Energia no Escoamento Equação de Bernoulli

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Disciplina: 
Fenômenos de Transporte (FT)
Aula 5 – Energia no Escoamento de Fluidos: Equação e Princípio de Bernoulli 
Curso: Engenharia/Básico
prof. Gilberto F. de Lima
1) Escoamento em Regime Permanente;
2) Incompressível (ρ = constante)
3) Isotérmico (T = constante);
4) Fluido Ideal (sem viscosidade, 𝛍 = 0, portanto, sem turbulência);
5) Regime Uniforme;
 A determinação da energia transportada por um fluido em escoamento 
será feita nas seguintes condições:
 Trabalhar com um fluido ideal significa que sobre ele não atuarão tensões de cisalhamento. Portanto seu escoamento dar-se-á apenas pela ação de um diferencial de pressões.
z1
z2
PHR – Plano Horizontal de Referência
to
 No instante t0, o elemento de massa ∆m ocupa um comprimento ∆x1, num tubo de corrente com área A1, e está numa altura z1 em relação ao nível de referência. Tem velocidade v1 e é empurrado, no sentido do escoamento, por uma força F1, devida à pressão p1 exercida pelo fluido que vem atrás.
z1
z2
to + ∆t
PHR – Plano Horizontal de Referência
 No instante t0 + ∆t, o elemento de massa ∆m ocupa um comprimento ∆x2 num 
tubo de corrente com área A2, e numa altura z2 em relação ao nível de referência. 
Tem velocidade v2 e está sendo contido por uma força F2, devida à pressão p2 
exercida pelo fluido à sua frente. 
O efeito “líquido”
foi o deslocamento 
do elemento de massa 
∆m das condições 
iniciais às finais
num intervalo de 
tempo ∆t.
Calcularemos 
a variação de 
energia que ∆m 
sofre nesse processo.
z1
z2
to
z1
z2
to + ∆t
∆m = elemento de massa do fluido 
 Mas: 
 Como ρ = constante (fluidos incompressíveis), então: 
 ∆m = constante, e ∆∀ = constante, também.
No intervalo de tempo ∆t
 Lembrando que:
e
A energia cinética do elemento de massa ∆m do fluido será obtida de:
E a variação da energia cinética do fluido será dada então por:
 Já a energia potencial gravitacional do elemento de massa ∆m do fluido 
será dada por:
E a variação de energia potencial gravitacional do fluido será dada por: 
 É preciso destacar que o elemento de massa ∆m do fluido está sujeito a 
duas forças opostas, portanto, a duas pressões contrárias: uma favorece o 
escoamento (po), a outra ( pf ) oferece resistência a ele. 
Assim, o Trabalho Total realizado sobre ∆m será dado por:
também chamado de Energia Potencial de Pressão, Manométrica ou 
Piezométrica.
Finalmente, podemos escrever:
 Seus termos podem ainda ser reorganizados e apresentados da seguinte
 forma:
ou seja: 
como:
Esta é uma das formas da chamada equação de Bernoulli.
 Esta é outra forma de apresentar a equação de Bernoulli. Nesta disposição, ela também é chamada de princípio de Bernoulli.
 Essa combinação de termos em cada membro da expressão é denominada de Carga (H) de um fluido em escoamento.
 Cada membro desta equação envolve as energias cinética, potencial gravitacional e potencial manométrica do fluido, na condição inicial de 
um lado e na condição final de outro. 
Princípio de Bernoulli e o conceito de “Carga”
Esta grandeza também é chamada de Trinômio de Bernoulli.
 O princípio de Bernoulli indica , portanto, que a carga de um fluido incompressível é constante quando escoando em regime permanente, 
uma vez que:
Ou seja:
Este é o princípio de Bernoulli expresso numa forma compacta.
Daniel Bernoulli 
(suiço; 1700 – 1782)
 A carga representa a energia contida no fluxo, no entanto, verifica-se que 
ela é medida em unidades de pressão (N/m2, ou seja, em pascal (Pa)), pois 
todos os parâmetros que entram em sua composição têm unidade de pressão. 
Conferindo:
N
2
N
2
Portanto: 
 Por isso, muitas vezes, a Carga também é chamada de Pressão Total:
Pode-se dizer que a CARGA é composta pela soma de: 
b) Pressão Dinâmica:
a) Pressão Estática:
(princípio de Stevin), e;
 Costuma-se dizer que “a água na canalização está com muita (ou pouca) pressão”.
 Na verdade a água está com muita (ou pouca) Energia, ou com muita 
(ou pouca) Carga. 
 Como a Carga é medida com uma unidade de pressão vem daí a figura de linguagem acima (uma metonímia).
Lembrando que:
é o peso específico ([γ] = N/m3), 
 Multiplicando e dividindo a pressão dinâmica por g, obtém-se:
= γ
γ =
pode-se também escrever a carga como:
 Nesta formulação, a carga ainda será medida na unidade N/m2, como se verá a seguir:
2
Provando-se que:
ainda.
 A carga também pode ser medida em unidades de comprimento (metros).
De fato, partindo do princípio de Bernoulli:
podemos dividir todos os seus termos pelo fator (ρ∙ g), o que resulta em:
Esta é uma formulação alternativa e equivalente do princípio de Bernoulli.
 Podemos escrever então uma nova formulação para a carga baseados neste 
resultado:
Demonstraremos que esta combinação é medida em metros:
N
Portanto: 
Lembrando que 
 podemos também escrever a Carga acima 
da seguinte forma:
 Sem alterar a unidade de medida que continua sendo o metro.
= γ
 Portanto, temos quatro maneiras de definir a Carga (energia) de um 
fluido incompressível escoando em regime permanente:
 Seja como for que se calcule a Carga, para todas elas vale o princípio de 
Bernoulli:
ou
ou
e
OBSERVAÇÃO:
 A carga medida em pascal (Pa = N/m2) corresponde a uma Densidade de Energia, ou seja, a Energia por Volume. Vejamos:
 Já a carga medida em metros (m) corresponde a uma Energia por Peso (G). Conferindo:
2
Vejamos em seguida 
algumas aplicações do 
princípio de Bernoulli 
(Conservação da Energia no 
escoamento de um líquido).
 Como consequência do princípio de Bernoulli (conservação da Carga/Energia), conclui-se, por exemplo, que um esguicho vertical só pode alcançar uma altura máxima igual àquela do reservatório que o produz.
H1 = H2 = H3
Sifonação ou Sifonamento
 Drenar usando um sifão.
 Reparem que o sifão para drenagem é um tubo em U invertido: 
um tubo em ∩.
 O processo é executado enchendo-se o tubo com o líquido e, em seguida, emborcando-o simultaneamente nos dois reservatórios de alturas distintas.
https://www.youtube.com/watch?v=d7D9yspd-H4 (Acessado em 25/10/2015)
Sifonação ou Sifonamento
https://www.youtube.com/watch?v=fyElTC_84TI (Acessado em 25/10/2015)
Sifonamento
https://www.youtube.com/watch?v=9-jEYTXCRmo (Acessado em 25/10/2015)
Enchendo um sifão
https://www.youtube.com/watch?v=0KW4Ic2E2Xs (Acessado em 31/10/2015)
Sifonamento
Veja mais em:
https://www.youtube.com/watch?v=UZUCbR3qdfA (Acessado em 25/10/2015)
https://www.youtube.com/watch?v=s7gZVKVmlMo (Acessado em 25/10/2015)
https://www.youtube.com/watch?v=__pBXjbXeuQ (Acessado em 25/10/2015)
Fonte de Heron
https://www.youtube.com/watch?v=q0UkptiTBwc (Acessado em 24/10/2015)
https://www.youtube.com/watch?v=n7fM9gnOrlk (Acessado em 24/10/2015)
Como funciona e como montar uma fonte de Heron
Veja em:
Heron de Alexandria
grego, c. 10 d.C. – c. 70 d. C.
1) SANTOS, T. C. & FERREIRA, P.J.G.; Fenômenos de Transportes - Notas 
de Aulas e Exercícios, 2014.
Bibliografia
2) TIPLER, PAUL A.; Física – vol. 1b, 2ª. edição; Ed. Guanabara Dois, 1984.
FIM