Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Conceitos de Aritmética e Álgebra Métodos Quantitativos Aplicados | 11 Objetivos Após completar este conteúdo, você será capaz de: • Saber arredondar números; • Entender o conceito de razão e proporção e saber aplicá-lo em problemas; • Resolver problemas de cálculo de porcentagem; • Compreender a simbologia de somatório e a sua utilização. Métodos Quantitativos Aplicados | 13 1. Arredondamento de Números Os números, como sabemos desde o ensino fundamental, resultam de processos de medida (mensuração) ou contagem (enumeração). No primeiro caso, os valores obtidos nem sempre são exatos, exigindo que façamos uso de uma técnica chamada arredondamento. A seguir, descrevemos as regras utilizadas neste trabalho para arredondamento de números: Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer. Exemplo: • 53,246 passa a 53,2 (arredondamento para uma casa decimal). • 834,132 passa a 834,13 (arredondamento para duas casas decimais). Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer. Exemplo: • 42,873 passa a 42,9 (arredondamento para uma casa decimal). • 75,425 passa a 75,43 (arredondamento para duas casas decimais). 14 | Métodos Quantitativos Aplicados É importante adotarmos um critério de arredondamento, isto é, ao começarmos a resolver um problema arredondando os números para duas casas decimais, por exemplo, devemos seguir esse critério até o final. 2. Razão e Proporção 2.1 Razão Razão entre dois números a e b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Geralmente, indicamos da seguinte maneira: a/b ou a:b (lemos: a para b). Exemplo 1: A razão de 3 para 12 é: . A razão de 20 para 5 é: . Razão de duas grandezas, dadas em certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Nesse caso, a razão será simplesmente um número sem unidade, ou seja, um número adimensional. Veja a seguir: Exemplo 2: A razão de 20m para 30m é: . Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Veja o exemplo a seguir: Importante 3 1 12 4 = 20 4 50 = 20 2 30 3 m m = Métodos Quantitativos Aplicados | 15 Exemplo 3: Um automóvel percorre 168 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é: 168 168 2 84 / 2 kmkm km h h h = = 2.2 Proporção Dados quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). Simbolicamente, representamos uma proporção da seguinte forma: e lemos: “a está para b, assim como c está para d”. Para que você compreenda melhor esse conceito, veja o exemplo a seguir: Exemplo 1: 2 está para 4, assim como 3 está para 6, pois: Na proporção os termos a e d são chamados de extremos e os termos b e c são chamados de meios, isto é: Extremo Meio Extremo Meio a c b d = a c b d = 2 3 1 1 4 6 2 2 = ⇒ = Importante a c b d = 16 | Métodos Quantitativos Aplicados Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, isto é: Essa relação é chamada de propriedade fundamental das proporções. Exemplo 2: Dada a proporção temos: Exemplo 3: Os números 2, 3, 12 e 15, nessa ordem, formam uma proporção? Não, pois na igualdade , a propriedade fundamental não vale, isto é, 2 × 15 ≠ 3 ×12. Logo, os números 2, 3, 12 e 15, nessa ordem, não formam uma proporção. Aplicando a propriedade fundamental das proporções é sempre possível determinar o valor de um termo qualquer, quando os outros três termos são conhecidos. Veja o exemplo abaixo: Exemplo 4: Determine o valor de x na proporção . Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 15x = 20 × 60 = 15x = 1.200 = x = = 80 3. Porcentagem Porcentagem é a medida da razão que apresenta como base o número 100, razão centesimal. Assim, “sete por cento” escreve-se 7% e significa “sete centésimos”, isto é, 77% 100 = ⇔a c b d = a d b c× = × 4 12 6 18 = 4 8 6 12× = × 2 12 3 15 = 15 60 20 x = 1.200 15 Métodos Quantitativos Aplicados | 17 Sempre que se diz “sete por cento” pensamos em 7% de uma determinada grandeza. O uso de porcentagens está sempre presente em nossa linguagem do dia a dia e é muito conveniente ter em mente os significados de algumas delas: 100% tudo 50% a metade 25% a quarta parte 20% um quinto 10% um décimo 5% um vigésimo 1% um centésimo Exemplo 1: Dada a razão 2/5, podemos transformá- la em centesimal se multiplicarmos o numerador e o denominador por 20. Desse modo, a razão centesimal 40 para 100 é equivalente à expressão 40 por cento e pode ser representada por 40% na forma percentual. O método mais simples de expor a forma percentual de uma razão é achando a sua forma decimal e multiplicando-a por 100. Veja os exemplos a seguir: (forma decimal) 0,4 × 100 = 40% (forma percentual) Exemplo 1: Por quanto se deve vender uma mercadoria que custou R$ 4.200,00, para obter uma rentabilidade de 6%? Para solucionar este problema, basta calcular 6% de 4.200 e somar a 4.200, ou simplesmente Importante 2 20 40 5 20 100 × = 2 0,4 5 = 18 | Métodos Quantitativos Aplicados multiplicar 4.200 por 1,06, já que quando damos um aumento de 6% em um valor qualquer ficamos com 106%. R$ 4.200,00 + R$ 4.200,00 x 0,06 = R$ 4.200,00 × (1 + 0,06) = 4.200,00 × 1,06 = R$ 4.452,00 HP 12c [ 4.200 Enter 6% + ] Exemplo 2: Concedendo um desconto de 10% em um produto que custa R$ 130,00, quanto o produto custará? Esse problema de desconto em percentual é resolvido de forma análoga ao problema de aumento, isto é: R$ 130,00 - R$ 130 × 0,1 = R$ 130,00 × (1 - 0,1) = 130,00 × 0,9 = R$ 117,00 HP 12c [ 130 Enter 10% - ] Muitas vezes não faz sentido falar em porcentagens superiores a 100%. Por exemplo, não é correto dizer “150% de desconto no preço de um objeto”, mas “o mesmo objeto pode ter seu preço aumentado em 200%”. Nos aumentos sucessivos, devemos calcular o primeiro aumento sobre o valor inicial e sobre o resultado e determinar o segundo aumento. Para o desconto é realizado o mesmo procedimento. Para que você compreenda melhor esse conceito, veja o exemplo a seguir: Saiba mais Métodos Quantitativos Aplicados | 19 Exemplo 3: Uma mercadoria que custava R$ 100,00 sofreu dois aumentos sucessivos de 10%. Qual é o preço do produto após os aumentos? Seguindo as informações contidas no texto acima, devemos aplicar o aumento de 10% em R$ 100,00 e mais 10% nesse resultado. R$ 100,00 × (1 + 0,1) × (1 + 0,1) = R$ 100,00 x 1,1 x 1,1= R$ 110,00 x 1,1 = R$ 121,00 HP 12c [ 100 Enter 10% + 10% + ] Como vimos no exemplo acima, nunca podemos somar e/ou subtrair os percentuais quando aplicados os aumentos e/ou descontos sucessivos, ou seja, dois aumentos de 10% são diferentes de um único aumento de 20%. 4. Somatório Somatório é um operador matemático que possibilita representar de uma forma prática algumas somas. Denotaremos com a letra grega sigma Σ. Por exemplo, consideremos a seguinte soma: 12 + 22 + 32 + 42 + 52 +62 + 72 + 82 + 92 +102. Esta soma pode ser representada de uma forma abreviada utilizando o operador matemático,assim: = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 +62 + 72 + 82 + 92 +102. Importante ∑ 10 K2 K= 1 20 | Métodos Quantitativos Aplicados Veja, a seguir, alguns exemplos de outros somatórios: (2K -1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, 2K = 2 + 4 + 6 + 8, ∑ 5 K= 1 ∑ 4 K= 0 ∑ 1 1 1 1 11 .... 2 3 4 'K n = + + + + + n K= 1 ∑ +∞ K= 1 2 - K = 2 -1 + 2 -2 + 2 -3 + 2 -4 + .... , Métodos Quantitativos Aplicados | 21 Síntese Neste conteúdo aprendemos a arredondar números corretamente, isto é, após decidir a quantidade de casas decimais desejada, pudemos identificar o primeiro algarismo a ser abandonado e estabelecer se o número deve ser arredondado para baixo ou para cima com base no primeiro algarismo. Também pudemos entender o conceito de razão entre duas grandezas não nulas, que é uma ferramenta que permite realizar a comparação entre essas grandezas que podem possuir ou não a mesma unidade. Apresentamos o conteúdo necessário para o entendimento de que uma proporção é a igualdade entre duas razões e, assim, conseguimos aplicar esse conhecimento em problemas, principalmente fazendo uso da propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção,
Compartilhar