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Flexão_Composta

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Flexão Flexão 
CompostaComposta
ƒA flexão composta é a ação combinada de 
força normal e momentos fletores
ƒOs momentos fletores podem decorrer da 
excentricidade, com relação ao eixo do 
elemento, de força atuando na direção 
longitudinal
Tipos de Flexão 
Composta
1. Flexão Composta Reta
Ação combinada de força normal e apenas 
um momento fletor, em relação ao eixo z (Mz) 
ou em relação ao eixo y (My).
2. Flexão Composta Oblíqua
Ação combinada de força normal e dois 
momentos fletores, em relação ao eixo z (Mz) 
e em relação ao eixo y (My).
Seção S
• Tensão normal relativa à força normal
A
N
x =σ
• Tensão normal relativa a Mz
Seção S
Linha neutra (L.N.)a lugar geométrico dos pontos onde σx = 0
Neste caso, a L.N. coincide com o eixo z que passa pelo 
centróide da seção
y
I
M
z
z
x =σ
• Tensão normal relativa a My
Seção S
z
I
M
y
y
x −=σ
Neste caso, a L.N. coincide com o eixo y que passa
pelo centróide da seção
Estudo da Flexão 
Composta
Na prática, a flexão composta ocorre freqüentemente em 
pilares, em vigas protendidas, em muros de arrimo, etc.
O estudo da flexão composta deve ser feito com todas 
as cargas reduzidas ao centróide da seção transversal. 
Portanto,
e
F
N
M=F e
1- Pilares
Tem-se então:
Flexão Composta Reta 
N e Mz
• Carga longitudinal aplicada
sobre o eixo y F
• Carga longitudinal aplicada
sobre o eixo z
Tem-se então:
Flexão Composta Reta 
N e My
F
• Carga longitudinal aplicada fora dos
dois eixos
Tem-se então:
Flexão Composta Oblíqua 
N , Mz e My
F
2 - Viga Protendida
Flexão Composta Reta 
N e Mz
Exercícios Resolvidos
1. Traçar diagrama de σx para uma 
seção do pilar, admitindo-se e=20,0 cm
x z
y e
80 cm
80 cm
z
y
4000kN
Resolução:
1. Características da seção:
410
33
1041,3
12
800800
12
mmhbIz ×=×=×=
NkNN 61044000 ×−=−=
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
2310640800800 mmhbA ×=×=×=
eFM z ×−=
NmmMz
66 10800200104 ×−=××−=
3. Equação da Tensão Normal (σx):
( ) yy
I
M
A
N
x
z
z
x 10
6
3
6
1041,3
10800
10640
104
×
×−+×
×−=⇒+= σσ
yx 02344,025,6 −−=⇒σ
Analisando essa equação, observa-se que σx só
depende de y.
y = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
até o eixo z que passa pelo centróide da seção 
4. Cálculo da Tensão Normal (σx):
• Para y = +400mm, tem-se:
( )40002344,025,6 +×−−=xσ
MPax 63,15−=σ
• Para y = -400mm, tem-se:
( )40002344,025,6 −×−−=xσ
MPax 13,3+=σ
+400mm
Z
-400mm
Y
5. Posição da Linha Neutra:
Como a linha neutra é o lugar geométrico dos pontos 
onde σx= 0, tem-se que:
002344,025,6 =−−= yxσ
mmy 1,267−=∴
z
y
L.N.
mm,1267−
6. Diagrama de Tensão Normal (σx):
-15,61MPa
-15,61MPa
-15,61MPa
+3,11MPa
+3,11MPa
+3,11MPa
L.N.
ou
2. Traçar diagrama de σx para uma 
seção do pilar
x z
y 6 cm
25 cm
20 cm
z
y
950kN
5 cm
Resolução:
1. Características da seção:
46
33
104,260
12
250200
12
mm
hbIz
×
=×=×=
24105200250 mmhbA ×=×=×=
6 cm
25 cm
20 cm
z
y
5 cm
46
33
107,166
12
250200
12
mm
hbIy
×
=×=×=
NkNN 310950950 ×−=−=
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
zz eFM ×−=
NmmMz
63 10576010950 ×−=××−=
yy eFM ×=
NmmM y
63 105,475010950 ×+=××+=
3. Equação da Tensão Normal (σx):
z
I
M
y
I
M
A
N
y
y
z
z
x −+=σ
zyx 285,0219,019 −−−=⇒σ
zyx 6
6
6
6
4
3
107,166
105,47
104,260
1057
105
10950
×
×−×
×−×
×−=σ
Analisando a equação da tensão normal, observa-se 
que σx depende de y e de z.
y = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
até o eixo z que passa pelo centróide da seção 
z = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
até o eixo y que passa pelo centróide da seção 
4. Cálculo da Tensão Normal (σx):
• Para y = +125mm e
z = +100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 +−+×−−=xσ
MPax 88,74−=σ
• Para y = +125mm e
z = -100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 −−+×−−=xσ
MPax 88,17−=σ
z
y
125mm125mm
100m
m
100m
m
• Para y = -125mm e
z = +100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 +−−×−−=xσ
MPax 13,20−=σ
• Para y = -125mm e
z = -100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 −−−×−−=xσ
MPax 88,36+=σ
z
y
125mm125mm
100m
m
100m
m
5. Posição da Linha Neutra:
Como a linha neutra é o lugar geométrico dos pontos 
onde σx= 0, tem-se que:
0285,0219,019 =−−−= zyxσ
mmzy 7,660 −=⇒=∴
mmyz 8,860 −=⇒=∴
6. Diagrama de Tensão Normal (σx):
L.N.
+36,88MPa
-17,88MPa
-74,88MPa
-20,13MPa
L.N.
+36,88MPa
-74,88MPa
z
y

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