definic¸a˜o: Sejam V e W espac¸os vetoriais e T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Se T e´
bijetora, isto e´, injetora e sobrejetora, e´ chamada de isomorfismo de V em W . Nesse caso, os espac¸os
V e W sa˜o ditos isomorfos.
Observac¸o˜es:
1) Espac¸os isomorfos teˆm mesma dimensa˜o.
2) Um isomorfismo leva base em base.
3) Todo espac¸o vetorial de dimensa˜o n e´ isomorfo a Rn.
4) A todo isomorfismo T : V → W corresponde um isomorfismo inverso T−1 : W → V que tambe´m
e´ linear.
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