Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO (SEGUNDO SEMESTRE DE 2010) Disciplina – Concreto Armado II Prof. Sandra Denise Kruger Alves sandra_kruger@joinville.udesc.br fone: (47) 4009-7936/7992 2 1 INTRODUÇÃO 1.1 DENOMINAÇÃO E CARGAS Pilar é um elemento linear de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes. A principal função de um pilar é conduzir as ações atuantes até as fundações, e, junto com as vigas formar os pórticos que são os responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais, proporcionando rigidez e garantindo a estabilidade global da estrutura. No caso de lajes planas, onde não existem vigas, as cargas atuantes nas lajes são transmitidas diretamente para os pilares, devendo-se tomar cuidados com a verificação da punção. As solicitações são representadas pelas reações verticais das vigas dos pavimentos, pelo peso próprio e pelo momento fletor devido a alguns fatores como efeito de pórtico, posição excêntrica de alguma viga, consideração do vento, efeitos de segunda ordem, etc. Para edifícios com vários andares, obtém-se para cada pilar e no nível de cada andar, o subtotal de carga atuante, desde a cobertura até os andares inferiores. Essas cargas, no nível de cada andar, são utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar, e a carga total é usada no projeto da fundação. De um modo geral, o dimensionamento de um pilar deve garantir a resistência e a estabilidade da peça. As seções transversais dos pilares são formadas pelo concreto (material com boa resistência à compressão) e pela armadura longitudinal e transversal. A armadura posicionada na direção da compressão (armadura longitudinal) tem a função de diminuir as deformações da peça, especialmente devido à deformação lenta e à retração do concreto, além de contribuir para absorver as forças atuantes. A armadura transversal (perpendicular à direção da compressão) tem a função de garantir as barras comprimidas contra a flambagem e manter a posição destas barras durante a concretagem do pilar, além de impedir a fissuração do concreto, pois geralmente ocorre tração na direção transversal à compressão. Em edifícios, a seção transversal pode variar ao longo da altura do edifício, sendo que a tendência atual, por motivos construtivos, é de manter a seção transversal (concreto) do pilar constante ao longo de toda a altura, variando-se apenas a armadura. Como normalmente, o momento fletor troca de sentido ao longo de um lance de pilar, e por esse motivo utiliza-se a disposição simétrica da armadura longitudinal na seção transversal. 1.2 PILAR PAREDE Denomina-se pilar-parede um elemento de superfície plana, usualmente disposto na vertical e submetido preponderantemente à compressão, podendo ser composto por uma ou mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em algumas destas superfícies, a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal da peça. Deve-se lembrar que o dimensionamento de um pilar parede difere de um pilar convencional, o que não será estudado na disciplina de CAR-II. 3 1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES Normalmente, os pilares de edifícios podem ser agrupados em dois conjuntos, conforme a sua função em termos de resistência a esforços horizontais: pilares de contraventamento e pilares contraventados: a) pilares de contraventamento – são os pilares que, devido a sua grande rigidez, permitem considerar os diversos pisos do edifício como praticamente indeslocáveis. Normalmente, são constituídos pela caixa de elevador e por pilares devidamente enrigecidos e situados junto às extremidades do piso (pilares-parede, caixas de escadas), sendo que o cálculo destes pilares exige a consideração da estrutura como um todo, ou seja, o pilar a ser dimensionado deverá ser considerado como um único pilar desde o nível da fundação até a cobertura do edifício. PILAR: b 5/h≥ PILAR PAREDE: 5/hb < b h b h 4 b) pilares contraventados – são pilares com “rigidez menor”, onde as extremidades de cada lance podem ser consideradas praticamente indeslocáveis devido ao efeito conjunto dos pilares de contraventamento e das lajes de piso. O seu cálculo pode ser feito através da análise isolada de cada lance entre pisos. Conforme a posição dos pilares contraventados no piso, eles podem ser agrupados nos seguintes tipos, conforme figura a seguir: b.1) pilares internos ou intermediários – situados internamente ao piso, constituem os apoios internos das vigas, sendo a força normal (N) seu principal esforço solicitante. b.2) pilares de extremidade – geralmente situados nas bordas do piso, constituem os apoios de extremidade das vigas. Os esforços solicitantes são a força normal (N) e o momento fletor (M) atuando segundo o plano constituído pelo pilar e pela viga (efeito de pilar de extremidade), sendo este efeito normalmente substituído por um par (N, e i ). 5 b.3) pilares de canto – estão situados junto aos cantos do piso. Os esforços solicitantes são a força normal (N) e dois momentos fletores, atuando segundo os planos constituídos pelo pilar e cada uma das vigas apoiadas, ortogonais entre si (x e y), sendo este efeito normalmente substituído por um conjunto de valores (N, ixe e iye ) Os esforços que podem atuar num pilar podem ser devido a solicitações de compressão, flexão, esforço cortante e momento torsor, sendo que os dois últimos esforços são normalmente desprezados. A flexão pode ocorrer pela mudança no prumo dos pilares ou pelo momento causado pelas vigas, se for considerado que estas são solidárias com os pilares (efeito de pórtico). De modo geral, os pilares podem ser divididos em três grupos básicos, com metodologias próprias de dimensionamento, como pode ser observado na figura abaixo: 1.4 POSICIONAMENTO DOS PILARES Para a localização dos pilares, recomenda-se iniciar sempre pelos cantos da edificação e, a partir daí, pelas áreas que geralmente são comuns a todos os pavimentos (área de 6 elevadores e de escadas) e onde se localizam, na cobertura, a casa de máquinas e o reservatório superior. Em seguida, posicionam-se os pilares de extremidade e os pilares internos, buscando embuti-los nas paredes ou procurando respeitar as imposições do projeto de arquitetura. Sempre que possível, deve-se dispor os pilares de forma alinhada, a fim de formar pórticos com as vigas que os unem, que contribuirão significativamente na estabilidade global do edifício. Usualmente os pilares são dispostos de forma que resultem distâncias entre seus eixos da ordem de 4 m a 6 m, lembrando-se que distâncias muito grandes entre pilares produzem vigas com dimensões incompatíveis, acarretando maiores custos à construção (maiores seções transversais dos pilares, maiores taxas de armadura, dificuldades nas montagens da armação e das formas etc.). Por outro lado, pilares muito próximos podem acarretar interferência nos elementos de fundação e aumento do consumo de materiais e de mão-de-obra, afetando desfavoravelmente os custos. Posicionados os pilares no pavimento-tipo, deve-se verificar suas interferências nos demais pavimentos que compõem a edificação. Assim, por exemplo, deve-se verificar se o arranjo dos pilares fornece o número de vagas estipulado, permite a realização de manobras dos carros nos andares de garagem ou se não afetam as áreas sociais, tais como recepção, sala de estar, salão de jogos e de festas etc. Na impossibilidade de compatibilizar a distribuição dos pilares entre os diversos pavimentos, pode haver a necessidade de um pavimentode transição. Nesta situação, a prumada do pilar é alterada, empregando-se uma viga de transição, que recebe a carga do pilar superior e a transfere para o pilar inferior, na sua nova posição. Nos edifícios de muitos andares, devem ser evitadas grandes transições, pois os esforços na viga podem resultar exagerados, provocando aumento significativo de custos. 2 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS E PRESCRIÇÕES REGULAMENTARES A execução da armação de um pilar envolve diversas etapas, a saber: Na determinação e no detalhamento da armadura longitudinal e da armadura transversal de um pilar, deve-se respeitar algumas condições, que são: 7 2.1 DIMENSÕES MÍNIMAS PARA PILARES Para que não se tenha um desempenho inadequado, a seção transversal de um pilar não pode ser menor do que 360 2cm e não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Isto se deve ao fato de se ter um aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção, quando do uso de dimensões muito pequenas. Em casos especiais, permite-se usar um valor de no mínimo 12 cm desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional nγ , de acordo com a tabela abaixo, onde b representa a menor dimensão do pilar: bn 05,095,1 −=γ b ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 nγ 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 Desta forma, para um pilar de seção transversal 25x40 o esforço axial de compressão de cálculo seria kFd NN .γ= onde Fγ representa o coeficiente de majoração de cargas (características) visto na disciplina de Concreto Armado I, tomado normalmente com o valor de 1,4. Por outro lado, para um pilar de seção transversal 15x50, o esforço a considerar seria kd NN .4,1.2,1= Obs.: dependendo do recobrimento mínimo a ser recomendado em função da Classe de Agressividade Ambiental, tem-se que dimensões próximas de 12 cm são praticamente inviáveis de ser utilizadas. 2.2 COMPRIMENTO EQUIVALENTE DE UM PILAR Para um pilar, suposto vinculado em ambas as extremidades, o comprimento equivalente el do elemento isolado, é o menor dos seguintes valores: l hl le + ≤ 0 onde: 0l é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar; h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; 8 l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de el é lle 2= . Obs.: na determinação do comprimento equivalente, deve-se observar o conjunto de pilares e pisos, verificando se existe “travamento” ou não diferente nas duas direções dos eixos principais. Esta consideração é importante no caso de vigas situadas no patamar de escadas, normalmente colocadas no meio do pé direito. 2.3 COBRIMENTO DA ARMADURA DE UM PILAR Com vistas à proteção das armaduras e lembrando-se que o cobrimento nominal é o cobrimento mínimo acrescido de uma tolerância de execução ( )c∆ , a depender fundamentalmente da classe de agressividade ambiental, deve-se atender: Classe de agressividade I II III IV Cobrimento nominal (mm) 25 30 40 50 Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal deve também atender a condição de ser maior que o diâmetro da barra, e o diâmetro máximo do agregado utilizado deve ser: nomcd .2,1max ≤ Para garantir o cobrimento necessário, pode-se utilizar espaçadores, conforme figura a seguir: 9 2.4 DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão transversal: 8/10 bmm l ≤≤ φ 2.5 TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA PARA PILARES: Tendo sido determinada a armadura longitudinal de um pilar, deve-se verificar uma armadura mínima min sA : c yd d s Af N A %.4,015,0 min, ≥= onde cA representa a área de concreto da seção transversal do pilar. 2.6 TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MÁXIMA PARA PILARES: A maior armadura possível em pilares deve ser de 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. cs AA %8max, = Obs.: alguns autores consideram que uma taxa de armadura é econômica quando está entre 1% e 1,5%. 2.7 ARRANJO DA ARMADURA EM PILARES Em seções poligonais de um pilar, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice, e em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. 10 2.8 ESPAÇAMENTO ENTRE BARRAS LONGITUDINAIS 2.8.1 ESPAÇAMENTO MÍNIMO ENTRE BARRAS O espaçamento livre mínimo (a) entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: max.2,1 2 d cm a lφ≥ Estes valores também se aplicam às regiões de emendas por traspasse das barras (esperas). 2.8.2 ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE BARRAS O espaçamento máximo entre eixos das barras (a), ou de centros de feixes de barras, deve ser menor ou igual a 2 vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 40 cm. 11 ensãomenorvezes cm a dim2 40 ≤ Obs.: quando no plano de concretagem do pilar existir a previsão de adensamento através de abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. 2.9 ARMADURA TRANSVERSAL EM PILARES A armadura transversal de pilares deve ser constituída por estribos e algumas vezes por ganchos suplementares, devendo ser colocados em toda a altura do pilar, inclusive na região de cruzamento com vigas e lajes. Esta armadura deve garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais, garantir a costura das emendas de barras longitudinais e confinar o concreto, obtendo desta forma uma peça mais resistente ou dúctil. O diâmetro do estribo ( tφ , também conhecido como diâmetro transversal) em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a ¼ do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal: 4/ 4/ 5 feixe lt mm φ φφ ≥ O espaçamento longitudinal entre os estribos ( ts ), medido na direção do eixo do pilar, deve ser igual ao inferior ao menor dos seguintes valores: 25.25 50.12 dim 20 CAaçopara CAaçopara ltransversaseçãodaensãomenor cm s l l t φ φ≤ Observações: - em pilares com momentos nas extremidades (portanto, nos pilares em geral), e nos pré- moldados, LEONHARDT & MÖNNIG (1978) recomendam que se disponham, nas suas extremidades, 2 a 3 estribos com espaçamento igual a 4/2/ tt ses : 12 - por razões práticas, aconselha-se que para ≥lφ 16mm utilize-se os diâmetros de estribo sugeridos pela tabela a seguir: lφ (mm) tφ (mm) 10,0 e 12,5 5,0 16,0 e 20,0 6,3 25,0 e 32,0 8,0 45,0 10,0 - é importante também, que se tome cuidados durante a concretagem dos trechos de interseção dos pilares com as vigas que nelas se apoiam, por causa do acúmulo de armadura que aí se verifica; - pode ser adotado um valor de 4/lt φφ < desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a condição ykl t fs 1)..(90000 2 max φ φ = 2.10 PROTEÇÃO CONTRA FLAMBAGEM DAS BARRAS Para garantir que não haja problemas com flambagem das barras da armadura junto à superfície da peça, pode-se usar grampos ou estribos poligonais, sempre que as barras longitudinais estejam auma distância ≥ 20 tφ do canto, e desde que nesse trecho de comprimento 20 tφ não se tenha mais de duas barras, sem contar a do canto, onde tφ é o diâmetro da armadura transversal (estribo). 13 Observa-se que os ganchos devem atravessar a seção da peça e envolver a barra longitudinal e o estribo, devendo possuir o mesmo diâmetro e mesmo espaçamento do estribo. Para que não seja necessário detalhar os ganchos um a um, pode-se fazer um detalhe genérico dos mesmos em algum canto da folha de detalhamento dos pilares, colocando as informações acima. 2.11 ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS (ESPERAS) Para garantir a transferência de carga num determinado pilar entre pavimentos sucessivos, é necessário considerar um comprimento de ancoragem dado por: cm l A A ll b efets calcs bnecbc 20 15 6,0 ' , ' , , φ≥= Onde ' , ' , , efetscalcs AA - armadura longitudinal de compressão calculada e efetivamente usada ; e bd yd b f f l 4 φ = 14 sendo bdf a tensão última de aderência. Através de tabela abaixo, válida para o aço CA50 (vide a disciplina de CAR-I), tem-se que φ.Klb = sendo que os valores a serem adotados para K são: f ck (Mpa) 15 20 25 30 35 40 45 50 K 53 44 38 34 30 28 25 24 Obs.: para pilares, considera-se que a armadura longitudinal dos mesmos está sempre em zona de boa aderência. 2.12 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL Para efeito de pré-dimensionamento, a área da seção transversal pode ser estimada através da carga total prevista para o pilar. Por sua vez, esta carga pode ser estimada através da área de influência total do pilar em questão ( totA ). No caso de andares-tipo, ela equivale à área de influência em um andar multiplicada pelo número de andares existentes acima do lance considerado. Convém salientar que quanto maior for a uniformidade no alinhamento dos pilares e na distribuição dos vãos e das cargas, maior será a precisão dos resultados obtidos. Há que se salientar também que, em alguns casos, este processo pode levar a resultados muito imprecisos. A carga total média em edifícios ( medp ) varia de 10 kN/m2 a 12 kN/m2, podendo ainda ser considerada, para estruturas “leves”, um valor de 8 kN/m2. Portanto, tem-se: P medtottot pA .= Usualmente, a resistência admissível do concreto ( admσ ) pode variar entre 1 kN/cm2 a 1,5 kN/cm2. Assim, adm tot c P A σ ≅ . A partir de cA tem-se as dimensões da seção transversal do pilar, devendo-se respeitar os limites vistos no item 2.1 deste mesmo capítulo. Esta expressão fornece resultados bem adequados no caso de pilares internos ou de extremidade (na direção da maior dimensão). Porém, para pilares de extremidade considerados na direção da menor dimensão é interessante que se majore esta estimativa de cA em 10% e para pilares de canto em 30%. Desta forma, se leva em conta o efeito das excentricidades das cargas. 15 Para a carga devida ao pavimento de cobertura, pode-se considerar que esta carga é 70% da carga do pavimento tipo. Também, não se pode ignorar no pré-dimensionamento dos pilares a existência de caixa d’água superior, casa de máquina e outros equipamentos, devendo- se estimar os carregamentos gerados por eles nos pilares que os sustentam. A seção do pilar pode ser mantida constante ao longo de um lance (entre pisos consecutivos) ou pode variar ao longo de sua altura total. Esta variação pode ser feita a cada grupo de 3 andares, a critério do calculista. Quando, e esta é uma tendência em alguns centros, a seção for mantida constante ao longo da altura total, ela pode ser predimensionada no ponto mais carregado, adotando-se uma tensão admissível em torno de 1,3 kN/cm2. Em princípio, adotam-se para as dimensões do pilar, múltiplos de 5 cm (20 cm, 25 cm, etc), lembrando-se que no caso de se usar blocos de concreto, os mesmos apresentam medidas quaisquer (são bastante usados os blocos de base 14 cm ou 19 cm). Obs.: é também bastante comum que os calculistas façam um pré-dimensionamento da seção transversal do pilar dividindo-se a carga no pavimento considerado (através de área de influência) pela resistência de cálculo à compressão do concreto ( cdf ) 2.13 EXEMPLO DE DETALHAMENTO Os pilares podem ser detalhados de várias formas, sendo que o detalhamento deve apresentar a armadura longitudinal e transversal do pilar para o pavimento considerado, indicando-se a quantidade, a numeração, a bitola e o comprimento da armadura em questão. Para exemplo, vide o arquivo “EXEMPLO DETALHAMENTO PILARES” no link www.joinville.udesc.br/portal/professores/sandra. 2.14 OBSERVAÇÕES GERAIS - os blocos de fundação devem ser concretados antes do início da execução dos pilares, e por isto, toda a armadura do pilar é emendada no topo do bloco (armadura de arranque); a altura do bloco de fundação deve permitir a ancoragem por aderência da armadura de arranque, garantindo-se o comprimento necessário de emenda por traspasse às barras do primeiro tramo do pilar; normalmente, toma-se para armadura de arranque o mesmo valor da armadura calculada para o pavimento logo acima. No caso de sapatas, a depender da profundidade da mesma, é comum que se aumente o colarinho 2,5 cm para cada lado, e também se utilize a mesma armadura do pavimento logo acima. blh ≥ 16 - as emendas da armadura longitudinal de um pilar devem ser feitas acima da laje dos diferentes andares da construção; - quando não há mudança da seção transversal do pilar de um tramo ao seguinte, somente têm o comprimento necessário à emenda por traspasse as barras que efetivamente irão ter prolongamento no tramo superior; - quando há mudança da seção transversal do pilar, o comprimento para emenda por traspasse só é mantido nas barras que possam passar de um tramo a outro a despeito da mudança da seção de concreto. Quando o prolongamento da barra não é possível, empregam-se barras suplementares que funcionam como arranque para o prolongamento do pilar; emenda 4N 6 N 4 N 4N 17 - não se recomenda a emenda representada no desenho abaixo (detalhe chamado de “engarrafamento” da armadura): 3 DETERMINAÇÃO DAS EXCENTRICIDADES 3.1 EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM Diz-se que os esforços calculados a partir da geometria inicial (indeformada) da estrutura, são chamados efeitos de primeira ordem. As excentricidades de primeira ordem consideradas em um projeto estrutural são: - excentricidade inicial (que pode ser devido ao efeito de pórtico ou devido à posição da viga em relação aos eixos do pilar); - excentricidade acidental; - excentricidade suplementar. 3.1.1 EXCENTRICIDADE INICIAL ( ie ) a) EXCENTRICIDADE DE FORMA Em estruturas de edifícios, as posições das vigas e dos pilares na planta de formas do pavimento dependem basicamente do projeto arquitetônico. Assim, é comum em projetos a coincidência entre faces (internas ou externas) das vigas com as faces do pilares que as apóiam, surgindo assim pilares centrados, de extremidade ou de canto. 4N 4N 18 Quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção transversal do pilar, as reações das vigas apresentam excentricidades que são denominadas excentricidades de forma. As excentricidades de forma, em geral, não são consideradas no dimensionamento dos pilares, pelas razões apresentadas a seguir. A figura a seguir mostra as vigas V1 e V4 que se apoiam no pilar P1, com excentricidades de formaixe e iye , respectivamente. As tensões causadas pela reação da viga V1, pelo princípio de Saint-Venant, propagam-se com um ângulo de 45o e logo se uniformizam, distribuindo-se por toda a seção transversal do pilar em um plano qualquer P. 19 A excentricidade de forma provoca, no nível de cada andar, um momento fletor fyVToVTo eRM .11 = que tende a ser equilibrado por um binário. Na figura anterior, tem-se também representados esquematicamente os eixos dos pilares em vários tramos sucessivos, os momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os binários que os equilibram. Observa-se que, em cada piso, atuam pares de forças em sentidos contrários com valores da mesma ordem de grandeza e que, portanto, tendem a se anular. A rigor, apenas no nível da fundação e da cobertura, as excentricidades de forma deveriam ser levadas em conta. Entretanto, mesmo nesses níveis elas costumam ser desprezadas. No nível da fundação, sendo muito grande o valor da força normal proveniente dos andares superiores, o acréscimo de uma pequena excentricidade da reação da viga não afeta significativamente os resultados do dimensionamento. Já no nível da cobertura, os pilares são pouco solicitados e dispõem de armadura mínima, em geral, capaz de absorver os esforços adicionais causados pela excentricidade de forma. Obs.: em estruturas pré-moldadas, por exemplo, a consideração da excentricidade de forma (ou de posição) torna-se bastante importante. Também é muito importante no caso de mudança da dimensão da seção transversal, como pode ser visto na figura a seguir: b) EXCENTRICIDADE EM PILARES DE EXTREMIDADE – EFEITO DE PÓRTICO Em estruturas de edifícios de vários andares ocorre um monolitismo nas ligações entre vigas e pilares que compõem os pórticos de concreto armado. A excentricidade inicial, 20 oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles interrompidas, ocorre em pilares extremos e de canto, e o efeito é conhecido como efeito de pórtico. A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar, as excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas pelas expressões: N M e topo topoi =, e N M e basebasei =, Para vigas centradas no eixo do pilar, as solicitações iniciais de um pilar intermediário podem ser calculadas sem a consideração de momentos, sendo a solicitação inicial devido somente à força normal oriunda do carregamento aplicado, podendo-se considerar compressão centrada, dentro de certos critérios que serão vistos posteriormente. Por outro lado, um pilar de extremidade ou de canto deve ser obrigatoriamente calculado à flexão composta (normal ou oblíqua, dependendo do posicionamento das vigas), porque existe um engastamento parcial devido à consideração de nó de pórtico. Este engastamento é dito parcial porque a idade do concreto no nível “i” é diferente da idade do concreto no nível “i+1” ou “i-1”. Seja o seguinte esquema: Analisando-se esta figura, os momentos no nó do pórtico podem ser calculados por um modelo simplificado dado pela NBR 6118/2003: NIVEL i NIVEL i+1 L vig H H sup NIVEL i-1 21 Obs.: dependendo da condição, o apoio da extremidade oposta ao nó de pórtico poderá ser considerado um apoio simples ou um engaste. Para um esquema de viga/pilar de extremidade, os momentos fletores dos nós dos pilares extremos podem ser calculados pelas expressões: viga eng rrr r MM ++ = supinf inf inf viga eng rrr r MM ++ = supinf sup sup viga engvig rrr rr MM ++ + = supinf infsup onde infr - índice de rigidez do pilar inferior: 2/inf inf inf L I r = supr - índice de rigidez do pilar superior: 2/sup sup sup L I r = vigr - índice de rigidez da viga: 22 vig vig vig L I r = infsup , II - momento de inércia, na direção considerada, dos pilares superior e inferior; vigI - momento de inércia da viga; infsup , LL - altura do pilar superior e inferior; vigL - vão da viga; engM - momento de engastamento perfeito da viga, de acordo com o carregamento e condições de apoio consideradas (viga bi-engastada ou viga engastada-apoiada). Este valor pode ser tomado pelas tabelas 28 e 28A , da disciplina de Teoria das Estruturas II. Tabela 28 Tabela 28A Das fórmulas anteriores, observa-se que para as vigas apoiadas em pilares extremos, deve-se considerar o momento de engastamento parcial ( vigM ), devido ao efeito de pórtico existente após a concretagem de um determinado piso. Como já foi dito anteriormente, diz-se que o engastamento é parcial, porque o concreto do nível “i” tem idade diferente do concreto do nível “i+1” ou do nível “i-1”, não havendo, portanto, um engastamento total. Observa-se também que para as extremidades opostas de um pilar extremo surgem momentos ditos no topo e na base, e como conseqüência surgem também excentricidades devido ao efeito de pórtico no topo e na base destes pilares: N M e topo topo = N M e basebase = Para o cálculo dos momentos fletores é indispensável um prévio conhecimento da seção transversal do pilar, devendo-se analisar corretamente a direção em que se deve analisar M topo M base 23 o efeito de pórtico, tomando-se os devidos cuidados quando existir mudança de rigidez ou de altura de um pavimento a outro. Como conclusão final, pode-se dizer que independente da posição das vigas em relação aos eixos principais dos pilares, um pilar de extremidade vai ser um caso de flexão composta normal (efeito de pórtico numa só direção), e um pilar de canto vai ser um caso de flexão composta oblíqua (efeito de pórtico em duas direções). Obs.: segundo apostila do prof. Libânio (São Carlos), os momentos de engastamento deveriam ser multiplicados pelos seguintes valores, a fim de uma melhor aproximação com a situação real: 3.1.2 EXCENTRICIDADE ACIDENTAL ( ae ) Devido às incertezas relativas à posição real de aplicação de um esforço normal, e devido a um possível desvio do eixo da peça durante a construção (em relação à posição prevista no projeto), a NBR 6118/78 considerava um valor de excentricidade acidental igual a h/30 e não menor que 2 cm na direção considerada. Segundo alguns pesquisadores, este valor absoluto de 2 cm poderia resultar em uma excentricidade acidental muito exagerada em pilares de pequenas dimensões (em torno de 20 a 30 cm). A nova NBR 6118/2003 considera as imperfeições geométricas do eixo das peças da estrutura descarregada, sendo elas divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. De uma forma genérica, as construções de concreto são geometricamente imperfeitas, uma vez que existem imperfeições na posição e na forma dos eixos dos elementos, na forma e nas dimensões da seção transversal, na distribuição da armadura, etc. Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação (minoração das resistências, majoração dos esforços), mas as imperfeições dos eixos das peças não, pois podem ter efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. Na análise global das estruturas reticuladas, contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme a figura a seguir: 24 2 /11 1 n a + = θθ l100 1 1 =θ min1θ≥ onde: l – altura total da edificação (em metros); n – número totalde elementos verticais contínuos (número de prumadas); =min1θ 1/400 para estruturas de nós fixos ou 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; =max1θ 1/200. Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável (o que provoca o maior momento total na base da construção). Na análise local de elementos de estruturas reticuladas, devem também ser levados em conta os efeitos de imperfeições geométricas locais. Para a verificação de somente um lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar, conforme figura abaixo: 25 Admite-se que, nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade seja suficiente. Assim, a excentricidade acidental pode ser obtida pela expressão: 2/.1 lea θ= No caso de elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado, conforme figura anterior. No caso de pilares em balanço, como torres e pilares de galpões, é mais indicado que se considere o desaprumo, ou seja: lea .1θ= 3.1.3 EXCENTRICIDADE SUPLEMENTAR ( ce ) A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluência, sendo que sua consideração deve ser obrigatória em pilares com índice de esbeltez maior que 90, consideração esta que é bastante complexa, e que não será estudada na disciplina de CAR-II. A expressão aproximada da excentricidade suplementar é dada pela fórmula a seguir, sendo que o índice “c” diz respeito a creep (fluência, em inglês): − += − 1718,2 . Sge Sg NN N a Sg Sg c eN M e ϕ Tem-se que: 2 ..10 e cci e l IE N = é a força de flambagem de Euler; SgSg NM , - esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente de carregamento; ae - excentricidade acidental devida às imperfeições locais; ϕ - coeficiente de fluência; ciE - módulo de elasticidade inicial do concreto, dado por 26 3/2.5600 ckci fE = (Mpa); cI - momento de inércia no estádio I (não fissurado); el - comprimento equivalente do pilar. Devido a sua complexidade, este assunto não será abordado nesta disciplina, uma vez que seria necessário se levar em conta o tempo de duração de cada ação, ou seja, deveria-se conhecer o histórico de aplicação de cada ação. 3.1.4 COMPOSIÇÃO DA EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM Tendo sido determinadas, conforme o caso de solicitação, a excentricidade inicial e acidental (devido aos efeitos de imperfeições locais), e também, no caso do índice de esbeltez ser maior que 90 a excentricidade suplementar, define-se a excentricidade de primeira ordem como sendo cai eeee ++=1 De maneira análoga, define-se como momento de primeira ordem: 11 .eNM dd = O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de primeira ordem dado por: )03,0015,0(min,1 hNM dd += onde h representa a altura total da seção transversal na direção considerada (em metros). Deve-se então comparar e verificar: ≥dM 1 min,1dM De uma outra forma, pode-se dizer que existe uma excentricidade inicial de primeira ordem mínima, que vale: hcme %35,1min,1 += � cm Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente. 27 Deve-se salientar que as expressões dadas anteriormente estão quase que inteiramente baseadas nas recomendações do EUROCODE 2 (1992) e no Código Modelo CEB- FIP (1990). Uma outra observação importante, é que não existem na prática, pilares com carga final normal centrada, uma vez que mesmo para os pilares centrais, com carga axial supostamente centrada, é necessário observar o momento mínimo de 1a ordem atuando na “direção mais fraca”, a fim de considerar a excentricidade acidental. 3.2 INSTABILIDADE E EXCENTRICIDADES DE SEGUNDA ORDEM Diz-se que uma estrutura de concreto armado atingiu o estado limite de instabilidade, se ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações, há elementos submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitação. No nosso estudo, serão apenas consideradas estruturas sem imperfeições geométricas iniciais, onde, para casos especiais de carregamento ocorre a perda da estabilidade por bifurcação do equilíbrio, efeito também conhecido por flambagem. Um efeito de 2a ordem deve ser somado àqueles obtidos numa análise de primeira ordem, ou seja, quando se estuda o equilíbrio da estrutura numa configuração geométrica inicial (indeformada). Este efeito pode ser desprezado sempre que não represente um acréscimo superior a 10% nas reações e principais solicitações da estrutura. Como princípio básico, deve-se assegurar que para a pior situação de carregamento, não ocorra perda de estabilidade e nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo. A consideração dos efeitos de 2a ordem conduz a não linearidade entre as ações e deformações. Esta não linearidade, devido a sua origem, é chamada de não linearidade geométrica. A consideração da fissuração e fluência do concreto, também conduz a uma não linearidade (entre ações e deformações) chamada neste caso de não linearidade física. 3.2.1 ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E DE NÓS MÓVEIS Quando as estruturas são submetidas às ações verticais e horizontais, seus nós deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são denominados de efeitos globais de 2a ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2a ordem, que afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo dessas barras. Se formos considerar a rigor o comportamento real das estruturas, pode-se dizer que todas são deslocáveis, mas que para simplificação da análise, pode-se classificá-las em: - estruturas de nós fixos – são aquelas onde os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1a ordem), e por decorrência, os efeitos globais de 2a ordem são desprezíveis, bastando considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem. Na disciplina de CAR-II, só serão consideradas estruturas de nós fixos; - estruturas de nós móveis – são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1a ordem), e portanto, os efeitos globais de 2a ordem são importantes, devendo-se considerar obrigatoriamente tanto os esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados. 28 Obs.: existem estruturas, como postes, certos pilares de pontes e de galpões industriais, em que os deslocamentos horizontais são grandes, mas os efeitos de 2a ordem podem ser desprezados em virtude das cargas verticais serem pequenas e, portanto, os deslocamentos produzidos por elas também serem pequenos. Mas como saber se uma estrutura pode ser considerada de nós fixos? Para responder a esta pergunta, a NBR6118/2003 considera um parâmetro de instabilidade α , e considera que uma determinada estrutura pode ser considerada de nós fixos se este parâmetro de instabilidade for menor que um valor 1α : ccs k tot IE N H=α <α 1 ⇒nós fixos sendo: se n 3≤ � n1,02,01 +=α se n 4≥ : 7,01=α para contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede; 6,01 =α para associações de pilares-parede e pórticos; 5,01 =α quando só houver pórticos. onde: n – número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; totH - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; kN - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de totH ), com seu valor característico; ccs IE - somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão ccs IE de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo. O valor de I c deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma: - calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal, considerando-se a associação de todos os pórticos que participam dessa estrutura de contraventamento. Essa associação entre os pórticos é possível porque, como as lajes possuem rigidez “infinita” no plano horizontal, elas permitem que os pórticos e paredes trabalhem de modo conjunto para resistir às ações horizontais. Para representar as lajes fazendo a associação entre os pórticos, utilizam-se barras bi-articuladas, com área “infinita”; 29 - calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura H tot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo. Seja o exemplo a seguir: Conhecendo-se o valor do deslocamento a, pode-se determinar o valor da rigidez do pilar equivalente por meio da expressão abaixo: Ainda, lembrando-se da disciplina de CAR-I, tem-se que: cics ckci EE MPafE 85,0 )(5600 = = 30 Deve-se lembrar que sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem. Também, é importante destacar que um edifício pode ter um comportamento de nós fixos em uma direção e ter um comportamento de nós móveis na outra. 3.2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO À ESBELTEZ Os pilares podem ser classificados com relação às solicitações iniciais e com relação à sua esbeltez. Como já foi dito anteriormente, de acordo com a posição que ocupam na estrutura e, principalmente, com os esforços solicitantes iniciais, os pilares podem ser classificados em pilares intermediários, de extremidade e de canto. De acordo com o índice de esbeltez )(λ , os pilares podem ser classificados comparativamente a um índice de esbeltez limite )( 1λ como sendo: - pilares pouco esbeltos: 1λλ ≤ ; - pilares de esbeltez média ou pilares robustos: 901 ≤< λλ ; - pilares esbeltos ou muito esbeltos: 14090 ≤< λ ; - pilares excessivamente esbeltos: 200140 ≤< λ Não se admite, em nenhum caso, pilares com índice de esbeltez superior a 200. Esta regra não precisa ser aplicada no case de postes com uma força normal menor que Af cd10,0 . Obs.: para pilares esbeltos ou excessivamente esbeltos, deve-se levar em conta o efeito da fluência através da consideração da excentricidade suplementar, uma vez que 90>λ . 3.2.3 DETERMINAÇÃO DO ÍNDICE DE ESBELTEZ (λ ) Quando uma estrutura é considerada como de nós fixos pode-se considerar cada elemento estrutural isoladamente, com vínculo aos demais elementos através das extremidades, dispensando-se apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem. Para determinação do comprimento equivalente el (ou comprimento de flambagem) do elemento isolado, deve-se utilizar o procedimento visto no item 2.2, onde l hl le + ≤ 0 O índice de esbeltez é definido pela expressão i le =λ 31 onde: el - comprimento equivalente do elemento isolado. i - raio de giração mínimo da seção bruta de concreto: A Ii = Considerando-se o coeficiente de forma “c” (ou coeficiente de Euler), tem-se que a expressão do índice de esbeltez pode ser escrita como: h l c e=λ onde se tem: h – menor dimensão da peça na direção em que é considerada a flambagem; c = 3,46 (seção retangular); c = 3,74 (seção hexagonal); c = 3,89 (seção octogonal); c = 4,00 (seção circular). Deve-se lembrar que índice de esbeltez deve ser calculado separadamente para cada direção. Cuidados especiais também devem ser tomados no caso de haver vigas que “travem” um determinado pilar numa determinada direção, como por exemplo, em pilares da caixa de escada. 3.2.4 DETERMINAÇÃO DO ÍNDICE DE ESBELTEZ LIMITE ( 1λ ) Pela NBR6118/2003, os esforços locais de 2a ordem podem ser desprezados sempre que λ < 1λ onde 1λ representa um valor limite do índice de esbeltez, que depende de diversos fatores, entre os quais a excentricidade relativa de 1a ordem he /1 , a vinculação dos extremos da coluna isolada e a forma do diagrama de momentos de 1a ordem. O valor de 1λ pode ser calculado pela expressão: b he α λ )/.5,1225( 11 + = com a limitação de que 32 9035 1 ≤≤ λ sendo 1e a excentricidade de 1 a ordem (não inclui a excentricidade acidental). A NBR 6118/2003 não deixa claro como se adota este valor. Na dúvida, pode-se admitir, no cálculo da esbeltez limite ( 1λ ), uma excentricidade de primeira ordem (sem a excentricidade acidental), igual ao menor valor no trecho considerado. Ou então, para pilares usuais de edifícios, vinculados nas duas extremidades, e na falta de um critério mais específico, é razoável considerar 01 =e . O valor de bα pode ser obtido considerando-se: a) se o pilar for biapoiado sem cargas transversais: A B b M M40,060,0 +=α com 0,14,0 ≤≤ Bα b) se o pilar for biapoiado com cargas transversais significativas ao longo da altura: 0,1=bα Nas fórmulas anteriores, os momentos de 1a ordem AM e BM são os momentos nos extremos do pilar, tomando-se para AM o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado, e tomando-se para BM o sinal positivo se tracionar a mesma face que AM e negativo em caso contrário. c) se o pilar for em balanço: - + M B M A M B M A + 33 A C b M M 20,080,0 +=α com 0,185,0 ≤≤ Bα onde AM é o momento de 1a ordem no engaste, e CM é o momento de 1a ordem no meio do pilar em balanço. d) se o pilar for biapoiado ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo (como por exemplo na compressão simples): 0,1=bα O momento mínimo total de primeira ordem já foi definido anteriormente, e sua expressão é: )03,0015,0(min,1 hNM dd += com h em metros. Obs.: considerando que 351 ≥λ , conclui-se que independentemente do caso de dimensionamento, sempre que o pilar possuir índice de esbeltez menor do que 35 não é necessário considerar a excentricidade de segunda ordem. 3.2.5 EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM A força normal atuante em um pilar, sob as excentricidades de primeira ordem (inicial, acidental e suplementar, quando for o caso), provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade, denominada excentricidade de segunda ordem. A excentricidade de segunda ordem deve ser sempre calculada quando 1λλ > .A determinação dos efeitos locais de segunda ordem, em barras submetidas à flexo- compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. O método N d e 1 R e 2 R 34 geral deve ser obrigatoriamente utilizado para 140>λ e será aqui apresentado de forma bastante simplificada. Dos métodos aproximados mais importantes, tem-se o método do pilar padrão com curvatura aproximada e o método do pilar padrão com rigidez κ (capa) aproximada. 3.2.5.1 MÉTODO GERAL O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que se dá o aumento do carregamento ou de sua excentricidade. É aplicável a qualquer tipo de pilar, inclusive nos casos em que a dimensão da peça, a armadura ou a força aplicada são variáveis ao longo do seu comprimento. A utilização desse método se justifica pela qualidade dos seus resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura, pois considera a não linearidade geométrica, de maneira bastante precisa. Considere-se o pilar da figura abaixo, engastado na base e livre no topo, sujeito à força excêntrica de compressão dN : Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua vez, gera nas seções um momento incremental yN d . , provocando novas deformações e novos momentos: 35 Se as ações externas ( dd MeN ) forem menores que a capacidade resistente da barra, essa interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra. Tem-se, portanto, uma forma fletida estável (figura a). Caso contrário, se as ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade (figura b). A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável. A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada estável: O valor da flecha é “a”, com equilíbrio alcançado entre esforços internos e externos, sendo respeitada a compatibilidade entre curvaturas, deformações e posições da linha neutra, bem como as equações constitutivas dos materiais e sem haver, na seção crítica, deformação convencional de ruptura do concreto ou deformação plástica excessiva do aço. A utilização do método geral é bastante complexa, principalmente em função do desconhecimento prévio da deformação da barra, cuja deformada depende de muitas aplicações de relação momento-curvatura, com um número muito grande de iterações. O cálculo manual se torna absolutamente inviável, fazendo com que se deva utilizar recursos computacionais com programas especializados, como por exemplo, o processo das diferenças finitas, o processo de Engesser-Vianello ou o processo da integração das curvaturas. 3.2.5.2 MÉTODO DO PILAR PADRÃO Como o método geral é extremamente trabalhoso, tendo em vista o número muito grande de operações matemáticas, torna-se inviável a utilização desse método sem o auxílio do computador. A NBR 6118:2003 permite a utilização de alguns métodos simplificados, como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são relativas às não-linearidade física e geométrica. Por definição, pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua extremidade livre uma flecha “a” dada por: 36 base e base r l r l a = = 1 . 10 .4,0 22 A elástica do pilar é admitida como sendo de forma senoidal: sendo −= x l ay .sen. pi Daí: −= x ll ay .cos.'´ pipi e = x ll ay .sen. 2 '' pipi Como 2 21 dx yd r ≅ tem-se para a seção média: ( ) 22/'' 2/ . 1 == = = l ay r lx lx pi Para pilares em balanço, com 102 ≅pi , a expressão fica sendo: 37 base e r l a = 1 . 10 2 O momento de 2a ordem pode ser então escrito como: base e base r lNaNM == 1 . 10 .. 2 ,2 3.2.5.3 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ ≤ 90. A não- linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a configuração deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. A excentricidade de segunda ordem ( 2e ) é dada pela seguinte expressão: r l e e 1 . 10 2 2 = Na expressão acima, r/1 representa a curvatura, que numa seção crítica é calculada como hhr 005,0 )5,0( 005,01 ≤ + = ν onde: h – altura da seção na direção considerada; ν - força normal adimensional dada por 5,0≥= cdc d fA N ν O momento total máximo no pilar é então AddAdbtotd MeNMM ,12,1, . ≥+= α O valor de AdM ,1 é o valor de cálculo de 1a ordem do momento AM e que deve ser 38 min,11,1 . ddAd MeNM ≥= . Os termos anteriores já foram definidos anteriormente. No caso de pilares de seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, o método do pilar padrão pode ser aplicado simultaneamente em cada uma das duas direções principais, desde que a esbeltez seja menor que 90 nas duas direções. A amplificação dos momentos de 1a ordem em cada direção é diferente pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez. Obs.: como a excentricidade de 2a ordem não acontece nas extremidades do pilar, e sim no centro da altura do mesmo, torna-se necessário verificar se o momento de cálculo total ocorre no topo/base do pilar ou no meio dele. 3.2.5.4 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM RIGIDEZ κ (KAPA) APROXIMADA Este método é permitido para pilares com índice de esbeltez não superior a 90, seção retangular constante, e com armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não- linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. O momento total máximo no pilar é dado pela expressão: Ad Adb totd M M M ,12 ,1 , /.120 1 . ≥ − = νκ λ α sendo necessário verificar min,1,1 dAd MM ≥ . O valor da rigidez adimensional κ (kapa) é dado aproximadamente por νκ ). . .51.(32 , d totd Nh M += Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ é necessário para o cálculo de totdM , e para o cálculo de κ utiliza-se o valor de totdM , . Assim, este processo é interativo, sendo que normalmente são suficientes 2 ou 3 interações. Obs.: a bibliografia ainda cita o método do pilar-padrão acoplado a diagrama momento- curvatura, que não será estudado nesta disciplina. 39 4 PROCESSOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES Uma vez determinados os esforços finais atuantes num determinado pilar, deve-se proceder ao dimensionamento do mesmo. Para isto, é necessário identificar a situação da solicitação: compressão simples, flexão composta normal ou flexão composta oblíqua. A armadura devidamente calculada servirá para evitar inclusive a ruína do pilar, sendo que a figura abaixo mostra situações em que esta ruína de fato aconteceu: 40 O dimensionamento dos pilares de concreto armado, como todas as demais peças, é sempre feito no estado limite último, existindo a preocupação com os efeitosde 2a ordem. Assim, os pilares são dimensionados ou verificados para resistir a força normal combinada com momento (oblíquo ou não), majorado pela existência da excentricidade de 2a ordem. O problema pode ser bastante complexo, uma vez que tal excentricidade pode fazer com que o pilar perca o equilíbrio estável. Conclui-se então que o dimensionamento e a verificação de pilares devem prever dois tipos de estados limites últimos: o de ruptura e o de instabilidade. De qualquer forma, ainda que haja estabilidade, o estado limite último de ruptura tem que considerar momentos majorados pelo efeito de 2a ordem. Deve-se lembrar, que um pilar pode se romper com esforços menores do que resistiria se seu eixo não se deformasse. Conforme visto em capítulos anteriores, os pilares são elementos lineares solicitados, fundamentalmente, por forças de compressão na direção axial, aplicadas fora do centro de gravidade da seção transversal. Desta forma, os pilares ficam submetidos a uma flexo- compressão normal, quando a excentricidade acontece em apenas um dos eixos, ou oblíqua, quando ocorre segundo os dois eixos principais. Então, pode-se dizer que os pilares estão submetidos a um conjunto de esforços de cálculo: dd FN = => força total de compressão aplicada no pilar e AddAdbtotd MeNMM ,12,1, . ≥+= α A tabela a seguir apresenta de forma resumida os métodos de cálculo que devem ser utilizados para pilares conforme a esbeltez dos mesmos: 41 ESBELTEZ CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2A ORDEM MÉTODOS DE CÁLCULO PARA EFEITOS DE 2A ORDEM CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA 1λλ < Não - desprezado Não 901 ≤< λλ Sim - método do pilar padrão com curvatura aproximada; - método do pilar padrão com rigidez κ aproximada; - método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r; - método geral. Não 14090 ≤< λ Sim - método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r; - método geral. Sim 200140 ≤< λ Sim - método geral. Sim 200>λ Em geral não é permitido A armadura calculada e necessária para equilibrar os esforços atuantes deve obedecer às prescrições regulamentares vistas no capítulo. Para o dimensionamento de pilares, consideram-se válidas as mesmas hipóteses básicas utilizadas para o dimensionamento de vigas e lajes, ou seja: - as seções transversais se mantêm planas após a deformação; - a deformação das armaduras passivas deve ser a mesma do concreto em seu entorno, ou seja, considera-se aderência perfeita; - as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas; - a distribuição das tensões no concreto ocorre de acordo com o diagrama parábola- retângulo; - as tensões nas armaduras devem ser obtidas a partir dos respectivos diagramas tensão-deformação indicados na NBR 6118:2003; - o ELU é caracterizado quando a reta representativa das deformações na seção pertencer a um dos domínios definidos na citada norma. Seja qual for o método de dimensionamento a ser utilizado, deverá ser usado na direção do eventual momento atuante, um valor de altura útil (d), que depende da Classe de Agressividade Ambiental (CAA). Assim, sugere-se, para uma armadura longitudinal de 10,0 mm: Agressividade Ambiental Recobrimento (c) - cm Altura útil (d) - cm CAA-I 2,5 h – 3,0 CAA-II 3,0 h – 3,5 CAA-III 4,0 h – 4,5 CAA-IV 5,0 h – 5,5 Obs.: estes valores devem ser modificados no caso de utilizar uma armadura longitudinal maior. 42 4.1 PROCESSOS EXATOS DE DIMENSIONAMEMTO À FLEXÃO COMPOSTA Como a rigor não se aceita o dimensionamento de um pilar com carga centrada por causa do momento mínimo de 1a ordem a ser considerado, o dimensionamento de pilares deverá ser sempre feito para casos de flexão composta. Existindo excentricidade de 1a ordem em uma única direção (x ou y), tem-se um caso de flexão composta normal, o que ocorre por exemplo, para os pilares de extremidade. Já no caso de se ter um pilar de canto, com momentos de 1a ordem nas duas direções, tem-se um caso de dimensionamento de flexão composta oblíqua. O dimensionamento à flexão composta, que considere os efeitos das não linearidades física e geométrica, requer a consideração da integração das curvaturas e da consideração do diagrama M x N x 1/r, buscando um processo refinado de dimensionamento, geralmente iterativo. Para o trabalho diário de um engenheiro, isto se torna um processo bastante trabalhoso, fazendo com que se deva utilizar recursos computacionais adequados. Cabe ao calculista uma visão crítica dos resultados, lembrando-se a extrema importância de se conferi-los baseados em sólida experiência teórica e profissional. De forma geral, os processos exatos para dimensionamento de seções submetidas à flexão composta devem seguir os seguintes passos: - para uma dada seção transversal, é escolhida uma inclinação da linha neutra e fixada a sua profundidade; - a partir das equações de equilíbrio da estática, da compatibilidade de deformações e das equações constitutivas (diagramas tensão-deformação), calculam-se a resultante de compressão do concreto e as tensões que agem em cada uma das barras da armadura; - variando os dados iniciais (profundidade e inclinação da linha neutra) obtém-se ternos de possíveis valores de ydxdd MeMN , . Para as formas usuais de seções (retangulares, circulares), foram elaborados uma série de ábacos que oferecem a armadura de tais seções submetidas à flexo-compressão, conforme será visto nos próximos itens. 4.1.1 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA Para a formulação das condições de equilíbrio e do equacionamento da flexão oblíqua, seja a figura abaixo, onde se tem barras distribuídas ao longo do contorno da seção, em posições previamente fixadas. 43 Em se tratando de estado limite último, devem ser obedecidas as condições de equilíbrio e as de compatibilidade das deformações, que também são válidas para flexão composta normal (excentricidade em um só eixo). Os esforços solicitantes de cálculo dN , ydxd MM , , devem ser equilibrados pelos esforços resistentes (contribuição do concreto comprimido e contribuição da armadura): ∑∫∫ = += n i sidSiyxcd Acc d AddN 1 σσ si n i sidSiyxcd Acc xddx XAdXdeNM ∑∫∫ = +== 1 σσ si n i sidSiyxcd Acc yddy YAdYdeNM ∑∫∫ = +== 1 σσ onde: ccA - área da seção de concreto comprimido; n – número de barras de armadura na seção transversal; A si - área da seção transversal da barra genérica i; sidσ - tensão na barra genérica i; X – abscissa do elemento infinitesimal de área dydx. ; Y – ordenada do elemento infinitesimal de área dydx. ; X si - abscissa da barra genérica i; Y si - ordenada da barra genérica i. Estas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, através de esforços reduzidos yx µµν ,, e da taxa mecânica de armadura ω : 44 cdc d fA N =ν x x xcdc xd x h e hfA M νµ == y y ycdc yd y h e hfA M ν µ == cdc yds fA fA =ω onde d totdx x N M e , = d totdy y N M e , = yxc hhA = sA - armadura total da seção. Vários autores elaboraram tabelas para resolver este problema de dimensionamento. O exemplo abaixo se refere a um ábaco a ser utilizado para flexão composta oblíqua, obtido das tabelas de Montoya: 45 Definido o ábaco a ser utilizado, devem ser adotados valores da força normal reduzida de cálculo ν , sendo normalmente considerados oito valores ( )4,1;2,1;0,1;8,0;6,0;4,0;2,0;0=ν . Para cada valor de ν corresponde a um quadrante do ábaco, totalizandooito quadrantes, representados em duas páginas. Para cada valor de yx e µµν , é adotado um valor da taxa mecânica de armadura Foram escolhidos alguns ábacos para dimensionamento à flexão composta oblíqua, e os mesmos encontram-se no anexo. Diversas bibliografias incluem outras possibilidades de arranjo de armadura, sugerindo-se os ábacos de Montoya ou do prof. Libânio (São Carlos/SP). 46 4.1.2 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL Como já foi dito anteriormente, um pilar sujeito a esforços de flexão composta normal é aquele em que existe excentricidade inicial somente em um dos eixos cartesianos. a) UTILIZAÇÃO DE ÁBACOS A utilização de ábacos pode ser extremamente útil no dimensionamento de seções retangulares sujeitas à flexão composta normal. Estes ábacos são apresentados na forma adimensional com todos os valores de entrada sendo de cálculo, isto é, dN e dM . Na construção dos ábacos, deve-se ainda levar em conta as hipóteses de manutenção da forma plana da seção transversal e dos domínios de deformação vistos na disciplina de CAR I, que formam as condições de compatibilidade. Sendo também conhecidas as deformações sε nas barras da armadura, pode-se determinar as tensões de acordo com os diagramas εσ x do aço que está sendo utilizado. Definido o ábaco a ser utilizado, devem ser calculados valores da força normal reduzida de cálculo (ν ) e momento reduzido ( µ ). Para cada par de ν e µ é adotado um valor da taxa mecânica de armadura ω , para diversos intervalos, dependendo das condições da seção. Os ábacos a serem considerados nesta apostila encontram-se em anexo. Casos diferentes de arranjo de armaduras, devem ser vistos em literatura apropriada. cdc d fA N =ν xcdc d h e hfA M νµ == cdc yds fA fA =ω onde d totd N M e , = hbAc = sA - armadura total da seção, a ser distribuída de acordo com o ábaco escolhido. 47 Obs.: nos casos em que 7,0≥ν , o dimensionamento pode ser feito como compressão simples, conforme será visto mais adiante. b) PROCESSO GERAL PARA DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO COMPOSTA NORMAL Quando não se aplicar o processo dos ábacos e nem o processo aproximado como compressão simples, pode-se utilizar um processo geral para dimensionamento a flexão composta normal. A força normal que age excentricamente em relação a um dos eixos, poderá fazer com que a seção transversal esteja totalmente comprimida (pequena excentricidade), ou com uma parte eventualmente tracionada (grande excentricidade), havendo uma situação limite entre estes dois casos. Seja a seguinte figura: ω dµ dν e 1 N d pequena excentricidade situação limite grande excentricidade 48 Pode-se ainda definir: Onde: dN - esforço normal de cálculo (majorado); sdM - momento referente ao centro de gravidade da armadura de tração (ou armadura menos tracionada); ' sdM - momento referente ao centro de gravidade da armadura de compressão (ou armadura mais comprimida). No caso de pequena excentricidade, sA representa a armadura menos comprimida e ' sA representa a armadura mais comprimida. No caso de flexão composta com grande excentricidade, sA representa a armadura tracionada e ' sA representa a armadura comprimida. Então: kfd NN γ= ) 2 '() 2 '( ddNMddeNM dddsd − += − += ) 2 '() 2 '(' ddNMddeNM dddsd − −= − −= Numa situação limite entre pequena e grande excentricidade, tem-se que: dM d e d " 'd sA ' sA h wb sdM ' sdM dN 49 0)' 2 8,0() 2 '( =−+−− ddRddeN ccd 0)'4,0.(85,0.8,0.' =−+ ddfdbM cdwsd Daí: )4,0.(...68,0 ' 2' d dfdbM cdwsd −−= valor este que agora em diante será chamado de fator de comparação (FC). Daí se pode concluir que: Se )4,0.(...68,0 ' 2' d dfdbM cdwsd −−≥ tem-se um caso de grande excentricidade, e Se )4,0.(...68,0 ' 2' d dfdbM cdwsd −−< tem-se um caso de pequena excentricidade. b.1) DIMENSIONAMENTO DE FLEXAO COMPOSTA NORMAL COM GRANDE EXCENTRICIDADE O dimensionamento da flexão composta normal (flexo compressão) com grande excentricidade será todo feito para o momento fletor sdM resultante da redução dos esforços ( dd MN , ) atuantes ao centro de gravidade da armadura tracionada (cálculo como viga), sendo a única alteração o abatimento na armadura tracionada (obtida para sdM ) de uma parcela y/2 wb "d 'd e y 0=stR ccR scR ' sA d h cdf85,0 dN sA 50 yd d f N s =∆ uma vez que a carga é de compressão, tendendo a anular os efeitos de tração. A figura e a resolução a seguir, explicam melhor esta situação. Da figura anterior tem-se que: 0=+−− stccscd RRRN e 0) 2 .()'.()'.( =−−−−−+ ydRddR d dd eN ccscd Também, para uma análise similar a uma viga: 0=−− ccvscvstv RRR Então: ccvcc RR = Desta condição tem-se que a linha neutra para pilar é igual à linha neutra para viga ( vyy = ), pois cdwcc fybR 85,0.= cdvwccv fybR 85,0.= stR VccRccR scR cdf85,0 vy VstR wb "d 'd e y ' sA d h dN sA cdf85,0 VscR Diagrama real Diag.similar p/viga 51 Da mesma forma, a força resultante de compressão na armadura do pilar e da viga são iguais: scvsc RR = Desta condição tem-se que '' svs AA = (armadura comprimida do pilar é igual à armadura comprimida da viga), pois '' . sssc AR σ= '' . svsvscv AR σ= , sendo '' svs σσ = , e stdstv RNR += ydsvstv fAR .= ydsst fAR .= dydsydsv NfAfA += .. Finalmente a armadura do lado tracionado do pilar será: yd d svs f N AA −= sendo que a armadura de tração da viga ( svA ) deve ser calculada com sddw MMehb =, : sdd M dd eN =−+ ) 2 '( Obs.: é comum que se tome a mesma armadura (a maior) para duas faces opostas, fazendo com que o pilar tenha armadura simétrica em relação a um dos eixos. b.2) DIMENSIONAMENTO DA FLEXAO COMPOSTA NORMAL COM PEQUENA EXCENTRICIDADE Nesta situação, a seção transversal de concreto encontra-se totalmente comprimida, e a linha neutra é considerada com dx> : 52 Pela figura anterior, tem-se: e) equação de rotação em relação ao baricentro de scR : 0) 2 '()'() 2 '( ' =−−−−−+ ddRddRddeN ccscd 0) 2 '(85,0..)'('' =−−−− ddfhbddAM cdwsssd σ Daí, a armadura do lado mais comprimido é determinada como )'( )'(425,0 ' ' dd ddhfbM A s cdwsd s − −− = σ f) equação de rotação em relação ao baricentro de 'scR : 0)'() 2 '() 2 '( =−−−−−− ddRddReddN scccd 0)'( 2 )'(85,0) 2 '( ' =−−−−−−− ddAddfhbddeN sscdwd σ 0)'()'(425,0 '' =−−−−− ddAddhfbM sscdwsd σ Daí, a armadura do lado menos comprimido é determinada como )'( )'(425,0 ' ' dd ddhfbM A s cdwsd s − −−− = σ h stR ccR scR cdf85,0 e dN d ' sA Seção comprimida sA 53 Como verificação, se somarmos as equações de sA e ' sA , tem-se que a força de cálculo é equilibrada pela contribuição da armadura e pela contribuiçãodo concreto, que está totalmente comprimido: '' )(85,0 ssswcdd AAhbfN σ++= c) PROCESSO APROXIMADO PARA DIMENSIONAMENTO À FLEXAO COMPOSTA NORMAL COMO COMPRESSÃO SIMPLES Para pilares de seções transversais retangulares ou circulares, com armadura simétrica em que a força normal reduzida (ν ) seja maior ou igual a 0,7, pode-se transformar uma situação de cálculo de flexão composta normal para um caso de dimensionamento de compressão centrada equivalente, levando-se em conta: )1.( , h eNN deqd β+= h = dimensão na direção considerada 0 , =eqdM (a solução é compressão simples!) 7,0 . ≥= cdc d fA N ν hN M h e d totd . , = h d ' .8,0).01,039,0( 1 −+ = α β Valores de α : - para seções circulares: 4−=α - para seções retangulares: sαα /1−= se 1<sα sαα = se 1≥sα 6=α se 6>sα 54 Supondo que todas as barras sejam iguais, sα é dado por: )1( )1( − − = v h s n n α O arranjo de armadura adotado para detalhamento deve ser fiel aos valores de sα e d’/h pressupostos. Considerando-se, para efeitos de simplificação, que uma seção transversal sujeita a uma força de compressão centrada, tem o seu equilíbrio garantido em parte pelo concreto comprimido e em parte pela armadura, pode-se determinar a armadura longitudinal isolando-se o valor da armadura longitudinal sA através da expressão abaixo: ssccddeqd AAfh eNN '85,0)1.( , σβ +=+= ou seja: ' 85,0)1.( s cdd s c Af h eN A σ β −+ = Nas expressões acima, 'sσ representa a tensão (de compressão) correspondente a uma deformação na armadura de 2% o . Dos diagramas tensão x deformação já estudados anteriormente, tem-se: 55 TIPO DE AÇO ' Sσ (KN/cm 2 ) CA 25 21,74 CA 50 42,0 CA 60 42,0 Obs.: muitos calculistas adotam a favor da segurança e simplificadamente um valor de 4=β , originando muitas vezes, uma armadura bem maior do que aquela obtida com a disposição em função de 5α . 56 ANEXOS (vide Xerox bloco F) ANEXO 1: ÁBACOS PARA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL EM SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA BILATERAL SIMÉTRICA Fonte: apostila “Concreto Armado: Tabelas e Ábacos”, de Libânio Miranda Pinheiro, USP-EESC ANEXO 2: ÁBACOS PARA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA EM SEÇÃO RETANGULAR PARA ALGUNS ARRANJOS DE ARMADURA Fonte: apostila “Concreto Armado: Tabelas e Ábacos”, de Libânio Miranda Pinheiro, USP-EESC
Compartilhar