Aproximação de Funções em Cálculo Numérico

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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 6 – Aproximação de funções
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APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES	
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Aproximação de funções:
Interpolação Polinomial:
Método de Lagrange;
Método de Newton.
Ajuste de funções.
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INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
 Consiste em determinar uma função (polinomial, neste caso) que se ajuste a uma série de pontos dados.
 Polinômio interpolador – (n+1) pontos geram um único polinômio de grau menor ou igual a n.
6 pontos
polinômio de grau 3
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MÉTODO DE LAGRANGE
(n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n);
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EXEMPLO1:
 Considere o seguinte conjunto de pontos:
 Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12
 
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CONTINUAÇÃO EXEMPLO 1
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MÉTODO DE NEWTON
 (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO ( n);
 OPERADOR DIFERENÇAS DIVIDIDAS
Para n = 2
 
(diferença dividida ordem n)
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MÉTODO DE NEWTON - CONTINUAÇÃO
(ordem 0)
(ordem 1)
(ordem 2)
(ordem 3)
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EXEMPLO 2:
 Considere o seguinte conjunto de pontos:
 Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12
 
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EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO:
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EXEMPLO 2 - CONTINUAÇÃO:
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AJUSTE DE FUNÇÕES
Nem sempre a interpolação é aconselhável. 
Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento (extrapolação);
Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros e não pelos pontos. 
Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.
 
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AJUSTE DE FUNÇÕES
Caso discreto:
 Dados “k” pontos distintos no plano (x1,y1); (x2,y2); (x3,y3) ...;(xk,yk) num intervalo [a,b]. Devemos escolher funções lineares ou não g1(x), g2(x)...gk(x), e constantes a1, a2 ,..., ak tais que a função  (x) = a1. g1(x) + a2. g2(x) + ...+ ak. gk(x) se aproxime de y = f(x);
 Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar a1, a2 ,..., ak aparecem linearmente.
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AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO
Diagrama de dispersão sugere uma função polinomial do 20 grau
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AJUSTE DE FUNÇÕES – CASO DISCRETO
f(x)
(x)
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AJUSTE DE FUNÇÕES – MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
 
 Função (x) = a1.g1(x) + a2.g2(x) + a3.g3(x) + ...+ ak.gk(x)
 Determinar (x) que mais se aproxime de f(x), ou seja, determinar os “ais”
 Desvio: [f(xi) – (xi)]2 para i = 1, 2, ...k
 
 F mínima  para cada ai . Sistema linear com k incógnitas e k equações. A solução leva aos valores de a1, a2, ..., ak. 
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EXEMPLO 3
 
 Sejam os pontos abaixo de um experimento. 
 Gráfico de dispersão sugere parábola que passa pela origem;
 (x) = a1.g(x), onde g(x) = x2.
 
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EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO
 
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EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO
 
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RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram: 
Aproximação de funções:
Interpolação Polinomial:
Método de Lagrange;
Método de Newton.
Ajuste de funções.
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