Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: 1309 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS 
DE CONCRETO ARMADO À 
FORÇA CORTANTE 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Março/2008 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
1309 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru. 
O texto apresenta a análise teórica e os procedimentos aplicados pela nova NBR 
6118/2003 (“Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”) para o projeto de vigas de 
concreto armado à força cortante. 
A nova metodologia apresentada na NBR 6118/2003, embora continue considerando a 
analogia de treliça, em alguns aspectos difere significativamente daqueles constantes da NBR 
6118/80 (NB 1/78). A NBR 6118/2003 admite como hipótese básica a analogia com o modelo 
em treliça, de banzos paralelos, associada a mecanismos resistentes complementares 
desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc. 
A verificação do elemento estrutural à força cortante é sugerida com base em dois modelos de 
cálculo, chamados Modelos de Cálculo I e II. Uma das principais inovações está na possibilidade 
de se poder considerar inclinações variáveis (30° ≤ θ ≤ 45°) para as diagonais comprimidas 
(bielas de compressão). 
De modo geral, a nova metodologia segue o MC-90 do CEB-FIP e o Eurocode 2, com 
algumas modificações e adaptações. 
Apesar das modificações introduzidas foi possível simplificar o equacionamento, 
possibilitando a automatização manual dos cálculos de dimensionamento, com conseqüente 
ganho de tempo nos cálculos. 
 O autor agradece ao Prof. Luttgardes de Oliveira Neto pelo auxílio e discussão, que 
contribuíram para melhorar a qualidade do texto e dos exemplos. 
 Agradecimento especial à ex-aluna Cristiane Pegoraro Xavier, que fez os estudos iniciais 
do texto sobre força cortante na NBR 6118/2003. 
 Agradecimento também ao técnico Éderson dos Santos Martins, pela confecção dos 
desenhos. 
Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser 
melhorada. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO .....................................................................................................................1 
2. REGIÕES DE ANÁLISE .....................................................................................................1 
3. COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGÊNEAS NO ESTÁDIO I...........................2 
4. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À 
FORÇA CORTANTE...................................................................................................................4 
5. MECANISMOS BÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE.........10 
5.1 Ação de Arco ....................................................................................................................12 
5.2 Concreto Comprimido Não Fissurado..............................................................................13 
5.3 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas ..........................................................13 
5.4 Ação de Pino da Armadura Longitudinal .........................................................................15 
5.5 Tensões Residuais de Tração............................................................................................18 
5.6 Armaduras Longitudinal e Vertical ..................................................................................18 
6. FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE .........18 
6.1 Tipo de Carregamento ......................................................................................................19 
6.2 Posição da Carga e Esbeltez .............................................................................................19 
6.3 Tipo de Introdução da Carga ............................................................................................19 
6.4 Influência da Armadura Longitudinal ..............................................................................19 
6.5 Influência da Forma da Seção Transversal.......................................................................20 
6.6 Influência da Altura da Viga.............................................................................................20 
7. COMPORTAMENTO DE VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL ..................20 
7.1 Parâmetros Mais Importantes ...........................................................................................21 
7.1.1 Resistência do Concreto.............................................................................................21 
7.1.2 Altura da Viga ............................................................................................................21 
7.1.3 Relação entre a Altura da Viga e a Posição da Carga ................................................23 
7.1.4 Armadura Longitudinal..............................................................................................24 
7.1.5 Força Axial.................................................................................................................24 
7.2 Modos de Ruptura ............................................................................................................24 
8. COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL .................27 
8.1 Função do Estribo.............................................................................................................27 
8.2 Modos de Ruptura ............................................................................................................29 
9. TRELIÇA CLÁSSICA DE RITTER-MÖRSCH (θ = 45°)..............................................30 
10. TRELIÇA GENERALIZADA (θ variável).......................................................................34 
11. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/03 .....................................................36 
11.1 Modelo de Cálculo I .........................................................................................................37 
11.1.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto ...................................................37 
11.1.2 Cálculo da Armadura Transversal..............................................................................38 
11.2 Modelo de Cálculo II ........................................................................................................41 
11.2.1 Verificação da Diagonal Comprimida de Concreto ...................................................41 
11.2.2 Cálculo da Armadura Transversal..............................................................................42 
12. ARMADURA MÍNIMA......................................................................................................44 
13. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ...................................................................................45 
13.1 Diâmetro do Estribo..........................................................................................................45 
13.2 Espaçamento Mínimo e Máximo entre os Estribos ..........................................................45 
13.3 Espaçamento Máximo entre os Ramos Verticais do Estribo............................................46 
13.4 Emendas do Estribo ..........................................................................................................46 
13.5 Ancoragem do Estribo ......................................................................................................4613.6 Barras Dobradas (Cavaletes) ............................................................................................47 
14. EQUAÇÕES SIMPLIFICADAS .......................................................................................47 
14.1 Modelo de Cálculo I .........................................................................................................48 
14.1.1 Força Cortante Máxima..............................................................................................48 
14.1.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima................................................48 
14.1.3 Armadura Transversal................................................................................................49 
14.2 Modelo de Cálculo II ........................................................................................................51 
14.2.1 Força Cortante Última................................................................................................51 
14.2.2 Força Cortante Correspondente à Armadura Mínima................................................51 
14.2.3 Armadura Transversal................................................................................................52 
15. CONSIDERAÇÕES SOBRE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DAS DIAGONAIS DE 
COMPRESSÃO (θ) .....................................................................................................................53 
16. REDUÇÃO DA FORÇA CORTANTE .............................................................................54 
17. CARREGAMENTO APLICADO NA PARTE INFERIOR DAS VIGAS ....................55 
18. ARMADURA DE SUSPENSÃO........................................................................................56 
19. EXEMPLO NUMÉRICO 1 ................................................................................................59 
19.1 Equações Teóricas da Norma ...........................................................................................60 
19.1.1 Modelo de Cálculo I...................................................................................................60 
19.1.2 Modelo de Cálculo II com θ = 30o.............................................................................62 
19.2 Equações Simplificadas ....................................................................................................63 
19.2.1 Modelo de Cálculo I...................................................................................................63 
19.2.2 Modelo de Cálculo II com θ = 30o.............................................................................64 
19.3 Comparação dos Resultados .............................................................................................65 
19.4 Detalhamento da Armadura Transversal ..........................................................................66 
20. EXEMPLO NUMÉRICO 2 ................................................................................................69 
20.1 Modelo de Cálculo I .........................................................................................................70 
20.1.1 Equações de Teóricas da Norma ................................................................................70 
20.1.2 Equações Simplificadas .............................................................................................71 
20.2 Modelo de Cálculo II ........................................................................................................72 
20.2.1 Equações Teóricas da Norma.....................................................................................72 
20.2.1.1 Ângulo θ de 30° .................................................................................................72 
20.2.1.2 Ângulo θ de 45° .................................................................................................74 
20.2.2 Equações Simplificadas .............................................................................................76 
20.2.2.1 Ângulo θ de 30° .................................................................................................76 
20.2.2.2 Ângulo θ de 45° .................................................................................................77 
20.3 Comparação dos Resultados .............................................................................................79 
20.4 Detalhamento da Armadura Transversal ..........................................................................79 
21. EXEMPLO NUMÉRICO 3 ................................................................................................81 
21.1 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo I (NBR 6118/03) .........85 
21.2 Dimensionamento da Seção 10d Segundo o Modelo de Cálculo II com θ = 45° .............86 
22. EXEMPLO NUMÉRICO 4 ................................................................................................87 
23. QUESTIONÁRIO ...............................................................................................................91 
24. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................92 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
1
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO 
ARMADO À FORÇA CORTANTE 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
No dimensionamento de uma viga de Concreto Armado geralmente o primeiro cálculo 
feito é o de determinação das armaduras longitudinais de flexão. O dimensionamento da armadura 
transversal para resistência à força cortante é geralmente feito em seguida. 
O dimensionamento à força cortante é muito importante, pois a ruptura de uma viga nunca 
deve ocorrer por efeito de força cortante, por ser freqüentemente violenta e frágil. Portanto, deve 
ser evitada. 
De acordo com a NBR 6118/2003 (item 16.2.3) “é necessário garantir uma boa 
ductilidade, de forma que uma eventual ruína ocorra de forma suficientemente avisada, alertando 
os usuários”. A armadura de flexão é que deve ser proporcionada de forma a garantir que a 
ruptura se desenvolva lenta e gradualmente. 
Existe uma infinidade de teorias e modelos para análise de vigas de concreto sob força 
cortante, desenvolvidos geralmente com base na analogia de treliça ou de campos de compressão 
de concreto. No Brasil se destacam os modelos de treliça denominados treliça clássica e treliça 
generalizada. 
 O modelo inicial de treliça, desenvolvido por RITTER (1899) e MÖRSCH (1920, 1922), 
tem sido adotado pelas principais normas do mundo como a base para o projeto de vigas à força 
cortante. Adicionalmente ao modelo de treliça vem sendo considerada também a “contribuição do 
concreto” (Vc), e a possibilidade de variação do ângulo de inclinação (θ) das fissuras e bielas de 
compressão. Apesar da analogia de uma viga fissurada com uma treliça ter sido criada há cerca de 
cem anos, a sua simplicidade a faz continuar sendo um modelo para o dimensionamento da 
armadura transversal das vigas. 
No caso específico da norma brasileira NBR 6118/03, ela admite dois modelos para 
cálculo da armadura transversal resistente à força cortante nas vigas, denominados Modelo de 
Cálculo I e Modelo de Cálculo II. A treliça clássica de Ritter-Mörsch, que pressupõe ângulo θ 
fixo de 45° para a inclinação das diagonais comprimidas (bielas de concreto), é adotada no 
Modelo de Cálculo I. O Modelo de Cálculo II admite a chamada “treliça generalizada”, onde o 
ângulo θ pode variar de 30° a 45°, sendo essa a maior inovação da norma na questão da força 
cortante. 
Nas últimas décadas surgiram vários modelos mais refinados, como o RA-STM e o FA-
STM, desenvolvidospor HSU e seus colaboradores, e o modelo que considera o atrito entre as 
superfícies das fissuras inclinadas (Truss model with crack friction). Os modelos mais conhecidos 
com base em campos de compressão são o CFT e MCFT desenvolvidos por MITCHELL, 
VECCHIO e COLLINS, mas não serão objeto de estudo nesta apostila. 
 
 
2. REGIÕES DE ANÁLISE 
 
Na teoria clássica de viga a hipótese assumida da seção transversal permanecer plana 
proporciona um modelo simples e suficientemente preciso para o projeto de vigas fletidas, com ou 
sem forças axiais aplicadas. Mesmo após a fissuração a teoria pode ser mantida, porque as fissuras 
de flexão, perpendiculares ao eixo longitudinal da viga, não invalidam a hipótese de seção plana. 
Como a ruptura por flexão ocorre na seção sob o máximo momento fletor, as condições fixadas 
para esta seção são geralmente suficientes para o projeto da viga à flexão. 
Por outro lado, o mesmo não se pode dizer quanto ao projeto das vigas para a força cortante, 
porque há enormes diferenças de comportamento e de fatores intervenientes. A ruptura por efeito 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
2
de força cortante é iniciada após o surgimento de fissuras inclinadas, causadas pela combinação 
de força cortante, momento fletor e eventualmente forças axiais. E a quantidade de variáveis que 
influenciam a ruptura é muito grande, como geometria, dimensões da viga, resistência do 
concreto, quantidade de armaduras longitudinal e transversal, características do carregamento, 
vão, etc. Por isso, ao contrário da flexão, o projeto à força cortante deve considerar não apenas 
uma seção transversal, mas regiões ao longo do vão da viga, as chamadas regiões B, mostradas na 
Figura 1. Foram SCHLAICH et al. (1987) que introduziram o conceito de regiões D e B, onde a 
região D se caracteriza por descontinuidades e distribuição de deformações não-linear. Já na 
região B a distribuição é linear. Em elementos típicos de barra as regiões B encontram-se entre as 
regiões D (ASCE-ACI, 1998). 
 
 
Figura 1 - Regiões numa estrutura (ASCE-ACI, 1998). 
 
 
Como o comportamento de vigas à força cortante apresenta grande complexidade e 
dificuldades de projeto, este assunto tem sido um dos mais pesquisados, no passado bem como no 
presente (HAWKINS et al., 2005). 
 
 
3. COMPORTAMENTO DE VIGAS HOMOGÊNEAS NO ESTÁDIO I 
 
Considere a viga não fissurada de seção retangular, bi-apoiada e sob carregamento 
uniformemente distribuído (Figura 2). Sejam dois elementos infinitesimais A1 e A2 da viga de 
material homogêneo, elástico linear e isótropo (definido como o material que apresenta 
propriedades de deformação iguais para qualquer direção). 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
3
p
A2
1A
a
a
bw
h
L.N.
a2 2a
a1 1a
y
Linha Neutra
σ
c,máx
t,máx
σ
τ 0
y
x
 
Figura 2 – Tensões normais e de cisalhamento numa viga de material homogêneo. 
 
 
As tensões normais de tração e de compressão, atuantes ao nível dos planos a1 e a2, 
respectivamente, assim como a variação da tensão de cisalhamento ao longo da altura da viga, 
encontram-se indicadas na Figura 2. Da teoria clássica da Resistência dos Materiais, a tensão 
normal e a tensão de cisalhamento num elemento A são: 
 
I
yM=σ Eq. 1 
 
Ib
SV
w
y=τ Eq. 2 
 
com: M e V = momento fletor e força cortante na seção a-a; 
 y = distância do elemento à linha neutra; 
 Sy = momento estático da área considerada em relação à linha neutra; 
 I = momento de inércia da seção transversal; 
 bw = largura da viga. 
 
Para seção retangular, a equação quadrática que representa a tensão de cisalhamento τ é: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=τ 2
2
y
4
h
I2
V Eq. 3 
 
Com y = 0 na Eq. 3, a tensão de cisalhamento máxima na seção retangular ocorre na 
posição da linha neutra: 
 
hb
V
2
3
w
máx =τ Eq. 4 
 
As Figura 3 e Figura 4 mostram o estado de tensão nos elementos A1 e A2, bem como o 
círculo de Mohr correspondente. 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
4
L.N.
R
R
A1
x
y
20
tensão principal de 
 tração I
tensão principal de
compressão II
máxima tensão de
cisalhamento
cc
st
yx
xy
x x
xy
I
xy
V
 
 
Figura 3 - Tensões no elemento A1 . 
 
 
 
2A
L.N.
V
I
R
R
y
x
2
tensão principal de
compressão II
máxima tensão de
cisalhamento
tensão principal de
tração 
cc
st II
yx
x
xy
x
xy
 
Figura 4 - Tensões no elemento A2 . 
 
 
4. COMPORTAMENTO RESISTENTE DE VIGAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À 
FORÇA CORTANTE 
 
 
Uma viga de Concreto Armado resiste a carregamentos externos primariamente pela 
mobilização de momentos fletores (M) e forças cortantes (V) - Figura 5. 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
5
A
A
V
V
M
V
M
V
M + dM
dxA
A
 
 
Figura 5 – Esforços solicitantes num elemento de comprimento dx de uma viga. 
 
 
Considere uma viga de Concreto Armado bi-apoiada (Figura 6), submetida a duas forças 
concentradas P de igual intensidade, crescentes de zero até a força última ou de ruptura. As 
armaduras consistem da armadura longitudinal positiva (composta pelas cinco barras inferiores) 
resistente às tensões normais de tração da flexão, e da armadura transversal, composta por estribos 
verticais no lado esquerdo da viga e estribos e barras dobradas inclinadas (cavaletes) no lado 
direito da viga, dimensionada para resistir às forças cortantes. Nota-se que no trecho da viga entre 
as forças concentradas P a solicitação é de flexão pura (V = 0). 
 
Armadura Transversal
 (somente estribos)
 Armadura Transversal
(estribos e barras dobradas)
P
l
+
+
-
M
V
P
 
Figura 6 – Viga bi-apoiada e diagramas de esforços solicitantes. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
A Figura 7a mostra a viga submetida às forças P de baixa intensidade, com as trajetórias 
das tensões principais de tração e de compressão para a viga ainda não fissurada, no Estádio I 
portanto. Observe que no trecho de flexão pura as trajetórias das tensões de compressão e de 
tração são paralelas ao eixo longitudinal da viga. Nos demais trechos as trajetórias das tensões são 
inclinadas devido à influência das forças cortantes. É importante observar também que as 
trajetórias apresentam-se aproximadamente perpendiculares entre si. 
Com o aumento das forças P e conseqüentemente das tensões principais, no instante que as 
tensões de tração atuantes no lado inferior da viga superam a resistência do concreto à tração, 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
6
surgem as primeiras fissuras no trecho de flexão pura, chamadas “fissuras de flexão” (Figura 7b). 
As fissuras de flexão são aquelas que iniciam na fibra mais tracionada e prolongam-se em direção 
à linha neutra, conforme aumenta o carregamento externo aplicado. Apresentam-se 
aproximadamente perpendiculares ao eixo longitudinal da viga e às trajetórias das tensões 
principais de tração, ou seja, a inclinação das fissuras depende da inclinação das tensões principais 
de tração. O trecho fissurado passa do Estádio I para o Estádio II e os trechos entre os apoios e as 
forças concentradas,sem fissuras, permanecem no Estádio I, isto é, a viga apresenta trechos nos 
Estádios I ou II. 
A Figura 7c mostra os diagramas de deformação e de tensão nas seções a e b da viga, nos 
Estádios I e II, respectivamente. No Estádio I a máxima tensão de compressão (σc) ainda pode ser 
avaliada de acordo com a lei de Hooke, o mesmo não valendo para o Estádio II. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
a
a
b
b
Estádio I Estádio II Estádio I
Seção a-a Seção b-b
c
s
c
s
c c
s t
c= Ec
ct,f< 
tração
compressão
 
d) 
b
b
Estádio II
Seção b-b
s
c
s
c = f c
> f y
 
Figura 7 - Comportamento resistente de uma viga bi-apoiada. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
Continuando a aumentar as forças P outras fissuras de flexão continuam a surgir, e aquelas 
já existentes aumentam de abertura e prolongam-se em direção ao topo da viga (Figura 7d). Nos 
trechos entre os apoios e as forças P, as fissuras de flexão inclinam-se, devido à inclinação das 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
7
tensões principais de tração σI , por influência das forças cortantes. Essas fissuras inclinadas são 
chamadas de “fissuras de flexão com força cortante”, ou fissuras de flexão com cisalhamento, que 
não é o termo mais adequado porque tensões de cisalhamento não ocorrem por ação exclusiva de 
força cortante. 
Nas proximidades dos apoios, como a influência dos momentos fletores é muito pequena, 
podem surgir as chamadas “fissuras por força cortante, ou de cisalhamento” (ver Figura 7d e 
Figura 8). Com carga elevada, a viga se apresenta no Estádio II em quase toda a sua extensão. 
 
 
 
 
Figura 8 - Fissuras na viga no Estádio II (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
O carregamento externo introduz numa viga diferentes estados de tensões principais, em 
cada um dos seus infinitos pontos. Na Figura 9, por exemplo, são mostradas as trajetórias das 
tensões principais de uma viga ainda no Estádio I, e o estado de tensões principais num ponto 
sobre a linha neutra. 
Na altura da linha neutra, as trajetórias das tensões principais apresentam-se inclinadas de 
45° (ou 135°) com o eixo longitudinal da viga, e em pontos fora as trajetórias têm inclinações 
diferentes de 45°. 
 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
8
+
-
+
II
I
 Direção de (tensões de tração)
 Direção de (tensões de compressão)
I
II
M
V
x
 
Figura 9 - Trajetórias das tensões principais de uma viga bi-apoiada no Estádio I. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
Além dos estados de tensão relativos às tensões principais, como o indicado na Figura 10b, 
outros estados podem ser representados, com destaque para aquele segundo os eixos x-y (Figura 
10a), que define as tensões normais σx e σy e as tensões de cisalhamento τxy e τyx . 
 
X
y
y = 0
x
( - )
( + )
II
I
( - )
( + )
+
y y
X
yx
xy
 
a) eixos x-y; b) eixos principais. 
 
Figura 10 – Componentes de tensão segundo os estados de tensão relativos aos eixos 
principais e aos eixos x-y (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
9
De modo geral, as tensões verticais σy podem ser desprezadas, tendo importância apenas 
nos trechos próximos à introdução de forças na viga (região de forças externas aplicadas, apoios, 
etc.). 
 Considerando σy = 0, as expressões que correlacionam σI e σII com as componentes σx e τ 
(lembrando que τ = τxy = τyx) são: 
 
- Tensão principal de tração: 
 
22
x
x
I 42
1
2
τ+σ+σ=σ Eq. 5 
 
- Tensão principal de compressão: 
 
22
x
x
II 42
1
2
τ+σ−σ=σ Eq. 6 
 
O dimensionamento das estruturas de Concreto Armado toma como base normalmente as 
tensões σx e τxy . No entanto, conhecer as trajetórias das tensões principais é importante para se 
posicionar corretamente as armaduras de tração e para conhecer a direção das bielas de 
compressão. 
As tensões principais de tração inclinadas na alma exigem uma armadura denominada 
armadura transversal, composta normalmente na forma de estribos verticais fechados. Note que, 
na região de maior intensidade das forças cortantes, a inclinação mais favorável para os estribos 
seria de aproximadamente 45°, ou seja, paralelos às trajetórias das tensões de tração e 
perpendiculares às fissuras. Por razões de ordem prática os estribos são normalmente 
posicionados na direção vertical, o que os torna menos eficientes se comparados aos estribos 
inclinados de 45°. 
A colocação da armadura transversal evita a ruptura prematura das vigas e, além disso, 
possibilita que as tensões principais de compressão possam continuar atuando, sem maiores 
restrições, entre as fissuras inclinadas próximas aos apoios. 
 O comportamento da região da viga sob maior influência das forças cortantes e com 
fissuras inclinadas no Estádio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma 
treliça isostática (Figura 11). A analogia de treliça consiste em simbolizar a armadura transversal 
como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de estribos verticais), o 
concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compressão) como as diagonais inclinadas 
comprimidas, o banzo inferior como a armadura de flexão tracionada e o banzo superior como o 
concreto comprimido acima da linha neutra, no caso de momento fletor positivo. 
A treliça isostática com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45° é chamada 
“treliça clássica de Ritter-Mörsch”. Sobre ela, Lobo Carneiro escreveu o seguinte: “A chamada 
treliça clássica de Ritter-Mörsch foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto 
armado. Há mais de meio século tem sido a base do dimensionamento das armaduras 
transversais – estribos e barras inclinadas – das vigas de concreto armado, e está muito longe de 
ser abandonada ou considerada superada. As pesquisas sugerem apenas modificações ou 
complementações na teoria, mantendo no entanto o seu aspecto fundamental: a analogia entre a 
viga de concreto armado, depois de fissurada, e a treliça”. É válido afirmar que essas palavras 
continuam verdadeiras até o presente momento. 
 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
10
R
cb
s
R
R s R
cb
 
 a) armadura transversal a 45°; b) armadura transversal a 90°. 
 
Figura 11 - Analogia de treliça para as forças internas na região próxima ao apoio 
de uma viga (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
 Os estribos devem estar próximos entre si a fim de interceptarem qualquer possível fissura 
inclinada devido às forças cortantes, pois uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância 
entre os estribos for ≥ 2 z para estribos inclinados a 45° e > z para estribos a 90° (Figura 12). 
 
2 z fissura de cisalhamento z fissura de cisalhamento
 
Figura 12 - Analogia clássica de uma viga com uma treliça. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
 A NBR 6118/03 (item 17.4.1) preconiza que o dimensionamento de elementos lineares 
(vigas) pode ser feito segundo “modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo de 
treliça, de banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos 
no interior do elemento estrutural”. No item 10 são deduzidas as forças e tensões nas barras da 
treliça clássica de Ritter-Mörsch. 
 
 
5. MECANISMOSBÁSICOS DE TRANSFERÊNCIA DA FORÇA CORTANTE 
 
Em 1968, Fenwick e Paulay afirmaram que o mecanismo de ruptura das vigas por efeito de 
força cortante não estava ainda claramente definido. 
Os mecanismos existentes numa viga responsáveis pela transferência da força cortante são 
complexos e difíceis de identificar e medir, porque após a fissuração ocorre uma complexa 
redistribuição de tensões, influenciada por vários fatores. 
Os mecanismos básicos responsáveis pela transferência da força cortante numa viga são 
vários, e cada um deles tem uma importância relativa de acordo com o pesquisador ou órgão. 
Excluindo-se a armadura transversal são cinco os mecanismos mais importantes: 1) força cortante 
na zona de concreto não fissurado (banzo de concreto comprimido – Vcz); 2) engrenamento dos 
agregados ou atrito das superfícies nas fissuras inclinadas (Vay); 3) ação de pino da armadura 
longitudinal (Vd); 4) ação de arco; 5) tensão de tração residual transversal existente nas fissuras 
inclinadas (MACGREGOR e WIGHT, 2005). 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
11
Três desses mecanismos estão mostrados na Figura 13, sendo a contribuição de cada um 
mostrada na Figura 14. 
 
 
Figura 13 – Mecanismos de transferência da força cortante em viga com armadura transversal. 
(MACGREGOR e WIGHT, 2005). 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Contribuição de cada mecanismo de transferência de força cortante em viga 
com armadura transversal (MACGREGOR e WIGHT, 2005). 
 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
12
Os numerosos estudos feitos sobre o comportamento de elementos de Concreto Armado 
submetidos à flexão têm garantido um bom entendimento sobre o comportamento e os 
mecanismos de ruptura desses elementos, estando as conclusões incorporadas nas normas de 
vários países. Na questão dos elementos sob flexão e força cortante, no entanto, o progresso no 
entendimento e formulações não tem alcançado o mesmo sucesso. Isso se deve à complexidade do 
problema, segundo PARK e PAULAY (1975). 
Os elementos submetidos à força cortante geralmente encontram-se também sob os 
esforços de momento fletor, força axial e torção. Por isso, além do estudo sobre os efeitos da força 
cortante agindo isolada, é importante examinar também a interação com os outros esforços 
solicitantes. 
No caso das vigas sob flexão, os mecanismos resistentes à força cortante interagem com a 
aderência entre o concreto e a armadura longitudinal, bem como com a ancoragem dessa 
armadura na sua extremidade. 
A transferência da força cortante nas vigas de Concreto Armado é muito dependente das 
resistências do concreto à tração e à compressão, e tem, por isso, a ruptura frágil ou não dúctil por 
efeito da força cortante. Portanto, é muito importante o correto dimensionamento das vigas à força 
cortante, de modo a sempre evitar a ruptura frágil por força cortante, principalmente nos 
elementos sob ações de sismos e terremotos. 
Os modelos elásticos existentes proporcionam resultados aceitáveis na previsão da 
formação de fissuras e na resistência do elemento. No entanto, o comportamento de elementos sob 
força cortante torna-se muito complexo após o surgimento de fissuras, que alteram bastante as 
tensões existentes. 
As características dos cinco principais mecanismos de transferência de força cortante são 
descritas a seguir. 
 
5.1 Ação de Arco 
 
Nas proximidades dos apoios o banzo comprimido inclina-se em sua direção, formando 
um arco, como ilustrado na Figura 15. 
 
q
PP
 
Figura 15 – Ação de arco ou de pórtico atirantado nas proximidades dos apoios. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
A formação do arco requer uma reação horizontal no apoio, que em vigas bi-apoiadas pode 
ser fornecida pela armadura longitudinal positiva, que deve ser cuidadosamente ancorada nas 
extremidades da viga para servir a esta função. 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
13
A resistência à força cortante proporcionada pela ação de arco depende muito da 
possibilidade de acomodação das tensões de compressão do arco, e a intensidade dessas tensões 
depende principalmente da inclinação do arco, dada pela relação a/d (a = shear span = distância 
entre o ponto de aplicação da força P e o apoio; d = altura útil da viga), podendo ser expressa em 
função da força cortante V ou do momento fletor: 
 
dV
M
dV
aV
d
a == Eq. 7 
 
A ação de arco é o mecanismo dominante de resistência de vigas-paredes à força cortante 
com o carregamento aplicado na sua região comprimida. 
 
5.2 Concreto Comprimido Não Fissurado 
 
A zona não fissurada de concreto comprimido pela flexão (banzo de concreto) contribui e 
proporciona uma certa resistência à força cortante atuante numa viga ou laje fissurada. A 
integração das tensões de cisalhamento sobre a altura desse banzo comprimido fornece uma 
componente de força cortante, que é as vezes a explicação para a chamada “contribuição do 
concreto” (concrete contribution), como encontrado em textos de normas estrangeiras, 
principalmente o ACI 318. Essa componente de força cortante não é a componente vertical de um 
banzo de concreto comprimido inclinado (ASCE-ACI, 1998). 
A contribuição do banzo comprimido depende principalmente da altura da zona 
comprimida, conseqüentemente, vigas com alturas baixas sem força axial de compressão 
apresentam pequena contribuição à resistência, porque a altura do banzo é relativamente pequena 
(TAYLOR, 1972, REINECK, 1991). Diversas pesquisas experimentais executadas em vigas com 
armadura transversal mostraram que a contribuição da zona do banzo comprimido de concreto 
alcança valores entre 20 % e 40 % de resistência à força cortante na seção, sendo esta variação 
dependente principalmente da forma e da natureza das fissuras nas vigas, conforme ACHAYA e 
KEMP (1965), FENWICK e PAULAY (1968), TAYLOR (1972) e GERGELY (1969), citados no 
ASCE-ACI (1973). 
 
5.3 Transferência na Interface das Fissuras Inclinadas 
 
Devido à rugosidade dos agregados ocorre um engrenamento entre eles nas superfícies das 
fissuras, o que proporciona uma resistência ao deslizamento e a transferência de força cortante 
através uma fissura inclinada. 
O termo engrenamento dos agregados (aggregate interlock) vem sendo substituído por 
atrito entre as superfícies (crack friction), porque os concretos de alta resistência têm matriz com 
resistência semelhante à dos agregados, contribuindo para o mecanismo da transferência de força 
cortante, mesmo após a propagação da fissura entre os agregados. Além disso o termo também 
indica que o mecanismo não depende meramente das característica do material, o concreto. 
Nas duas últimas décadas foram feitos grandes progressos para o entendimento desse 
mecanismo, principalmente por MILLARD e JOHNSON (1984), GAMBAROVA (1981), 
WALRAVEN (1981) e NISSEN (1987), entre outros citados pelo ASCE-ACI (1998). 
São quatro os parâmetros mais importantes no mecanismo de atrito nas fissuras: tensão de 
cisalhamento nas interfaces, tensão normal, largura e escorregamento da fissura. 
O atrito entre duas superfícies de concreto é reconhecido como um mecanismo básico para 
a resistência à força cortante em elementos fletidos de concreto. O atrito é aquele que ocorre numa 
fissura do concreto quando um deslocamento (s) é imposto à fissura (Figura 16). 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
14
 
Figura16 – Mobilização do concreto pelo atrito na fissura com armadura (a) 
e na fissura sem armadura (b) - (POLI et al., 1987). 
 
 
Segundo POLI et al. (1987), o mecanismo de engrenamento dos agregados na interface das 
fissuras proporciona uma contribuição significativa à resistência à força cortante de vigas de 
Concreto Armado e Protendido. Ensaios experimentais indicaram que entre 33 % e 50 % da força 
cortante total sobre a viga pode ser transferida pelo engrenamento das interfaces. Outras 
considerações que esses pesquisadores apresentaram são: 
 
a) os fatores que mais influenciam o fenômeno são a largura da fissura e o tamanho dos 
agregados. A resistência diminui com o aumento da largura da fissura e a diminuição do tamanho 
dos agregados. Concretos com maiores resistências tendem a apresentar superfícies menos 
rugosas, e conseqüentemente menor transferência de força cortante; 
b) quanto menor a largura da fissura maior é a área de contato. A transferência depende também 
da capacidade de deformação elástica ou plástica da área de contato com relação a uma força 
aplicada. A deformação depende da quantidade de água e ar da matriz argamassa; 
c) a contribuição do engrenamento dos agregados é maior nas seções onde as fissuras por cortante 
desenvolvem-se dentro da alma da viga, e menor nas fissuras inclinadas que são continuidade de 
fissuras de flexão, iniciadas na borda tracionada da viga. A porcentagem da contribuição é maior 
para valores baixos e médios da tensão ou resistência última ao cortante, mas é ainda notada em 
valores maiores, quando os efeitos do engrenamento dos agregados diminui devido aos 
deslocamentos menores das interfaces; 
d) uso de estribos de pequeno diâmetro favorecem o engrenamento dos agregados. 
 
A Figura 17 mostra um diagrama com a taxa de armadura transversal (ωst) no eixo vertical, 
como uma função da tensão última à força cortante (τuo), relativa à resistência do concreto à 
compressão (fc). As taxas de armaduras teóricas são mostradas segundo o modelo de treliça sem 
consideração do engrenamento dos agregados, segundo as normas CEB e ACI. Os valores são 
relativos ao concreto com f’c de 21 MPa e aço com fy de 500 MPa. A reta I é relativa ao modelo 
de treliça considerando-se o engrenamento dos agregados. Nota-se que a reta I tem boa 
proximidade com os resultados experimentais, principalmente com τuo/f’c maiores que 0,2. 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
15
 
Figura 17 – Curvas de grau de armadura transversal e resultados de ensaios de vigas. 
(POLI, GAMBAROVA e KARAKOÇ, 1987). 
 
 
Segundo a ASCE/ACI (1998), WALRAVEN (1981) desenvolveu um modelo que 
considera a probabilidade que as partículas de agregado (idealizadas como esferas) se projetarão 
da interface da fissura. Neste modelo a relação entre as tensões e os deslocamentos são função da 
resistência do concreto à compressão, de concretos com resistências normais. Outras relações 
foram desenvolvidas em função de c'f , e embora grandes diferenças possam ocorrer entre as 
leis constitutivas, o mecanismo de atrito na interface é agora bem conhecido e largamente aceito 
como um importante mecanismo de transferência de força cortante. 
 
5.4 Ação de Pino da Armadura Longitudinal 
 
A ação de pino de uma barra de aço inserida no concreto proporciona um mecanismo de 
transferência de força cortante que foi percebida na década de 30 do século passado, e ocorre num 
grande número de aplicações práticas das estruturas de Concreto Armado, como mostrado na 
Figura 18. 
 
Figura 18 – Exemplos onde a ação de pino ocorre (POLI et al., 1992). 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
16
Em 1973, na ASCE/ACI (1973) foi comentado que procedimentos de projeto modernos 
consideravam a totalidade da força cortante sendo resistida pela zona de concreto comprimido e 
pelos estribos. Porém, estudos recentes demonstravam que a ação de pino da armadura 
longitudinal e o engrenamento dos agregados nas fissuras também desempenham efeito 
importante sobre a capacidade e o modo de ruptura das vigas. 
Estudos experimentais feitos por KREFELD e THURSTON (1966), PARMELEE (1961), 
FENWICK e PAULAY (1968), GERGELY (1969), TAYLOR (1969), BAUMANN (1968) e 
vários outros, citados no ASCE/ACI (1973), indicaram que a força resistente à força cortante 
proporcionada pela barra de aço na ação de pino (dowel action) é entre 15 % e 25 % da força 
cortante total. 
A força cortante que pode ser transferida pela ação de pino depende de vários parâmetros, 
como: a) quantidade de armadura; b) diâmetro da barra; c) espaçamento entre as barras; d) 
espessura do cobrimento embaixo da barra de aço; e) propriedades do concreto; f) tensões axiais 
na armadura; g) existência de armadura transversal impedindo o deslocamento da barra 
longitudinal. 
A resistência é pequena no caso de barras em região de tração e ausência de armadura 
transversal, porque a ação fica limitada pela resistência do concreto à tração. 
Na situação de carga última é necessário considerar as não-linearidades do concreto e do 
aço, assim como o dano no concreto localizado, na região próxima ao plano da força cortante. 
Existem equações desenvolvidas com base em modelos de análise limite simples que 
avaliam a capacidade última do efeito pino (Vu), que fornecem resultados seguros, como 
indicados na Figura 19. 
 
 
Figura 19 – Força Vu relativa ao efeito pino em função do diâmetro da barra, para concretos 
com resistência à compressão de 30 e 75 MPa (POLI et al., 1992). 
 
 
Dois modos de ruptura podem ocorrer: fendilhamento do concreto do cobrimento, e 
esmagamento do concreto sob a barra, acompanhada pelo escoamento da barra (Figura 20). O 
modo de ruptura que irá ocorrer depende dos parâmetros listados anteriormente (POLI et al., 
1992). 
O modo de ruptura do tipo I ocorre para pequenas espessuras de cobrimento, e para 
grandes cobrimentos ocorre a ruptura do tipo II, com o esmagamento do concreto sob a barra. 
Para o caso de ruptura devido ao aparecimento de fissuras de fendilhamento na superfície de 
concreto na região próxima à barra (ruptura tipo I - Figura 20), a resistência máxima do efeito 
pino não é proporcional ao diâmetro da barra, isto é, a eficiência do mecanismo é reduzida 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
17
aumentando-se o diâmetro da barra. Mesmo para o modo de ruptura tipo II o aumento do diâmetro 
da barra afeta negativamente a eficiência da resistência do mecanismo do efeito pino. 
 
 
Figura 20 – Modos de ruptura do mecanismo de efeito pino (VINTZILEOU, 1997). 
 
 
Com base no exposto por VINTZILEOU (1997), as tensões de compressão e tração 
aplicadas ao concreto por uma barra de aço sob uma força D (Figura 21) aumentam com o 
aumento do diâmetro da barra, de modo que a máxima força a ser transferida pelo mecanismo de 
pino será afetado negativamente aumentando-se o diâmetro da barra. 
 
 
Figura 21 – Distribuição esquemática de tensões ao longo da barra (VINTZILEOU, 1997). 
 
 
Um dos fatores primordiais na resistência proporcionada pela barra de aço é a espessura do 
cobrimento lateral da barra (cs), como indicado na Figura 22. 
 
 
Figura 22 – Notação dos cobrimentos de concreto de uma barra de aço inserida no concreto. 
(VINTZILEOU, 1997). 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
18
Para pequenas espessuras do cobrimento lateral surgem fissurashorizontais precocemente, 
que fazem com que a espessura do cobrimento do topo (ct) não tenha importância. Porém, para 
grandes espessuras laterais (3 a 4φ) a resistência proporcionada pela barra aumenta linearmente 
com o cobrimento do topo, embora para cobrimentos do topo superiores a 5φ não ocorre aumento 
de resistência. 
Em função das considerações feitas para o cobrimento da barra é esperado que, para 
pequenos espaçamentos entre barras, a resistência oferecida diminui em função de ruptura 
causada pelo aparecimento de fissuras prematuras de fendilhamento no concreto. Nesta questão 
faltam resultados de pesquisas experimentais (VINTZILEOU, 1997). 
Segundo a ASCE-ACI (1998), normalmente a ação de pino não é muito importante em 
elementos sem armadura transversal, porque a máxima força cortante proporcionada pela ação de 
pino é limitada pela resistência à tração do concreto do cobrimento da barra, que apóia a barra. A 
ação de pino pode ser importante em elementos com grande quantidade de armadura transversal, 
principalmente quando distribuída em mais que uma camada. 
 
5.5 Tensões Residuais de Tração 
 
Quando o concreto fissura não ocorre uma separação completa, porque pequenas partículas 
do concreto ligam as duas superfícies e continuam a transmitir forças de tração, para pequenas 
aberturas de fissura entre 0,05 e 0,15 mm. Essa capacidade do concreto contribui para a 
transferência de força cortante, importante quando a abertura da fissura ainda é pequena. Vigas 
grandes próximas à ruptura com fissuras de grande abertura mostram menor contribuição das 
tensões residuais de tração. 
A aplicação da mecânica da fratura ao projeto à força cortante toma como base a premissa 
de que a tensão de tração residual é o mecanismo de transferência mais importante de força 
cortante. Outros métodos, como o modelo de dente (tooth model) de REINECK (1991), indica que 
as tensões de tração residuais fornecem uma importante porção da resistência à força cortante de 
elementos com alturas menores que 100 mm, onde a largura das fissuras inclinadas e de flexão 
são pequenas. 
 
5.6 Armaduras Longitudinal e Vertical 
 
Numa viga, antes do surgimento das fissuras inclinadas a deformação nos estribos é a 
mesma do concreto adjacente ao estribo, e como a tensão de tração que causa a fissura no 
concreto é pequena, a tensão no estribo também é pequena. De modo que somente após ocorrer o 
início da fissuração inclinada é que os estribos passam a transferir força cortante, isto é, um 
estribo passa a ser efetivo ao transferir a força de um lado para outro da fissura inclinada que o 
intercepta. 
Os estribos também atuam diminuindo o crescimento e a abertura das fissuras inclinadas, 
proporcionando uma ruptura mais dúctil às vigas. A existência do estribo na viga faz com que 
ocorra uma mudança na contribuição relativa de cada um dos diferentes mecanismos resistentes à 
força cortante. 
A contribuição da armadura transversal à resistência ao cortante da viga é tipicamente 
computada por meio da treliça clássica, somada à contribuição do concreto, ou por meio da treliça 
de ângulo variável sem a contribuição do concreto. 
 
6. FATORES QUE INFLUENCIAM A RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE 
 
Segundo LEONHARDT e MÖNNIG (1982), são muitos fatores que influenciam a 
resistência das vigas à força cortante, cerca de vinte, sendo que de alguns deles não há 
conhecimento suficiente da sua influência. A seguir apresentam-se alguns dos principais fatores. 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
19
6.1 Tipo de Carregamento 
 
Para carregamento uniformemente distribuído (cargas atuando de cima, diretamente sobre 
a viga), alguns ensaios com vigas esbeltas sem armadura transversal indicaram uma capacidade 
resistente à força cortante cerca de 20% a 30% maior do que para carga concentrada na posição 
mais desfavorável. Entretanto, na realidade, não há garantia de uma distribuição uniforme da 
carga de utilização, por isso, os critérios de dimensionamento devem levar em consideração os 
resultados mais desfavoráveis referentes às cargas concentradas. 
 
6.2 Posição da Carga e Esbeltez 
 
Nas cargas concentradas tem grande influência a distância do apoio até a carga. Já para as 
cargas uniformes tem grande influência a esbeltez l/h. Quanto à ruptura de uma viga com e sem 
armadura transversal por força cortante, a posição mais perigosa de uma carga concentrada foi 
determinada para o trecho a = 2,5h a 3,5h, o que corresponde a uma relação momento-força 
cortante de M/Vh = a/h = 2,5 a 3,5. Para cargas distribuídas, rigidezes de l/h =10 a 14 são as que 
conduzem a maiores perigos de ruptura por força cortante e, conseqüentemente, na menor 
capacidade resistente à força cortante. 
A capacidade resistente à força cortante aumenta bastante para cargas próximas ao apoio, 
para uma relação decrescente a/h < 2,5. Um aumento correspondente acontece com carga 
distribuída, quando l/h < 10. Isto explica porque o efeito de viga escorada é tão mais favorável, 
quando mais inclinadas (em relação à horizontal) forem as diagonais comprimidas de concreto. 
Deve-se prever, a propósito, uma boa ancoragem da armadura longitudinal do banzo tracionado. 
 
6.3 Tipo de Introdução da Carga 
 
Efetuando-se a ligação de uma viga em toda sua altura d com outra viga, a viga que se 
apóia distribui sua carga ao longo da altura da alma da viga que serve de apoio. Diz-se então que 
se trata de um carregamento ou apoio indireto. Nos ensaios foi possível mostrar que, na região de 
cruzamento dessas vigas, é necessária uma armadura de suspensão, deve ser dimensionada para a 
força total atuante no apoio ou nó. 
Uma viga no Estádio II transfere sua carga ao apoio primordialmente pela diagonal de 
compressão, e as diagonais comprimidas no modelo treliça define claramente a necessidade de 
montantes verticais de tração, ou seja, armadura de suspensão. Entretanto, fora da região de 
cruzamento, a viga não é influenciada pelo tipo de introdução de carga ou de apoio, isto é, o 
comportamento em relação à força cortante é o mesmo que para o apoio ou carregamento direto. 
Essas mesmas considerações valem para o dimensionamento à força cortante. Na região de 
cruzamento, a armadura de suspensão atende simultaneamente à função de armadura de 
transversal. 
As cargas penduradas na parte inferior de uma viga produzem tração na alma e devem ser 
transferidas pelas barras de tração da alma ao banzo comprimido. Essa armadura de suspensão é 
adicional à armadura transversal normal para a força cortante. 
 
6.4 Influência da Armadura Longitudinal 
 
O desenvolvimento de uma fissura inclinada por força cortante, ou seja, seu aumento até 
próximo da borda superior da zona comprimida de concreto, depende da rigidez à deformação do 
banzo tracionado, ou seja, quanto mais fraco for o banzo tracionado, tanto mais ele se alonga com 
o aumento da carga e tão mais depressa a fissura inclinada se torna perigosa. 
O banzo tracionado não pode, portanto, ser muito enfraquecido na região de uma possível 
ruptura por força cortante. Também um escorregamento da ancoragem no apoio tem um efeito 
enfraquecedor. Ambas as influências devem ser consideradas como detalhes construtivos na 
execução da armadura. 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
20
Uma outra influência é a qualidade da armadura longitudinal. Ensaios demonstraram, por 
exemplo, que para a mesma porcentagem de armadura longitudinal, uma distribuição das tensões 
com maior número de barras finas influencia favoravelmente a capacidade resistente à força 
cortante. 
 
6.5 Influência da Forma da Seção Transversal 
 
A formada seção transversal tem uma forte influência sobre o comportamento resistente 
de vigas de Concreto Armado solicitadas à força cortante. A seção transversal retangular pode se 
adaptar livremente a uma forte inclinação do banzo comprimido e, freqüentemente, pode absorver 
toda a força transversal no banzo comprimido (especialmente no caso de carga distribuída e de 
carga concentrada próxima ao apoio). 
Em seções transversais de vigas T, a força no banzo comprimido só pode ter uma 
inclinação quase horizontal, porque na realidade ela permanece na largura comprimida da laje até 
a proximidade do apoio, concentrando-se na alma apenas gradativamente em direção ao apoio. O 
banzo comprimido por este motivo, só pode absorver uma parcela da força cortante, e a maior 
parte deve ser resistida pelas diagonais comprimidas e pelas barras da armadura transversal. A 
relação da rigidez do banzo comprimido de largura bf com a correspondente rigidez das diagonais 
comprimidas da alma com largura bw é muito maior em vigas T do que em vigas retangulares. 
Nas vigas de seção retangular (bf/ bw = 1), os estribos são submetidos a tensões de 
compressão até que, pouco antes da carga de ruptura, uma fissura de cisalhamento cruze o estribo. 
Nas vigas T essas tensões no estribo aumentam para almas delgadas, em todos os casos, porém, 
essas tensões ficam bem abaixo da tensão de escoamento do aço a qual foi calculada de acordo 
com a analogia de treliça clássica de Mörsch (com diagonais a 45º). 
Ensaios mostraram também que a inclinação das fissuras inclinadas ou das diagonais 
comprimidas varia com a relação bf/ bw, essa inclinação situa-se em torno de 30º para bf / bw = 1 e 
cresce para cerca de 45º para bf / bw = 8 a 12. 
O dimensionamento da armadura transversal da alma deve ser feito a partir da distribuição 
dos esforços internos, pouco antes da ruptura, ou seja, deve ser considerada a largura da alma em 
relação a largura do banzo comprimido. 
 
6.6 Influência da Altura da Viga 
 
Ensaios realizados segundo uma lei de semelhança com vigas sem armadura transversal e 
diferentes alturas d, com igual porcentagem de armadura longitudinal de mesma distribuição de 
barras, mostraram que a capacidade resistente à força cortante diminui consideravelmente como 
aumento da altura d, quando a granulometria e o cobrimento do concreto não variarem de acordo 
com a escala. 
 
7. COMPORTAMENTO DE VIGAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL 
 
O comportamento das vigas após a fissuração modifica-se consideravelmente em função 
da existência ou não de armadura transversal. Por isso, inicialmente apresentam-se as 
características do comportamento das vigas sem armadura transversal, e em seguida das vigas 
com armadura transversal. 
Numa viga de Concreto Armado sob ação de flexão e forças cortantes, que ocasionam 
tensões principais como indicadas na Figura 9, a fissura se forma quando a tensão principal de 
tração excede a resistência do concreto à tração. 
A maior parte das fissuras inclinadas são extensões das fissuras de flexão. Em vigas com 
mesas, como seções I e T por exemplo, ocorrem fissuras inclinadas nas proximidades da linha 
neutra. 
A previsão da força cortante que provoca a fissura diagonal inclinada, segundo uma 
análise das tensões principais e em função da resistência do concreto à tração, é maior que a 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
21
verificada na realidade numa viga sob flexão e forças cortantes. Assim ocorre devido 
principalmente à redistribuição de tensões de cisalhamento entre as fissuras de flexão, entre outros 
fatores, como as tensões existentes devido à retração do concreto. 
Segundo a ASCE-ACI (1998), a presença de fissuras inclinadas em vigas sob ações de 
serviço são aceitáveis hoje, desde que seja garantida que a abertura das fissuras não ultrapassem 
os limites máximos estabelecidos. 
 
7.1 Parâmetros Mais Importantes 
 
Existem vários parâmetros que influenciam significativamente a contribuição relativa dos 
diferentes mecanismos resistentes à força cortante e conseqüentemente a resistência última das 
vigas sem armadura transversal à força cortante. 
 
7.1.1 Resistência do Concreto 
 
 A resistência à força cortante aumenta com o aumento da resistência do concreto, porém, 
não está definido ainda se é a resistência do concreto à compressão ou a resistência à tração que 
exerce maior influência. 
 Normas que consideram a “contribuição do concreto” (Vc) como a força cortante relativa 
ao aparecimento da fissuração inclinada, como a NBR 6118/03 e o ACI 318, levam em 
consideração a resistência do concreto à tração, geralmente por meio de equações em função da 
resistência do concreto à compressão elevadas a uma potência, como fc1/4, fc1/3 e fc1/2. 
 O aumento da resistência à força cortante com o aumento da resistência do concreto parece 
ser mais efetivo em vigas menores com altas taxas de armaduras e feitas com concretos de baixa 
ou média resistência, como as vigas ensaiadas por MOODY et al. (1954), indicadas no diagrama 
da Figura 23. As vigas de YOON e COOK (1996), com alturas nem pequenas nem grandes e com 
taxas de armaduras moderadas, apresentaram a tendência de maneira menos pronunciada. Por 
outro lado, vigas altas levemente armadas e com concretos de alta resistência de agregados 
pequenos não mostraram a mesma tendência, como aquelas ensaiadas pelos outros autores. 
Credita-se tal característica ao fato das superfícies das fissuras serem mais lisas ou menos 
rugosas nos concretos de alta resistência que nos concretos normais, o que diminui a eficiência do 
mecanismo de transferência da força cortante nas interfaces das fissuras (atrito na interface). 
 
7.1.2 Altura da Viga 
 
É fato que a resistência à força cortante diminui em vigas de concreto (Armado e 
Protendido) com o aumento da altura da viga, efeito chamado “size effect”. Algumas pesquisas 
como de SHIOYA et al. (1989), LEONHARDT e WALTHER (1961, 1962, 1963), entre várias 
outras, mostraram tal comportamento das vigas. 
 A Figura 24 mostra os resultados experimentais obtidos por SHIOYA et al. (1989) de 
vigas com alturas efetivas (d) entre 10 e 300 cm, sem armadura transversal e levemente armadas 
na direção longitudinal, comparados com a resistência prevista pelo ACI 318-95 e pelo método 
simplificado (β) de acordo com o modelo MCFT. A resistência última das vigas maiores foi 
apenas cerca de um terço das vigas menores, e menos da metade da resistência teórica calculada 
segundo o ACI 318R-02 (HAWKINS et al., 2005). 
Nas vigas maiores nota-se que romperam com tensões de cisalhamento menores que a 
metade das tensões teóricas previstas pelo ACI 318, e o MCFT apresentou bons resultados. 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
22
 
Figura 23 – Influência da resistência à compressão do concreto sobre a resistência à força 
cortante. (KUCHMA e KIM, 2001). 
 
 
 
 
Figura 24 – Influência da altura da viga e da dimensão do agregado sobre a 
resistência à força cortante (COLLINS e KUCHMA, 1999). 
 
 
 Em 1956 ocorreu a ruptura de várias vigas de Concreto Armado, com altura de 91,4 cm, 
num galpão da força aérea dos Estados Unidos, com força cortante menor que a metade da força 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
23
cortante teórica prevista pela norma ACI (Figura 25). Em investigações realizadas na época vigas 
semelhantes foram ensaiadas, porém, com modelos em escala de um terço das vigas reais 
rompidas. Os modelos ensaiados mostraram muito maior resistência à ruptura queas vigas do 
galpão, e por isso a conclusão para o fator principal da queda foi que a baixa resistência das vigas 
ocorreu devido a tensões axiais de tração provocadas por retração restringida pelos pilares. 
 
 
Figura 25 – Viga rompida do galpão da força aérea dos Estados Unidos (CLADERA, 2002). 
 
 
Hoje, com os maiores conhecimentos sobre a influência da altura da viga sobre sua 
resistência à força cortante, explica-se a ruptura das vigas pela influência da altura, não 
corretamente avaliada pelo ACI da época. Porém, o entendimento de tal comportamento das vigas 
ainda não está completamente entendido pelos pesquisadores, dada as diferentes explicações 
existentes para o fenômeno. Alguns creditam à redução da transferência de força cortante nas 
interfaces das fissuras devido a maior largura das fissuras que ocorrem em vigas de grande altura. 
Outros creditam que, em vigas altas, a propagação de fissuras inclinadas ocorre de maneira mais 
rápida, o que diminui a resistência à força cortante. 
 
7.1.3 Relação entre a Altura da Viga e a Posição da Carga 
 
Numa viga simples sob carregamento de forças concentradas chama-se “a” a distância 
entre o apoio e a força concentrada aplicada (“shear span”). Costuma-se analisar a influência desta 
distância com relação à altura útil das vigas, isto é, a razão a/d, que serve como um indicativo da 
esbeltez das vigas. 
Quando a relação a/d diminui a resistência da viga à força cortante aumenta, sendo 
particularmente importante em relações menores que 2,5 a 3,0, porque uma parcela significativa 
da força cortante é transmitida diretamente ao apoio pela ação de arco. E quanto menor a relação 
a/d mais pronunciada se torna a ação de arco. As vigas-paredes são exemplos típicos da existência 
do efeito arco de forma pronunciada. 
Em vigas simples sob cargas concentradas a seção sob máximo momento fletor e força 
cortante ocorre na distância a/d, pois Mmáx = Vmáx . a , e a razão de momento fletor para força 
cortante é Mmáx / Vmáx . d = a/d. No caso de viga sob carregamento uniformemente distribuído a 
relação é Mmáx / Vmáx . d = l / 4d, o que significa que a é a distância entre o apoio e a resultante da 
carga uniformemente distribuída numa metade do vão. 
O valor de a também relaciona as capacidades das vigas à flexão e à força cortante. Numa 
ruptura por flexão a força cortante pode ser calculada dividindo-se o momento de ruptura por a, e 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
24
numa ruptura por efeito de força cortante o momento fletor no meio do vão será calculado 
multiplicando-se a força cortante de ruptura por a. 
 
7.1.4 Armadura Longitudinal 
 
Para um dado carregamento mantido constante, se a armadura longitudinal da viga é 
diminuída as tensões de flexão e as deformações nessa armadura devem aumentar. 
Conseqüentemente, as fissuras terão aberturas maiores e a resistência à força cortante diminuída, e 
além disso, a ação de pino é também diminuída por existir menos armadura. 
Barras longitudinais dispostas ao longo da altura das vigas diminuem o espaçamento e 
abertura das fissuras, e por isso aumentam a resistência à força cortante de maneira significativa. 
 
7.1.5 Força Axial 
 
Forças axiais de compressão aumentam a resistência à força cortante porque diminuem a 
largura das fissuras inclinadas, o que contribui para uma maior resistência nas interfaces das 
fissuras, e aumentam a altura do banzo de concreto comprimido, e conseqüentemente a sua 
resistência à força cortante. Forças de tração, ao contrário, diminuem a resistência à força 
cortante. 
 
7.2 Modos de Ruptura 
 
A ruptura de vigas de Concreto Armado por efeito de força cortante caracteriza-se pela 
ocorrência de fissuras inclinadas, que pode, em alguns casos, ser seguida pela ruptura da viga, e 
em outros casos, a viga ainda pode suportar acréscimos de carga antes da ruptura. 
As fissuras inclinadas podem se desenvolver na alma das vigas como uma extensão de fissuras de 
flexão já existentes ou de maneira independente. A primeira fissura é chamada “fissura por flexão 
e força cortante” e a segunda como “fissura por força cortante”. Ocorre também a fissura por 
flexão pura, como indicadas na Figura 8. 
Além dos três tipos de fissuras básicas podem também ocorrer outras fissuras secundárias, 
muitas vezes em decorrência de tensões de tração que causam fissuras de fendilhamento, com o 
escorregamento relativo entre a barra de aço e o concreto, ou de forças oriundas da ação de pino 
de barras longitudinais transferindo força cortante através de uma fissura. 
De acordo com o ACI-ASCE 426 (1973), a maneira como as fissuras inclinadas se 
desenvolvem e crescem e o tipo de ruptura que ocorre na seqüência depende muito da relação 
entre as tensões de cisalhamento e as tensões normais de flexão, que podem ser definidas 
aproximadamente como: 
 
db
V
w
1α=τ Eq. 8 
 
2
f
2x db
Mα=σ Eq. 9 
 
onde bf é a largura da mesa, bw é a largura da alma, d é a altura útil, e α1 e α2 são coeficientes que 
dependem de várias variáveis, como a geometria, tipo de carga, quantidade e posição das 
armaduras, tipo de aço, concreto, etc. 
Uma viga submetida a forças concentradas tem a seguinte relação entre tensões: 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
25
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛α=τ
σ
f
w
3
x
b
b
d
a Eq. 10 
 
onde: α3 = α2/α1; 
a = distância entre a força aplicada e o apoio (shear span). 
 
A relação a/d é útil para ilustrar a variação entre a carga correspondente à fissura inclinada 
e a capacidade da viga retangular à força cortante. 
Quando todas as variáveis são mantidas constantes, a influência de a/d sobre a fissuração 
de vigas retangulares bi-apoiadas em função da esbeltez é classificada como ilustrado a seguir. 
 
a) viga muito esbelta (a/d > 6) 
 
 As vigas nesta categoria rompem por flexão geralmente antes do surgimento de fissuras 
inclinadas. 
 
b) viga esbelta (2,5 < a/d < 6) 
 
 Além das fissuras de flexão surgem também fissuras de flexão com influência da força 
cortante, isto é, fissuras que se iniciam verticais e depois se inclinam em direção ao banzo 
comprimido. Fissuras inclinadas devidas à força cortante podem propagar-se em direção ao topo e 
à base da viga, causar o escoamento das armaduras e separar a viga em duas partes, o que é 
chamado ruptura por tração diagonal (Figura 26). 
 
 
Figura 26 – Ruptura por tração diagonal (ACI-ASCE 426, 1973). 
 
 
c) viga curta (1 < a/d < 2,5) 
 
Uma fissura inclinada pode propagar-se pela armadura longitudinal, causando perda de 
aderência entre as barras longitudinais e o concreto, que escorrega e leva à ruptura da ancoragem 
(Figura 27). Não ocorrendo falha da aderência pode ocorrer ruptura por esmagamento do concreto 
comprimido do banzo superior, devido ao prolongamento da fissura inclinada em direção ao topo 
da viga, que diminui a área do banzo (Figura 28). 
 
 
Figura 27 – Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas. 
(ACI-ASCE 426, 1973). 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
26
 
Figura 28 – Ruptura por escorregamento das barras longitudinais tracionadas. 
(ACI-ASCE 426, 1973). 
 
 
d) viga muito curta (a/d < 1) 
 
As fissuras inclinadas ocorrem ao longo da linha entre o apoio e o ponto de aplicação da 
carga. Nas vigas-paredes classificadas nessa categoria uma parcela significativa da força cortante 
é transferida ao apoio por ação de arco, como indicado na Figura 29. Há várias formasde ruptura: 
1) da ancoragem da armadura longitudinal de tração; 
2) esmagamento do concreto próximo e acima do apoio; 
3) flexão – por esmagamento do concreto do banzo comprimido ou por escoamento da 
armadura de tração; 
4) tração na borda superior acima do arco de compressão; 
5) esmagamento do concreto que forma a ação de arco. 
 
 
Figura 29 – Modelos de ruptura em vigas curtas (vigas-paredes), (ACI-ASCE 426, 1973). 
 
 
e) viga I 
 
Vigas de seção transversal em forma de I têm tensão de cisalhamento na alma muito 
superiores às vigas retangulares, e por isso a ruptura mais comum é aquela por esmagamento do 
concreto nas diagonais comprimidas entre as fissuras (ruptura das bielas de compressão) - Figura 
30. Os outros modos de ruptura já descritos para vigas retangulares podem também ocorrer. 
 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
27
 
Figura 30 – Ruptura de vigas seção I (ACI-ASCE 426, 1973). 
 
 
8. COMPORTAMENTO DE VIGAS COM ARMADURA TRANSVERSAL 
 
A existência de armadura transversal modifica consideravelmente o comportamento das 
vigas após o surgimento das fissuras inclinadas. Ao ser interceptado por uma fissura o estribo faz 
a ponte de transferência das tensões de tração entre os lados da fissura, e ao atingir a tensão fy o 
aço do estribo escoa. Ainda existe um ganho de resistência proporcionado principalmente pelo 
atrito entre as superfícies nas fissuras. Os estribos, ao continuarem escoando, proporcionam uma 
ruptura dúctil. 
Em vigas com altas taxas de armadura transversal a ruptura pode ocorrer devido ao 
esmagamento do concreto comprimido das diagonais inclinadas, principalmente vigas de seção I. 
Após a formação de fissuras inclinadas uma parte da força cortante passa a ser transferida pela 
armadura transversal. Quando essa armadura passa a escoar qualquer força cortante adicional 
deve ser transferida pelos mecanismos já citados. Quando a fissura tem a abertura aumentada o 
atrito nas interfaces diminui, o que causa um aumento de força transferida pelo concreto do banzo 
comprimido e pela ação de pino, até que rompe a ação de pino ou o concreto comprimido esmaga. 
 
8.1 Função do Estribo 
 
A colocação de estribos nas vigas tem três funções básicas: 
a) resistir à parte da força cortante; 
b) restringir o crescimento da abertura das fissuras, o que ajuda a manter o atrito entre as 
interfaces na fissura; 
c) aumentar a ação de pino das barras longitudinais. 
 
Além disso, os estribos proporcionam uma pequena resistência por ação de pino nas 
fissuras e aumentam a resistência da zona comprimida de concreto pelo confinamento que 
promovem. 
A Figura 31 mostra a atuação ou trabalho desenvolvido pelo estribo vertical na analogia de 
treliça, para uma viga com tração na fibra inferior. No nó inferior o estribo entrelaça a armadura 
longitudinal tracionada e no nó superior o estribo ancora-se no concreto comprimido e na 
armadura longitudinal superior. 
As bielas de compressão se apóiam nas barras da armadura longitudinal inferior, no trecho 
final dos ramos verticais dos estribos e nos seus ramos horizontais, principalmente na intersecção 
do estribo com as barras longitudinais. 
O ramo horizontal inferior dos estribos é importante porque, além de servir de apoio às 
bielas, também atua para equilibrar as tensões de tração oriundas da inclinação transversal das 
bielas diagonais, como indicado na Figura 31III e IV. 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
28
Na Figura 31II mostra-se o apoio da biela na intersecção do estribo com a barra 
longitudinal inferior, e o acréscimo de tensão ∆σs na armadura longitudinal, entre um estribo e 
outro e proveniente da atuação da tensão de aderência τb , entre a barra e o concreto. 
 
 
Figura 31 – Atuação do estribo no modelo de treliça (FUSCO, 2000). 
 
 
No nó superior os estribos se ancoram no concreto comprimido, e nas barras longitudinais 
aí posicionadas. Barras porta-estribos também atuam para evitar o fendilhamento, que pode ser 
provocado pelo gancho do estribo ao aplicar tensões de tração num pequeno volume de concreto. 
O ramo horizontal superior do estribo não é obrigatório, porém, sua disposição é indicada 
para o posicionamento de barras longitudinais internas e para resistir a esforços secundários que 
geralmente ocorrem. 
Vigas largas, com larguras maiores que aproximadamente 40 cm, devem ter estribos com 
mais de dois ramos verticais, sendo muito comum o uso de estribos com quatro ramos, que 
oferece a vantagem de ser montado sobrepondo-se dois estribos idênticos de dois ramos. No caso 
do estribo com três ramos é colocada uma barra adicional no espaço entre os ramos de um estribo 
convencional com dois ramos (Figura 32). 
 
 
Figura 32 – Estribos com três e com quatro ramos verticais. 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
29
8.2 Modos de Ruptura 
 
As formas de ruptura de vigas por efeito de força cortante também foram estudadas por 
LEONHARDT e MÖNNIG (1982), e são descritas a seguir. 
 Quando as tensões principais de tração inclinadas σI alcançam a resistência do concreto à 
tração, surgem as primeiras fissuras devidas à força cortante, perpendiculares à direção de σI , 
como mostrado anteriormente. À medida que as fissuras vão surgindo ocorre uma redistribuição 
dos esforços internos, e a armadura transversal e as diagonais comprimidas passam então a 
“trabalhar” de maneira mais efetiva. A redistribuição de esforços depende da quantidade e da 
direção da armadura transversal, o que leva a diversos tipos de ruptura por força cortante. 
 Com o aumento do carregamento as fissuras de flexão na região de maiores forças 
cortantes propagam-se com trajetória inclinada, dando origem às chamadas fissuras de flexão com 
cortante. Se a armadura transversal for insuficiente, o aço atinge a deformação de início de 
escoamento (εy). As fissuras inclinadas por efeito da força cortante próximas ao apoio 
desenvolvem-se rapidamente em direção ao banzo comprimido, diminuindo a sua seção resistente, 
que por fim pode se romper bruscamente (Figura 33). A total falta de armadura transversal 
também pode levar a esta forma de ruptura. A fissura propaga-se também pela armadura 
longitudinal de tração nas proximidades do apoio, separando-a do restante da viga (Figura 33). 
 
 
Figura 33 – Ruptura de viga e laje por rompimento do banzo superior comprimido de concreto. 
(LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
 
 
 Pode também ocorrer o rompimento dos estribos, antes da ruptura do banzo comprimido, 
ou a ruptura na ligação das diagonais comprimidas com o banzo comprimido. A Figura 34 mostra 
a ruptura que pode ocorrer por rompimento ou deformação excessiva dos estribos. 
 
 
Figura 34 – Ruína da viga por rompimento dos estribos (LEONHARDT e MÖNNIG, 1982). 
1309–Estruturas de Concreto II – Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado à Força Cortante 
 
UNESP (Bauru/SP) – Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos Bastos 
 
30
Em seções com banzos reforçados, como seções I, que possuam armaduras longitudinal e 
transversal reforçadas, formam-se muitas fissuras inclinadas, e as bielas de compressão entre as 
fissuras podem romper de maneira brusca ao atingir a resistência do concreto à compressão. Tal 
ruptura ocorre quando as diagonais são solicitadas além do limite da resistência do concreto, antes 
que a armadura transversal entre em escoamento (Figura 35). 
As bielas de compressão delimitam o limite superior da resistência das vigas ao esforço 
cortante, o que depende