Apostila Concreto Armado I

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas
 
EC 702 – CONCRETO ARMADO I 
SOLICITAÇÕES NORMAIS 
CÁLCULO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
PROF. DR. GILSON B. FERNANDES
VERSÃO REVISTA POR: 
PROF. DR. MARIA CECILIA A. TEIXEIRA DA SILVA 
MONITORAS PED REGINA MANTOVANI MATSUI 
 SUSANA LIMA PIRES CAMPINAS – FEVEREIRO/2006 
P – GR – 702 – 501- R
 2
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................................... 3 
2 DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS AÇOS.............................................................................. 4 
2.1 DIAGRAMAS CARACTERÍSTICOS................................................................................................. 4 
2.2 DIAGRAMAS DE CÁLCULO ............................................................................................................ 4 
2.3 VALORES DE CÁLCULO................................................................................................................. 5 
3 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO ........................................................................ 7 
4 HIPÓTESES DE CÁLCULO...................................................................................................................... 9 
5 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES............................................................................................................ 12 
6 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE..................................................................... 15 
7 FLEXÃO NORMAL SIMPLES ................................................................................................................. 18 
7.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 18 
7.2 POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA...................................................................................................... 19 
7.3 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA As........................................................................... 19 
7.4 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA A’s .......................................................................... 22 
7.5 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES ................................................... 23 
7.5.1 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES ...................................................... 23 
7.5.2 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA.......................................................... 25 
7.6 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES ........................................ 26 
7.6.1 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES ............................................................. 27 
7.6.2 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA................................................................. 29 
7.7 VIGAS DE SEÇÃO “T” NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO ...................................................... 31 
7.7.1 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA SIMPLES............... 33 
7.7.2 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA DUPLA................... 35 
8 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE COMPRESSÃO.......................................... 37 
8.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 37 
8.2 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE ......................................... 37 
8.3 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE ....................................... 41 
8.4 COMPRESSÃO NÃO UNIFORME................................................................................................. 44 
8.5 INTERAÇÃO DE MOMENTO FLETOR E FORÇA NORMAL NA FLEXO-COMPRESSÃO ........... 47 
8.6 FNC - CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO EM SEÇÕES RETANGULARES ........................................ 53 
8.6.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................... 53 
8.6.2 FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE..................................................... 53 
8.6.3 FLEXÃO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE................................................... 56 
8.6.4 COMPREESÃO NÃO UNIFORME ............................................................................................ 57 
9 COMPRESSÃO UNIFORME................................................................................................................... 61 
10 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE TRAÇÃO .................................................... 63 
10.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 63 
10.2 FLEXO-TRAÇÃO............................................................................................................................ 63 
10.3 TRAÇÃO NÃO UNIFORME............................................................................................................ 68 
11 TRAÇÃO UNIFORME ............................................................................................................................. 70 
12 FLEXÃO OBLÍQUA................................................................................................................................. 72 
12.1 CÁLCULO EXATO ......................................................................................................................... 72 
12.2 SUPERFÍCIES DE INTERAÇÃO E DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO .............................................. 74 
 
 3
1 INTRODUÇÃO 
O estudo das seções de concreto armado tem por finalidade verificar se sob a 
ação das solicitações majoradas (solicitações de cálculo) a peça não supera cada um dos 
estados limites, admitindo que os materiais (concreto e aço) tenham como resistência 
real a resistência minorada (resistência de cálculo). 
Neste texto, se estabelecem as bases de cálculo de seções de concreto armado 
submetidas a solicitações normais nos estados limites de deformação plástica excessiva 
e de ruptura. 
Denominam-se solicitações normais as que originam tensões normais nas seções 
transversais dos elementos estruturais. Compreendem, neste caso, força normal e 
momento fletor, ambos referidos ao centro de gravidade da seção transversal de 
concreto. 
Uma seção de concreto armado, submetida a solicitações normais, pode atingir o 
estado limite último de três formas: por excesso de deformação plástica do aço da 
armadura, por esmagamento do concreto na flexão ou por esmagamento do concreto na 
compressão. 
a) Estado de deformação plástica excessiva: nas peças submetidas à tração ou à 
flexão com quantidades pequenas de armadura, admite-se que o estado limite 
último seja atingido em virtude de deformação plástica excessiva da armadura, 
cujo valor se fixa em 1%. 
b) Estados de ruptura: em peças submetidas à flexão simples ou à flexão 
composta, com quantidades médias ou grandes de armadura, o estado limite 
último é atingido por esmagamento do concreto comprimido para deformações 
da ordem de 0,35% e em peças submetidas à compressão uniforme ou à 
compressão não uniforme o estado limite último é atingido por esmagamento 
do concreto para deformações da ordem de 0,2%. 
O Código Modelo do C.E.B. e a Norma Brasileira NBR 6118:2003 preconizam para 
o estudo das seções de concreto armado nas formas de ruína vistas, um método que 
cobre de maneira contínua todos os casos de solicitações normais, desde a tração 
uniforme até a compressão uniforme, incluindo as fases intermediárias de solicitações 
combinadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
2 DIAGRAMAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS AÇOS 
2.1 DIAGRAMAS CARACTERÍSTICOS 
De acordo com aNBR-6118:2003, pode-se adotar o diagrama tensão-deformação 
característico simplificado, indicado na figura 2.1, para aços com ou sem patamar de 
escoamento. 
Para os aços, adota-se um diagrama bi-retilíneo formado pela reta de Hooke e um 
segmento reto paralelo ao eixo das deformações, cuja ordenada corresponde à 
resistência característica, fyk. 
 
 
 Figura 2.1 
 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelos fabricantes, a NBR 6118:2003 
admite a adoção do módulo de elasticidade do aço: 
ES = 210.000 MPa 
Para esses aços, embora o efeito Bauschinger possa não ser desprezível, admite-
se um comportamento na compressão análogo ao na tração. Na parte correspondente à 
tração, o alongamento é limitado em 1%, ou seja, ao valor que caracteriza o estado limite 
de deformação plástica excessiva. Na parte correspondente à compressão, o 
encurtamento é limitado em 0,35% porque o concreto comprimido solidário às armaduras 
sofre ruptura com encurtamentos não superiores a 0,35%. 
 
2.2 DIAGRAMAS DE CÁLCULO 
Os diagramas de cálculo dos aços são obtidos a partir dos diagramas 
característicos mediante uma translação efetuada paralelamente à reta de Hooke. 
 5
Para os aços, admite-se um diagrama de cálculo como o apresentado na figura 
2.2, ou seja, bi-retilíneo, formado pela reta de Hooke e um segmento reto paralelo ao eixo 
das deformações e cuja ordenada corresponde à resistência de cálculo: 
s
yk
yd
f
f γ= . 
 
Figura 2.2 
 
A parte do diagrama correspondente à compressão é análoga àquela que 
corresponde à tração. O limite para o alongamento é 1% e o encurtamento máximo é 
0,35%. 
As resistências de cálculo 
s
yk
yd
f
f γ= e s
yck
ycd
f
f γ= 
são obtidas a partir das resistências características fyk e fyck determinadas 
experimentalmente. Na falta de determinação experimental, fyk e fyck podem ser 
consideradas iguais e com o valor mínimo nominal de fyk fixado pela NBR 7480:1996. 
 
2.3 VALORES DE CÁLCULO 
As relações tensão-deformação para os aços são as seguintes: 
sss E εσ = , se yds εε ≤ 
yds f=σ , se yds εε ≥ 
 
 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.3 
 
Os valores das resistências e deformações de cálculo para os aços da NBR 
7480:1996 são os que se apresentam na tabela abaixo. Tais valores foram determinados 
para γs = 1,15 e Es = 210.000 MPa. 
 
Aços 
fyk 
(MPa) 
fyd 
(MPa) 
εyd 
CA-25 250 217,4 0,001035 
CA-50 500 434,8 0,002070 
CA-60 600 521,7 0,002484 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
3 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO 
A distribuição de tensões no concreto nas seções submetidas à flexão e à 
compressão, na proximidade da ruptura, depende de muitos fatores tais como: 
- posição da linha neutra; 
- velocidade de aplicação da carga; 
- duração da carga; 
- quantidade de armadura; 
- forma da seção; 
- resistência do concreto; 
- idade do concreto ao ser aplicada a carga; 
- composição do concreto 
- condições climáticas. 
 
Por essa razão, é praticamente impossível conseguir uma única distribuição real 
de tensões que corresponda a todas as situações existentes. 
Além disso, deve-se considerar que, durante os primeiros anos de vida, o concreto 
passa por um período em que sofre um amadurecimento acompanhado pela hidratação 
do cimento, pela transformação dos produtos da hidratação desde o estado de gel até a 
cristalização e por um processo de secagem. Enquanto isso, a resistência, o módulo de 
deformação e as características de fluência do concreto sofrem variações com o tempo. 
Simultaneamente, ocorrem deformações que dependem da tensão no concreto e influem 
na distribuição das tensões. 
Por todos esses motivos, a distribuição de tensões na zona comprimida pode 
oscilar entre um triângulo ligeiramente arredondado e uma parábola, cujo valor máximo 
não está situado na borda da seção, mas no seu interior. Na borda comprimida a 
deformação poderá estar compreendida entre 0,2% e 1%. 
Mesmo que se tentasse empregar, em cada caso de dimensionamento, o 
diagrama da distribuição de tensões correspondente às condições existentes, não seria 
possível ser fiel à realidade. Dificilmente seria possível prever o histórico do 
carregamento, a idade do concreto quando ele começasse a atuar e o grau de solicitação 
que aconteceria. Por essas razões deve-se utilizar um diagrama que, em cada caso, 
corresponda às situações mais desfavoráveis, podendo-se conservar a convenção, já 
aceita, de que com a idade de 28 dias uma parte ou elemento da estrutura já está em 
condição de poder resistir à combinação mais desfavorável dos carregamentos. 
Os estudos experimentais desenvolvidos nesse sentido, considerando 
combinações de força normal e momento fletor, cargas de curta e de longa duração, 
formas diferentes de seção, quantidades diferentes de armadura, etc., revelaram que o 
diagrama parábola - retângulo da figura 3.1 permite determinar, com precisão suficiente 
para a prática, a solicitação de ruptura de uma seção qualquer nas condições mais 
desfavoráveis. 
 8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 
 
Esse diagrama não é cópia de alguma distribuição verdadeira de tensões. É um 
diagrama idealizado e que se justifica por levar a resultados concordantes com os obtidos 
experimentalmente. 
Conforme a NBR 6118:2003, o diagrama tensão-deformação do concreto à 
compressão, a ser usado no cálculo, compõe-se de uma parábola do 2º grau que passa 
pela origem e tem seu vértice no ponto de abscissa 0,2% e ordenada 0,85 fcd e de um 
segmento reto entre as deformações de 0,2% e 0,35% tangente à parábola e paralelo ao 
eixo das abscissas – figura 3.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 
 
 
 
])
,
([., 2ccdc 0020
11f850
εσ −−= 
 9
4 HIPÓTESES DE CÁLCULO 
As hipóteses de cálculo no estado limite último de ruptura ou de deformação 
plástica excessiva, nos casos de flexão simples ou flexão composta, normal ou oblíqua, e 
de compressão ou tração uniforme, excluídas as vigas paredes e os consolos curtos, são 
as seguintes: 
a) Sob a influência das solicitações normais, as seções transversais permanecem 
planas (hipótese de Bernouilli). 
Como resultado, as deformações ε das fibras de uma seção são proporcionais às 
suas distâncias à linha neutra, ou seja, o diagrama de deformações na seção transversal 
é retilíneo (figura 4.1). 
Figura 4.1 
 
b) A resistência à tração do concreto é desprezada. 
Em virtude da baixa resistência que o concreto apresenta quando tracionado, na 
região da seção em que a solicitação produz tensões de tração admite-se que o concreto 
esteja fissurado. Disso decorre que todas as forças internas de tração devem ser 
resistidas por armadura. 
 
c) Admite-se que haja aderência perfeita entre a armadura e o concreto adjacente 
não fissurado. 
Em vista disso, a deformação nas barras da armadura é a mesma do concreto que 
as envolve. 
 
d) O alongamento específico εsu máximo permitido na armadura de tração é 1%. 
Este limite é adotado convencionalmente por considerar-se que a esse valor 
correspondem fissuração excessiva do concreto e deformação excessiva da peça, 
dando-se por esgotada sua capacidade resistente. 
 
 10
e) O encurtamento de ruptura do concreto nas seções não inteiramente 
comprimidas é de 0,35% e nas seções inteiramente comprimidas, o encurtamento da 
borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varia de 0,35% a 0,20%, mantendo-se 
constante e igual a 0,20% a deformação a 3/7 da altura total da seção a partir da borda 
mais comprimida (figura 4.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 
 
O encurtamento de ruptura do concreto sofre influênciade vários fatores como 
velocidade de deformação, forma da seção transversal e posição da linha neutra na 
seção. O fato de se admitir o encurtamento de ruptura do concreto conforme o critério 
exposto é uma hipótese simplificadora. Na verdade, os resultados experimentais 
justificam os valores 0,35% para as seções não inteiramente comprimidas e 0,20% para 
as seções comprimidas uniformemente. Ao mesmo tempo, parece lógico supor uma 
passagem contínua do valor 0,35% para o valor 0,20% para os casos de compressão não 
uniforme, conforme mencionado na presente hipótese. 
 
f) A distribuição das tensões no concreto na seção transversal se faz de acordo 
com um diagrama parábola - retângulo (figura 4.3) baseado no diagrama tensão-
deformação adotado para o concreto. Permite-se a substituição desse diagrama por um 
retângulo de altura y = 0,8 x, com a seguinte tensão: 
0,85 fcd no caso em que a largura da seção medida paralelamente à linha neutra 
não diminui a partir desta para a borda comprimida; 
0,80 fcd no caso contrário. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 
 11
Para os cálculos de verificação e dimensionamento, torna-se necessário admitir 
uma forma para a distribuição da curva de tensões de compressão na seção de concreto. 
Estudos comparativos entre várias formas adotadas para essa distribuição de 
tensões evidenciaram que uma distribuição composta por uma parábola do 2º grau desde 
a linha neutra até a fibra com deformação de 0,20% completada com um segmento reto 
até a borda mais comprimida, onde a tensão vale 0,85 fcd, fornece boa concordância com 
os resultados obtidos experimentalmente. 
O diagrama parábola - retângulo é válido para qualquer forma de seção transversal 
e pode ser usado também na flexão oblíqua. 
Ao mesmo tempo, verifica-se que se consegue boa aproximação de cálculo com 
uma distribuição retangular de tensões com altura igual a 80% da profundidade da linha 
neutra real e com tensão igual a 0,85 fcd ou 0,80 fcd conforme exposto anteriormente. 
O diagrama retangular de tensões adotado fornece uma resultante de tensões que 
concorda em intensidade e ponto de aplicação com o que lhe corresponde ao diagrama 
parábola - retângulo. No entanto, diferenças apreciáveis se verificam quando a linha 
neutra se situa muito próxima à borda comprimida porque as tensões correspondem à 
parte curva da distribuição real de tensões e, portanto, com valor inferior a 0,85 fcd. 
O coeficiente redutor da resistência de cálculo do concreto considera a diminuição 
da resistência do mesmo por influência da deformação lenta (efeito Rusch) causada por 
ações de longa duração e, considera também, a diminuição da resistência decorrente da 
elevação de parte da argamassa à superfície e da exudação da água, que afetam a 
resistência da parte superior de concreto, onde poderão ocorrer as máximas tensões de 
compressão. 
 
g) A tensão na armadura é a correspondente à deformação determinada de 
acordo com as hipóteses anteriores e obtida do diagrama tensão-deformação do aço 
correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
5 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES 
As configurações possíveis do diagrama de deformações correspondentes ao 
estado limite último para uma seção submetida a solicitações normais sugerem a 
delimitação de regiões, chamadas domínios de deformações, onde poderá estar contido 
o diagrama de deformações referente a um determinado caso de solicitação normal 
quando o estado limite último for atingido. 
Na figura 5.1 estão representados os domínios de deformações e as retas que 
correspondem aos limites entre cada um deles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
Os domínios 1 e 2 correspondem ao estado limite de deformação plástica 
excessiva e são fixados pelo ponto A, que corresponde ao alongamento de 1%. Para 
todas as situações correspondentes aos domínios 1 e 2 a reta do diagrama de 
deformação passa pelo ponto A. 
Os domínios 3, 4 e 4a referem-se ao estado limite de ruptura do concreto na flexão 
e são fixados pelo ponto B, que corresponde ao encurtamento de 0,35% na borda mais 
comprimida da seção. Para todas as situações correspondentes aos domínios 3, 4 e a 
reta do diagrama de deformações passa pelo ponto B. 
O domínio 5 corresponde ao estado limite de ruptura do concreto na compressão e 
é fixado pelo ponto C que corresponde ao encurtamento de 0,2% na fibra distante (3/7)h 
da borda mais comprimida da seção. Para todas as situações referentes ao domínio 5 e a 
reta do diagrama de deformações passa pelo ponto C. 
A posição da linha neutra na seção é definida pela distância x da linha neutra até a 
borda mais comprimida da seção. Na figura 5.1 são indicadas as posições da linha neutra 
para as situações limites entre os domínios de deformações. 
 
 
 
 13
RETA a 
A reta a corresponde à tração uniforme, caso em que toda a seção é tracionada de modo 
uniforme. A deformação na seção é representada por uma reta paralela à face da seção, 
que é a origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por x=-∞. O 
estado limite último é atingido por deformação plástica excessiva da armadura sendo 
caracterizado por um alongamento de 1%. Por isso, a reta a, que representa as 
deformações no estado limite último para o caso da tração uniforme, passa pelo ponto A, 
que corresponde a um alongamento de 1% na armadura. A seção resistente é constituída 
somente pelas armaduras, pois o concreto tracionado é considerado fissurado. 
 
DOMÍNIO 1 
O domínio 1 corresponde ao caso de tração não uniforme. Toda a seção é tracionada, 
mas de modo não uniforme. A linha neutra é externa à seção e a reta do diagrama de 
deformações na seção passa pelo ponto A correspondente a um alongamento de 1% na 
armadura mais tracionada. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x > -∞ 
até x ≤ 0. O estado limite último é caracterizado por deformação plástica excessiva da 
armadura. A seção resistente é composta apenas pelas armaduras, não havendo 
participação resistente do concreto. 
 
DOMINIO 2 
Abrange os casos de flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. A 
linha neutra é interna à seção transversal, estando uma parte desta sujeita à 
compressão. Este domínio corresponde às situações em que o alongamento da 
armadura atinge 1% e o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto é inferior a 
0,35%. A reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto A, 
correspondente a um alongamento de 1% na armadura. Cobre o campo de profundidade 
da linha neutra desde x > 0 até x < 0,259d. O estado limite último é atingido por 
deformação plástica excessiva da armadura, não se verificando ruptura do concreto na 
zona comprimida da seção. 
 
DOMÍNIO 3 
O domínio 3 corresponde à flexão simples e à flexão composta com grande 
excentricidade. A linha neutra é interna à seção e a reta do diagrama de deformações na 
seção passa pelo ponto B, correspondente a um encurtamento de 0,35% na borda 
comprimida. Abrange os casos em que no estado limite último o encurtamento de 0,35% 
é alcançado na borda comprimida da seção e o alongamento na armadura está 
compreendido entre 1% e εyd, deformação que corresponde ao início do escoamento do 
aço. O estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto comprimido após o 
escoamento da armadura. Cobre o campo de profundidade da linha neutra desde x = 
0,259d até x ≤ xy. Esta é a situação desejável para projeto, pois os materiais são 
aproveitados de forma econômica e a ruína poderá ser avisada pelo aparecimento de 
muitas fissuras motivadas pelo escoamento da armadura. As peças de concreto armado 
nestas condições são denominadas peças sub-armadas. 
 
 14
DOMÍNIO 4 
O domínio 4 abrange os casos de flexão simples e de flexão composta com grande 
excentricidade.A linha neutra é interna à seção e a reta do diagrama de deformações na 
seção passa pelo ponto B. Refere-se aos casos em que no estado limite último o 
encurtamento de 0,35% é alcançado na borda comprimida de seção e o alongamento na 
armadura está situado entre εyd e 0. O estado limite último é caracterizado pela ruptura 
do concreto comprimido sem que haja escoamento da armadura. Cobre o campo de 
profundidade da linha neutra desde x > xy até x < d. Apesar do aparecimento eventual de 
fissuras, estas possuem abertura muito fina no instante que ainda precede a ruptura. Esta 
se dá de modo brusco e sem aviso, porque o concreto sofre esmagamento na zona 
comprimida da seção antes que a armadura tracionada possa permitir a abertura de 
fissuras visíveis que sirvam de advertência. As peças de concreto armado nestas 
condições são denominadas peças super-armadas e devem ser evitadas tanto quanto 
possível. Na flexão simples esta situação sempre poderá ser evitada, contudo, na flexão 
composta nem sempre. 
 
DOMÍNIO 4a 
O domínio 4a corresponde à flexão composta com pequena excentricidade. As 
armaduras são comprimidas e existe somente uma pequena região de concreto 
tracionada próxima a uma das bordas da seção. Só poderá ocorrer na flexo-compressão. 
A linha neutra é interna à seção, mas situa-se entre a armadura menos comprimida e a 
borda tracionada da seção. Cobre o campo de profundidade da linha neutra de x ≥ d até 
x < h. A reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto B. O estado limite 
último é caracterizado pela ruptura do concreto com encurtamento de 0,35% na borda 
comprimida, sem aparecimento de fissuras. 
 
DOMÍNIO 5 
O domínio 5 refere-se à compressão não uniforme, com toda a seção de concreto 
comprimida. A linha neutra é externa à seção e a reta do diagrama de deformações na 
seção passa pelo ponto C, afastado da borda mais comprimida de 3/7 da altura total da 
seção e correspondente a um encurtamento de 0,20%. Cobre o campo de profundidade 
da linha neutra desde x ≥ h até x < +∞. O estado limite último é atingido pela ruptura do 
concreto comprimido com encurtamento na borda mais comprimida situado entre 0,35% e 
0,20%, dependendo da posição da linha neutra, mas constante e igual a 0,20% na fibra 
que passa pelo ponto C. 
 
RETA b 
A reta b corresponde à compressão uniforme, caso em que toda a seção é comprimida 
de modo uniforme. A deformação na seção é representada por uma reta paralela à face 
da seção, que é a origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por x = + ∞. 
O estado limite último é atingido por ruptura do concreto com um encurtamento de 0,20%. 
Por isso, a reta b que representa as deformações no estado limite último para o caso da 
compressão uniforme, passa pelo ponto C, que corresponde a um encurtamento de 
0,20%. A seção resistente é constituída pelo concreto e pelas armaduras, sendo a 
deformação nestas igual à do concreto, ou seja, 0,20%. 
 15
6 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DE COMPATIBILIDADE 
O estudo geral das seções de concreto armado, submetidas a solicitações normais 
no estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva, deve tratar de 
seções com forma qualquer com uma distribuição qualquer de armaduras. 
Neste trabalho trata-se somente de seções, com um eixo de simetria, submetidas 
a solicitações normais que atuam segundo um plano que contém esse eixo e com um par 
de armaduras principais As e As’. 
Considere-se uma seção de forma qualquer, mas simétrica em relação ao plano de 
flexão, submetida a uma força normal Nu e a um momento fletor Mu, relativos ao centro 
de gravidade da seção transversal, e com armaduras As e As’ (figura 6.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 
 
A notação empregada é a seguinte: 
Nu = valor último da força normal N; 
Mu = valor último do momento fletor M; 
As = área da seção transversal da armadura mais tracionada ou menos 
comprimida; 
As’ = área da secão transversal da armadura mais comprimida ou menos 
tracionada; 
h = altura total da seção; 
d = altura útil da seção; 
d’ = distância do centro de gravidade da armadura até a borda mais próxima da 
seção; 
x = distância da linha neutra até a borda mais comprimida ou menos tracionada 
da seção; 
y = ordenada contada a partir da borda mais comprimida; 
by = largura da seção na ordenada y; 
 16
σc = tensão de compressão no concreto; 
σcy = tensão de compressão no concreto na ordenada y; 
σs = tensão na armadura As; 
σ’s = tensão na armadura As’; 
Rc = resultante das tensões de compressão no concreto; 
Rs = resultante das tensões na armadura As; 
Rs’ = resultante das tensões na armadura As’; 
zc = distância do ponto de aplicação da resultante de compressão no concreto 
ao centro de gravidade da armadura As. 
Como a flexo-compressão constitui-se na solicitação mais freqüente, considera-se 
a força normal com sinal positivo quando for de compressão e com sinal negativo quando 
for de tração. O momento fletor é considerado positivo quando provocar tração na borda 
inferior da seção. As tensões internas e suas resultantes são consideradas positivas 
quando de compressão e negativas quando de tração. 
O sistema de esforços constituído por Nu e Mu referidos ao eixo baricêntrico da 
seção transversal de concreto pode ser reduzido a um sistema equivalente formado pela 
força normal Nu aplicada com excentricidade e em relação ao centro de gravidade da 
seção de concreto (figura 6.2), onde: 
u
u
N
Me = 
 
A excentricidade es de Nu em relação ao centro de gravidade da armadura As 
(figura 6.2) vale: 
2
'ddees
−+= 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 
 
A excentricidade e é considerada positiva a partir do centro de gravidade da seção 
transversal até a sua borda mais comprimida e a excentricidade es é tomada como 
positiva a partir do centro de gravidade da armadura As até a borda mais comprimida da 
seção transversal. 
 17
Considerando-se as resultantes internas como indica a figura 6.1 e referindo-se os 
momentos dessas resultantes ao centro de gravidade da armadura As, as equações de 
equilíbrio no estado limite último são escritas na forma seguinte: 
⎩⎨
⎧
−+=
++=
)'('.
'
ddRzReN
RRRN
sccsu
sscu 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−=
++=
∫
∫
)'('')'(.
''
ddAdyddbeN
AAdybN
ss
h
0 cyysu
ssss
h
0 cyyu
σσ
σσσ
 
onde os sinais dos esforços são considerados conforme a convenção adotada. 
Considerando-se positivos os encurtamentos e negativos os alongamentos a 
equações de compatibilidade das deformações tem a seguinte forma: 
dxdxx
ssc
−=−=
εεε
'
' 
Nesta equação: 
εc = deformação específica do concreto na borda mais comprimida (ou menos 
tracionada) 
εs = deformação específica na armadura As 
ε’s = deformação específica na armadura As’ 
 
Com a convenção apresentada, as equações de equilíbrio e de compatibilidade de 
deformações são válidas para qualquer domínio de deformações e para qualquer caso de 
solicitação normal, desde a tração uniforme até a compressão uniforme, passando pelos 
casos intermediários de flexão simples e solicitações combinadas. 
Neste trabalho, as tensões e as deformações serão consideradas em valor 
absoluto. As resultantes internas de compressão e de tração já serão orientadas no 
sentido do esforço aplicado e os sinais correspondentes serão incluídos nas expressões 
de cálculo. O momento Mu será considerado sempre positivo e a força normal será 
positiva quando de compressão e negativa quando de tração. 
 18
7 FLEXÃO NORMAL SIMPLES 
7.1 INTRODUÇÃO 
Flexão simples é aquela que se verifica com ausência de força normal. 
Flexão normal é aquela em que o plano de flexão contém um dos eixos principais 
de inércia da seção. 
Na flexão normal simples a linha neutra situa-se entrea borda comprimida da 
seção e a armadura tracionada: 0 < x < d. Ocorre nos domínios 2, 3 e 4 de deformações. 
 
 
Equações de Equilíbrio 
0 = Rc + R´s – Rs 
Mu = Rc zc + R´s (d – d´) 
 
Rc resultante de compressão no concreto 
R´s resultante de compressão na armadura comprimida (A´s) 
Rs resultante de tração na armadura tracionada (As) 
Mu valor último do momento fletor 
d altura útil da seção (distância do CG da armadura tracionada até a borda 
comprimida da seção) 
d´ distância do CG da armadura comprimida até a borda comprimida da seção 
zc distância do ponto de aplicação de Rc ao CG da armadura tracionada 
bw largura da alma da seção 
 
 
 
 19
Equações de Compatibilidade 
xddxx
ssuc
−=−=
εεε
'
',
 
 
x distância da LN até a borda comprimida 
εc,u encurtamento de ruptura do concreto na borda comprimida 
ε’s encurtamento da armadura comprimida 
εs alongamento da armadura tracionada 
 
7.2 POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA 
A posição da linha neutra pode ser relacionada com as deformações na borda 
comprimida da seção e sua armadura tracionada. 
Da equação de compatibilidade: 
xdx
suc
−=
εε , ∴ dx
suc
uc
εε
ε
+= ,
, 
Definição: 
d
x
x =β 
βx: coeficiente adimensional que fornece a posição relativa da LN na 
seção. 
Sendo: dx
suc
uc
εε
ε
+= ,
, tem-se 
suc
uc
x εε
εβ += ,
, 
 
7.3 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA As 
As área da seção transversal da armadura tracionada 
εs deformação na armadura tracionada (alongamento) 
σs tensão na armadura tracionada 
 
a) Domínio 2: 0 < x < 0,259d ∴ 0 < βx < 0,259 
0 < εc < εc,u = 0,35% 
εs = εs,u = 1% > εyd ∴ σs = fyd 
 
 20
b) Domínio 3: 0,259d ≤ x ≤ xy ∴ 0,259 ≤ βx ≤ βxy 
εc = εc,u = 0,35% 
εyd ≤ εs ≤ 1% ∴ σs = fyd seções sub-armadas 
 
Definição: xy valor de x quando εc = εc,u = 0,35% e εs = εyd 
 βxy valor de βx quando εc = εc,u = 0,35% e εs = εyd 
dx
yduc
uc
y εε
ε
+= ,
, ∴ 
yduc
uc
xy εε
εβ += ,
, 
 
yd
xy εβ += 0035,0
0035,0 
 
Para que σs = fyd é preciso que βx ≤ βxy 
Obs.: βxy é também denominado de βxlim. 
 
c) Domínio 4: xy < x < d ∴ βxy < βx < 1 
εc = εc,u = 0,35% 
0 < εs < εyd ∴ 0 < σs < fyd seções super-armadas 
 
 
xdx
suc
−=
εε , ∴ 
x
xd
ucs
−= ,εε 
 
x
xd
s
−= 0035,0ε 
∴
x
x
s β
βε −= 10035,0 
Relação σ x ε do aço: 
 
Para 1> βxy > βx tem-se 0 < εs < εyd 
Portanto: 0 < σs < fyd (reta de Hooke) 
 σs = Es εs 
Aços εyd βxy 
CA-25 0,001035 0,772 
CA-50 0,002070 0,628 
CA-60 0,002484 0,585 
 
 21
d) Comentários: 
1º) No dimensionamento, a situação mais recomendável é para βx < βxy, isto é, 
seções sub-armadas. 
2º) As vantagens dessa situação são: 
• ruptura com aviso (devido ao escoamento do aço e aparecimento de muitas 
fissuras); 
• maior economia (por aproveitar toda a capacidade resistente do aço). 
3º) A ruptura das peças super-armadas é brusca e sem aviso sendo, por isso, essa 
situação evitada na flexão simples. 
4º) Deve-se também evitar o dimensionamento com βx de valor muito baixo (no 
domínio 2, em geral para βx < 0,15) porque resulta uma quantidade muito 
pequena de armadura conduzindo a uma ruptura frágil. Para isso é preciso que 
a taxa de armadura ρ seja maior ou igual à taxa mínima de armadura (NBR 
6118:2003 - item 17.3.5.2.1 – Tabela 17.3) 
 
 Tabela 17.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (fonte: NBR 6118:2003) 
Valores de ρmin1) em % (As,min/Ac) 
Forma da 
Seção fck 
ωmin 20 25 30 35 40 45 50 
Retangular 
 
0,035 0,15 0,15 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
T 
(mesa 
comprimida) 
0,024 0,15 0,15 0,15 0,150 0,158 0,177 0197 
T 
(mesa 
tracionada) 
0,031 0,15 0,15 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 
Circular 
 
0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 
1) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem uso de aço CA-50, γc =1,4, γs=1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmin dado. 
Nota – Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa 
colaborante. 
 
 
 
 
 
 22
7.4 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NA ARMADURA A’s 
A’s área da seção transversal da armadura comprimida 
ε's deformação na armadura comprimida (encurtamento) 
σ's tensão na armadura comprimida 
 
a) DOMÍNIO 2: 0 < x < 0,259d ∴ 0 < βx < 0,259 
0 < εc < εc,u = 0,35% 
εs = εs,u = 1% 
 
 
xddx
ss
−=−
εε
'
' ∴ 
xd
dx
ss −
−= '' εε 
xd
dx
s −
−= '010,0'ε 
Definição : 
d
d '=η ∴ 
x
x
s β
ηβε −
−=
1
010,0' 
 
b) DOMÍNIO 3 e 4: 0,259d < x < d ∴ 0,259 < βx < 1 
εc = εc,u = 0,35% 
0 < εs ≤ 1% 
 
xdx
ucs ,
'
' εε =− ∴ x
dx
ucs
'' ,
−= εε 
x
dx
s
'0035,0' −=ε 
∴ 
x
x
s β
ηβε −= 0035,0' 
 
Relação σ x ε do aço: 
Definição: β’xy valor de βx quando ε’s = ε’yd (nos domínios 2, 3 ou 4) 
 23
O valor de β’xy é obtido, para cada aço, por uma das duas expressões de ε’s vistas 
anteriormente (conforme corresponda aos domínios 2, 3 ou 4) admitindo-se ε’s = 
ε’yd. 
Para que σ’s = fycd é preciso que ε’s ≥ ε’yd . 
 
 
 
 
- quando βx ≥ β’xy tem-se ε’s ≥ ε’yd e portanto σ’s = fycd 
- quando βx < β’xy tem-se ε’s < ε’yd e portanto σ’s = Es.ε’s 
com ε’s dado por uma das expressões apresentadas anteriormente, 
conforme o domínio. 
 
c) COMENTÁRIOS: 
1º) Quando βx ≤ η desprezar a armadura A’s e considerar somente a armadura As. 
2º) No caso em que βx ≤ η, recalcular βx considerando somente a armadura As 
 
7.5 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 
Adotar-se-á nos cálculos o diagrama retangular de tensões de compressão como 
permitido pela NBR 6118:2003. 
 
7.5.1 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA SIMPLES 
Denominam-se seções com armadura simples aquelas que possuem armadura 
somente do lado tracionado (As). 
Equações de equilíbrio 
0 = Rc – Rs 
Mu = Rc .zc = Rs .zc 
β´xy Aços ε´yd η=0,05 η=0,08 η=0,10 η=0,12 η=0,15 
CA-25 0,001035 0,139 0,166 0,184 0,203 0,230 
CA 50 0,002070 0,213 0,238 0,254 0,294 0,367 
CA 60 0,002484 0,239 0,276 0,345 0,414 0,517 
 24
Então: 
0 = bw y 0,85 fcd - As σs 
)
2
()
2
(85,0 ydAydfybM sscdwu −=−= σ 
 
Rc = bw y 0,85 fcd 
Rs = As σs 
2
ydzc −= 
 y = 0,8 x 
d
x
x =β ∴ x = βx d 
y = 0,8 βx d 
 
Então: 
0 = bw d 0,68 βx fcd - As σs (1a equação) 
Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) = As σs d. (1 – 0,4 βx) (2a equação) 
 
Nos casos de verificação conhecem-se as dimensões da seção de concreto (bw, 
h, d), a área da seção transversal da armadura (As) e as resistências de cálculo do 
concreto (fcd = fck / γc) e do aço (fyd = fyk / γs). Procura-se o momento último Mu ou o 
momento máximo M que a seção poderá suportar em serviço. 
Da 1a equação de equilíbrio: 
cdw
ss
x fdb
A
.68,0..
σβ = 
 
- Admite-se σs = fyd e calcula-se βx 
- Se βx calculado ≤ βxy, a hipótese está correta (σs = fyd) 
- Se βx calculado > βxy, a hipótese feita está incorreta (σs < fyd). Deve-se 
corrigir βx corrigindo-se o valor adotado para σs. Coloca-se σs em função 
de βx, Es e εs. Corrige-se a tensão e recalcula-se βx. 
 
A tensão no aço é calculada pela expressão: σs = Es εs 
 
 25
A deformação εs vale: 
x
x
s β
βε −= 10035,0 
- Com o valor correto de βx a 2a equação fornece Mu. 
)4,01(68,02 xcdxwu fdbM ββ −= ou )4,01( xssu dAM βσ −= 
- O momento máximo que a seção poderá suportar em serviço será: 
f
uMM γ= 
 
7.5.2 SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLADenominam-se seções com armadura dupla aquelas que possuem armaduras 
tanto no lado tracionado (As) quanto no lado comprimido (A’s). 
 
 
Equações de equilíbrio 
0 = Rc + R’s – Rs 
Mu = Rc zc + R’s (d-d’) 
 
Então: 
0 = bw y 0,85 fcd + A’s σ’s - As σs 
)'.('.')
2
.(.85,0.. ddAydfybM sscdwu −+−= σ 
Rc = bw y 0,85 fcd 
R’s = A’s σ’s 
Rs = As σs 
2
ydzc −= 
y = 0,8 x 
 26
d
x
x =β ∴ x = βx d 
y = 0,8 βx d 
 
Então: 
0 = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s - As σs (1a equação) 
Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) + A’s σ’s (d-d’) (2a equação) 
 
Nos casos de verificação, conhecem-se as dimensões da seção de concreto (bw, 
h, d, d’), as área das seções transversais das armaduras (As e A’s) e as resistências de 
cálculo do concreto (fcd = fck / γc) e do aço (fyd = fyk / γs e fycd = fyck / γs). Procura-se o 
momento último Mu ou o momento máximo M que a seção poderá suportar em serviço. 
Da 1a equação de equilíbrio: 
cdw
ssss
x fdb
AA
68,0
'' σσβ −= 
 
Roteiro: 
- Admite-se σs = fyd e σ’s = fycd 
- Para que σs = fyd deve-se ter βx < βxy e para que σ’s = fycd deve-se ter βx ≥ β’xy 
- Se as duas condições se verificarem ao mesmo tempo, o valor obtido para βx 
está correto 
- Se uma das condições (ou as duas) não se verificar (verificarem) coloca-se a 
tensão correspondente (ou tensões correspondentes) em função de βx, Es e 
das deformações e recalcula-se βx para obter o valor correto. 
Para As: σs = Es εs se βx > βxy 
Para A’s σ’s = Es ε’s se βx < β’xy 
- Com o valor correto de βx a 2ª equação de equilíbrio fornece Mu. 
Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) + A’s σ’s (d-d’) 
- O momento máximo que a seção poderá em serviço será: 
f
uMM γ= 
 
7.6 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 
Adotar-se-á nos cálculos o diagrama retangular de tensões de compressão no 
concreto, como permitido pela NBR 6118:2003. 
 27
7.6.1 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
Equações de equilíbrio 
0 = Rc – Rs 
Mu = Rc zc =Rs zc 
 
Então: 
0 = bw y 0,85 fcd - As σs 
)
2
.(.)
2
.(.85,0.. ydAydfybM sscdwu −=−= σ 
Rc = bw y 0,85 fcd 
Rs = As σs 
2
ydzc −= 
y = 0,8 x 
d
x
x =β ∴ x = βx d 
y = 0,8 βx d 
 
Então: 
0 = bw d 0,68 βx fcd - As σs (1a equação) 
Mu = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) = As σs d (1 – 0,4 βx) (2a equação) 
 
No dimensionamento faz-se Mu = Md 
Mu momento último 
Md momento de cálculo Md = γf M 
M momento fletor solicitante em serviço 
 28
γf coeficiente de majoração das ações e solicitações (conforme a NBR 
6118:2003 ou a NBR 8681:2003) 
fcd valor de cálculo da resistência do concreto fcd = fck / γc 
fck resistência característica do concreto à compressão 
γc coeficiente de minoração da resistência do concreto (γc = 1,4 em geral, 
conforme a NBR 6118:2003) 
 
Da 2a equação de equilíbrio: 
)4,01(68,02 xcdxwd fdbM ββ −= 
)4,01(68,02 x
c
ck
xwd
f
dbM βγβ −= 
Denomina-se 
)4,01(68,0 xckx
c
c f
k ββ
γ
−= 
Resulta então: 
c
w
d k
dbM
2
= 
O coeficiente kc é tabelado em função de fck e βx. 
 
Ainda da 2a equação de equilíbrio: 
)4,01( xssd dAM βσ −= 
d
M
A
xs
d
s )4,01( βσ −= 
Denomina-se 
)4,01(
1
xs
sk βσ −= 
Resulta então: 
d
M
kA dss = 
O coeficiente ks é tabelado em função de βx para cada tipo de aço da A.B.N.T. 
 
Definição: 
hb
A
w
s=ρ taxa geométrica de armadura 
A armadura da seção deverá satisfazer a seguinte condição: ρ ≥ ρmin (ver item 
7.3 desta apostila). 
 29
A seção terá armadura simples sempre que o coeficiente kc correspondente a Md 
resulte em βx ≤ βx lim (ver item 7.3 desta apostila). 
 
7.6.2 SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA 
 
Pode-se admitir a seguinte equivalência: 
 
Equações de equilíbrio 
0 = Rc + R’s – Rs Rs= Rs1 + Rs2 Md = Md1 + ΔMd 
Mu = Rc zc + R’s (d-d’) Rs1 = Rc Md1 = Rc zc = Rs1zc 
 Md Md1  ΔMd Rs2 = R’s ΔMd = Rs2 (d-d’) = R’s (d-d’) 
 
Pode-se então fazer a seguinte decomposição para o cálculo com tabelas: 
 
 30
Md = Md1 + ΔMd 
Md momento de cálculo a ser resistido pela seção com armadura dupla 
Md1 parte de Md resistida pelo concreto e a parte As1 da armadura total 
ΔMd parte de Md resistida pelo par de armaduras A’s e As2 
 
As = As1 + As2 
 
A seção terá armadura dupla quando com armadura simples resultar βx > βx lim. 
Adota-se βx ≤ βx lim e a seção deverá ter armadura dupla. 
Para βx adotado, da tabela, obtém-se kc e ks 
c
w
d k
dbM
2
1 = 
d
M
kA dss 11 = 
ΔMd = Md - Md1 
ΔMd = As2 σs (d-d’) ∴ )'(2 dd
M
A
s
d
s −
Δ= σ 
Denomina-se 
s
sk σ
1
2 = 
Resulta, então: 
)'(22 dd
MkA dss −
Δ= 
As = As1 + As2 armadura tracionada 
ΔMd = A’s σ´s (d-d’) ∴ )'('' dd
M
A
s
d
s −
Δ= σ 
Denomina-se 
s
sk '
1' σ= 
Resulta, então: 
)'(
''
dd
MkA dss −
Δ= armadura comprimida 
Com ks2 e k’s correspondentes ao βx adotado. 
Os coeficientes ks2 e k’s são tabelados em função de βx para cada um dos aços 
da A.B.N.T.. 
 
 31
7.7 VIGAS DE SEÇÃO “T” NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
Nas vigas internas das estruturas de concreto, quando a zona comprimida situa-
se do lado da laje, as tensões de compressão distribuem-se além da alma da seção 
abrangendo também a laje. Por isso, podem-se considerar as regiões da laje vizinha da 
alma como partes integrantes da seção transversal da viga. 
 
A seção T submetida à flexão normal simples apresenta, no estado limite último, 
um bloco de tensões de compressão não prismático. Por razões práticas substitui-se 
esse bloco real de tensões por um bloco ideal, prismático, com um diagrama de 
tensões constante e semelhante ao diagrama real no plano de solicitação. 
 
 
 
 
 
Escolhe-se para esse bloco ideal de tensões uma largura eficaz bf tal que seja 
mantida a resistência de cálculo da seção ao se substituir por ele o bloco real de 
tensões. A largura bf é denominada largura colaborante. 
O valor da largura colaborante bf não é constante ao longo da viga. Depende: 
- do tipo de viga considerada (simplesmente apoiada, contínua, etc.); 
- de serem as cargas distribuídas ou concentradas; 
- da presença eventual de mísulas. 
 
A largura colaborante bf é determinada conforme o item 14.6.2.2 da NBR 
6118:2003 como se transcreve a seguir: 
“A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida no 
máximo 10% da distância “a” entre dois pontos de momento fletor nulo, para cada lado 
da viga em que houver laje colaborante.” 
 32
Para cálculo da resistência ou deformação, a parte da laje a considerar como 
elemento da viga (parte de bf), medida a partir da face da nervura fictícia, é conforme o 
caso: 
 vigas associadas vigas isoladas 
 0,10 a 0,10 a 
b1 ≤ b3 ≤ 
0,5 b2 b4 
 
em que a tem o seguinte valor: 
 
- viga simplesmente apoiada a = l 
- tramo com momento em uma só extremidade a = (3/4) l 
- tramo com momento nas duas extremidades a = (3/5) l 
- viga em balanço a = 2 l 
 l = vão teórico da viga 
 
 
Viga associada : bf = bw + 2 b1 
Viga isolada: bf = bw + 2 b3 
 
Neste lado 
respeitar 
também b3 ≤ b4 
 33
7.7.1 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA 
SIMPLES 
 
1º Caso : o bloco de tensões de compressão não ultrapassa a mesa (y ≤ hf, isto 
é βx ≤ βxf) 
 
O dimensionamento se faz como para uma seção retangular com largura fictícia 
bw = bf e altura h, pois a forma da região tracionada não interfere no cálculo. 
y = 0,8 x ∴ 
8,0
yx = 
Quando y = hf tem-se: 8,0
fhx = 
Sendo 
d
xx=β , quando y = hf define-se d
h f
fx 8,0
=β 
 
Este caso (y ≤ hf) acontece quando βx ≤ βxf. 
 
Assim, quando para 
d
f
c M
db
k
2
= corresponder βx ≤ βxf 
a armadura será 
d
M
kA dss = com ks correspondente ao βx obtido. 
 
2º Caso : o bloco de tensões de compressão ultrapassa a mesa 
(y > hf, isto é βx > βxf) 
 34
Quando o bloco de tensões de compressão ultrapassa a mesa, é prático 
empregar o artifício de decompor a seção T em duas outras idealmente concebidas 
para estender a este caso o uso das tabelas para seções retangulares. 
 Md = Md1 + ΔMd 
As = As1 + As2 
 
Md momento a ser resistido pela seção T 
Md1 parte do momento Md resistida pela mesa e pela parte As1 da 
armadura total 
ΔMd parte do momento Md resistido pela nervura e pela parte As2 da 
armadura total 
O momento Md1 é o mesmo que seria resistido por uma seção T com largura 
fictícia igual a bf – bw e y = hf (1º caso) 
c
wf
d k
dbb
M
2
1
)( −= 
com kc correspondente a βx = βxf, isto é, a y = hf. 
Para a segunda seção o momento é: 
ΔMd = Md – Md1 
 
Então: 
d
w
c M
dbk Δ=
2
 tabela βx ≤ βx lim 
 ks 
 
d
M
kA dss
Δ=2 
 
A armadura As1 necessária para a primeira seção será obtida por: 
 
 35
)
2
(11
f
ssd
h
dAM −= σ 
 
2
1 1
1
f
d
s
s h
d
MA
−⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞= σ 
Nesta expressão 2
1
s
s
k=σ já apresentado anteriormente 
 
Então: 
 
2
1
21
f
d
ss h
d
MkA
−
= com ks2 correspondente ao βx da seção. 
 
As = As1 + As2 
 
 
7.7.2 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES T COM ARMADURA 
DUPLA 
 
Resolve-se o problema de dimensionamento de seções T com armadura dupla 
com facilidade empregando-se o artifício de desdobramento da seção T como indicado 
abaixo. A seção T, com armadura dupla, é desdobrada em: mesa com uma parte da 
armadura, e nervura com armadura dupla. Esta última se desdobra em nervura com 
armadura simples e um par de armaduras. 
 
 
 
Md = Md1 + ΔMd 
ΔMd Md2 + Md3 
As = As1 + As2 + As3
 36
A seção terá armadura dupla quando com armadura simples resultar βx > βx lim. 
Adota-se βx ≤ βx lim e a seção deverá ter armadura dupla. 
 
c
wf
d k
dbb
M
2
1
).( −= 
com kc correspondente a βx = βxf, isto é, a y = hf. 
 
c
w
d k
dbM
2
2
.= 
d
M
kA dss 22 = 
 
com kc e ks correspondentes ao βx adotado. 
 
Md3 = Md – Md1 – Md2 
 
'
3
23 dd
M
kA dss −= 
 
'
'' 3
dd
M
kA dss −= 
 
com ks2 e k’s correspondentes ao βx adotado. 
 
 
2
1
21
f
d
ss h
d
M
kA
−
= 
 
om ks2 correspondente ao βx adotado. 
 
 
As = As1 + As2 + As3 
 
 
 37
8 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE COMPRESSÃO 
8.1 INTRODUÇÃO 
Flexão composta é o caso de solicitação normal em que atuam momento fletor e 
força normal simultaneamente. 
Flexão normal composta é aquela em que o plano de flexão contém um dos 
eixos principais de inércia da seção transversal da peça. 
Os esforços solicitantes são referidos, convencionalmente, ao eixo geométrico 
da peça. 
u
u
N
M
e = 
2
'ddees
−+= 
2
'
2
'..)
2
'.(. ddNMddNeNddeNeNM uuuuususu
−+=−+=−+== 
 
8.2 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE 
Flexão normal composta com grande excentricidade é aquela em que uma das 
armaduras é tracionada. 
As área da seção transversal da armadura tracionada. 
As’ área da seção transversal da armadura comprimida. 
Ocorre nos domínios de deformações 2, 3 e 4. 
Portanto 0 < x < d ∴ 0 < βx < 1 
 38
Equações de equilíbrio: 
Nu = Rc + R’s – Rs 
Nu es = Rc zc + R’s (d – d’) 
 
y = 0,8 x ∴ y = 0,8 βx d 
x = βx d 
Rc = bw y 0,85 fcd = bw d 0,68 βx fcd 
R’s = A’s σ's 
Rs = As σs 
),(
,
x
x
c 401d2
d80
d
2
ydz ββ −=−=−= 
 
As equações ficam: 
Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ's – As σs 
Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 
No dimensionamento faz-se Nu = Nd 
N valor da força normal em serviço 
Nd valor de cálculo da força normal: Nd = γf N 
Md valor de cálculo do momento fletor: Md = Nd . e 
 
Então: 
Nd = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s – As σs 
Nd es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 
Dividindo-se os dois membros da 1a equação por bw d fcd e os dois membros da 
2a equação por bw d2 fcd, resultam as equações na forma adimensional. 
cd
s
w
s
cd
s
w
s
x
cdw
d
fdb
A
fdb
A
dfb
N σσβ −+= ''68,0 
d
dd
fdb
A
fdb
eN
cd
s
w
s
xx
cdw
sd ''')4,01(68,02
−+−= σββ 
 39
cdw
d
d dfb
N=ν normal reduzida 
d
d '=η 
cdw
sd
sd fdb
eN
2=μ momento reduzido d
dd '1 −=−η 
 
ω = 0,68 βx tabelados 
μ = 0,68 βx (1-0,4βx) 
 
cd
yd
w
s
d f
f
db
A=ω taxa mecânica de armadura referente a As 
cd
ycd
w
s
d f
f
db
A'
' =ω taxa mecânica de armadura referente a A’s 
cd
s
w
s
yd
s
d fdb
A
f
σσω = e 
cd
s
w
s
ycd
s
d fdb
A
f
''
'
σσω = 
 
Então 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων −+= '' Equações para seção com armadura dupla 
)1(
'
' ησϖμμ −+=
ycd
s
dsd f
 
 
No caso de seção com armadura simples: 
A’s = 0 ∴ R’s = 0 e R’s (d-d’) = 0 
Nu = Rc – Rs 
Nu es = Rc zc 
 
Com Nu = Nd ficam: 
Nd = Rc – Rs = bw d 0,68 βx fcd – As σs 
Nd es = Rc zc = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) 
 
 
 40
cd
s
w
s
x
cdw
d
fdb
A
dfb
N σβ −= 68,0 
)4,01(68,02 xx
cdw
sd
fdb
eN ββ −= 
 
yd
s
dd f
σωων −= Equações para seção com armadura simples 
μμ =sd 
 
As relações 
yd
s
f
σ e 
ycd
s
f
'σ também são tabeladas. 
 
1º) Dimensionamento com armadura simples 
 
Para μ = μsd tabela 4 βx1 
 ω 
Da 1a equação: d
yd
s
d f
νωσω −= 
Para βx = βx1 tabela 5 
yd
s
f
σ ∴ 
yd
s
d
d
f
σ
νωω −= 
Daí obtém-se: 
yd
cd
wds f
fdbA ω= 
 
2º) Dimensionamento com armadura dupla 
 
Para βx adotado tabela 4 μ 
 ω 
Da 2a equação: η
μμσω −
−=
1
'
' sd
ycd
s
d f
 
 41
Para βx tabela 6 
ycd
s
f
'σ ∴ 
ycd
s
sd
d
f
'
1' σ
η
μμ
ω −
−
= 
Daí obtém-se: 
ycd
cd
wds f
fdbA '' ω= 
Da 1a equação: d
ycd
s
d
yd
s
d ff
νσωωσω −+= '' 
Para βx tabela 5 
yd
s
f
σ ∴ 
yd
s
d
ycd
s
d
d
f
f
σ
νσωω
ω
−+
=
'
'
 
Daí obtém-se: 
yd
cd
wds f
fdbA ω= 
 
8.3 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE 
Flexão normal composta com pequena excentricidade é aquela com armaduras 
comprimidas havendo parte da seção de concreto tracionada. 
As área da seção transversal da armadura menos comprimida. 
A’s área da seção transversal da armadura mais comprimida. 
Ocorre no domínio de deformação 4a. 
Portanto d ≤ x < h ∴ 1 ≤ βx < 1+η 
 
Equações de equilíbrio: 
Nu = Rc + R’s + Rs 
Nu es = Rc zc + R’s (d – d’) 
 
 42
y = 0,8 x ∴ y = 0,8 βx d 
x = βx d 
Rc = bw y 0,85 fcd = bw d 0,68 βx fcd 
R’s = A’s σ’s 
Rs = As σs 
)4,01(
2
8,0
2 x
x d
d
dydzc ββ −=−=−= 
 
As equações ficam: 
Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s + As σs 
Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 
No dimensionamento faz-se Nu = Nd 
Então: 
Nd = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s + As σs 
Nd es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 
Na forma adimensional: 
cd
s
w
s
cd
s
w
s
x
cdw
d
fdb
A
fdb
A
dfb
N σσβ ++= ''68,0 
d
dd
fdb
A
fdbeN
cd
s
w
s
xx
cdw
sd ''')4,01(68,02
−+−= σββ 
 
Com as definições vistas no caso anterior: 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων ++= '' Equações para seção com armadura dupla 
)1(
'
' ησϖμμ −+=
ycd
s
dsd f
 
No caso de armadura simples: 
A’s = 0 ∴ R’s = 0 e R’s (d-d’) = 0 
 
 43
Nu = Rc + Rs 
Nu es = Rc zc 
 
Com Nu = Nd resultam 
Nd = Rc + Rs = bw d 0,68 βx fcd + As σs 
Nd es = Rc zc = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) 
 
cd
s
w
s
x
cdw
d
fdb
A
dfb
N σβ += 68,0 
)4,01(68,02 xx
cdw
sd
fdb
eN ββ −= 
 
yd
s
dd f
σωων += Equações para seção com armadura simples 
μμ =sd 
 
As relações 
yd
s
f
σ e 
ycd
s
f
'σ também são tabeladas. 
 
1º) Dimensionamento com armadura simples 
 
Para μ = μsd tabela 7 βx1 
 ω 
Da 1a equação: ωνσω −= d
yd
s
d f
 
Para βx = βx1 tabela 8 
yd
s
f
σ ∴ 
yd
s
d
d
f
σ
ωνω −= 
Daí obtém-se: 
yd
cd
wds f
fdbA ω= 
 
 44
2º) Dimensionamento com armadura dupla 
 
Para βx adotado tabela 7 μ 
 ω 
 
Da 2a equação: η
μμσω −
−=
1
' sd
ycd
s
d f
 
Para βx tabela 9 
ycd
s
f
'σ ∴ 
ycd
s
sd
d
f
'
1' σ
η
μμ
ω −
−
= 
Daí obtém-se: 
ycd
cd
wds f
fdbA '' ω= 
Da 1a equação: 
ycd
s
dd
yd
s
d ff
'
'
σωωνσω −−= 
Para βx tabela 8 
yd
s
f
σ ∴ 
yd
s
ycd
s
dd
d
f
f
σ
σωων
ω
'
'−−
= 
Daí obtém-se: 
yd
cd
wds f
fdbA ω= 
 
8.4 COMPRESSÃO NÃO UNIFORME 
Compressão não uniforme é a flexão composta em que toda a seção transversal 
da peça é comprimida, inclusive as armaduras. 
As área da seção transversal da armadura menos comprimida. 
A’s área da seção transversal da armadura mais comprimida. 
 
Ocorre no domínio 5 de deformações. 
Portanto h ≤ x < +∞ ∴ 1+η ≤ βx < +∞ 
 
 
 45
 
 
Na compressão não uniforme o dimensionamento é, em geral, feito com 
armadura dupla. 
 
1º caso: y ≤ h ∴ 1+η ≤ βx ≤ 1,25 (1+η) 
Neste caso y = 0,8x ∴ ω = 0.68 βx e μ = 0,68 βx (1-0,4 βx) 
As equações de equilíbrio são as mesmas da flexão normal composta com 
pequena excentricidade. No dimensionamento procede-se do mesmo modo que para 
aquele caso. 
 
2º caso: y = h ∴ 1,25(1+η) ≤ βx < +∞ . Neste caso y = h = cte 
 
Equações de equilíbrio: 
Nu = Rc + R’s + Rs 
Nu es = Rc zc + R’s (d – d’) 
 
Rc = bw h 0,85 fcd 
R’s = A’s σ’s 
Rs = As σs 
2
hdzc −= 
 
Nu = bw h 0,85fcd + A’s σ’s + As σs 
 (d- d')' A') h (d - f, h b eN sscdwsu σ+= 2850 
 
 46
No dimensionamento faz-se Nu = Nd 
Então: 
Nd = bw h 0,85fcd + A’s σ’s + As σs 
 (d- d') σ A') h (d - f, h b eN sscdwsd '2
850 += 
Na forma adimensional: 
cd
s
w
s
cd
s
w
s
cdw
d
fdb
A
fdb
A
d
h
dfb
N σσ ++= ''85,0 
d
dd
fdb
A
d
h
d
h
fdb
eN
cd
s
w
s
cdw
sd ''')
2
1(85,02
−+−= σ 
 
)1(85,0'85,085,0 ηω +=+==
d
dd
d
h 
)1(425,0
2
1)1(85,0
2
'1'85,0
2
185,0 2ηηημ −=−+=⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞+−+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
d
dd
d
dd
d
h
d
h 
d
dd '1 −=−η 
 
Portanto, resultam nas seguintes equações onde: ω=0,85(1+η) 
 μ=0,425(1-η2) 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων ++= '' Equações para seção com armadura dupla 
)1(
'
' ησϖμμ −+=
ycd
s
dsd f
 
 
Na compressão uniforme o dimensionamento é, em geral, feito com armadura 
dupla. 
No dimensionamento procede-se como para a flexão composta com pequena 
excentricidade. 
 
 
 47
8.5 INTERAÇÃO DE MOMENTO FLETOR E FORÇA NORMAL NA FLEXO-
COMPRESSÃO 
1º) Análise da 2a equação de equilíbrio: 
)1(
'
' ησϖμμ −+=
ycd
s
dsd f
 armadura dupla 
μμ =sd armadura simples 
 
Onde μ = 0,68 βx (1-0,4 βx) para 0 < βx < 1,25 (1 + η) 
μ = 0,425 (1 – η2) para βx ≥ 1,25 (1 + η) 
cdw
sd
sd fdb
eN
2=μ 
βx1 = valor de βx para μ = μsd 
sdx μβ .6765,35625,125,11 −−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Para βx = βx1 → μsd = μ ∴ 0)1('' =−ησϖ
ycd
s
d f
 e A’s=0 armadura simples 
A 2a equação de equilíbrio é satisfeita com A’s = 0 
• Para βx < βx1 → )1('' ησϖμμ −+=
ycd
s
dsd f
 ∴ 0
1
'
' ≠−
−= η
μμσϖ sd
ycd
s
d f
 
A 2a equação de equilíbrio é satisfeita com A’s ≠ 0 comprimida 
Isto só será possível com βx > η 
 48
• Para βx > βx1 → )1('' ησϖμμ −−=
ycd
s
dsd f
 ∴ 0
1
'
' ≠−
−= η
μμσϖ sd
ycd
s
d f
 
A 2a equação de equilíbrio é satisfeita com A’s ≠ 0 tracionada 
Isto só será possível com βx < η. 
• Quando βx1 > η não é possível satisfazer a 2a equação de equilíbrio com 
valores de βx < η (porque a armadura As’seria tracionada e não comprimida 
como exige a condição de equilíbrio) nem com βx > βx1 (porque a armadura 
As’seria comprimida e não tracionada como exige a condição de equilíbrio). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a 2a equação de equilíbrio só é satisfeita com A’s ≠ 0 comprimida 
ou A’s = 0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo 
η < βx ≤ βx1 
Com βx = βx1 → 0'' =
ycd
s
d f
σϖ ∴ A’s= 0 → armadura simples 
Com η < βx < βx1 → 0'' ≠
ycd
s
d f
σϖ ∴ A’s≠ 0 → comprimida 
• Quando βx1 < η não é possível satisfazer a 2a equação de equilíbrio com 
valores de βx < βx1 (porque a armadura As’seria tracionada e não comprimida 
como exige a condição de equilíbrio) nem com βx > η (porque a armadura 
seria comprimida e não tracionada como exige a condição de equilíbrio). 
 
 
 
 
 
 
 
 49
Portanto a 2a equação de equilíbrio só é satisfeita com A’s ≠ 0 tracionada ou 
A’s=0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo 
βx1 ≤ βx < η. 
Com βx = βx1 → 0'' =
ycd
s
d f
σϖ ∴ A’s= 0 → armadura simples 
Com βx1 ≤ βx < η → 0'' ≠
ycd
s
d f
σϖ ∴ A’s≠ 0 → tracionada 
• Quando βx1 = η o único valor de βx que satisfaz a 2a equação de equilíbrio é 
βx = βx1 = η resultando 0f ycd
s
d ='' σϖ e portanto A’s=0 → armadura simples 
(única solução). 
 
Dependendo do valor do momento reduzido, μs, quatro casos podem ocorrer: 
• Caso A: quando 0 < μsd ≤ 0,68 η (1-0,4η) resultando 0 < βx1 ≤ η 
 A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para βx1 ≤ βx < η 
• Caso B: quando 0,68 η (1-0,4η) < μsd ≤ 0,408 resultando η < βx1 ≤ 1,00 
 A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para η< βx ≤ βx1 
• Caso C: quando 0,408 < μsd ≤ 0,425 resultando 1,00 < βx1 ≤ 1,25 
 A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para η< βx ≤ βx1 
• Caso D: quando μsd > 0,425 
 A 2a equação de equilíbrio é satisfeita para βx > η 
 
2º) Análise da 1a equação de equilíbrio: 
 
Domínios 2, 3 e 4: 0 < βx < 1 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων −+= '' 
d
ycd
s
d
yd
s
d ff
νσϖωσω −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += '' ∴ 
yd
s
d f
σω = tração 
 
 
 
 50
Domínios 4a e 5: 1 ≤ βx < +∞ 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων ++= '' 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
ycd
s
dd
yd
s
d ff
'
'
σωωνσω ∴ 
yd
s
d f
σω = compressão 
Onde: 
cdw
d
d dfb
N=ν 
 
βx2 = valor de βx quando 0'' =∴+=
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων 
 ])1(.[6765,35625,125,1 22 sddx μηνηηβ −−++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Para βx = βx2 → 
ycd
s
dd f
'
'
σωων += ∴ 0=
yd
s
d f
σω e As = 0 
A 1a equação de equilíbrio é satisfeita com As = 0. 
• Para βx > βx2 → 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων −+= '' ∴ 0'' ≠−+= d
ycd
s
d
yd
s
d ff
νσωωσω 
A 1a equação de equilíbrio é satisfeita com As ≠ 0 tracionada 
Istosó será possível com 0 < βx < 1 → Domínios 2, 3 e 4. 
• Para βx < βx2 → 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων ++= ''
 ∴ 0'' ≠−−=
ycd
s
dd
yd
s
d ff
σωωνσω 
A 1a equação de equilíbrio é satisfeita com As ≠ 0 comprimida 
Isto só será possível com 1 < βx < +∞ → Domínios 4a e 5. 
 51
• Quando βx2 < 1 não é possível satisfazer a 1a equação de equilíbrio com 
valores de βx < βx2 (porque a armadura As seria tracionada e não comprimida 
como exige a condição de equilíbrio) nem com valores de βx > 1 (porque a 
armadura As seria comprimida e não tracionada como exige a condição de 
equilíbrio). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto a 1a equação de equilíbrio só é satisfeita com As ≠ 0 tracionada ou 
As = 0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo 
βx2 ≤ βx < 1. 
Com βx = βx2 → 0=
yd
s
d f
σω ∴ As = 0 
Com βx2 < βx < 1 → 0≠
yd
s
d f
σω ∴ As ≠ 0 → tracionada 
• Quando βx2 > 1 não é possível satisfazer a 1a equação de equilíbrio com 
valores de βx > βx2 (porque a armadura As seria comprimida e não tracionada 
como a condição de equilíbrio exige) nem com valores de βx < 1 (porque a 
armadura As seria tracionada e não comprimida como a condição de 
equilíbrio exige). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52
Portanto a 1a equação de equilíbrio só é satisfeita com As ≠ 0 comprimida ou 
As = 0. Os valores de βx que satisfazem o equilíbrio são os do intervalo 
1 <βx ≤ βx2. 
Com βx = βx2 → 0=
yd
s
d f
σω ∴ As = 0 
Com 1 < βx < βx2 → 0≠
yd
s
d f
σω ∴ As ≠ 0 → comprimida 
• Quando βx2 = 1 o único valor de βx que satisfaz a 1a equação de equilíbrio é 
βx = βx2 = 1 resultando 0=
yd
s
d f
σω e portanto As = 0 (única solução). 
Dependendo do valor da força normal reduzida, νd, cinco situações podem 
ocorrer: 
1a) η
ημν −
−<
1
425,0 2sd
d : a 1
a equação de equilíbrio é satisfeita para 0 < βx <1, 
com As ≠ 0 tracionada 
2a) η
ημνη
ημ
−
−+<<−
−
1
)1(425,0
1
425,0 22 sd
d
sd : então existe βx2 
o Se βx2 < 1: a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para βx2 ≤ βx < 1 
ƒ com βx = βx2 → As = 0 
ƒ com βx2 < βx < 1 → As ≠ 0 tracionada 
o Se βx2 = 1: a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para βx = βx2 = 1 
com As = 0 
o Se βx2 > 1: a 1a equação de equilíbrio é satisfeita para 1 < βx ≤ βx2 
ƒ com βx = βx2 → As = 0 
ƒ com 1 < βx < βx2 → As ≠ 0 comprimida 
3a) η
ημν −
−+>
1
)1(425,0 2sd
d : a 1
a equação de equilíbrio é satisfeita para 
βx > 1, com As ≠ 0 comprimida. 
 
Combinando-se os intervalos para βx que satisfazem a 2a equação de 
equilíbrio com os intervalos para βx que satisfazem a 1a equação de 
equilíbrio, verifica-se o aparecimento de sub-casos dentro dos casos A, B, C 
e D, aos quais correspondem intervalos para βx de modo que as duas 
equações de equilíbrio sejam satisfeitas. 
 53
8.6 FNC - CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO EM SEÇÕES RETANGULARES 
8.6.1 INTRODUÇÃO 
 
u
u
N
M
e = 
2
'ddees
−+= 
 
8.6.2 FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE 
Ocorre nos domínios 2, 3 e 4. Uma das armaduras é tracionada. 
 
Posição da Linha Neutra 
0 < x < d ∴ 0 < βx < 1 
Com 
d
x
x =β resulta 
sc
c
x εε
εβ += 
 
Deformação e Tensão em As 
As área da seção da armadura tracionada 
εs deformação em As (alongamento) 
σs tensão em As (tração) 
 
 54
a) No domínio 2: 0 < βx < 0,259 
0 < εc < 0,35% 
εs = 1% → σs = fyd 
 
b) No domínio 3: 0,259 ≤ βx ≤ βxy 
εc = 0,35% 
εyd ≤ εσ < 1% → σs = fyd 
 
yd
xy εβ += 0035,0
0035,0 
 
c) No domínio 4: βxy < βx < 1 
εc = 0,35% 
0 < εs < εyd → σs < fyd 
x
x
s β
βε += 10035,0 
Tensão no aço → σs = Es εs (reta de Hooke) 
 
Deformação e Tensão em A’s 
A’s área da seção da armadura comprimida 
ε's deformação em A’s (encurtamento) 
σ's tensão em A's (compressão) 
 
a) No domínio 2: 0 < βx < 0,259 
0 < εc < 0,35% 
εs = 1% 
x
x
s β
ηβε −
−=
1
01,0' com 
d
d '=η 
b) Nos domínios 3 e 4: 0,259 ≤ βx < 1 
εc = 0,35% 
0 < εs < 1% 
x
x
s β
ηβε −= 0035,0' com 
d
d '=η 
Aços βxy 
CA-25 0,772 
CA-50 0,628 
CA-60 0,585 
 55
Tensão no aço: 
o Se βx < β’xy → σ’s = Es ε’s 
o Se βx ≥ β’xy → σ’s = fycd 
 
β´xy Aços η=0,05 η=0,08 η=0,10 η=0,12 η=0,15 
CA-25 0,139 0,166 0,184 0,203 0,230 
CA 50 0,213 0,238 0,254 0,294 0,367 
CA 60 0,239 0,276 0,345 0,414 0,517 
 
Equações de equilíbrio 
No caso de armadura dupla 
Nu = Rc + R’s - Rs 
Nu es = Rc zc + R’s (d – d’) 
Rc = bw y 0,85 fcd = bw d 0,68 βx fcd 
R’s = A’s σ's 
Rs = As σs 
2
ydzc −= = d (1+0,4bx) 
y = 0,8 x y = 0,8 βx d 
x = βx d 
 
Resultam: 
Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s - As σs 
Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 
No caso de armadura simples: A’s = 0 
Nu = Rc - Rs 
Nu es = Rc zc 
 
Nu = bw d 0,68 βx fcd - As σs 
Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) 
 56
8.6.3 FLEXÃO COMPOSTA COM PEQUENA EXCENTRICIDADE 
 
Ocorre no domínio 4a. As armaduras são comprimidas. 
 
Posição da Linha Neutra 
d ≤ x < h ∴ 1 ≤ βx < 1+η 
Com 
d
x
x =β resulta 
sc
c
x εε
εβ −= 
 
Deformação e Tensão em As 
As área da seção da armadura menos comprimida 
εs deformação em As (encurtamento) 
σs tensão em As (compressão) 
xdx
cs εε =− ∴ x
x
s β
βε 10035,0 −= 
Tensão no aço: → σs = Es εs 
 
Deformação e Tensão em A’s 
A’s área da seção da armadura mais comprimida 
ε's deformação em A’s (encurtamento) 
σ's tensão em A’s (compressão) 
xdx
cs εε =− '
' ∴ 
x
x
s β
ηβε −= 0035,0' 
Tensão no aço: → σ's = fycd 
 
 
 
 57
Equações de equilíbrio 
Neste caso, com armadura dupla (eventualmente A’s = 0) 
Nu = Rc + R’s + Rs 
Nu es = Rc zc + R’s (d – d’) 
 
Rc = bw y 0,85 fcd = bw d 0,68 βx fcd 
R’s = A’s σ’s 
Rs = As σs 
2
ydzc −= = d (1-0,4βx) 
y = 0,8 x y = 0,8 βx d 
x = βx d 
 
Resultam: 
Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s + As σs 
Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 
 
8.6.4 COMPREESÃO NÃO UNIFORME 
Ocorre no domínio 5. Toda a seção é comprimida. 
 
Posição da Linha Neutra 
h ≤ x < +∞ ∴ 1+η ≤ βx < +∞ 
Com 
d
x
x =β resulta 
s
s
x ε
εη
β −
+−
=
002,0
)1(
7
3002,0
 
 58
Deformação e Tensão em As 
As área da seção da armadura menos comprimida 
εs deformação em As (encurtamento) 
σs tensão em As (compressão) 
)1(
7
3
1
002,0
ηβ
βε
+−
−=
x
x
s 
 
1) Para aço CA-25 
ƒ Se βx < βxy → σs = Es εs 
ƒ Se βx ≥ βxy → σs = fycd 
βxy = βx quando εs = ε’yd 
 
 
 
2) Para aços CA-50 e CA-60 → σs = Es εs 
 
Deformação e Tensão em A’s 
A’s área da seção da armadura mais comprimida 
ε’s deformação em A’s 
σ’s tensão em A’s 
)1(
7
3
002,0'
ηβ
ηβε
+−
−=
x
x
s 
 
1) Para aço CA-25 → σ’s = fycd 
2) Para aços CA-50 e CA-60 
ƒ Se βx ≤ β’xy → σ’s = fycd 
ƒ Se βx > β’xy → σ’s = Es ε’s 
 
β’xy = βx quando ε’s = ε’yd 
 59
____ 
β´xy 
 Aços 
η=0,05 η=0,08 η=0,10 η=0,12 η=0,15 
CA 50 11,815 11,341 11,024 10,708 10,234 
CA 60 2,101 2,043 2,005 1,966 1,908 
 
Equações de equilíbrio 
Neste caso com armadura dupla 
Nu = Rc + R's + Rs 
Nu es = Rc zc + R's (d – d’) 
 
1º caso: para h ≤ x ≤ 1,25h 
∴1+η ≤ βx ≤ 1,25 (1+η) 
Vale a hipótese y = 0,8x com x = βx d e então y = 0,8 βx d 
 
Rc = bw y 0,85 fcd = bw d 0,68 βx fcd 
R's = A's σ's 
Rs = As σs 
 
Resultam: 
Nu = bw d 0,68 βx fcd + A's σ's + As σs 
Nu es = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4βx) + A's σ's (d – d’) 
 
2º caso: para 1,25h < x < +∞ 
∴1,25(1+η) <βx< +∞ 
Não vale a hipótese y = 0,8x porque y = h (=cte) 
 
Rc = bw y 0,85 fcd 
R's = A's σ's Rs = As σs 
2
hdzc −= 
 60
Resultam: 
Nu = bw d 0,85 fcd + A's σ's + As σs 
 (d- d') σ A) h (d - f, h b eN sscdwsu ''2
850 += 
 
 61
9 COMPRESSÃO UNIFORME 
Compressão uniforme é o caso de solicitação normal que se caracteriza pela 
presença só de força normal de compressão centrada na seção. 
At: área total de armadura comprimida distribuída na seção de modo que o seu 
CG coincida com o CG da seção de contorno. 
Ac: área da seção transversal de concreto (seu CG deve coincidir com o ponto 
de aplicação da força normal na seção). 
No diagrama de domínios de deformações, corresponde à reta b. 
A seção resistente é constituída por concreto (Ac) e armaduras (At). 
 
 
Equações de equilíbrio: 
∑
=
+=
n
i
sicu RRN
1
 
Rc = ( Ac – At) 0,85 fcd 
 Rsi = Asi σsi 
 
Asi área de armadura de cada camada 
σsi tensão de compressão nas barras da camada i 
σsi = σs2d (igual para todas as barras porque εsi = 0,2%) 
σs2d tensão de compressão correspondente à deformação total de 0,2% no 
diagrama tensão-deformação do aço empregado. 
 
 62
si
n
i
sicdtcu AfAAN σ∑
=
+−=
1
85,0)( 
d2s
n
1i
sicdtcu Af850AAN σ∑
=
+−= ,)( 
∑
=
+−=
n
1i
sid2scdtcu Af850AAN σ,)( 
∑
=
=
n
i
sit AA
1
 At = área total da armadura 
Nu = (Ac – At) 0,85 fcd + At σs2d 
 
No dimensionamento faz-se Nu = Nd 
N valor da força normal em serviço 
Nd valor de cálculo da força normal Nd = γf . N 
 
Aço σs2d 
(MPa) 
CA-25 217 
CA-50 420 
CA-60 420 
 
 
 
 
 
 
 63
10 FLEXÃO NORMAL COMPOSTA – FORÇA NORMAL DE TRAÇÃO 
10.1 INTRODUÇÃO 
 
Compressão: N > 0 
Tração: N < 0 
Momento: M > 0 nas equações de equilíbrio 
 
ƒ Flexo-Tração: domínios 2, 3 ou 4 → 0 < βx < 1 
Mu > 0 ∴ 0<=
u
u
N
M
e ; 0
2
' <−+= ddees 
Nu < 0 
ƒ Tração Não Uniforme: domínio 1 → -∞ < βx ≤ 0 
Mu > 0 ∴ 0<=
u
u
N
M
e ; 0
2
' >−+= ddees 
Nu < 0 
 
10.2 FLEXO-TRAÇÃO 
Flexo-tração é o caso de flexão composta com força normal de tração em que 
uma das armaduras é tracionada havendo parte da seção de concreto comprimida. 
As área da secção transversal da armadura tracionada 
A’s área da secção transversal da armadrua comprimida 
Ocorre nos domínios de deformações 2, 3 e 4. 
Portanto 0 < x < d ∴ 0 < βx < 1 
 
 
 64
 
Equações de equilíbrio: 
Nu = Rc + R’s – Rs com Nu < 0 ; es < 0 
Nu es = Rc zc + R’s (d – d’) 
 
y = 0,8 x e x = βx d ∴ y = 0,8 βx d 
 
Rc = bw y 0,85 fcd ∴ Rc = bw d 0,68 βx fcd 
R’s = A’s σ’s 
Rs = As σs 
),(, xxc 401d2
d80d
2
ydz ββ −=−=−= 
 
As equações ficam: 
Nu = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s – As σs 
Nu es = bw d2 0,68 βx fcd ( 1 - 0,4 βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 
No dimensionamento faz-se Nu = Nd 
N valor da força normal em serviço 
Nd valor de cálculo da força normal Nd = γf N 
Md valor de cálculo do momento fletor Md = Nd e 
 
Então: 
Nd = bw d 0,68 βx fcd + A’s σ’s – As σs com Nd < 0 e es < 0 
Nd es = bw d2 0,68 βx fcd ( 1 - 0,4 βx) + A’s σ’s (d – d’) 
 65
Dividindo-se os dois membros da 1a equação por bw d fcd e os dois membros da 
2a equação por bw d2 fcd, resultam as equações na forma adimensional 
 
cd
s
w
s
cd
s
w
s
x
cdw
d
fdb
A
fdb
A
dfb
N σσβ −+= ''68,0 
d
dd
fdb
A
fdb
eN
cd
s
w
s
xx
cdw
sd ''')4,01(68,02
−+−= σββ 
cdw
d
d dfb
N=ν normal reduzida 
d
d '=η 
cdw
sd
sd fdb
eN
2=μ momento reduzido d
dd '1 −=−η 
 
ω = 0,68 βx tabelados 
μ = 0,68 βx (1 – 0,4 βx) 
 
cd
s
w
s
d fdb
A σω = taxa mecânica de armadura referente a As 
cd
s
w
s
d fdb
A ''
'
σω = taxa mecânica de armadura referente a As’ 
cd
s
w
s
yd
s
d fdb
A
f
σσω = e 
cd
s
w
s
ycd
s
d fdb
A
f
'''
'
σσω = 
 
Então: 
yd
s
d
ycd
s
dd ff
σωσωων −+= '' Equações para seção com armadura dupla 
)1(
'
' ησωμμ −+=
ycd
s
dsd f
 
 
No caso de seção com armadura simples: 
As’ = 0 ∴ Rs’ = 0 e Rs’ (d – d’) = 0 
Nu = Rc – Rs com Nu < 0 e es < 0 
Nu es = Rc zc 
 66
Com Nu = Nd ficam: 
Nd = Rc – Rs = bw d 0,68 βx fcd – As σs 
Nd es = Rc zc = bw d2 0,68 βx fcd (1 – 0,4 βx) 
 
cd
s
w
s
x
cdw
d
fdb
A
dfb
N σβ −= 68,0 
)4,01(68,02 xx
cdw
sd
fdb
eN ββ −= 
 
yd
s
dd f
σωων −= Equações para seção com armadura simples 
μμ =sd 
 
As relações 
yd
s
f
σ e 
ycd
s
f
'σ são também tabeladas. 
 
1o) Dimensionamento com armadura simples: 
Para μ = μsd tabela 4 βx1 
 ω 
Da 1a equação: d
yd
s
d f
νωσω −= 
Para βx = βx1 tabela 5 
yd
s
f
σ ∴ 
yd
s
d
d
f
σ
νωω −= 
Daí obtém-se: 
yd
cd
wds f
fdbA ω= 
 
2o) Dimensionamento com armadura dupla: 
 
Para βx adotado tabela 4 μ 
 ω 
 67
Da 2a equação: η
μμσω −
−=
1
'
' sd
ycd
s
d f
 
Para βx tabela 6 
ycd
s
f
'σ ∴ 
ycd
s
sd
d
f
'
1' σ
η
μμ
ω −
−
= 
Daí obtém-se: 
ycd
cd
wds f
fdbA '' ω 
Da 1a equação: d
fycd
s
d
yd
s
d ff
νσωωσω −+= '' 
Para βx tabela 5 
yd
s
f
σ ∴ 
yd
s
d
ycd
s
d
d
f
f
σ
νσωω
ω
−+
=
'
'
 
Daí obtém-se: 
yd
cd
wds f
fdbA ω= 
 
3o) Interação de momento fletor e força normal na flexo-tração 
Na flexo-tração (que ocorre nos domínios 2, 3 ou 4) pode ocorrer o Caso A ou o 
Caso B como vistos na flexo-compressão. 
• Caso A: 0 < μsd ≤ 0,68 η (1 – 0,4η) ∴ 0 < βx1 ≤ η 
Neste caso, adotar βx = βx1 ∴ A’s = 0 Armadura simples 
• Caso B: 0,68 η (1 – 0,4η) < μsd ≤ 0,408 ∴ η < βx1 ≤ 1 
Neste caso, adotar η < βx ≤ βx1 
Para βx = βx1 
 μsd = μ ∴ A’s = 0 Armadura simples 
Para η < βx < βx1 
 )1('' ησωμμ −+=
ycd
s
dsd f
 
 0)1('' ≠−ησω
ycd
s
d f
 ∴ As’ ≠ 0 Armadura dupla 
 68
10.3 TRAÇÃO NÃO UNIFORME 
Tração não uniforme é o caso de flexão composta com força normal de tração 
em que toda a seção transversal da peça é tracionada, inclusive as armaduras. 
As área da seção transversal da armadura mais tracionada 
A’s área da seção transversal da armadura menos tracionada 
Ocorre no domínio 1 de deformações. 
Portanto -∞ < x ≤ 0 ∴ -∞ < βx ≤ 0 
 
 
 
 
 
A seção resistente é composta só por armaduras. 
Equações de equilíbrio: 
Nu = R’s + Rs R’s = A’s σ’s 
Nu es = R’s (d – d’) Rs = As σs 
com Nu em valor absoluto 
Nu = A’s σ’s + As σs 
Nu es = A’s σ’s (d - d’) 
 
No dimensionamento faz-se Nu = Nd 
N valor da força normal em serviço 
Nd valor de cálculo da força normal Nd = γf N 
Md valor de cálculo do momento fletor Md = Nd e 
 
Nd = A’s σ’s + As σs com Nd em valor absoluto 
Nd es = A’s σ’s (d - d’) 
 
σs = fyd porque εs = 1% > εyd para os aços da A.B.N.T. 
 69
σ's = fyd porque a situação mais econômica é aquela que resulta de admitir-se 
para βx valor tal que σ’s = fyd. 
Então: 
Nd = A’s fyd + As fyd 
Nd es = A’s fyd (d - d’) 
Seção com armadura dupla (caso que deverá ser adotado sempre na tração não 
uniforme) 
 
Dimensionamento: 
Da 2a equação: 
'
'
dd
e
f
NA s
yd
d
s −= 
Com esse resultado na 1a equação deduz-se: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−= '1 dd
e
f
NA s
yd
d
s 
 
 70
11 TRAÇÃO UNIFORME 
Tração uniforme é o caso de solicitação normal que se caracteriza pela presença 
só de força normal de tração centrada na seção. 
At: área total de