Aula14e15 - Espaço-linha. Dependência e Independência Linear.

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Aulas 14 e 15 – Espaço-linha. Dependência e Independência Linear. 
 
 
Espaço-linha 
Definição 1: Seja ( ). Denotando a -ésima linha de por ( ), o subespaço gerado pelas 
linhas de , , é chamado de espaço-linha de . 
 
 
Exemplo 1: Encontre condições sobre de modo que ( ) pertença ao espaço-linha da matriz 
 [
 
 
 
]. 
 
 
Teorema 1: Matrizes equivalentes por linhas têm o mesmo espaço-linha. 
 
 
Teorema 2: Matrizes na forma escalonada têm o mesmo espaço-linha se, e somente se, elas têm as mesmas 
linhas não-nulas. 
 
 
Exemplo 2: Determine quais das seguintes matrizes possuem o mesmo espaço-linha: 
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
Exemplo 3: Mostre que o espaço gerado pelos vetores 
 ( ) ( ) ( ) 
e o espaço gerado pelos vetores 
 ( ) ( ) 
são iguais, isto é, . 
 
 
 
Dependência e Independência Linear. 
Definição 2: Seja um espaço vetoria real e vetores dados. Dizemos que são 
linearmente independentes, ou LI, se a única solução da equação 
 ( ) 
for . Caso contrário, isto é, se existirem , não todos nulos, tais que ( ) 
ocorre, então, dizemos que são linearmente dependentes, ou LD. 
 
 
Exemplo 4: Os vetores ( ) e ( ) são LD, pois implica . Os vetores 
 ( ) e ( ) são LI, pois implica . 
 
 
Exemplo 5: Determine se os vetores ( ) ( ) ( ) 
 são LI ou LD. 
 
 
Observação 1: O conjunto é chamado linearmente independente ou linearmente dependente 
conforme os vetores sejam linearmente independentes ou linearmente dependentes. 
Proposição 1: Os vetores são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é combinação 
linear dos demais: 
 
 
 
Exemplo 6: Dois vetores 
 são linearmente dependentes se, e somente se, estiverem numa mesma reta 
que passa pela origem. 
 
 
Exemplo 7: Três vetores 
 são linearmente dependentes se, e somente se, estiverem num mesmo 
plano que passa pela origem. 
 
 
Teorema 3: As linhas não-nulas de uma matriz na forma escada são linearmente independentes. 
 
 
Exemplo 8: Mostre que é LD, onde ( ) ( ) 
( ) ( ) e ( ). Exiba um sub-conjunto que seja LI. 
 
 
Exercício 1: Determine se os vetores ( ), ( ) e ( ) são LI ou LD. 
 
 
Exercício 2: Determine se os vetores ( ) ( ) ( ) 
 são ou não LI. 
 
 
Exercício 3: Sejam um espaço vetorial e vetores LI. Mostre que os vetores 
são LI.