Flexao_Composta

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P U C R S 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
CONCRETO ARMADO II 
 
FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Almir Schäffer 
 
 
 
PORTO ALEGRE 
 
MAIO DE 2006 
 
 
 
 1 
 
FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
1- Notações principais 
 
As = área da seção da armadura 
Ac = área da seção de concreto 
 
e, ex, ey = excentricidades 
e1, e1x, e1y = excentricidades de 1a ordem 
e2, e2x, e2y = excentricidades de 2a ordem 
e min1 , e xmin1 , e ymin1 = excentricidades mínimas de 1a ordem 
 
N = força normal 
 
M, Mx, My = momentos 
M1, M1x, M1y = momentos de 1a ordem 
M2, M2x, M2y = momentos de 2a ordem 
M min1 , M xmin1 , M ymin1 = momentos mínimos de 1a ordem 
M1d, M1xd, M1yd = momentos de cálculo de 1a ordem 
M2d, M2xd, M2yd = momentos de cálculo de 2a ordem 
 
ν e µ = esforços solicitantes relativos (adimensionais) 
ρ = taxa geométrica de armadura 
ω = taxa mecânica de armadura 
 
 
 
 2 
2- Generalidades 
 
 Na seção transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão 
composta quando na mesma atuam, simultaneamente: 
 - uma força normal (N); 
 - um momento fletor (M); e 
 - uma força cortante (V). 
 
 No caso particular da força cortante ser nula, a solicitação de flexão 
composta é chamada também de tração ou compressão excêntrica. 
 
 Considere-se uma força normal atuando na seção transversal de um pilar 
com excentricidade e (Fig. 1a). Para transladar esta força, de seu ponto de aplicação 
para o centro de gravidade da seção, é necessário acrescentar o momento 
 
 M N e= . (1) 
 
que resulta da translação (Fig. 1b). As solicitações representadas nas figuras 1a e 
1b são equivalentes. 
 
FIGURA 1 
 
 Quando a excentricidade da força normal é pequena, toda a seção 
transversal do pilar é comprimida (Figs. 2a e 2b). Para excentricidades maiores, uma 
parte da seção é comprimida e a outra é tracionada (Fig. 2c). 
Eixo do
pilar
G P
N
e
S
Eixo do
pilar
GS
N
M
a) b)
 3 
 
FIGURA 2 
 
 O plano que contém o momento fletor é chamado plano de solicitação (PS). 
 
 A solicitação de flexão composta pode ser classificada, de acordo com a 
direção do traço PS sobre a seção transversal da peça, em: 
 - reta (ou normal); e 
 - desviada (ou oblíqua). 
 
 A solicitação é reta quando o traço PS coincide com um dos dois eixos 
principais de inércia da seção (Figs. 3a e 3b). A solicitação é desviada quando o 
traço PS não coincide com nenhum dos dois eixos (Fig. 3c). 
 
FIGURA 3 
G
N
S
a)
G P
N
e
S
b)
G P
N
e
S
c)
G X=PS
Y
P
e
G X
Y=PS
P
e
G X
Y
Pe
a) b) c)
PS
ex
ey
 4 
 
3- Cálculo de seções solicitadas por flexão composta 
 
3.1- Taxas de armadura 
 
 São definidos dois tipos diferentes de taxas de armadura: 
 - a taxa geométrica de armadura; e 
 - a taxa mecânica de armadura. 
 
 A taxa geométrica de armadura é a relação entre a área da seção da 
armadura e a área da seção do concreto que a envolve. 
 ρ =
A
A
s
c
 (2) 
 A taxa mecânica de armadura é a relação entre a resistência de cálculo da 
armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve. 
 ω = =
N
N
A f
A f
sd
cd
s yd
c cd
.
.
 (3) 
 Dividindo membro a membro a eq. (2) pela (3), obtém-se a relação existente 
entre as duas taxas de armadura. 
 ρ ω= .
f
f
cd
yd
 (4) 
 
3.2- Uso de ábacos (diagramas de interação) 
 
 O dimensionamento de seções de concreto armado, solicitadas por flexão 
composta, é, em geral, um problema bastante complexo. Para simplificar a solução 
destes problemas, na prática, podem ser usados ábacos (também chamados 
diagramas de interação) preparados para este fim. 
 
 Os ábacos mais usados no nosso meio técnico são, provavelmente, os que 
estão publicados nos livros do Montoya [1] e do Pfeil [2]. 
 
 Na figura seguinte apresenta-se um destes ábacos. Para entrar no ábaco 
deve-se calcular previamente os esforços relativos 
 5 
 ν =
N
A f
d
c cd.
 (5.1) 
e 
 µ ν= = =
M
A f h
N e
A f h
e
h
d
c cd
d
c cd. .
.
. .
. (5.2) 
 
 Estes esforços são as coordenadas de um ponto P(ν, µ) do ábaco. 
Marcando este ponto P(ν, µ) no ábaco obtém-se ω. Conhecido ω calcula-se ρ com a 
equação (4) e em seguida As com a equação (2). 
 
FIGURA 4 
 
 Se ω < 0 então nenhuma armadura é necessária, devendo-se no entanto 
usar uma armadura mínima; se ω > 1 então é necessário aumentar a seção de 
concreto. 
 
 Existem ábacos para diferentes tipos de seções transversais de pilares 
(retangular, circular, duplo T, etc...), para diferentes resistências de aço e para 
diferentes disposições de armaduras nas seções (no caso da seção retangular, 
armadura igual nos quatro cantos, igual em dois lados, igual nos quatro lados, etc...). 
 
 Exemplos. Ver exercícios 1, 2 e 3 no polígrafo de exercícios. 
 
= 0,0
= 0,5
= 1,0
O
P
 6 
3.3- Solução aproximada para solicitações desviadas 
 
 Dada a complexidade da solução dos problemas de flexão composta em 
seções de concreto armado, recorre-se, na falta de soluções mais precisas, à 
soluções aproximadas. Uma destas soluções, para solicitações desviadas, 
procedente da Resistência dos Materiais, é apresentada a seguir (ver também NBR 
6118, item 17.2.5.2). 
 
 A verificação de uma seção solicitada por uma força normal N atuando com 
excentricidades ex e ey (Fig. 5a) pode ser substituída pelas verificações desta seção 
para duas solicitações retas, numa das quais a força normal N atua com uma 
excentricidade exo (Fig. 5b) e na outra com uma excentricidade eyo (Fig. 5c), sendo 
exo e eyo maiores que ex e ey (respectivamente) satisfazendo a seguinte condição: 
 
ex
ex
ey
eyo o
+ ≤ 1 (6) 
 
FIGURA 5 
 
 As excentricidades exo e eyo podem ser escolhidas de várias maneiras 
diferentes, devendo no entanto satisfazer a condição (6). Algumas possibilidades 
são as seguintes: 
 
1a solução: 
 Arbitrar o valor de exo e calcular o valor de eyo com a equação (6). 
 
 
G X
Y
P
ex G X
Y
P
ey
G X
Y
P
a) b) c)
ex
ey
o
oe
 7 
 
2a solução: 
 Escolher 
 ex exo = 2. (7.1) 
 ey eyo = 2. (7.2) 
 Estes dois valores satisfazem sempre a condição (6). 
 
3a solução: 
 Escolher 
 ex ey ex eyo o= = + (8) 
 Estes dois valores também satisfazem sempre a condição (6). 
 
 A 3a solução é particularmente interessante para peças de seção quadrada 
cheia com armadura igual nos quatro cantos ou igual nos quatro lados, porque, 
neste caso, como as duas solicitações retas são iguais entre si, é necessário fazer 
uma só verificação. No caso de peças de seção retangular cheia com armadura igual 
nos quatro cantos ou igual nos quatro lados também é possível fazer uma só 
verificação escolhendo 
 ex ex
ey
hy hxo = + . (9.1) 
ou então 
 ey ey exhx hyo = + . (9.2) 
 
 Exemplos. Ver exercícios 4 e 5 no polígrafo de exercícios. 
 
3.4- Hipóteses básicas 
 
 No cálculo de seções de concreto armado, solicitadas por flexão composta, 
são feitas as seguintes hipóteses básicas (ver também NBR 6118, item 17.2.2): 
 
a) as seções transversais planas antes da deformação permanecem planas após a 
deformação (hipótese das seções planas); 
 
 8 
b) o diagrama tensão deformação do concreto é o diagrama parábola-retângulo; as 
tensões de tração no concreto são nulas (Fig. 6a); 
 
FIGURA 6 
 
c) o diagrama tensão-deformação do aço é o diagrama reta-retângulo, tanto nacompressão como na tração (Fig. 6b); 
 
d) o estado limite último de ruptura é atingido quando o encurtamento da fibra mais 
comprimida de concreto atingir o encurtamento de ruptura do concreto ou quando 
o alongamento da barra mais tracionada de aço atingir o alongamento plástico 
limite do aço. 
 
 Para calcular as tensões no concreto e no aço, em função da deformação 
específica, de acordo com os diagramas de cálculo anteriores, podem ser criadas as 
funções (programas de computador) 
 σ σ εc c= ( ) (10.1) 
e 
 σ σ εs s= ( ) (10.2) 
respectivamente. 
 
 O encurtamento de ruptura do concreto ( εR ) é calculado, em função do 
encurtamento da fibra menos comprimida de concreto ( ε2 ) como segue. 
0,85.fcd
0,002 0,00350
c s
fyd
fyd
yd
yd
a) b)
 9 
 Se ε2 0≤ , então 
 εR = 0 0035, (11.1) 
senão se ε2 0 002≤ , 
 ε εR = −0 0035 0 75 2, , . (11.2) 
senão 
 εR = 0 002, (11.3) 
 
 O alongamento plástico limite do aço ( εL ) é dado por: 
 εL = −0 010, (12) 
 
3.5- Soluções numéricas (programas de computador) 
 
3.5.1- Generalidades 
 
 As soluções numéricas usadas nos problemas de flexão composta são 
baseadas em processos iterativos. Estes processos iterativos envolvem quantidades 
enormes de operações aritméticas, que, para serem realizadas, requerem o uso de 
programas de computador. 
 
 A seguir descreve-se a solução usada no programa FlexãoComposta, 
desenvolvido para o dimensionamento da armadura de seções de concreto armado, 
retangulares, solicitadas por flexão composta. A solução usada foi escolhida em 
função da simplicidade e em função segurança que apresenta na convergência do 
processo iterativo. 
 
3.5.2- Convenção de sinais 
 
 No programa FlexãoComposta foi usada a seguinte convenção de sinais: 
N = força normal (+ = compressão; - = tração) 
Mx e My = momentos fletores (+ = compressão no I quadrante) 
ε = deformação específica (+ = encurtamento; - = alongamento) 
φx e φy = rotações específicas (+ = encurtamento no I quadrante) 
 
 10 
3.5.3- Deformação específica num ponto genérico da seção 
 
 Quando são conhecidos (dados) a deformação específica no centro de 
gravidade da seção ( εg ) e as rotações específicas da seção em relação aos eixos X 
e Y ( φx e φy ), a deformação específica num ponto genérico P(x,y) da seção pode 
ser calculada com a equação (Figs. 7a e 7b) 
 ε ε φ φ= + +g y xx y. . (13) 
 
FIGURA 7 
 
3.5.4- Esforços resistentes da seção 
 
 Conhecidos (dados) εg , φx e φy , os esforços resistentes da seção são 
calculados como segue: 
 
a) Seção de concreto 
 
 A área da seção de concreto é dividida num certo número (nc) de pequenas 
áreas Aci (Fig. 8a). Quanto menores estas áreas, mais precisos os resultados. 
 
 
 
O
PMyd
Nd
Mxd
x
y
X
Y
Nd Myd
PG
x
a) b)
g
y
S
S'
S''
 11 
 
 
FIGURA 8 
 
 A deformação específica no elemento genérico Aci é dada por 
 ε ε φ φc xc yci g y i x i= + +. . (14) 
 
e a tensão de cálculo, neste elemento, conforme a equação (10.1), por 
 σ σ εc c ci i= ( ) (15) 
 
 Os esforços resistentes provenientes deste elemento genérico da seção de 
concreto são dados por 
 Nc Ac ci i i= .σ (16.1) 
 Mxc Nc yci i i= . (16.2) 
 Myc Nc xci i i= . (16.3) 
e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de concreto, por 
 Nc Nci=� (17.1) 
 Mxc Mxci=� (17.2) 
 Myc Myci=� (17.3) 
(i = 1, nc) 
 
 
X
Y
X
Y
O O
Ac i
As i
xc
yc
xs
ys
i
i
i
i
a) b)
 12 
 
b) Seção de aço 
 
 A área da seção de aço é distribuída, na seção da peça, num certo número 
(ns) de barras de áreas Asi (Fig. 8b). 
 
 A deformação específica na barra genérica Asi é dada por 
 ε ε φ φs xs ysi g y i x i= + +. . (18) 
 
e a tensão de cálculo, nesta barra, conforme a equação (10.2), por 
 σ σ εs s si i= ( ) (19) 
 
 Os esforços resistentes provenientes da barra genérica da seção de aço são 
dados por 
 Ns As si i i= .σ (20.1) 
 Mxs Ns ysi i i= . (20.2) 
 Mys Ns xsi i i= . (20.3) 
e os esforços resistentes provenientes de toda a seção de aço, por 
 Ns Nsi=� (21.1) 
 Mxs Mxsi=� (21.2) 
 Mys Mysi=� (21.3) 
(i = 1, ns) 
 
c) Soma 
 
 Os esforços resistentes totais são dados pela soma dos esforços resistentes 
do concreto e do aço: 
 Nr Nc Ns= + (22.1) 
 Mxr Mxc Mxs= + (22.2) 
 Myr Myc Mys= + (22.3) 
 
 Estes esforços resistentes são evidentemente funções de εg , φx e φy . 
 13 
 
3.5.5- Condições de equilíbrio 
 
 Para que exista equilíbrio na seção é necessário que os esforços resistentes 
de cálculo sejam iguais aos esforços solicitantes de cálculo, isto é: 
 Nr Nd= (23.1) 
 Mxr Mxd= (23.2) 
 Myr Myd= (23.4) 
 
 Para satisfazer estas condições de equilíbrio, os valores das variáveis 
εg , φx e φy , devem ser escolhidos convenientemente. 
 
3.5.6- Algorítmo 
 
 O algorítmo usado no programa FlexãoComposta, para o cálculo da taxa de 
armadura necessária para a seção de uma peça de concreto armado solicitada por 
flexão composta foi o seguinte: 
 
a) escolhe-se a seção de concreto e a distribuição da armadura nesta seção; 
b) escolhe-se uma taxa geométrica de armadura (a mais alta permitida pela norma 
ou a mais alta que se pretende usar); no programa foi usado ρ = 0 08, ; 
c) calcula-se as áreas das seções das barras da armadura de acordo com a 
distribuição escolhida em a); com isto as seções de concreto e de aço ficam 
completamente determinadas; 
d) calcula-se εg , φx e φy de tal modo que sejam satisfeitas as condições de 
equilíbrio dadas pelas equações (23); para tal foi usada uma combinação dos 
processos iterativos de Newton-Raphson (para sistemas de equações não 
lineares) e de Gauss (para sistemas de equações lineares diagonais); 
e) calcula-se as deformações específicas máxima e mínima do concreto ( ε1 e ε2 ) e 
do aço ( ε3 e ε4 ); 
f) se ε ε1 ≤ R e ε ε4 ≥ L então o estado limite último não foi alcançado; diminui-se ρ , 
fazendo ρ ρ= − ∆ρ ( ∆ρ = 0 001, , por exemplo) e reinicia-se o processo em c); 
senão passa-se ao passo seguinte; 
 14 
g) o estado limite último foi alcançado; se ρ = 0 08, então é necessário aumentar a 
seção de concreto; senão, a taxa de armadura necessária para a seção é ρ + ∆ρ . 
 
 
4- Pilares 
 
4.1- Generalidades 
 
 Os pilares são peças que trabalham principalmente à compressão. 
 
 Exemplos de pilares: pilares de edifícios, de pontes, de teatros, ginásios de 
esportes, estádio de futebol, etc. 
 
 Como normalmente a força de compressão não é centrada na seção, a 
solicitação dos pilares é, geralmente, de flexão composta com compressão (ou de 
compressão excêntrica). 
 
4.2- Classificação dos pilares de edifícios 
 
 Os pilares de edifícios podem ser classificados, de acordo com a posição 
que ocupam no edifício, em planta, em (Fig. 9): 
canto extremidade
intermediário
viga
 
FIGURA 9 
 
 15 
 - pilares de canto; 
 - pilares de extremidade; e 
 - pilares intermediários. 
 
4.3- Momentos nos pilares de edifícios 
 
 Num pórtico de edifício, carregado apenas com cargas verticais aplicadas 
nas vigas, as deformações se apresentam, aproximadamente, conforme se mostra 
na figura seguinte. 
 
FIGURA 10 
 
 Nos pilares intermediários (como o pilar P2 por exemplo) os giros dos nós 
geralmente são pequenos e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares, 
nestes nós, também são pequenos, podendo ser desprezados. Consequentemente, 
a solicitação dos pilares intermediários é de compressão simples (ou muito próxima 
desta). 
 
 Nos pilares de extremidade (como o pilar P1, por exemplo), os giros dos nós 
são consideráveis e os momentos transmitidos pelas vigas aos pilares, nestes nós, 
também sãoconsideráveis (Figs. 10 e 11). Conseqüentemente a solicitação dos 
pilares de extremidade é de flexão composta reta. 
 
 
P1 P2 P3 P4
 16 
 
FIGURA 11 
 
 Já os pilares de canto estão sujeitos à momentos em relação aos dois eixos 
principais de inércia da seção e, portanto, a solicitação dos pilares de canto é de 
flexão composta desviada. 
 
 Nos pilares de extremidade os momentos nos nós podem ser calculados, de 
modo aproximado, com um esquema de cálculo simplificado (Fig. 12), obtido a partir 
da observação de que a) os momentos nos pilares se anulam aproximadamente no 
centro dos pilares (Figs. 10 e 11), onde, então, podem ser imaginadas rótulas e b) a 
viga, no pilares intermediários, não gira, onde, então, pode ser imaginado um 
engaste perfeito. 
�sup
2
�inf
2
�vig
 
FIGURA 12 
NA
MA
VA
NB
MB
VB
A
B
M N V
 17 
 
 O cálculo aproximado é o seguinte (ver também NBR 6118, item 14.6.7.1, c): 
 
 Coeficientes de rigidez das peças (viga, pilar superior e pilar inferior): 
 
vig
vig
vig
I.4
r
�
= (24.1) 
 rsup
sup
sup
.I
=
6
�
 (24.2) 
 rinf
inf
inf
.I
=
6
�
 (24.3) 
 r r r rvig� = + +sup inf (24.4) 
 
 Momento de engastamento perfeito da viga no nó do pilar de extremidade: 
 M =... (25) 
 Momentos nas extremidades das peças: 
 M M
r r
r
vig =
+
�
.
sup inf
 (26.1) 
 M M
r
r
sup
sup
.=
�
 (26.2) 
 M M
r
r
inf
inf
.=
�
 (26.3) 
 
 Nos pilares de canto as fórmulas anteriores podem ser aplicadas nas duas 
direções principais. 
 
4.4- Momento mínimo 
 
 A excentricidade de 1a ordem a considerar no cálculo dos pilares não pode 
ser menor que a mínima dada por (NBR 6118, item 11.3.3.4.3) 
 e hmin1 0 015 0 03= +, , . (27) 
onde e min1 e h (h = altura da seção na direção considerada) são medidas em 
metros. 
 
 18 
 A consideração desta excentricidade mínima, admite-se, cobre os efeitos 
das imperfeições locais nos pilares (desaprumos e falta de retilineidade dos eixos 
dos pilares). 
 
 A norma não fornece nenhuma informação sobre como esta excentricidade 
deve ser considerada no cálculo. Parece, no entanto, que ela deve ser considerada, 
separadamente, primeiro numa direção principal da seção e depois na outra. Isto 
significa que os pilares devem ser verificados para duas hipóteses diferentes de 
solicitação excêntrica, a saber: 
a) a força normal atuando com excentricidades 
 
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
)y1e;y1e(Maior
x1e
ey
ex
min
 (28.1) 
b) a força normal atuando com excentricidades 
 
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
y1e
)x1e;x1e(Maior
ey
ex min
 (28.2) 
 
5- Disposições normativas 
 
5.1- Dimensões das seções 
 
 A menor dimensão da seção transversal de um pilar (b), qualquer que seja 
sua forma (Fig. 13), não pode ser menor que 19 cm (NBR 6118, item 13.2.3), isto é: 
 b cm≥ 19 (29.1) 
 
FIGURA 13 
 
 É necessário observar também (NBR 6118, item 18.4.1): 
b
a
b
a
 19 
 a b≤ 5. (29.2) 
 
5.2- Armaduras longitudinais mínima e máxima 
 
 As armaduras longitudinais mínima e máxima dos pilares são dadas por 
(NBR 6118, item 17.3.5.3): 
 )
f
N
.15,0;A%.4,0(MaiorAs
yd
d
cmin = (30.1) 
 As Amax c= 8%. (30.2) 
 O limite máximo aplica-se inclusive na região das emendas das barras. 
 
5.3- Bitola da armadura longitudinal 
 
 O diâmetro das barras da armadura longitudinal não pode ser menor que 10 
mm nem maior que 1/8 da menor dimensão da seção (NBR 6118, item 18.4.2.1), 
isto é: 
 mm10≥φ (31.1) 
 φ ≤ b8 (31.2) 
 
5.4- Distribuição transversal da armadura longitudinal 
 
 Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra da armadura 
longitudinal em cada vértice (Figs. 14a e 14b); em seções circulares, no mínimo seis 
barras distribuídas no perímetro (Fig. 14c) (NBR 6118, item 18.4.2.2). 
 
FIGURA 14 
a) b) c)
 20 
 
5.5- Espaçamento transversal da armadura longitudinal 
 
 O espaçamento transversal (e) da armadura longitudinal deve atender aos 
seguintes limites (NBR 6118, item 18.4.2.2): 
 )DMA.2,1;;mm20(Maiore φ≥ (32.1) 
 )b.2;cm40(Menore ≤ (32.2) 
(DMA = dimensão máxima do agregado) 
 
5.6- Estribos 
 
 A bitola ( φ t ) e o espaçamento ( e t ) da armadura transversal deve atender 
aos seguintes limites (NBR 6118, item 18.4.3): 
 )
4
;mm5(Maiort φ≥φ (33.1) 
 ))50CA(.12;b;cm20(Menore t −φ≤ (33.2) 
 
5.7- Proteção da armadura longitudinal contra a flambagem 
 
 Estão protegidas contra a flambagem as barras da armadura longitudinal 
localizadas nos cantos dos estribos e as localizadas a uma distância de, no máximo, 
20.φ t dos cantos (Fig. 15), desde que neste trecho de comprimento 20.φ t não 
existam mais de duas barras (NBR 6118, item 18.2.4). 
20.φ t20.φ t
 
FIGURA 15 
 
 Para barras não protegidas contra a flambagem é necessário prever estribos 
suplementares. 
 21 
 
6- Efeitos de 2a ordem (locais) 
 
6.1- Definições 
 
 Os momentos (excentricidades) de 2a ordem são os acréscimos de 
momentos (excentricidades) provenientes das deformações que ocorrem nas 
estruturas (Fig. 16). 
 
e1 e1e2 ~
M1 M1+M2
a) b)P P
 
FIGURA 16 
 
 No estudo dos pilares a norma usa um chamado comprimento equivalente 
de um pilar ( � e ) que pode ser determinado como segue (ver também NBR 6118, 
itens 15.6 e 15.8.2): 
a) para pilares vinculados nas suas duas extremidades (Fig. 17a): 
 )h;(Menor oe += ��� (34.1) 
b) para pilares engastados numa extremidade e livres na outra (Fig. 17b): 
 )h.5,0;(Menor.2 oe += ��� (34.2) 
 
 
 
 22 
 
� �oh
� �oh
a) b)
Pilar Pilar
 
FIGURA 17 
 
 O índice de esbeltez de um pilar (conforme definição da resistência dos 
materiais) é dado por: 
a) para a seção qualquer 
 λ = � ei (35.1) 
b) para a seção retangular 
 λ = 3 46, .� eh (35.2) 
c) para a seção circular 
 λ = 4.� ed (35.3) 
 
6.2- Excentricidade de 2a ordem 
 
 Se o índice de esbeltez de um pilar for inferior à 35, os efeitos locais de 2a 
ordem não precisam se considerados (NBR 6118, item 15.8.2); se estiver entre 35 e 
90, os efeitos locais de 2a ordem podem ser determinados por métodos aproximados 
(NBR 6118, item 15.8.3.3). 
 
 
 23 
 
 Dentre os métodos aproximados o mais simples de usar é o chamado 
método do pilar-padrão com curvatura aproximada (NBR 6118, item 15.8.3.3.2). De 
acordo com este método, a excentricidade de 2a ordem a ser considerada é dada 
por 
 e
r
e2 10
12
=
�
. (36) 
sendo que a curvatura do pilar pode ser avaliada por 
 
1 0 005
0 5
0 005
r h h= + ≤
,
.( , )
,
ν
 (37) 
 Usando o limite superior da curvatura dado pela equação (37) e substituindo 
este valor na equação (35), resulta : 
 e h
e2 2000
2
=
�
.
 (38) 
 Esta equação permite calcular a excentricidade de 2a ordem de modo 
aproximado, porém simples e favorável à segurança. Se for desejada precisão 
maior, então deve-se usar as equações (36) e (37). 
 
 As excentricidades finais obtém-se somando esta excentricidade de 
2a ordem às excentricidades dadas pelas equações (28).