Buscar

APOSTILA 01

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Conceitos de Aritmética e Álgebra
 Métodos Quantitativos Aplicados | 11
Objetivos
Após completar este conteúdo, você será capaz de:
• Saber arredondar números;
• Entender o conceito de razão e proporção e saber aplicá-lo 
em problemas;
• Resolver problemas de cálculo de porcentagem;
• Compreender a simbologia de somatório e a sua utilização.
 Métodos Quantitativos Aplicados | 13
1. Arredondamento de Números
Os números, como sabemos desde o ensino fundamental, 
resultam de processos de medida (mensuração) ou contagem 
(enumeração). No primeiro caso, os valores obtidos nem sempre 
são exatos, exigindo que façamos uso de uma técnica chamada 
arredondamento.
A seguir, descrevemos as regras utilizadas neste trabalho para 
arredondamento de números:
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 
ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer.
Exemplo:
• 53,246 passa a 53,2 (arredondamento para uma casa 
decimal).
• 834,132 passa a 834,13 (arredondamento para duas casas 
decimais).
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, 6, 7, 8 ou 
9, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer.
Exemplo:
• 42,873 passa a 42,9 (arredondamento para uma casa 
decimal).
• 75,425 passa a 75,43 (arredondamento para duas casas 
decimais).
14 | Métodos Quantitativos Aplicados
É importante adotarmos um critério de arredondamento, isto 
é, ao começarmos a resolver um problema arredondando os 
números para duas casas decimais, por exemplo, devemos seguir 
esse critério até o final.
2. Razão e Proporção
2.1 Razão 
Razão entre dois números a e b (diferente de zero) é o 
quociente de a por b. Geralmente, indicamos da seguinte maneira: a/b 
ou a:b (lemos: a para b).
Exemplo 1: 
A razão de 3 para 12 é: .
A razão de 20 para 5 é: .
Razão de duas grandezas, dadas em certa ordem, é a razão 
entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as 
grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na 
mesma unidade. Nesse caso, a razão será simplesmente um número sem 
unidade, ou seja, um número adimensional. Veja a seguir:
Exemplo 2: 
A razão de 20m para 30m é: . 
Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um 
número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das 
quais se determina a razão. Veja o exemplo a seguir:
Importante
3 1
12 4
=
20 4
50
=
20 2
30 3
m
m
=
 Métodos Quantitativos Aplicados | 15
Exemplo 3: 
Um automóvel percorre 168 km em 2 horas. A razão entre a 
distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é:
168
168 2 84 /
2
kmkm km h
h h
= =
2.2 Proporção
Dados quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, nessa 
ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre 
os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). 
Simbolicamente, representamos uma proporção da seguinte forma:
e lemos: “a está para b, assim como c 
está para d”. Para que você compreenda melhor 
esse conceito, veja o exemplo a seguir:
Exemplo 1: 
2 está para 4, assim como 3 está para 6, pois: 
Na proporção os termos a e d são 
chamados de extremos e os termos b e c são 
chamados de meios, isto é:
Extremo
Meio Extremo
Meio
a c
b d
=
a c
b d
=
2 3 1 1
4 6 2 2
= ⇒ =
Importante
a c
b d
=
16 | Métodos Quantitativos Aplicados
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual 
ao produto dos meios, isto é:
Essa relação é chamada de propriedade fundamental 
das proporções.
Exemplo 2: 
Dada a proporção temos:
Exemplo 3: 
Os números 2, 3, 12 e 15, nessa ordem, formam uma 
proporção? Não, pois na igualdade , a propriedade fundamental 
não vale, isto é, 2 × 15 ≠ 3 ×12. Logo, os números 2, 3, 12 e 15, nessa 
ordem, não formam uma proporção.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções é sempre 
possível determinar o valor de um termo qualquer, quando os outros 
três termos são conhecidos. Veja o exemplo abaixo:
Exemplo 4: 
Determine o valor de x na proporção . Aplicando a 
propriedade fundamental das proporções, temos:
15x = 20 × 60 = 15x = 1.200 = x = = 80
3. Porcentagem
Porcentagem é a medida da razão que apresenta como base o 
número 100, razão centesimal. Assim, “sete por cento” escreve-se 7% e 
significa “sete centésimos”, isto é, 77%
100
=
⇔a c
b d
= a d b c× = ×
4 12
6 18
=
4 8 6 12× = ×
2 12
3 15
=
15 60
20 x
=
1.200
15
 Métodos Quantitativos Aplicados | 17
Sempre que se diz “sete por cento” pensamos em 
7% de uma determinada grandeza.
O uso de porcentagens está sempre presente em 
nossa linguagem do dia a dia e é muito conveniente 
ter em mente os significados de algumas delas:
100% tudo
50% a metade
25% a quarta parte
20% um quinto
10% um décimo
5% um vigésimo
1% um centésimo
Exemplo 1: Dada a razão 2/5, podemos transformá-
la em centesimal se multiplicarmos o numerador e 
o denominador por 20.
Desse modo, a razão centesimal 40 para 100 é 
equivalente à expressão 40 por cento e pode ser 
representada por 40% na forma percentual.
O método mais simples de expor a forma percentual de uma 
razão é achando a sua forma decimal e multiplicando-a por 100. Veja os 
exemplos a seguir:
 (forma decimal)
0,4 × 100 = 40% (forma percentual)
Exemplo 1:
Por quanto se deve vender uma mercadoria que custou R$ 
4.200,00, para obter uma rentabilidade de 6%? Para solucionar este 
problema, basta calcular 6% de 4.200 e somar a 4.200, ou simplesmente 
Importante
2 20 40
5 20 100
× =
2 0,4
5
=
18 | Métodos Quantitativos Aplicados
multiplicar 4.200 por 1,06, já que quando damos um aumento de 6% 
em um valor qualquer ficamos com 106%.
R$ 4.200,00 + R$ 4.200,00 x 0,06 = R$ 4.200,00 × (1 + 0,06) 
= 4.200,00 × 1,06 = R$ 4.452,00 
HP 12c [ 4.200 Enter 6% + ]
Exemplo 2:
Concedendo um desconto de 10% em um produto que 
custa R$ 130,00, quanto o produto custará? Esse problema de 
desconto em percentual é resolvido de forma análoga ao problema 
de aumento, isto é:
R$ 130,00 - R$ 130 × 0,1 = R$ 130,00 × (1 - 0,1) = 
130,00 × 0,9 = R$ 117,00 
HP 12c [ 130 Enter 10% - ]
Muitas vezes não faz sentido falar em porcentagens 
superiores a 100%. Por exemplo, não é correto 
dizer “150% de desconto no preço de um 
objeto”, mas “o mesmo objeto pode ter seu preço 
aumentado em 200%”.
Nos aumentos sucessivos, devemos calcular o primeiro 
aumento sobre o valor inicial e sobre o resultado e determinar 
o segundo aumento. Para o desconto é realizado o mesmo 
procedimento. Para que você compreenda melhor esse conceito, veja o 
exemplo a seguir:
Saiba mais
 Métodos Quantitativos Aplicados | 19
Exemplo 3: 
Uma mercadoria que custava R$ 100,00 sofreu dois 
aumentos sucessivos de 10%. Qual é o preço do produto após 
os aumentos? Seguindo as informações contidas no texto acima, 
devemos aplicar o aumento de 10% em R$ 100,00 e mais 10% 
nesse resultado.
R$ 100,00 × (1 + 0,1) × (1 + 0,1) = R$ 100,00 x 
1,1 x 1,1= R$ 110,00 x 1,1 = R$ 121,00 
HP 12c [ 100 Enter 10% + 10% + ]
Como vimos no exemplo acima, nunca podemos 
somar e/ou subtrair os percentuais quando 
aplicados os aumentos e/ou descontos sucessivos, ou 
seja, dois aumentos de 10% são diferentes de um 
único aumento de 20%.
4. Somatório
Somatório é um operador matemático que possibilita 
representar de uma forma prática algumas somas. Denotaremos com a 
letra grega sigma Σ. Por exemplo, consideremos a seguinte soma:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 +62 + 72 + 82 + 92 +102.
Esta soma pode ser representada de uma forma abreviada 
utilizando o operador matemático,assim:
 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 +62 + 72 + 82 + 92 +102.
Importante
∑
10
K2
K= 1
20 | Métodos Quantitativos Aplicados
Veja, a seguir, alguns exemplos de outros somatórios:
 (2K -1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9,
 
 2K = 2 + 4 + 6 + 8,
∑
5
K= 1
∑
4
K= 0
∑ 1 1 1 1 11 ....
2 3 4 'K n
= + + + + +
n
K= 1
∑
+∞
K= 1
2 - K = 2 -1 + 2 -2 + 2 -3 + 2 -4 + .... ,
 Métodos Quantitativos Aplicados | 21
Síntese
Neste conteúdo aprendemos a arredondar números 
corretamente, isto é, após decidir a quantidade de casas decimais 
desejada, pudemos identificar o primeiro algarismo a ser abandonado 
e estabelecer se o número deve ser arredondado para baixo ou para 
cima com base no primeiro algarismo. Também pudemos entender 
o conceito de razão entre duas grandezas não nulas, que é uma 
ferramenta que permite realizar a comparação entre essas grandezas 
que podem possuir ou não a mesma unidade.
Apresentamos o conteúdo necessário para o entendimento 
de que uma proporção é a igualdade entre duas razões e, assim, 
conseguimos aplicar esse conhecimento em problemas, principalmente 
fazendo uso da propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção,

Outros materiais