Apostila Álgebra Linear

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Cieˆncia e Tecnologia-ICT
Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia-BC&T
Orientac¸o˜es de Estudo Para a Disciplina de
A´lgebra Linear
por
Moˆnica Aparecida Cruvinel Valada˜o
Diamantina-MG
2/2014
1/2015
2/2015
1/2016
2/2016
Suma´rio
1 Matrizes 4
1.1 Tipos Especiais de Matrizes 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Resumo sobre Notac¸a˜o de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Tipos Especiais de Matrizes 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Propriedades da A´lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Operac¸o˜es Elementares Sobre as Linhas de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.1 Matriz Equivalente Por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.2 Matrizes Escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 14
2.1 Soluc¸a˜o de Um Sistema de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Soluc¸a˜o de Um Sistema Linear - Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . 16
2.2 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Determinantes 22
3.1 Determinante e Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Matriz Inversa e Soluc¸a˜o de Um Sistema Linear de n Equac¸o˜es e n Inco´gnitas. . 24
3.3 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Vetores no Plano e no Espac¸o 27
4.1 Vetores em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Produto entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Espac¸o Vetorial 33
5.1 Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Subespac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Somas e Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.6 Base de Um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.7 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna de Uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.8 Dimensa˜o de Um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.9 Coordenadas de Um Vetor em Relac¸a˜o a Uma Base . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.10 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2
6 Transformac¸a˜o Linear 43
6.1 Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Operac¸o˜es Com Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4 Nu´cleo e Imagem de Uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5 Transformac¸a˜o Linear e Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.6 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 Autovalores e Autovetores 50
7.1 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Refereˆncias Bibliogra´ficas 53
Cap´ıtulo 1
Matrizes
Neste cap´ıtulo definiremos o conceito de matriz e trataremos das operac¸o˜es alge´bricas que
esta˜o definidas entre matrizes. Usaremos K para representar o conjunto dos nu´meros reais R
ou complexos C e os elementos de K sera˜o chamados de escalares.
Definic¸a˜o 1. Dados dois nu´meros m e n naturais e na˜o nulos, denomina-se matriz de ordem
m×n (leˆ-se m por n) sobre K a toda tabela A de elementos de K (podem ser reais ou complexos)
dispostos em m linhas e n colunas, como segue:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

A i-e´sima linha de A e´
[
ai1 ai2 · · · ain
]
e a j-e´sima coluna e´,

a1j
a2j
...
amj
 ,para i =
1, · · · ,m e j = 1, · · · , n, respectivamente. O elemento de posic¸a˜o linha i e coluna j da matriz
A e´ representado por aij e i, j sa˜o chamados de ı´ndices. Usaremos tambe´m a notac¸a˜o A =
Am×n = [aij]m×n. No decorrer deste cap´ıtulo quando mencionarmos uma matriz A, o leitor
devera´ lembrar de que se trata de uma matriz sobre K.
Exemplo 1. Sa˜o exemplos de matrizes:
(a) A =
[
1 2 3
]
e´ matriz 1× 3; (b) B =
[ −2 1
0 3
]
e´ matriz 2× 2
(c) C =
 51
4
 e´ matriz 3× 1; (d) D = [2] e´ matriz 1× 1.
Exemplo 2. Construa as seguintes matrizes:
(a) A = A3×3 tal que aij = i− j; (b) B = B3×3 tal que bij =
{
1, se i = j
0, se i 6= j
(c) C = C3×3 tal que cij =
{
1, se i+ j = 4
0, se i+ j 6= 4 ; (d) D = D3×2 tal que dij =
{
1, se i = j
i2, se i 6= j
1.1 Tipos Especiais de Matrizes 1
Definic¸a˜o 2. Sejam m e n nu´meros naturais na˜o nulos. Definimos:
(i) matriz linha e´ toda matriz do tipo 1× n;
4
(ii) matriz coluna e´ toda matriz do tipo m× 1;
(iii) matriz nula e´ toda matriz em que todos os elementos sa˜o iguais a zero;
(iv) matriz quadrada e´ toda matriz A de ordem m = n, isto e´, o nu´mero de linhas e´ igual ao
nu´mero de colunas.
(v) matriz transposta da matriz A de ordem m × n e´ a matriz denotada por AT , que e´ obtida
escrevendo as linhas de A, ordenadamente como colunas. A ordem de AT e´ n×m.
(vi) matriz sime´trica e´ toda matriz quadrada A em que A = AT .
Exemplo 3. (a) Represente genericamente cada matriz definida anteriormente.
(b) Cite exemplos nume´ricos para cada matriz da definic¸a˜o anterior.
Seja a matriz A = [aij]n×n (A e´ uma matriz quadrada de ordem n)
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann
 .
Chama-se Diagonal Principal de A o conjunto dos elementos de A que tem os dois ı´ndices
iguais, isto e´: {aij|i = j} = {a11, a22, a33, · · · , ann}. A Diagonal Secunda´ria de A e´ o conjunto
dos elementos de A que tem soma dos ı´ndices igual a n + 1, isto e´: {aij|i + j = n + 1} =
{a1n, a2(n−1), a3(n−2), · · · , an1}.
Definic¸a˜o 3. Dizemos que duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]m×n sa˜o iguais quando
aij = bij para todo i = 1, 2 · · · ,m e todo j = 1, 2, · · · , n.
Exemplo 4. (a)
[
1 −3
7 −4
]
=
[
1 −3
7 −4
]
(b)
[
1 −3
7 −4
]
6=
[
1 7
−3 −4
]
Exemplo 5. Determine x, y, z e t tais que:
(a)
[
2x 3y
3 4
]
=
[
x+ 1 2y
3 y + 4
]
(b)
[
x2 2x y
4 5 t2
]
=
[
x x 3
z 5t t
]
Exemplo 6. Sejam as matrizes A =
 8 9 −76 4 −5
−1 2 3
 e B =

0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 −1 −2
−3 −4 −5 −6
 .
(a) Determine a diagonal principal e a diagonal secunda´ria de cada matriz.
(b) Encontre a matriz transposta de cada matriz.
(c) Verifique se a matriz A e´ sime´trica.
(d) Verifique se a matriz B e´ sime´trica.
Observac¸a˜o 1. Se A = [aij]n×n e´ uma matriz sime´trica, os elementos dispostos simetricamente
em relac¸a˜o a` diagonal principal sa˜o iguais, isto e´, aij = aji. Por exemplo, dada a matriz
A =
 8 6 06 4 −3
0 −3 0
 observe que AT = A.
Definic¸a˜o 4. Sejam m e n nu´meros naturais na˜o nulos e A = [aij]m×n uma matriz. Definimos:
(i) matriz diagonale´ toda matriz quadrada A em que os elementos aij = 0 quando i 6= j;
(ii) matriz identidade de ordem n× n e´ toda matriz diagonal de ordem n em que os elementos
da diagonal principal sa˜o iguais a 1 (e´ usual indicar tal matriz por I = In);
(iii) matriz triangular superior e´ toda matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal
5
principal sa˜o nulos, isto e´, aij = 0 para i > j;
(iv) matriz triangular inferior e´ toda matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal
principal sa˜o nulos, isto e´, e aij = 0 para i < j;
Exemplo 7. (a) Represente genericamente cada matriz definida anteriormente.
(b) Cite exemplos nume´ricos para cada matriz da definic¸a˜o anterior.
1.2 Resumo sobre Notac¸a˜o de Somato´rio
Para representar a soma a1+a2+a3+a4+a5+a6 usamos a notac¸a˜o
6∑
i=1
ai, que se leˆ: somato´rio
de ai, com i variando de 1 a 6. O ı´ndice i costuma ser chamado de ı´ndice mudo e pode ser
substitu´ıdo por qualquer outra letra, ou seja, a soma anterior pode ser representada por uma
das notac¸o˜es a seguir:
6∑
i=1
ai,
6∑
j=1
aj ou
6∑
k=1
ak.
Exemplo 8. Desenvolva os somato´rios a seguir.
(a)
5∑
i=1
i2 (b)
2∑
i=−2
(3i+ 2) (c)
8∑
k=3
1
k
Definic¸a˜o 5. Sejam m,n ∈ Z tais que m ≤ n e seja F (i) ∈ R, com i = m,m+1,m+2, · · · , n−
1, n. Definimos
n∑
i=m
F (i) pela igualdade
n∑
i=m
F (i) = F (m) +F (m+ 1) +F (m+ 2) + · · ·+F (n−
1) + F (n), onde m e n sa˜o chamados de limite inferior e limite superior, respectivamente.
Exemplo 9. (a)
6∑
i=3
i2
i+ 2
=
32
3 + 2
+
42
4 + 2
+
52
5 + 2
+
62
6 + 2
.
(b)
7∑
k=4
kbk = 4b4 + 5b5 + 6b6 + 7b7.
Proposic¸a˜o 1. Sejam m,n ∈ N, F (i), G(i), H(j) ∈ R com i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · ,m e
seja c uma constante real. Enta˜o:
(i)
n∑
i=1
c = cn;
(ii)
n∑
i=1
cF (i) = c
n∑
i=1
F (i);
(iii)
n∑
i=1
(F (i) +G(i)) =
n∑
i=1
F (i) +
n∑
i=1
G(i);
(iv)
( n∑
i=1
F (i)
)( m∑
j=1
H(j)
)
=
n∑
i=1
m∑
j=1
F (i)H(j) =
m∑
j=1
n∑
i=1
F (i)H(j).
Exemplo 10. Demonstre a proposic¸a˜o anterior.
Exemplo 11. (a) Desenvolva os somato´rios:
2n∑
i=n
1
i
,
5∑
n=1
(n2 + n+ 1) e
n∑
j=1
aijbjk.
(b) Escreva na forma de somato´rio a soma a0x
n + a1x
n−1 + · · ·+ an−1x+ an;
(c) Escreva na forma de somato´rio a soma 3 + 3
2
22
+ 3
3
32
+ 3
4
42
+ 3
5
52
+ 3
6
62
.
6
1.3 Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o 6. Sejam as matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]m×n. A soma A + B e´ a matriz
C = A+B = [cij]m×n tal que cada elemento cij = aij + bij para i = 1, 2, · · · ,m e j = 1, 2, · · · , n.
(A subtrac¸a˜o de matrizes e´ definida de forma ana´loga).
Exemplo 12. Sejam as matrizes A =
[
1 2 3
4 5 6
]
e B =
[
4 −1 1
−4 0 6
]
. Determine A + B,
A−B e B − A.
Definic¸a˜o 7. Sejam a matriz A = [aij]m×n e um escalar β. O produto β · A e´ a matriz B =
β · A = [bij]m×n tal que cada elemento bij = β · aij, para i = 1, 2, · · · ,m e j = 1, 2, · · · , n.
Exemplo 13. O produto da matriz A =
 −2 10 3
5 −4
 pelo escalar −3 e´ dado por
−3A =
 (−3)(−2) (−3)1(−3)0 (−3)3
(−3)5 (−3)(−4)
 =
 6 −30 −9
−15 12
 .
Definic¸a˜o 8. Sejam as matrizes A = [aij]m×n e B = [bjk]n×p. O produto AB e´ a matriz
C = AB = [cik]m×p tal que cada elemento cik = ai1b1k +ai2b2k +ai3b3k + · · ·+ainbnk =
n∑
j=1
aijbjk
para i = 1, 2, · · · ,m e k = 1, 2, · · · , p.
Exemplo 14. Dadas as matrizes A =
[
1 2 3
4 5 6
]
e B =
 78
9
 temos que,
AB =
[
1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 9
4 · 7 + 5 · 8 + 6 · 9
]
=
[
50
122
]
. Observe que o produto BA na˜o esta´ definido uma vez
que, o nu´mero de colunas de B e´ diferente do nu´mero de linhas de A.
Exemplo 15. Considere as matrizes A = [aij]4×7, definida por aij = i−j, B = [bjk]7×9, definida
por bjk = j e C = AB. Determine o elemento c23 da matriz C sem calcular o produto AB.
Exemplo 16. Considere as matrizes a seguir:
(a) A =
[
2 0
6 7
]
(b) B =
[
0 4
2 −8
]
(c) C =
[ −6 9 −7
7 −3 −2
]
(d) D =
 −6 4 01 1 4
−6 0 6
 (e) E =
 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
 .
Determine, se poss´ıvel:
(a) AB −BA (b) 2C −D (c) (2DT − 3ET )T (d) DD −DE
1.4 Tipos Especiais de Matrizes 2
Definic¸a˜o 9. Definimos:
(i) matriz anti-sime´trica e´ toda matriz quadrada A tal que AT = −A;
(ii) matriz inversa de uma matriz quadrada A (quando existe) e´ uma matriz quadrada B (que
pode ser denotada tambe´m por A−1) tal que AB = BA = I, em que I e´ a matriz identidade;
(iii) matriz ortogonal e´ toda matriz quadrada A em que sua matriz inversa (quando existe)
coincide com sua transposta, isto e´, AAT = ATA = I;
(iv) poteˆncia n, n ∈ N∗, de uma matriz quadrada A, denotada por An, e´ a matriz obtida pelo
produto da matriz A por ela mesma n− vezes.
7
Exemplo 17. Resolva os itens a seguir.
(a) Verifique se a matriz A =
 0 3 4−3 0 −6
−4 6 0
 e´ anti-sime´trica.
(b) Seja a matriz B =
[
11 3
7 2
]
. Verifique se a matriz C =
[
2 −3
−7 11
]
a´ a matriz inversa
da matriz B.
(c) Verifique se a matriz D =
 12
√
3
2
√
3
2
−1
2
 e´ ortogonal.
Observac¸a˜o 2. A inversa de uma matriz quadrada A, quando existe, e´ u´nica.
1.5 Propriedades da A´lgebra Matricial
Teorema 1. Sejam as matrizes A, B e C sobre K. Sa˜o va´lidas as as seguintes propriedades
para as operac¸o˜es matriciais:
(i) associatividade em relac¸a˜o a adic¸a˜o: (A+B) + C = A+ (B + C)
quaisquer que sejam as matrizes A, B e C de ordem m× n;
(ii) comutatividade em relac¸a˜o a adic¸a˜o: (A+B) = (B + A)
quaisquer que sejam as matrizes A e B de ordem m× n;
(iii) existeˆncia do elemento neutro: A+O = A
quaisquer que seja a matriz A = [aij]m×n e a martriz nula O = [oij]m×n;
(iv) existeˆncia do elemento sime´trico: para toda matriz A = [aij]m×n existe uma u´nica matriz
(−A) tal que A+ (−A) = O;
(v) associatividade em relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o: (AB)C = A(BC)
quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n, B = [bjk]n×p e C = [ckl]p×r;
(vi) distributividade a` direita em relac¸a˜o a` adic¸a˜o: (A+B)C = AC +BC
quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n, B = [bij]m×n e C = [cjk]n×p;
(vii) distributividade a` esquerda em relac¸a˜o a` adic¸a˜o: C(A+B) = CA+ CB
quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n, B = [bij]m×n e C = [cki]p×m;
(viii) (kA)B = A(kB) = k(AB) quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n e B = [bjk]n×p
e o escalar k.
(ix) AIn = A e ImA = A
quaisquer que sejam a matriz A = [aij]m×n e as matrizes In = In×n e Im = Im×m (In e Im sa˜o
respectivamente, matriz identidade de ordem n e matriz identidade de ordem m);
(x) (AT )T = A
quaisquer que seja a matriz A = [aij]m×n;
(xi) (A+B)T = AT +BT
quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n, B = [bij]m×n;
(xiii) (kA)T = kAT
quaisquer que sejam a matriz A = [aij]m×n e o escalar k;
(xiv) (AB)T = (B)T (A)T
quaisquer que sejam as matrizes A = [aij]m×n e B = [bjk]n×p.
Observac¸a˜o 3. A matriz (−A) que aparece em (iv) e´ chamada de matriz oposta de A.
Exemplo 18. (a) Demonstre o teorema anterior.
(b) Cite exemplos nume´ricos para cada item do teorema anterior.
Exemplo 19. A afirmac¸a˜o a seguir e´ verdadeira? Justifique.
O produto entre matrizes e´ comutativo.
8
Exemplo 20. Sejam A e B matrizes quadradas. Verifique se vale a igualdade (A+B)(A−B) =
A2−B2. Caso a igualdade na˜o seja va´lida, apresente um exemplo nume´rico para esta situac¸a˜o.
Exemplo 21. Encontre um valor de x tal que ABT = O, em que A =
[
x 4 −2 ] e B =[
2 −3 5 ]
Exemplo 22. Sejam A =
[
1 2
1 4
]
e B =
[
2 −1
x y
]
duas matrizes. Se B e´ a inversa de A,
calcule o valor de x+ y.
Exemplo 23. Dadas as matrizes:
A =

5 0 6
−8 0 3
−2 2 7
1 −1 −5
 , B =
 1 −3 −2 47 8 5 9
0 6 3 −8
 e C =
 2 3 01 1 −8
3 5 4
 . Determine (AB)Te 2(ATBT ) + 3CT
Definic¸a˜o 10. Seja a matriz quadrada A = [aij]n×n. Definimos o trac¸o de A, denotado por
tr(A), como sendo a soma dos elementos da diagonal principal de A, isto e´, tr(A) =
n∑
i=1
aii.
Exemplo 24. Sejam A e B matrizes de ordem n× n e um escalar α. Mostre que:
(i) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);
(ii) tr(αA) = αtr(A);
(iii) tr(AT ) = tr(A);
(iv) tr(AB) = tr(BA)
1.6 Operac¸o˜es Elementares Sobre as Linhas de uma Ma-
triz
Definic¸a˜o 11. Uma operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz A = [aij]m×n
e´ uma das operac¸o˜es a seguir.
(i) Trocar a posic¸a˜o das linhas Li e Lj da matriz A entre si.
(ii) Multiplicar uma linha Li da matriz A por um escalar k na˜o-nulo.
(iii) Substituir a linha Li da matriz A pela soma da linha Li com k vezes a linha Lj da matriz
A.
Notac¸a˜o: Cada item anterior sera´ denotado como segue:
(i) Li ←→ Lj;
(ii) Li −→ k · Li, k 6= 0;
(iii) Li −→ Li + k · Lj.
1.6.1 Matriz Equivalente Por Linhas
Definic¸a˜o 12. Uma matriz A = [aij]m×n e´ equivalente por linhas a uma matriz B = [bij]m×n se
B for obtida de A aplicando-se uma sequeˆncia finita de operac¸o˜es elementares sobre as linhas
de A. Nesse caso, usaremos a notac¸a˜o A ∼ B.
Exemplo 25. Sejam as matrizes A =
 1 1 12 1 4
2 3 5
 , B =
 0 0 3 −95 15 −10 40
1 3 −1 5
 e C =
 1 3 130 1 5
0 −2 −10
 .
Verifique que as matrizes A, B e C sa˜o equivalentes por linhas, respectivamente, a`s matrizes
D =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 , E =
 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
 e F =
 1 0 −20 1 5
0 0 0
 .
9
Observac¸a˜o 4. A relac¸a˜o ”ser equivalente por linhas”satisfaz as seguintes propriedades.
(i) Toda matriz e´ equivalente por linhas a ela mesma (Reflexiva);
(ii) Se matriz A e´ equivalente por linhas a matriz B, enta˜o B e´ equivalente por linhas a A
(Sime´trica);
(iii) Se a matriz A e´ equivalente por linhas a matriz B e se B e´ equivalente por linhas a matriz
C, enta˜o A e´ equivalente por linhas a C (Transitiva).
1.6.2 Matrizes Escalonadas
Definic¸a˜o 13. Uma matriz A = [aij]m×n esta´ na forma escalonada reduzida por linhas (ou
escalonada reduzida ou escada reduzida) se satizfaz as seguintes condic¸o˜es:
(i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas na˜o nulas;
(ii) O pivoˆ (1o elemento na˜o nulo de uma linha) de cada linha na˜o nula ocorre a direita do
pivoˆ da linha anterior;
(iii) O pivoˆ de cada linha na˜o nula e´ igual a 1;
(iv) Se uma coluna conte´m um pivoˆ, enta˜o todos os seus outros elementos sa˜o iguais a zero.
Observac¸a˜o 5. Se uma matriz A = [aij]m×n satisfaz as condic¸o˜es (i) e (ii), mas na˜o necessa-
riamente (iii) e (iv) da definic¸a˜o anterior enta˜o dizemos que A esta´ na forma escalonada por
linhas (ou escalonada ou escada).
Exemplo 26. (a) As matrizes A =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 e B =
 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
 esta˜o na forma
escalonada reduzida.
(b) As matrizes C =
 1 1 10 −1 2
0 0 5
 e D =
 1 3 −1 50 0 −5 15
0 0 0 0
 esta˜o na forma escalonada mas
na˜o esta˜o na forma escalonada reduzida. Justifique.
(c) A matriz E =
 0 2 11 0 −3
0 0 0
 na˜o esta´ na forma escalonada reduzida e nem na forma
escalonada. Justifique.
Exemplo 27. Explique o que e´ uma matriz escalonada reduzida equivalente a uma matriz A.
Definic¸a˜o 14. Seja a matriz A = [aij]m×n e B = [bij]m×n a matriz escalonada reduzida
equivalente a A. Definimos:
(i) O posto de A e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas de B, denotado por p;
(ii) A nulidade de A e´ n− p, isto e´, o nu´mero de colunas de A menos o posto de A.
O posto de uma matriz A e´ conhecido tambe´m como caracter´ıstica de A.
Exemplo 28. Determine o posto e a nulidade das matrizes a seguir.
(a) A =
 1 −2 32 2 1
2 −4 6
 (b) B =

2 1 −1
0 3 1
−1 2 1
4 1 1
 C =
 1 0 2 0−2 3 0 1
4 −2 1 3

Exemplo 29. (a) Qual o valor ma´ximo para o posto de uma matriz de ordem 3× 4?
(b) Determine m de modo que o posto da matriz A =
 1 m −12 m 2m
−1 2 1
 seja igual a 2.
10
1.7 Exerc´ıcios Complementares
1. Determine, se poss´ıvel, o produto e a ordem da matriz resultante.
(a)
[
3 5 1
−2 0 2
]
·
 2 11 3
4 1

(b)
 4 −26 −4
8 −6
 · [ 1 2 3 ]
(c)
 2−1
3
 · [ 3 2 4 5 ]
2. Sejam D =
[
3 0
0 3
]
, A =
[
a1 a2 · · · an
b1 b2 · · · bn
]
e B =

c1 d1
c2 d2
· · · · · ·
cn dn
 . Encontre DA e BD.
3. Se A =
[
2 4
1 3
]
, B =
[ −2 1
0 4
]
e C =
[
3 1
2 1
]
, verifique que:
(a) (A+B) + C = A+ (B + C)
(b) (AB)C = A(BC)
(c) A(B + C) = AB + AC
(d) (A+B)C = AC +BC
(e) (A+B)T = AT +BT
(e) (AB)T = BTAT
4. Seja uma matriz de ordem m × n. Explique por que as multiplicac¸o˜es ATA e AAT sa˜o
poss´ıveis.
5. Seja A =
[
1 2 0
3 −1 4
]
. Determine AAT e ATA.
6. Sejam as matrizes A =
 4 11 −90 3 2
−3 1 1
 e B =
 1 0 5−4 6 11
−6 4 9
 . Encontre o elemento c23
da matriz C, em que C = (5A) · (2B).
7. Considere as matrizes A = [aij]4×7 definida por aij = i − j, B = [bjk]7×9 definida por
bjk = j, C = [cij]4×7 definida por cij = i, D = AB e E = A+C. Resolva os itens a seguir.
(a) Determine o elemento dik da matriz D.
(b) Determine o elemento eij da matriz E.
8. Sejam as matrizes A = [aij]3×3, B = [bij]3×3, C = [cij]3×3 e D = [djk]3×2, defini-
das, respectivamente, por aij = i − j, bij =
{
1, se i = j
0, se i 6= j , cij =
{
1, se i+ j = 4
0, se i+ j 6= 4 e
djk =
{
1, se j = k
j2, se j 6= k . Determine, sem calcular os produtos das respectivas matrizes, os
seguintes elementos:
(a) Os elementos e13, e21 e e33 da matriz E = AB.
(b) Os elementos f22, f12 e f31 da matriz F = BA.
(c) Os elementos g11, g32 e g12 da matriz G = CD.
11
9. Considerando o enunciado do exerc´ıcio anterior, verifique se o produto matricial DC esta´
definido. Justifique.
10. Seja A uma matriz 2 × 2 com a11 6= 0 e seja α = a21
a11
. Mostre que A pode ser fatorada
como um produto da forma
[
1 0
α 1
]
·
[
a11 a12
0 b
]
. Qual o valor de b?
11. Seja a matriz M que apresenta as quantidades de vitaminas A,B e C, obtidas em cada
unidade dos alimentos I e II,
M=
A B C[
4 3 0
5 0 1
]
Alimento I
Alimento II.
Supondo que um indiv´ıduo consuma x unidades do alimento I e y unidades do alimento
II, represente em uma matriz a quantidade de cada vitamina consumida.
12. Em uma pesquisa sobre dieta participam adultos (Ad) e crianc¸as (Cri) de ambos os sexo.
A distribuic¸a˜o dos participantes no projeto e´ dada pela matriz
A=
Ad Cri[
80 120
100 200
]
Sexo Masculino
Sexo Feminino.
O nu´mero de gramas dia´rio de prote´ınas (P), gorduras (G) e carboidratos (C) consumido
pelas crianc¸as e adultos e´ dado pela matriz
B=
P G C[
20 20 20
10 20 30
]
Ad
Cri.
(a) Quantos gramas de prote´ına sa˜o consumidos diariamente por homens no projeto?
(b)Quantos gramas de carboidrato sa˜o consumidos diariamente por mulheres no projeto?
13. Uma companhia manufatura teˆs produtos. Suas despesas de produc¸a˜o sa˜o divididas em
treˆs categorias. Em cada categoria e´ feita uma estimativa do custo de produc¸a˜o de um
item de cada produto. Essas estimativas sa˜o dadas nas Tabelas 1 e 2. Na reunia˜o dos
acionistas, a companhia gostaria de apresentar uma simples tabela mostrando o custo
total para cada trimestre em cada uma das treˆs categorias: mate´rias-prima, ma˜o de obra
e outras despesas.
Tabela 1.1: Custo de Produc¸a˜o por Item (R$)
Produto
Despesas A B C
Mate´rias-primas 0, 10 0, 30 0, 15
Ma˜o de Obra 0, 30 0, 40 0, 25
Outras despesas 0, 10 0, 20 0, 15
14. Descreva todas as poss´ıveis matrizes de ordem 2 × 2 que esta˜o na forma escalonada
reduzida.
12
Tabela 1.2: Quantidade Produzida Por Trimestre
Estac¸a˜o
Produto Vera˜o Outono Inverno Primavera
A 4000 4500 4500 4000
B 2000 2600 2400 2200
C 5800 6200 6000 600015. Quais das matrizes a seguir esta˜o na forma escalonada reduzida e quais esta˜o na forma
escalonada?
(a)
[
1 2 3 4
0 0 1 2
]
(b)
 1 0 00 0 0
0 0 1
 (c)
 1 3 00 0 1
0 0 0
 (d)
 0 10 0
0 0

(e)
 1 1 10 1 2
0 0 3
 (f)
 1 4 60 0 1
0 1 3
 (g)
 1 0 0 1 20 1 0 2 4
0 0 1 3 6
 (h)
 0 1 3 40 0 1 3
0 0 0 0

16. Determine o posto e a nulidade de cada matriz a seguir.
(a) A =

1 2 1 3
2 1 −4 −5
7 8 −5 −1
10 14 −2 8
 (b) B =

1 2 1 3
2 1 −4 −5
1 1 0 0
0 0 1 1

(c) C =
 1 2 3−1 2 1
3 1 2
 (d) D =
 1 −2 −12 −1 3
7 −8 3

13
Cap´ıtulo 2
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Uma equac¸a˜o linear nas varia´veis x1, x2, · · · , xn e´ uma equac¸a˜o da forma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn = b1,
em que a1, a2, · · · , an e b1 sa˜o constantes reais.
Exemplo 30. (a) Sa˜o exemplos de equac¸o˜es lineares: 3x1+4x2−5x3−x4 = 5 e 2x2−x2−x3 = 0.
(b) Sa˜o exemplos de equac¸o˜es na˜o lineares: 2x21 + 4x2 + x3 = 0 e 2x1x2 + x3 + x4 = 3.
Dizemos que a n− upla ordenada (α1, α2, · · · , αn) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o lineaar a1x1 +
a2x2+a3x3+· · ·+anxn = b1 se a1α1+a2α2+a3α3+· · ·+anαn = b1 for uma sentenc¸a verdadeira.
Exemplo 31. Deˆ um exemplo de uma equac¸a˜o linear e apresente uma soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o,
caso exista.
Um sistema de equac¸o˜es lineares (ou simplesmente sistema linear) com m equac¸o˜es nas
varia´veis x1, x2, · · · , xn e´ um conjunto de equac¸o˜es da forma:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
...
... =
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
(2.1)
em que aij e bk sa˜o constantes reais com i, k = 1, 2, 3, · · · ,m e j = 1, 2, 3, · · · , n.
Dizemos que a n− upla ordenada (α1, α2, · · · , αn) e´ uma soluc¸a˜o do sistema linear (2.1) se
for soluc¸a˜o de todas as equac¸o˜es de (2.1).
Notac¸a˜o Matricial
O sistema de equac¸o˜es lineares acima pode ser escrito como uma equac¸a˜o matricial
AX = B,
em que A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 e´ chamada a matriz dos coeficientes, X =

x1
x2
x3
...
xn
 e´ a
matriz das varia´veis e B =

b1
b2
b3
...
bm
 e´ a matriz dos termos independentes.
14
Se a n − upla ordenada (α1, α2, · · · , αn) for uma soluc¸a˜o do sistema linear (2.1), esta tambe´m
pode ser escrita na forma matricial S =

α1
α2
...
αn
 . O conjunto de todas as soluc¸o˜es de uma
sistema linear e´ chamado conjunto soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o geral do sistema.
Observac¸a˜o 6. (i) No caso em que B =

0
0
0
...
0
 , o sistema (2.1) sera´ chamado de sistema
linear homogeˆneo.
Uma outra matriz que associaremos ao sistema (2.1) e´ matriz ampliada do sistema (2.1),
representada a seguir
M =

a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn bm
 .
Exemplo 32. O sistema

x + y + z = 6
2x + y − z = 1
3x − y + z = 4
pode ser escrito como
 1 1 12 1 −1
3 −1 1
 ·
 xy
z
 =
 61
4
 .
A soluc¸a˜o geral do sistema e´ S =
 12
3
 . A matriz ampliada desse sistema e´
 1 1 1 62 1 −1 1
3 −1 1 4
 .
2.1 Soluc¸a˜o de Um Sistema de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 15. (i) Um sistema linear e´ poss´ıvel (ou compat´ıvel) quando admite soluc¸a˜o.
(ii) Um sistema linear e´ imposs´ıvel (ou incompat´ıvel) quando na˜o admite soluc¸a˜o.
Definic¸a˜o 16. Um sistema linear compat´ıvel classifica-se em:
(i) determinado quando admite uma u´nica soluc¸a˜o;
(ii) indeterminado quando admite mais de uma soluc¸a˜o.
Resumidamente,
15
Determinado: possui u´nica soluc¸a˜o
Poss´ıvel
Indeterminado: possui mais de uma soluc¸a˜o
Sistema Linear
Imposs´ıvel Sem soluc¸a˜o
Exemplo 33. Classifique e resolva os sistemas lineares a seguir.
(a)
{
2x + 3y = 18
3x + 4y = 25
(b)
{
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
(c)
{
3x + 9y = 12
3x + 9y = 15
Teorema 2. Sejam os sistemas lineares na forma matricial AX = B e CX = D. Se a matriz
ampliada de CX = D e´ obtida aplicando-se uma operac¸a˜o elementar na matriz ampliada de
AX = B, enta˜o os sistemas lineares AX = B e CX = D sa˜o equivalentes, isto e´, possuem o
mesmo conjunto soluc¸a˜o.
2.1.1 Soluc¸a˜o de Um Sistema Linear - Me´todo de Gauss-Jordan
O me´todo de Gauss-Jordan consiste em aplicar operac¸o˜es elementares a`s linhas da matriz
ampliada do sistema linear em questa˜o, ate´ que a matriz equivalente obtida esteja na forma
escalonada reduzida.
Exemplo 34. Resolva os sistemas lineares a seguir.
(a)

x+ y + z = 1000
2x+ y + 4z = 2000
2x+ 3y + 5z = 2500
(b)

y + z = 1
x+ z = 2
−x+ z = 3
y + z = 4
(c)

x+ 2y + 1 = 9
2x+ y − z = 3
3x− y − 2z = −4
Veremos a seguir quais concluso˜es obteremos apo´s aplicar o me´todo de Gauss-Jordan.
16
Considere o sistema linear de m equac¸o˜es e n inco´gnitas
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
...
... =
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
(2.2)
e siga sucessivamente os passos a seguir.
1o Passo: Aplicar o me´todo de Gauss-Jordan no sistema (2.2).
2o Passo: Verificar se o posto matriz da ampliada, denotado por pa, e´ igual ao posto da matriz
dos coeficientes, denotado por pc. Caso isso ocorra, significa que o sistema (2.2) tem soluc¸a˜o e
enta˜o deve-se ir ao passos 3 e 4. Caso isso na˜o ocorra (isto e´, caso ocorra pa > pc), significa que
o sistema (2.2) e´ imposs´ıvel (na˜o admite soluc¸a˜o).
3o Passo: Determinar em quais dos itens a seguir o sistema equivalente a` (2.2) se encaixa.
(i) posto matriz ampliada, denotado por pa, e´ igual ao posto da matriz dos coeficientes, deno-
tado por pc e pc = n = pa, em que n e´ o nu´mero de inco´gnitas.
(ii) posto matriz ampliada, denotado por pa, e´ igual ao posto da matriz dos coeficientes, deno-
tado por pc e pa = pc < n, em que n e´ o nu´mero de inco´gnitas.
4o Passo: Concluso˜es do passo 3.
(i) Se ocorre pc = n = pa, enta˜o o sistema (2.2) possui u´nica soluc¸a˜o.
(ii) Se ocorre pa = pc < n, enta˜o o sistema (2.2) possui mais de uma soluc¸a˜o. Nesse caso,
escolhe-se n− p inco´gnitas e as outras p inco´gnitas sera˜o dadas em func¸a˜o destas.
Exemplo 35. Classifique e resolva os sistemas lineares a seguir.
(a)
{
2x− 3y = 4
6x− 9y = 15
(b)

3x+ 2y − 5z = 8
2x− 4y − 2z = −4
1x− 2y − 3z = −4
(c)

2x+ 4y + 6z = −6
3x− 2y − 4z = −38
x+ 2y + 3z = −3
(d)

x+ y − z = 0
2x− 3y + z = 0
4x− 4y − 2z = 0
(e)

x+ 3z = −8
2x− 4y = −4
3x− 2y − 5z = 26
(f)

x− z = 0
3x+ y + 2z = 0
4x+ 2y + 2z = 0
(g)
{
6x+ 2y + 4z = 0
−9x− 3y − 6z = 0
(h)

3x+ 6y = 0
12x+ 24y = 0
3
2
x+ 3y = 0
3
4
x+
3
2
y = 0
17
(i)

x− y = 0
2y + 4z = 6
x+ y + 4z = 6
(j)

x+ 2y = 4
−3x+ 4y = 3
2x− y = −6
Exemplo 36. Estabelec¸a a condic¸a˜o que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e
z para que os sistemas sejam compat´ıveis.
(a)

a1 + 2a2 = x
−3a1 + 4a2 = y
2a1 − a2 = z
(b)

a+ 2b = x
−2a+ b = y
−a+ b = z
(c)

−a+ 3b = x
2a− b = y
−2a+ b = z
3a+ b = t
Exemplo 37. Calcule, se poss´ıvel, o valor de k para que o sistema a seguir seja compat´ıvel.
(a)

x+ 2y = −1
−3x+ 4y = k
2x− y = −7
Exemplo 38. Determine, se poss´ıvel, o valor de k para que o sistema a seguir admita soluc¸a˜o
na˜o trivial.
(a)

x− y − z = 0
x− 2y − 2z = 0
2x+ ky + z = 0
Exemplo 39. Determine, se poss´ıvel, os valores de a de modo que o sistema a seguir tenha:
(i) nenhuma soluc¸a˜o,(ii) u´nica soluc¸a˜o,
(iii) infinitas soluc¸o˜es.
x+ y − z = 1
2x+ 3y + az = 3
x+ ay + 3z = 2.
Exemplo 40. Determine se o sistema homogeˆneo a seguir possui soluc¸a˜o na˜o nula
x+ 2y − 3z = 0
2x+ 5y + 2z = 0
3x− y − 4z = 0.
18
2.2 Exerc´ıcios Complementares
1. Escreva o sistema de equac¸o˜es que corresponde a cada uma das seguintes matrizes am-
pliadas a seguir.
(a) A =
[
3 2 | 8
1 5 | 7
]
(b) B =
 2 1 4 | −14 −2 3 | 4
5 2 6 | −1

(c) C =

4 −3 1 2 | 4
3 1 −5 6 | 5
1 1 2 4 | 8
5 1 3 −2 | 7

2. Use o me´todo de Gauss-Jordan para resolver os sistemas lineares do exerc´ıcio (1).
3. Seja um sistema linear cuja matriz ampliada e´ 1 2 1 | 1−1 4 3 | 2
2 −2 a | 3
 .
Para qual valor de a o sistema possui u´nica soluc¸a˜o?
4. Considere um sistema linear cuja matriz ampliada e´ 1 2 1 | 02 5 3 | 0
−1 1 β | 0
 .
(a) Verifique se o sistema em questa˜o e´ incompat´ıvel. Justifique.
(b) Para quais valores de β o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es?
5. Seja um sistema linear cuja matriz ampliada e´ 1 1 3 | 21 2 4 | 3
1 3 a | b
 .
(a) Para quais valores de a e b o sistema possui infinitas soluc¸o˜es?
(b) Para quais valores de a e b o sistema e´ imposs´ıvel?
6. Determine os valores de k de modo que o sistema a seguir, nas varia´veis x, y e z tenha:
(i) nenhuma soluc¸a˜o;
(ii) mais de uma soluc¸a˜o;
(iii) u´nica soluc¸a˜o.
(a)

kx+ y + z = 1
x+ ky + z = 1
x+ y + kz = 1
(b)
{
x+ 2y + kz = 1
2x+ ky + 8z = 3
(c)

x+ y + kz = 2
3x+ 4y + 2z = k
2x+ 3y − z = 1
19
(d)

x− 3z = −3
2x+ ky − z = −2
x+ 2y + kz = 1
7. Determine se cada sistema linear homogeˆneo a seguir tem soluc¸a˜o na˜o nula.
(a)

x− 2y + 2z = 0
2x+ y − 2z = 0
3x+ 4y − 6z = 0
3x− 11y + 12z = 0
(b)

2x− 4y + 7z + 4v − 5w = 0
9x+ 3y + 2z − 7v + w = 0
5x+ 2y − 3z + v + 3w = 0
6x− 5y + 4z − 3v − 2w = 0
8. Resolva o sistema

x + 2y − 3z = 4
x + 3y + z = 11
2x + 5y − 4z = 13
2x + 6y + 2z = 22
.
9. Determine a inversa de cada matriz abaixo:
(a) A =
 1 1 01 0 1
0 1 1
 (b) B =
 1 0 11 2 3
1 2 4
 (c) C =
 1 9 53 1 2
6 4 4

10. A fo´rmula para a Dieta de Cambridge apresentada na segunda tabela, uma dieta popular
nos anos 80, foi desenvolvida por uma equipe chefiada pelo Dr. Alan H. Howard, da
Universidade de Cambridge, apo´s oito anos de trabalho com pacientes obesos. Com base
nas informac¸o˜es das tabelas a seguir determine, se poss´ıvel, uma combinac¸a˜o de leite
desnatado, farinha de soja e soro de leite, de modo a obter as quantidades dia´rias exatas
de prote´ınas, carboidratos e gordura para a dieta apresentada pelo Dr. Alan H. Howard.
Tabela 2.1: Quantidade de nutrientes (em gramas) por unidade de alimento (100 g)
Quantidade (Gramas) Fornecidas por 100 g de Ingrediente
Nutriente (Gramas) Leite Desnatado Farinha de Soja Soro de Leite
Prote´ına 36 51 13
Carboidrato 52 34 74
Gordura 0 7 1,1
Tabela 2.2: Quantidade de nutrientes (em gramas) Fornecidas pelo Dr. Alan H. Howard em
Um Dia
Nutriente Gramas por dia
Prote´ına 33
Carboidrato 45
Gordura 3
20
11. Considere uma sociedade simples, constitu´ıda de um fazendeiro, de um carpinteiro e de
um alfaiate. Cada um deles produz um produto: o fazendeiro produz a comida, o carpin-
teiro constro´i casa e o alfaiate confecciona roupas. Por convenieˆncia, podemos considerar
nossas unidades onde cada indiv´ıduo produz uma unidade de cada artigo por ano. Su-
ponha que, durante o ano, a porc¸a˜o de cada produto consumida por cada indiv´ıduo e´
dada conforme a tabela a seguir. Sejam p1, p2 e p3, respectivamente, os prec¸os por uni-
dade de comida, de uma casa e de uma pec¸a de roupa e suponha ainda que todos os
indiv´ıduos paguem o mesmo prec¸o por um produto. Determine os prec¸os p1, p2 e p3, de
modo a obter um estado de equil´ıbrio, definido como ”Ningue´m ganha ou perde dinheiro.”
Bens Produzidos por
Bens Consumidos Por Fazendeiro Carpinteiro Alfaiate
Fazendeiro 7
16
1
2
3
16
Carpinteiro 5
16
1
6
5
16
Alfaiate 1
4
1
3
1
2
12. No processo de fotoss´ıntese, as plantas usam a energia radiante do Sol para converter
dio´xido de carbono (CO2) e a´gua (H2O) em glicose (C6H12O6) e oxigeˆnio (O2). A equac¸a˜o
qu´ımica da reac¸a˜o e´ da forma
x1CO2 + x2H2O → x3O2 + x4C6H12O6.
Determine x1, x2, x3 e x4 para balancear a equac¸a˜o acima.
13. Um modelo simples para estimativa da distribuic¸a˜o de temperatura em uma chapa qua-
drada e´ obtido a partir de um sistema de equac¸o˜es lineares. Para construir o sistema linear
apropriado, usamos as seguintes informac¸o˜es. A chapa quadrada esta´ perfeitamente iso-
lada em ambas as faces, sendo que o u´nico fluxo de calor percorre a pro´pria placa. As
quatro laterais sa˜o mantidas a va´rias temperaturas. Para estimar a temperatura no ponto
central da placa e´ usada a regra de que ela e´ igual a me´dia das temperaturas de seus pon-
tos vizinhos nas direc¸o˜es da bu´ssola, ou seja, oeste, norte, leste e sul. Sendo assim, estime
as temperaturas Ti, i = 1, 2, 3 e 4 em quatro pontos interiores equidistantes da chapa
mostrada na figura a seguir.
21
Cap´ıtulo 3
Determinantes
Definic¸a˜o 17. Sejam as matrizes A = [a11] e B = [bij]2×2. Definimos a seguir o determinante
de cada matriz A e B, com a notac¸a˜o det, como segue:
(i) detA = det[a11] = a11;
(ii) detB = det[bij]2×2 = b11 · b22 − b12 · b21.
Podemos escrever tambe´m detB = det
[
b11 b12
b21 b22
]
=
∣∣∣∣ b11 b12b21 b22
∣∣∣∣ = b11 · b22 − b12 · b21.
Para definir o determinante de uma matriz quadrada A = [aij]n×n, n ≥ 2 sobre K vamos
definir os conceitos de cofator do elemento aij e submatriz Aij da matriz A. Consideremos
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann
 .
Definimos,
(i) Aij e´ matriz obtida ao retirarmos a linha i e a coluna j da matriz A. A ordem de Aij e´
(n− 1)× (n− 1);
(ii) ∆ij = (−1)i+j · detAij e´ o cofator do elemento aij.
Exemplo 41. Seja a matriz M =
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 . Determine:
(a) ∆11 (b) ∆12 (c) ∆13 (d) ∆21
Definic¸a˜o 18. O determinante de uma matriz quadrada A = [aij]n×n e´ definido por
detA = ai1∆i1 + ai2∆i2 + · · ·+ ain∆in =
n∑
j=1
aij∆ij =
n∑
j=1
aij(−1)i+j · detAij.
Observe que a expressa˜o para o determinante foi desenvolvida pela i−e´sima linha da matriz
A. De maneira ana´loga, desenvolve-se a expressa˜o anterior pela coluna j da matriz A. Esse
me´todo e´ conhecido como desenvolvimento de Laplace.
Exemplo 42. Seja a matriz A =

3 1 2 −2
0 2 0 4
0 4 1 −2
0 1 3 3
 . Determine detA de duas maneiras:
(a) escolher uma linha e usar a definic¸a˜o anterior;
(b) escolher uma coluna e usar a definic¸a˜o anterior.
22
Exemplo 43. Calcule o determinante de cada matriz a seguir.
(a) A =

1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
 (b) B =

x 0 0 0 0 0
a y 0 0 0 0
l p z 0 0 0
m n p x 0 0
b c d e y 0
a b c d e z
 (c) C =

0 a b 1
0 1 0 0
a a 0 b
1 b a 0

Propriedades dos Determinantes
Sejam as matrizes A = [aij]n×n e B = [bij]n×n.
(i) detA = detAT ;
(ii) Se os elementos de uma linha (ou coluna) de A sa˜o todos nulos, enta˜o detA = 0;
(iii) Se B e´ obtida de A multiplicando-se uma linha de A por um escalar α, enta˜o detB = αdetA;
(iv) Se B e´ obtida de A pela troca da posic¸a˜o de duas linhas k 6= l, enta˜o detB = −detA;
(v) det(AB) = detA · detB;
(vi) Se A possui dua linhas (ou colunas) iguais, enta˜o detA = 0.
Exemplo 44. Verifique com exemplos as propriedades anteriores.
Exemplo 45. (a) Calcule o valor de x tal que det2A = x−97, em que A e´ uma matriz quadrada
de ordem 4 e detA = −6.
(b) Se detA = −3, determine: detA2, detA3 e detAT .
(c) Sejam A e B matrizes quadradas. Verifique-se det(A+B) = detA+ detB.
(d) Resolvaa equac¸a˜o
∣∣∣∣∣∣
x− 2 x+ 3 x− 1
2 1 3
3 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 60 usando o me´todo de Laplace.
3.1 Determinante e Matriz Inversa
O objetivo aqui e´ estabelecer condic¸o˜es sobre o determinante de uma matriz quadrada A para
que A possua inversa. E caso a inversa de A exista, encontrar a matriz inversa de A usando o
determinante de A. Dada a matriz
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann
 ,
vimos que ∆ij = (−1)i+j · detAij e´ o cofator do elemento aij. Definimos a seguir,
(i) A¯ = [∆ij]n×n e´ a matriz dos cofatores de A (que e´ obtida substituindo cada elemento de A
pelo seu cofator);
(ii) A¯T e´ a matriz adjunta de A, denotada por AdjA. A matriz adjunta de A e´ a matriz
transposta da matriz dos cofatores de A.
Exemplo 46. Seja A =
 2 1 0−3 1 4
1 6 5
 .
(a) Determine AdjA;
(b) Verifique se A · AdjA = (detA) · I3.
Teorema 3. Seja a matriz A = [aij]n×n. Enta˜o A · (AdjA) = (AdjA) · A = (detA) · In.
23
Seja a matriz A = [aij]n×n e suponha que A possua inversa, isto e´, existe u´nica matriz A−1
tal que A ·A−1 = In. Usando a propriedade do determinante det(A ·A−1) = det(A) ·det(A−1) =
det(In). Mas det(In) = 1. Logo, det(A) · det(A−1) = 1 e dessa igualdade segue que detA 6= 0 e
detA−1 =
1
detA
.
Agora considere a situac¸a˜o em que a matriz quadrada A = [aij]n×n e´ tal que detA 6= 0.
Queremos saber se com essa condic¸a˜o a matriz A possui inversa. Do teorema anterior temos
que A·AdjA = (detA)·In e usando o fato de detA 6= 0, segue enta˜o que A· 1
detA
·adjA = In. Mas
quando a inversa de uma matriz quadrada existe, essa inversa e´ u´nica, logo A−1 =
1
detA
·AdjA.
Teorema 4. Uma matriz quadrada A = [aij]n×n admite inversa se, e somente se, detA 6= 0. E
nesse caso, A−1 =
1
detA
· adjA.
Exemplo 47. Seja a matriz A =
 2 3 −40 −4 2
1 −1 5
 . Verifique se a matriz A possui inversa. Em
caso afirmativo, use o teorema aterior para determinar a matriz inversa de A.
3.2 Matriz Inversa e Soluc¸a˜o de Um Sistema Linear de
n Equac¸o˜es e n Inco´gnitas.
Considere o sistema linear a seguir de n equac¸o˜es e n inco´gnitas.
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
...
... =
...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + · · · + annxn = bn
(3.1)
Vimos que podemos representar este sistema da forma a seguir A ·X = B, em que A e´ a matriz
dos coeficientes, X e´ a matriz das varia´veis e B e´ a matriz dos termos independentes. Suponha
que A possua inversa, isto e´, que detA 6= 0. Observe
A ·X = B
A−1 · (A ·X) = A−1 ·B
(A · A−1) ·X = A−1 ·B
In ·X = A−1 ·B
X = A−1 ·B
Observac¸a˜o 7. A igualdade anterior fornece a soluc¸a˜o u´nica de um sistema linear de n
equac¸o˜es e n inco´gnitas, no caso em que a matriz dos coeficientes desse sistema possui in-
versa.
Apresentaremos a seguir a Regra de Cramer, que e´ um me´todo de resoluc¸a˜o de sistema
linear de n equac¸o˜es e n inco´gnitas que so´ pode ser aplicado no caso em que a matriz dos
coeficientes desse sistema possui inversa. Voltando a expressa˜o X = A−1 ·B e considerando as
24
mesmas condic¸o˜es enunciadas anteriormente sobre o sistema linear e sua matriz dos coeficientes,
segue que
X =
1
detA
· adjA ·B
x1
x2
...
xn
 = 1detA ·

∆11 ∆21 · · · ∆n1
∆12 ∆22 · · · ∆n2
...
...
...
...
∆1n ∆2n · · · ∆nn
 ·

b1
b2
...
bn
 .
Da´ı, xj =
b1∆1j + b2∆2j + · · ·+ bj∆nj
detA
=
detAj
detA
, onde Aj e´ a matriz obtida de A substituindo
a j-e´sima coluna de A pela coluna
b1
b2
...
bn
, para j = 1, 2, · · ·n.
Exemplo 48. Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas lineares a seguir.
(a)

x+ y + z = 6
x− y − z = −4
2x− y + z = 1
.
(b)

3x− y + z = 1
2x+ 3z = −1
4x+ y − 2z = 7
Considere agora os sistema linear homogeˆneo a seguir, de n equac¸o˜es e n inco´gnitas.
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = 0
...
... =
...
an1x1 + an2x2 + an3x3 + · · · + annxn = 0
(3.2)
A forma matricial desse sistema e´
A ·X = O˜
em que O˜ e´ a matriz nula de ordem n. Do que foi tratado sobre a Regra de Cramer, podemos
observar que:
(i) o sistema linear homogeˆneo (3.2) tem soluc¸a˜o trivial (soluc¸a˜o nula) se detA 6= 0, e ainda, a
soluc¸a˜o trivial e´ u´nica;
(ii) o sistema linear homogeˆneo (3.2) tem soluc¸a˜o na˜o trivial se detA = 0.
Exemplo 49. Considere a matriz A =
 2 2 20 2 0
0 1 3
 . Determinar os valores de λ ∈ R tais que
existe X =
 xy
z
 6= O˜, em que O˜ e´ a matriz nula de ordem 3, que satisfaz A ·X = λ ·X.
25
3.3 Exerc´ıcios Complementares
1. Calcule o determinante das matrizes a seguir.
(a) A =

2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
 (b) B =

3 −2 −5 4
−5 2 8 −5
−2 4 7 −3
2 −3 −5 8

(c) C =
 t+ 3 −1 15 t− 3 1
6 −6 t+ 4
 (d) D =

i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1

2. Seja a matriz A =
 1 2 22 3 4
1 5 7
 .
(a) Calcule detA;
(b) Encontre AdjA;
(c) Verifique que A · AdjA = detA · I3;
(d) Encontre A−1.
3. Seja a matriz A =
[
a b
c d
]
.
(a) Encontre AdjA;
(b) Mostre que Adj(AdjA) = A.
4. Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas lineares a seguir.
(a)

−x+ y − z = 5
x+ 2y + 4z = 4
3x+ y − 2z = −3
(b)
{
ax− 2by = c
3ax− 5by = 2c , em que ab 6= 0.
5. Considere a matriz a segui.
A = [aij]4×4 =

3 −2 −5 4
−5 2 8 −5
−2 4 7 −3
2 −3 −5 8

(a) Use o desenvolvimento de Laplace para explicar o que deve ser feito para calcular o
determinante da matriz A.
(b) Determine o cofator ∆21 do elemento a21.
(c) Explique o que e´ matriz adjunta da matriz A. Explique como determinar a matriz
inversa de matriz A, a partir do conceito da matriz adjunta da matriz A e sabendo que
det A 6= 0.
6. Seja a matriz A = [aij]n×n. E´ sempre verdade que detAij < detA?
7. Use a Regra de Cramer para resolver o sistema a seguir. Caso tenha que calcular algum
determinante, use o desenvolvimento de Laplace.
3y + 2x = z + 1
3x + 2z = 8 − 5y
3z − 1 = x − 2y
26
Cap´ıtulo 4
Vetores no Plano e no Espac¸o
Va´rias grandezas f´ısicas como pressa˜o e temperatura podem ser completamente descritas pelo
seu valor nume´rico (magnitude). Outras grandezas como forc¸a e acelerac¸a˜o, para serem comple-
tamente descritas precisam, ale´m da sua magnitude, precisam tambe´m de uma direc¸a˜o e sentido.
Estas grandezas podem ser representadas por setas (segmentos orientados) e sa˜o chamadas de
vetores.
Todos os segmentos orientados que possuem a mesma direc¸a˜o, o mesmo sentido e o mesmo
comprimento (magnitude) sa˜o representantes de um mesmo vetor.
Notac¸a˜o: Usaremos letras minu´sculas da seguinte forma, ~v, para indicar vetores e letras
maiu´sculas para indicar pontos no plano e no espac¸o.
4.1 Vetores em Rn
O conjunto R2 = R × R = {(x, y)|x, y ∈ R} e´ interpretado geometricamente como o plano
cartesiano xOy. Qualquer vetor ~AB nesse plano tem sempre um representante ~OP cuja origem
e´ a O = (0, 0) e P = (a, b), com O,P ∈ R2 o que significa que vetores em R2 sa˜o determinados
exclusivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial e´ fixo na origem.
�
�
��
~v
6
y
-
x
Um vetor ~v em R2 e´ da forma ~v = (x1, y1), em que x1 e y2 sa˜o chamados de componentes do
vetor ~v. O vetor ~v = (x1, y1) tambe´m pode ser representado por um matriz coluna como segue,
~v =
[
x1
y2
]
.
Exemplo 50. Represente no plano cartesiano os vetores a seguir.
(a) ~v = (1, 3) (b) ~v = (2,−5) (c) ~v = (−1, 3)
(d) ~v = (2,−2) (d) ~v = (1, 3) (e) ~u = (2, 6)
O conjunto R3 = {(x, y, z)|x, y, z ∈ R} e´ interpretado geometricamente como o espac¸o
cartesianotridimensional Oxyz (ou sistema de coordenadas dado por teˆs retas orientadas,
perpendiculares duas a duas). Da mesma forma que em R2, os vetores em R3 sa˜o dados por
27
seguimentos orientados, com ponto inicial em O = (0, 0, 0) e ponto final P = (x1, y1, z1) e dessa
forma, o vetor ~OP costuma ser denotado pelas coordenadas de P. Um vetor ~v em R3 e´ da
forma ~v = (x1, y1, z1), em que x1, y1 e z1 sa˜o chamados de componentes do vetor ~v. O vetor
~v = (x1, y1, z1) tambe´m pode ser representado por um matriz coluna como segue, ~v =
 x1y1
z1
 .
Exemplo 51. Represente no sistema cartesiano tridimensional os pontos a seguir.
(a) P = (1, 2, 3) (b) B = (−1, 2, 1) (c) C = (0, 1, 2)
Exemplo 52. Represente no sistema cartesiano tridimensional os seguintes vetores.
(a) ~v = (1, 2, 3) (b) ~u = (2, 2, 6) (c) ~v = (−1,−2,−3)
Definimos Rn = {(x1, x2, x3, · · · , xn)|x1, x2, x3, · · · , xn ∈ R}, cuja interpretac¸a˜o geome´trica
feita para R2 e R3 foge do nosso alcance. Um vetor ~v em Rn e´ da forma ~v = (x1, x2, x3, · · · , xn),
em que x1, x2, x3, · · · , xn sa˜o as componentes de ~v e da mesma forma que em R2 e R3, ~v pode
ser representado na forma matricial ~v =

x1
x2
x3
...
xn
 .
Sejam ~u,~v ∈ Rn com ~u = (x1, x2, x3, · · · , xn) e ~v = (y1, y2, y3, · · · , yn) definimos a soma e a
multiplicac¸a˜o por escalar k, respectivamente, como segue:
(i) ~u+ ~v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)
(ii) k · ~u = (kx1, kx2, · · · , kxn).
E ainda, −~u = −1 · ~u e ~u− ~v = ~u + (−~v). Definimos tambe´m a igualdade entre os vetores ~u e
~v se ~u e ~v possuem a mesma quantidade de componentes e se as componentes correspondentes
sa˜o iguais.
Exemplo 53. (a) Suponha que (x− y, x+ y, z − 1) = (4, 2, 3). Determine x, y e z.
(b) Sejam ~u = (1,−3, 2, 4) e ~v = (3, 5,−1,−2). Determine ~u+ ~v, 5~u e 2~u− 3~v.
Observac¸a˜o 8. Considere a situac¸a˜o em que um vetor ~v ∈ R2 e´ representado por um segmento
de reta orientado em que a origem do vetor na˜o coincide com O = (0, 0), isto e´, ~v = ~AB e
A = (x1, y1) 6= (0, 0) e B = (x2, y2) 6= (0, 0). Nesse caso, as componentes de ~v sa˜o determinadas
como segue, ~v = (x2 − x1, y2 − y1). Assim o vetor ~v = (x2 − x1, y2 − y1) tambe´m pode ser
representado com ponto inicial O = (0, 0) e ponto final B” = (x2 − x1, y2 − y1). O racioc´ınio e´
ana´logo para vetores em Rn.
Exemplo 54. Determine as componentes do vetor ~v que tem um representante com ponto
inicial P =
(5
2
, 1, 2
)
e final Q =
(
0,
5
2
,
5
2
)
Teorema 5. Sejam os vetores ~u,~v, ~w ∈ Rn e os escalares α, β ∈ R. Enta˜o:
(i) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
(ii) ~u+ ~o = ~u, em que ~o = (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn e´ o vetor nulo
(iii) ~u+ (−~u) = ~o em que −~u e´ chamado de elemento sime´trico de ~u
(iv) ~u+ ~v = ~v + ~u
(v) α(~u+ ~v) = α · ~u+ α · ~v
(vi) (α + β) · ~u = α · ~u+ β · ~u
(vii) (α · β) · ~u = α · (β · ~u)
(viii) 1 · ~u = ~u
28
Exemplo 55. Verifique o teorema anterior para os vetores ~u = (−2, 1, 3), ~v = (−1, 5, 6) e
~w = (−3,−2, 1) e para os escalares α = 2 e β = −1.
Observac¸a˜o 9. Sejam os vetores ~u,~v vetores em Rn e o escalar na˜o nulo α ∈ R, tal que
~u = α · ~v. Dizemos que ~u tem o mesmo sentido de ~v se α > 0 e sentido oposto se α < 0.
Exemplo 56. Sejam os pontos A = (0, 1,−1) e B = (1, 2,−1) e os vetores ~u = (−2,−1, 1),
~v = (3, 0,−1) e ~w = (−2,−2, 2). Verifique se existem escalares a1, a2 e a3 tais que ~w =
a1 ~AB + a2~u+ a3~v.
Exemplo 57. Sejam os pontos P1 = (1, 2, 4), P2 = (2, 3, 2), P3 = (2, 1,−1) e P4 = (x1, y1, z1).
Determine x1, y1, z1 tais que P1, P2, P3 e P4 sejam ve´rtices de um paralelogramo.
Exemplo 58. Determine as coordenadas do ponto me´dio do segmento reta de extremidades
A = (x1, y1) e B = (x2, y2).
4.2 Produto entre Vetores
4.2.1 Produto Escalar
Definic¸a˜o 19. Seja ~u = (x1, x2, · · · , xn) vetor de Rn. A norma de ~u (ou comprimento de ~u)
e´ definida por
||~u|| =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n.
No caso em que ||~u|| = 1, diz-se que ~u e´ um vetor unita´rio. E´ usual dizer tambe´m, neste
caso, que ~u esta´ normalizado.
Definic¸a˜o 20. Sejam os pontos de Rn P1 = (x1, x2, · · · , xn) e P2 = (y1, y2, · · · , yn). A distaˆncia
do ponto P1 ao ponto P2, denotada por d e´ a norma do vetor
−−→
P1P2, isto e´,
d =
√
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + · · ·+ (yn − xn)2.
Exemplo 59. Defina:
(a) Norma para um vetor ~v ∈ R2.
(b) Distaˆncia entre dois pontos P1 e P2 de R2.
(c) Norma para um vetor ~v ∈ R3.
(d) Distaˆncia entre dois pontos P1 e P2 de R3.
Exemplo 60. Determine:
(a) ||~u||, onde ~u = (1,−2, 3).
(b) A distaˆncia entre os pontos P1 = (2,−1,−5) e P2 = (4,−3, 1).
Observac¸a˜o 10. (i) Se ~u = (x1, x2, · · · , xn) e´ um vetor de Rn e α e´ um escalar enta˜o
||α~u|| = ||(αx1, αx2, · · · , αxn)|| =
√
(αx1)2 + (αx2)2 + · · ·+ (αxn)2
||α~u|| =
√
α2(x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n) = |α|||~u||.
(ii) Dado um vetor ~u = (x1, x2, · · · , xn) na˜o nulo de Rn, o vetor
~v =
(
1
||~u||
)
~u
e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de ~u.
29
Exemplo 61. Mostre que o vetor ~v =
(
1
||~u||
)
~u e´ um vetor unita´rio, onde ~u = (x1, y1, z1) e´
um vetor na˜o nulo de R3.
Definic¸a˜o 21. Sejam ~u e ~v vetores de Rn. O produto escalar (ou produto interno) de ~u
e ~v e´ definido por
~u · ~v =
{
0, se ~u = ~o ou ~v = ~o
||~u||||~v||cos(θ), se ~u 6= ~o e ~v 6= ~o ,
onde 0 ≤ θ ≤ pi e´ o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v. No caso em que ~u · ~v = 0 diz-se que ~u e ~v
sa˜o ortogonais ou perpendiculares.
Da expressa˜o ~u · ~v = ||~u|| · ||~v||cos(θ), para ~u e ~v vetores na˜o nulos de Rn, define-se que:
(i) ~u e ~v sa˜o ortogonais se cos(θ) = 0;
(ii) ~u e ~v sa˜o paralelos se cos(θ) = ±1. Neste caso, ~u e ~v possuem o mesmo sentido se cos(θ) = 1
e sentidos contra´rios se cos(θ) = −1.
Exemplo 62. Sejam os vetores ~u = (0, 0, 1) e ~v = (0, 2, 2) e θ = 45o o aˆngulo formado entre
~u e ~v. Determine ~u · ~v.
No caso em que e´ conhecido apenas as componentes de ~u e ~v, o produto interno de ~u e ~v e´
dado pelo teorema a seguir.
Teorema 6. Sejam ~u = (x1, x2, · · · , xn) e ~v = (y1, y2, · · · , yn) vetores de Rn. O produto escalar
de ~u e ~v e´ o nu´mero ~u · ~v obtido multiplicando as componentes correspondentes e efetuando a
soma dos produtos obtidos:
~u · ~v = x1 · y1 + x2 · y2 + · · ·+ xn · yn.
Exemplo 63. Defina ~u · ~v para o caso em que ~u e ~v sa˜o vetores de R3.
Exemplo 64. Sejam os vetores ~u = (1, 0, 0), ~v = (0, 1, 0) e ~w = (0, 0, 1). Determine o aˆngulo
formado entre os vetores ~u e ~m, onde ~m = ~u+ ~v + ~w e´ uma diagonal de um cubo.
Exemplo 65. Verifique se os vetores ~u = (1,−2, 3) e ~v = (7, 1,−2) sa˜o ortogonais.
Teorema 7. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Se ~u e ~v sa˜o vetores em Rn, enta˜o
|~u · ~v| ≤ ||~u|| · ||~v||.
Teorema 8. (Desigualdade Triangular)
Se ~u e ~v sa˜o vetores em Rn, enta˜o
||~u+ ~v|| ≤ ||~u||+ ||~v||.
Exemplo 66. Sejam os vetores ~u = (1, 0, 0, 1), ~v = (0, 1, 1, 0) e ~w = (3, 0, 0, 3).
(a) Verifique se ~u e ~v sa˜o ortogonais.
(b) Verifique se ~u e ~w sa˜o ortogonais.
(c) Verifique os teoremas 7 e 8 para ~v e ~w.
30
4.2.2 Produto Vetorial
O produto vetorial trata-se se uma operac¸a˜o que so´ faz sentido para vetores em R3. Antes de
introduzir este conceito e´ necessa´rio definir uma outra forma de representar um vetor ~u ∈ R3.
Considere os vetores unita´rios ~u = (1, 0, 0), ~v = (0, 1, 0) e ~w = (0, 0, 1) e observe que estes
vetores esta˜o no sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente. Estes vetores (~u,~v e ~w)
sa˜o representados, respectivamente, por ~i, ~j e ~k e assim, qualquer vetor ~m = (x1, y1, z1) ∈ R3
pode ser representado por
~m = x1 ·~i+ y1 ·~j + z1 · ~k
ou seja,
~m = x1 · (1, 0, 0) + y1 · (0, 1, 0) + z1 · (0, 0, 1).
Exemplo 67. Sabendo que ~i = (1, 0, 0), ~v = (0, 1, 0) e ~j = (0, 0, 1). Determine ~i ·~i, ~j ·~j, ~i ·~j,
,~k · ~k e ~i · ~k.
Exemplo 68.Sejam ~u = 3~i+ 6~j − 2~k e ~v = 4~i− 3~j − ~k. Determine:
(a) −2~u+ 5~v
(b) ~u · ~v
Definic¸a˜o 22. Sejam os vetores ~u = x1~i+y1~j+z1~k e ~v = x2~i+y2~j+z2~k. O produto vetorial e´
o vetor denotado por ~u×~v, que e´ obtido pelo ca´lculo do determinante da matriz
 ~i ~j ~kx1 y1 z1
x2 y2 z2
 .
~u× ~v = det
 ~i ~j ~kx1 y1 z1
x2 y2 z2
 .
Exemplo 69. Sejam os vetores ~u = 4~i+ 3~j + 4~k e ~v =~i+ ~k. Determine:
(a) ~u× ~v
(b) ~v × ~u
Definic¸a˜o 23. Sejam os vetores ~u = x1~i+ y1~j+ z1~k, ~v = x2~i+ y2~j+ z2~k e ~w = x3~i+ y3~j+ z3~k.
O produto escalar triplo ou produto misto de ~u, ~v e ~w, dados nessa ordem e´
(~u× ~v) · ~w,
ou seja, e´ o produto escalar entre o vetor ~u× ~v e o vetor ~w.
Observac¸a˜o 11. O vetor ~u × ~v e´ ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v, onde ~u =
x1~i+ y1~j + z1~k e ~v = x2~i+ y2~j + z2~k.
4.3 Exerc´ıcios Complementares
1. Esboce os vetores a seguir.
(a) ~u = (3, 4, 5) (b) ~u = (−3, 4, 5) (c) ~u = (3,−4, 5) (d) ~u = (3, 4,−5)
(e) ~u = (−3,−4, 5) (f) ~u = (−3, 4,−5) (g) ~u = (3,−4,−5) (h) ~u = (−3,−4,−5)
(i) ~u = (3,−7, 2) (j) ~u = (−1, 0, 2) (k) ~u = (0,−1, 0) (l) ~u = (2, 5,−4)
2. Determine as componentes do vetor de ponto inicial P1 e ponto final P2. Depois, em cada
caso, esboce cada vetor no seu respectivo espac¸o.
(a) P1 = (4, 8) e P2 = (3, 7) (b) P1 = (3,−5) e P2 = (−4,−7)
(c) P1 = (−5, 0) e P3 = (−3, 1) (d) P1 = (3,−7, 2) e P2 = (−2, 5,−4)
(e) P1 = (−1, 0, 2) e P3 = (0,−1, 0).
31
3. Sejam os vetores ~u = (−3, 1, 2), ~v = (4, 0,−8) e ~w = (6,−1,−4). Encontre os vetores:
(a) ~v − ~w (b) 6~u+ 2~v (c) (2~u− 7~w)− (8~v + ~u)
(d) o vetor ~x que satisfac¸a 2~u− ~v + ~x = 7~x+ ~w.
4. Sejam os vetores ~u = (−3, 1, 2), ~v = (4, 0,−8) e ~w = (6,−1,−4). Encontre os escalares
a1, a2 e a3 tais que a1~u+ a2~v + a3 ~w = ~m, onde ~m = (2, 0, 4).
5. Sejam os vetores ~u = (1, 2, 0), ~v = (2, 1, 1), ~w = (0, 3, 1) e ~m = (0, 0, 0). Mostre que
existem escalares a1, a2 e a3 tais que a1~u+ a2~v + a3 ~w = ~m.
6. Sejam os vetores ~u = (−2, 9, 6), ~v = (−3, 2, 1), ~w = (1, 7, 5) e ~m = (0, 5, 4). Mostre que
na˜o existem escalares a1, a2 e a3 tais que a1~u+ a2~v + a3 ~w = ~m.
7. Sejam os pontos P1 = (2, 3,−2) e P2 = (7,−4, 1).
(a) Determine o ponto me´dio do segmento de reta com extremidades P1 e P2.
(b) Determine o ponto no segmento de reta com extremidades P1 e P2 que esta´ a
3
4
do
caminho de P1 a P2.
8. Sejam os vetores ~u = (5, 4, 1), ~v = (3,−4,−1) e ~w = (1,−2, 3). Determine:
(a) (~u+ ~v) · ~w (b) (~u · ~w) + (~v · ~w) (c) α(~u · ~w), onde α = −5
9. Sejam os vetores ~u = (3,−7, 2,−3), ~v = (−1, 0, 4, 9) e ~w = (2,−20, 1
2
, 0). Quais os pares
de vetores perpendiculares?
10. Determine k para que os vetores ~u = (1, k,−3) e ~v = (2,−5, 4) sejam ortogonais.
11. Seja θ o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v. Determine cos(θ) em cada caso.
(a) ~u = (−2, 9, 6) e ~v = (−3, 2, 1) (b) ~u = (1, 7, 5) e ~v = (0, 5, 4).
12. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o do vetor ~u em cada caso.
(a) ~u = (−2, 3,−1,−1) (b) ~u = (2, 5,−4) ~u = (0, 0, 2)
13. Determine o valor de k para que o vetor ~u =
(
k, 2
5
, 4
5
)
seja unita´rio.
14. Determine k sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1, k + 2) e´
θ = pi
3
.
15. Sejam os vetores ~u = (0, 1,−1), ~v = (2,−2,−2) e ~w = (−3, 4,−5). Determine:
(a) um vetor perpendicular a ~u e a ~v
(b) um vetor unita´rio perpendicular a ~u e a ~w
(c) (~u× ~v) · ~w
(d) (~v × ~w) · ~u
16. Sejam os vetores ~u = a~i + 5b~j − c
2
~k e ~v = −3a~i + x~j + y~k. Determine x e y tais que
~u× ~w = ~o.
32
Cap´ıtulo 5
Espac¸o Vetorial
5.1 Espac¸o Vetorial
Definic¸a˜o 24. Seja V um conjunto na˜o vazio, sobre o qual esta˜o definidas as operac¸o˜es de
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar α, respectivamente,
~u+ ~v ∈ V, para quaisquer ~u,~v ∈ V ;
α~u ∈ V, para qualquer ~u ∈ V e qualquer escalar α ∈ K.
Dizemos que V e´ um espac¸o vetorial sobre K se, para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V e escalares α, β ∈ K
o seguintes axiomas forem satisfeitos:
(i) Comutatividade
~u+ ~v = ~v + ~u;
(ii) Associatividade
(~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) e (αβ)~u = α(β~u);
(iii) Vetor Nulo
existe um vetor ~o ∈ V, chamado vetor nulo tal que ~v + ~o = ~v = ~o+ ~v para todo ~v ∈ V ;
(iv) Inverso Aditivo (Sime´trico)
para cada vetor ~v ∈ V, existe um vetor −~v ∈ V, chamado inverso aditivo de ~v, tal que ~v+(−~v) =
~o;
(v) Distributividade
(α + β)~u = α~u+ β~u e α(~u+ ~v) = α~u+ α~v
(vi) Multiplicac¸a˜o por 1
1~u = ~u para qualquer ~u ∈ V.
Observac¸a˜o 12. Os elementos de um espac¸o vetorial sa˜o chamados de vetores, independente
da natureza dos seus elementos.
Exemplo 70. Verifique que os conjuntos a seguir sa˜o espac¸os vetoriais.
(a) V = R2 = {(x, y)|x, y ∈ R}, com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais.
(b) V = M(3, 3) = {A|Ae´ matriz quadrada de ordem 3}, com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o por escalar usuais.
(c) V = P2 = {a2x2 + a1x+ a0|ai ∈ R}, com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
usuais.
(d) V = {f : R −→ R|f e´ func¸a˜o} com a operac¸a˜o de soma e multiplicac¸a˜o por escalar usuais.
(e) V = {(x, x2)|x ∈ R)} com as respectivas operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar,
(x1, x
2
1)+˜(x2, x
2
2) = (x1 + x2, (x1 + x2)
2) e α ∗ (x, x2) = (αx, α2x2).
(f) V = {(x, y)|x, y ∈ R∗+} com as respectivas operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar,
(x1, y1)+ˆ(x2, y2) = (x1 × x2, y1 × y2) e α ∗ (x, y) = (xα, yα).
Exemplo 71. Verifique que os conjuntos a seguir na˜o sa˜o espac¸os vetoriais.
(a) V = {(a, b)|a, b ∈ R} com as respectivas operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar,
33
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e α(a, b) = (αa, b).
(b) V = {(a, b)|a, b ∈ R} com as respectivas operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar,
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e α(a, b) = (αa, 0).
Propriedades do Espac¸o Vetorial
Seja V um espac¸o vetorial. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades.
(i) Existe um u´nico elemento neutro ~o em V (elemento neutro em relac¸a˜o a operac¸a˜o de adic¸a˜o
definida em V );
(ii) Para cada vetor ~u ∈ V existe apenas um, e somente um, elemento sime´trico em V ;
(iii) Para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V, se ~u+ ~v = ~v + ~w, enta˜o ~u = ~w;
(iv) O elemento sime´trico do sime´trico do vetor ~u e´ o pro´prio ~u, isto e´, −(−~u) = ~u;
(vi) Para qualquer ~u ∈ V tem se 0~u = ~o;
(vii) Para α ∈ K escalar qualquer, tem-se α~o = ~o;
(viii) Para qualquer escalar α ∈ K e para qualquer ~u ∈ V, (−α)~u = α(−~u) = −α~u.
5.2 Subespac¸o Vetorial
Definic¸a˜o 25. Seja V um espac¸o vetorial. Um subconjunto S na˜o vazio de V e´ chamado
subespac¸o vetorial de V se S tambe´m e´ um espac¸o vetorial com relac¸a˜o as operac¸o˜es soma e
multiplicac¸a˜o por escalar definidas em V.
Teorema 9. Sejam V um espac¸o vetorial e S um subconjunto de V. S e´ um subespac¸o vetorial
de V se, e somente se:
(i) S e´ na˜o vazio;
(ii) S e´ fechado para a operac¸a˜o de adic¸a˜o definida em V, isto e´, para quaisquer ~u,~v ∈ S tem-se
~u+ ~v ∈ S.
(iii) S e´ fechado para a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar definida em V, isto e´, para
qualquer ~u ∈ S e qualquer escalar k ∈ K tem-se k~u ∈ S.
Exemplo 72. Mostre que:
(a) W = {(a, b, 0)|a, b ∈ R} e´ subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial V = R3.
(b) W = {(a, b, c)|a+ b+ c = 0, a, b, c ∈ R} e´ subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial V = R3.
(c) W = {(x, y)|y = 2x, x ∈ R} e´ subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial V = R2.
Exemplo 73. Mostre que:
(a) S = {(x, 4− 2x)|x ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial de V = R2.
(b) S = {(a, b, c)|a ≥ 0, a, b, c ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial V = R3.
(c) S = {(a, b, c)|a2+b2+c2 ≤ 1, a, b, c ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial V = R3.
Observac¸a˜o 13. Todo espac¸o vetorial V admite, pelo menos, dois subespac¸os vetoriais, S =
{~o}, em que ~o e´ o elementoneutro de V e W = V. Estes sa˜o chamados de subespac¸os triviais
de V. Os outros subespac¸os de V, caso existam, sa˜o chamados de subespac¸os pro´prios de V.
Exemplo 74. Sejam S e W subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V. Mostre que S ∩W
tambe´m e´ um subespac¸o vetorial de V.
Exemplo 75. Seja o espac¸o vetorial V =
{[
a b
c d
] ∣∣∣a, b, c, d ∈ R} . Verifique se os conjuntos
a seguir sa˜o subespac¸os de V.
(a) S1 =
{[
a 0
c 0
] ∣∣∣a, c ∈ R} .
34
(b) S2 =
{[
a b
0 0
] ∣∣∣a, b ∈ R} .
(c) S = S1 ∩ S2.
Exemplo 76. Seja o espac¸o vetorial V = {(a, b, c)|a, b, c ∈ R}. Verifique se os conjuntos as
seguir sa˜o subespac¸os vetoriais de V.
(a) S1 = {(a, b, 0)|a, b ∈ R}.
(b) S2 = {(0, 0, c)|c ∈ R}
(c) S1 ∩ S2.
5.3 Combinac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o 26. Sejam os vetores ~v1, ~v2, · · · , ~vn do espac¸o vetorial V sobre e os escalares
α1, α2, · · · , αn ∈ K. Qualquer vetor em V da forma ~v = α1~v1 +α2~v2 + · · ·+αn~vn e´ chamado de
combinac¸a˜o linear dos vetores ~v1, ~v2, · · · , ~vn.
Exemplo 77. Considere o espac¸o vetorial R3. O vetor ~m = (2,−3, 5) e´ combinac¸a˜o linear dos
vetores ~u = (1, 0, 0), ~v = (0, 1, 0) e ~w = (0, 0, 1) de R3.
Sejam V o espac¸o vetorial e S = {~v1, ~v2, · · · , ~vn|~vi ∈ V, i = 1, 2, · · · , n}. Temos o seguinte:
(i) O conjunto W de todos os vetores de V que sa˜o combinac¸a˜o linear dos elementos de S e´ um
subespac¸o de V, isto e´, W = {~u|~u e´ combinac¸a˜o linear de ~v1, ~v2, · · · , ~vn} e´ subespac¸o de V.
(ii) Se U e´ qualquer subespac¸o de V contendo S enta˜o W ⊂ U.
O conjunto W e´ o menor subespac¸o de V contendo S e dessa forma, W e´ chamado subespac¸o
gerado por S e usamos a notac¸a˜o W = [~v1, ~v2, · · · , ~vn].
Exemplo 78. Os vetores ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) geram o espac¸o vetorial
R3.
Exemplo 79. Os polinoˆmios 1, t, t2, t3 geram o espac¸o vetorial V dos polinoˆmios de grau ≤ 3.
Exemplo 80. Determine se o vetor ~v = (3, 9,−4,−2) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~u1 =
(1,−2, 0, 3), ~u2 = (2, 3, 0,−1) e ~u3 = (2,−1, 2, 1).
Exemplo 81. Considere o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ 2. Verifique se o vetor
~v = 7x2 + 11x− 26 e´ combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios ~v1 = 5x2− 3x+ 2 e ~v2 = −2x2 + 5x− 8.
5.4 Somas e Somas Diretas
Definic¸a˜o 27. Sejam U e W subespac¸os do espac¸o vetorial V. Definimos a soma de U e W
como sendo o conjunto U +W = {~u+ ~w|~u ∈ U, ~w ∈ W}.
Exemplo 82. Determine S1 + S2 nos exemplos 75 e 76.
Teorema 10. Sejam U e W subespac¸os do espac¸o vetorial V. Enta˜o U+W tambe´m e´ subespac¸o
de V.
Pense no exemplo anterior.
Definic¸a˜o 28. Sejam U e W subespac¸os do espac¸o vetorial V. Dizemos que V e´ soma direta
de U e W, com a notac¸a˜o V = U ⊕W, se V = U +W e U ∩W = {~o}, em que ~o e´ o elemento
neutro de V.
35
Teorema 11. Se V e´ soma direta de Ue W, enta˜o todo vetor ~v ∈ V e´ escrito de maneira u´nica
da forma ~v = ~u+ ~w, em que ~u ∈ U e ~w ∈ W.
Exemplo 83. Verifique nos exemplos 75 e 76 se V e´ soma direta de S1 e S2.
Exemplo 84. Seja o espac¸o vetorial V = R3.
(a) Verifique que U = {(a, b, 0)|a, b ∈ R} e´ subespac¸o de V.
(b) Verifique que W = {(0, b, c)|b, c ∈ R} e´ subespac¸o de V.
(c) Verifique que U +W e´ subespac¸o de V.
(d) Verifique se V e´ soma direta de U e W.
Exemplo 85. Sejam U = {(a, b, 0)|a, b ∈ R} e W = {(0, 0, c)| ∈ R} subespac¸os do espac¸o
vetorial V = R3. Verifique se V = U ⊕W.
5.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o 29. Sejam V um espac¸o vetorial e S = {~v1, ~v2, · · · , ~vn|~vi ∈ V ; i = 1, 2, · · · , n}. Dize-
mos que o conjunto S e´ Linearmente Independente (ou que ~v1, ~v2, · · · , ~vn sa˜o Linearmente
Independentes), com a abreviac¸a˜o L.I, se nenhum vetor ~v de S e´ combinac¸a˜o linear dos outros
elementos de S.
Teorema 12. Sejam V um espac¸o vetorial e S = {~v1, ~v2, · · · , ~vn|~vi ∈ V ; i = 1, 2, · · · , n}.
O conjunto S sera´ L.I (ou os vetores ~v1, ~v2, · · · , vn sera˜o L.I) se, e somente se, a equac¸a˜o
α1 ·~v1 +α2 ·~v2 + · · ·+αn ·~vn = ~o, em que ~o e´ o vetor nulo de V, implicar que α1 = · · · = αn = 0.
Exemplo 86. (a) Mostre que os vetores ~e1 = (1, 0, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0, 0), ~e3 = (0, 0, 1, 0) e
~e4 = (0, 0, 0, 1) sa˜o L.I.
(b) Mostre que os vetores ~v1 = (1, 0, 1), ~v2 = (0, 1, 1) e ~v3 = (1, 1, 1) de R3 sa˜o L.I.
Definic¸a˜o 30. Um subconjunto S = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} de um espac¸o vetorial V sera´ Linearmente
Dependente (ou ~v1, ~v2, · · · , ~vn sera˜o Linearmente Dependentes), com a abreviac¸a˜o L.D, se na˜o
for L.I (ou se ~v1, ~v2, · · · , ~vn na˜o forem L.I).
Exemplo 87. (a) Os vetores ~v1 = (1,−1), ~v2 = (1, 0) e ~v3 = (1, 1) de R2 sa˜o L.D, pois
1
2
(1,−1)− 1(1, 0) + 1
2
(1, 1) = (0, 0).
(b) Mostre que os vetores ~v1 = (1, 2, 5), ~v2 = (7,−1, 5) e ~v3 = (1,−1,−1), vetores de R3 sa˜o
L.D.
5.6 Base de Um Espac¸o Vetorial
Definic¸a˜o 31. Um subconjunto S = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} de um espac¸o vetorial V sera´ uma base de
V se as condic¸o˜es a seguir forem satisfeitas:
(i) S = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} e´ L.I.
(ii) [~v1, ~v2, · · · , ~vn] = V.
Exemplo 88. (a) Sejam os vetores ~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1). O conjunto {~e1, ~e2} e´ uma base
do espac¸o vetorial R2.
(b) Mostre que o conjunto {(1, 1), (0, 1)} e´ uma base de R2.
Exemplo 89. Quais dos seguintes conjuntos a seguir sa˜o L.D?
(a) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12)} (b) {(1,−2, 3), (−2, 4,−6)}
(c) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} (d) {(4, 2,−1), (6, 5,−5), (2,−1, 3)}
36
Exemplo 90. Determine se os vetores a seguir formam uma base do espac¸o vetorial R3.
(a) ~u = (1, 1, 1) e ~v = (1,−1, 5)
(b) ~u = (1, 2, 3), ~v = (1, 0,−1), ~w = (3,−1, 0) e ~z = (2, 1,−2)
(c) ~u = (1, 1, 1), ~v = (1, 2, 3) e ~w = (2,−1, 1).
5.7 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna de Uma Matriz
Seja a matriz A = [aij]m×n em que aij ∈ R,
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 .
Considere as linhas de A, L1 = (a11, a12, · · · , a1n), L2 = (a21, a22, · · · , a2n), · · · , Lm = (am1, am2, · · · ,
amn) como vetores em Rn. Com essa considerac¸a˜o as linhas da matriz A, L1, L2, · · · , Lm geram
um subespac¸o de Rn, chamado de subespac¸o das linhas de A. Do mesmo modo, as colunas de A
consideradas como vetores em Rm, geram um subespac¸o de Rm chamado de espac¸o das colunas
de A.
Lembremos que podemos aplicar operac¸o˜es elementares nas linhas da matriz A e obter a matriz
B, que e´ a matriz equivalente por linhas a matriz A, em que cada linha li, com i = 1, 2, · · · ,m,
de B e´ obtida por operac¸o˜es elementares nas linhas de A. Temos de forma resumida o seguinte:
(i) O subespac¸o gerado pelas linhas da matriz A e´ igual ao subespac¸o gerado pelas linhas de B.
Teorema 13. Matrizes escalonadas reduzidas por linhas tem o mesmo espac¸o de linhas se, e
somente se, elas tem as mesmas linhas na˜o nulas.
Teorema 14. As linhas na˜o nulas de uma matriz na forma escalonada reduzida sa˜o linearmente
independentes.
Exemplo 91. Mostre que o espac¸o U gerado pelos vetores ~u1 = (1, 2,−1, 3), ~u2 = (2, 4, 1,−2)
e ~u3 = (3, 6, 3,−7) e o espac¸o V gerado pelos vetores ~v1 = (1, 2,−4, 11) e ~v2 = (2, 4,−5, 14)
sa˜o iguais.
Exemplo 92. Determine se as seguintes matrizes tem o mesmo espac¸o de linhas.
A =
[
1 1 5
2 3 13
]
, B =
[
1 −1 −2
3 −2 −3
]
e C =
 1 −1 −14 −3 −1
3 −1 3
 .
5.8 Dimensa˜o de Um Espac¸o Vetorial
Definic¸a˜o 32. Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que V e´ um espac¸o vetorial de di-
mensa˜o finita n ou n − dimensional, com a notac¸a˜o dim V = n, se V admite uma base
β = {~v1, ~v2, · · · , ~vn} com um nu´mero finito n de elementos.
Exemplo 93. Seja o espac¸o vetorial U = {A|A = [aij]; i = 1, 2 e j = 1, 2, 3; aij ∈ R}.
O conjunto β =
{[ 1 0 0
0 0 0
]
,
[
0 1 0
0 0 0
]
,
[
0 0 1
0 0 0
]
,
[
0 0 0
1 0 0
]
,
[
0 0 0
0 1 0
]
,
[
1 0 0
0 0 1
]}
e´ uma base de U (Verifique!)Temos, dim U = 6.
37
Exemplo 94. Seja Pn o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ n, na varia´vel t.
O conjunto β = {1, t, t2, · · · , tn} e´ uma base de Pn. (Verifique).
Temos, dim Pn = n+ 1.
Exemplo 95. (a) Determine a dimensa˜o do espac¸o vetorial V = {(x1, x2, · · · , xn)|xi ∈ R; i =
1, 2, · · · , n}.
(b) Seja W o espac¸o gerado pelos vetores ~v1 = (1,−2, 5,−3), ~v2 = (2, 3, 1,−4) e ~v3 = (3, 8,−3,−5).
Encontre uma base e a dimensa˜o de W.
Teorema 15. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita n. Enta˜o todas as bases de V tem
n elementos.
Exemplo 96. (a) Os conjuntos {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} sa˜o bases de R2 e dim R2 = 2.
(Verifique!)
(b) Os conjuntos {(1, t, t2, t3, · · · , tn−1, tn)} e {(1, 1 − t, (1 − t)2, · · · , (1 − t)n−1, (1 − t)n)} sa˜o
bases do espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ n, Pn e dim Pn = n+ 1.
Observac¸a˜o 14. Define-se dim {~o} = 0, em que ~o e´ o elemento neutro do espac¸o vetorial V.
Teorema 16. Seja V um espac¸o vetorial gerado por um conjunto finito de vetores ~v1, ~v2, · · · , ~vn.
Enta˜o:
(i) Dentre esses vetores ~v1, ~v2, · · · , ~vn podemos extrair uma base de V.
(ii) Qualquer conjunto com mais de n vetores e´ necessariamente L.D (e portanto, qualquer
conjunto L.I tem no ma´ximo n vetores).
Veja o item (b) do exemplo 95 como exemplo.
Teorema 17. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita n. Enta˜o:
(i) Qualquer conjunto linearmente independente e´ parte de uma base , isto e´, pode ser estendido
a uma base.
(ii) Um conjunto linearmente independente com n elementos e´ uma base.
Exemplo 97. (a) Seja V = R4. O conjunto S = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} e´
linearmente independente (Verifique!). Como dim R4 = 4, segue que S e´ uma base de R4.
Teorema 18. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e sejam U e W subespac¸os de V .
Enta˜o:
(i) dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V.
(ii) dim (U +W ) = dim U + dim W − dim (U ∩W ).
Exemplo 98. Verifique o teorema anterior para o caso em que V = R3, U = {(a, b, 0)|a, b ∈ R}
e W = {(0, b, c)|b, c ∈ R}.
5.9 Coordenadas de Um Vetor em Relac¸a˜o a Uma Base
Seja V um espac¸o vetorial n − dimensional e considere uma base de V, α = {~e1, ~e2, · · · , ~en}.
Observe que um vetor ~v ∈ V e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores da base α, ou seja, existem
escalares a1, a2, · · · , an tais que
~v = a1~e1 + a2~e2 + · · ·+ an~en.
Definimos enta˜o as coordenadas do vetor ~v em relac¸a˜o a base α, como sendo os escalares
a1, a2, · · · , an. Usamos a notac¸a˜o:
[~v]α =

a1
a2
...
an
 ou [~v]α = (a1, a2, · · · , an).
38
Exemplo 99. (a) Encontre as coordenadas do vetor ~v = (4, 3) em relac¸a˜o a base β = {(1, 0), (0, 1)}
do R2.
Soluc¸a˜o: Para determinar as coordenadas do vetor ~v = (4, 3) em relac¸a˜o a base β, escreva ~v
como combinac¸a˜o linear dos vetores da base β, usando as varia´veis escalares a, b, isto e´, escreva
~v como segue, (4, 3) = a(1, 0)+b(0, 1). Dessa igualdade temos, (4, 3) = (a, b) =⇒ a = 4 e b = 3.
Portanto, [~v]β = (4, 3).
(b) Encontre as coordenadas do vetor ~v = (4,−3, 2) em relac¸a˜o a base α = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}
do R3.
Soluc¸a˜o: Para determinar as coordenadas do vetor ~v em relac¸a˜o a base α, escreva ~v como com-
binac¸a˜o linear dos vetores da base α usando as varia´veis escalares a, b, c, isto e´, escreva ~v como
segue, (4,−3, 2) = a(1, 1, 1) + b(1, 1, 0) + c(1, 0, 0). Dessa igualdade temos (4,−3, 2) = (a+ b+
c, a+ b, a). Ao resolvermos o sistema

a + b + c = 4
a + b = −3
a = 2
encontraremos a = 2, b = −5
e c = 7. Portanto, [~v]α = (2,−5, 7).
(c) Encontre as coordenadas do vetor ~v =
[
2 3
4 −7
]
em relac¸a˜o a base
γ =
{[
1 1
1 1
]
,
[
0 −1
1 0
]
,
[
1 −1
0 0
]
,
[
1 0
0 0
]}
do espac¸o vetorial V das matrizes de ordem
2× 2.
Soluc¸a˜o: Para determinar as coordenadas do vetor ~v em relac¸a˜o a base γ, escreva ~v como
combinac¸a˜o linear dos vetores da base γ usando as varia´veis escalares a, b, c, d isto e´, escreva ~v
como segue,[
2 3
4 −7
]
= a
[
1 1
1 1
]
+ b
[
0 −1
1 0
]
+ c
[
1 −1
0 0
]
+ d
[
1 0
0 0
]
. Da´ı,[
2 3
4 −7
]
=
[
a a
a a
]
+
[
0 −b
b 0
]
+
[
c −c
0 0
]
+
[
d 0
0 0
]
=
[
a+ c+ d a− b− c
a+ b a
]
. Ao
resolvermos o sistema

a + c + d = 2
a − b − c = 3
a + b = 4
a = −7
, encontraremos a = −7, b = 11, c = −21 e
d = 30. Portanto, [~v]γ = (−7, 11,−21, 30).
A seguir, trataremos de forma resumida os conceito de matriz de mudanc¸a de uma base
β para uma base α. Para mais detalhes, consulte [1] [6].
Sejam agora α = {~u1, ~u2, · · · , ~un} e β = {~w1, ~w2, · · · , ~wn} duas bases de um espac¸o vetorial
V de dimensa˜o finita n. Considere ~v um vetor de V e observe que:
(i) Podemos escrever ~v como combinac¸a˜o linear dos vetores da base α e obter [~v]α.
(ii) Podemos escrever ~v como combinac¸a˜o linear dos vetores da base β e obter [~v]β.
Em particular, para cada vetor ~wi da base β podemos escrever
(∗)

~w1 = a11~u1 + a12~u2 + · · ·+ a1n~un
~w2 = a21~u1 + a22~u2 + · · ·+ a2n~un
... =
...
~wn = an1~u1 + an2~u2 + · · ·+ ann~un
39
e obter a matriz dos coeficientes do sistema (∗), A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann
 e a transposta da
matriz A, AT =

a11 a21 · · · an1
a12 a22 · · · an2
...
...
...
...
a1n a2n · · · ann
 . Definimos enta˜o a matriz de mudanc¸a da base β
para a base α, com a notac¸a˜o [A]βα, como sendo a matriz [A]
β
α = A
T =

a11 a21 · · · an1
a12 a22 · · · an2
...
...
...
...
a1n a2n · · · ann
 .
Chegamos tambe´m as seguintes relac¸o˜es:
(i) [~v]α = [A]
β
α[~v]β
(ii) [~v]β = [A]
α
β [~v]α
(iii) ([A]βα)
−1 = [A]αβ
Exemplo 100. Sejam α = {(2,−1), (3, 4)} e β = {(1, 0), (0, 1)} bases de R2 e um vetor ~v de
R2. Determine [A]βα, [~v]α para ~v = (5,−8).
5.10 Exerc´ıcios Complementares
1. Seja o conjunto V = {(a, b)|a, b ∈ R}. Mostre que V na˜o e´ espac¸o vetorial sobre R em
relac¸a˜o a cada uma das seguintes operac¸o˜es de adic¸a˜o em V e multiplicac¸a˜o por escalar
em V :
(a) (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e k(a, b) = (ka, b);
(b) (a, b) + (c, d) = (a, b) e k(a, b) = (ka, kb);
(c) (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e k(a, b) = (k2a, k2b)
2. Mostre que:
(a) W = {(x1, x2, x3)|x1, x3 ∈ R e x2 = 0} e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial V = R3.
(b) U = {(x, y, z) ∈ R3|ax + by + cz = 0, a, b, c ∈ R} e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial
V = R3.
(c) S =
{[
a b
0 0
] ∣∣∣a, b ∈ R} e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial
V = M(2, 2) =
{[
a b
c d
] ∣∣∣a, b, c, d ∈ R} .
3. Mostre que:
(a) S = {(a, b, c)|a, b, c ∈ Q} na˜o e´ subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial V = R3.
(b) S = {(x, |x|)|x ∈ R} na˜o e´ subespac¸o do espac¸o vetorial V = R2.
4. Seja o espac¸o vetorial V = M(2, 2) =
{[
a b
c d
] ∣∣∣a, b, c, d ∈ R} . Mostre que W na˜o e´
subespac¸o vetorial onde:
(a) W = {A ∈M |det A = 0}.
(b) W = {A ∈M |A2 = A}.
5. Escreva o vetor ~v = (1,−2, 5) como combinac¸a˜o linear dos vetores ~e1 = (1, 1, 1), ~e2 =
(1, 2, 3) e ~e3 = (2,−1, 1).
40
6. Verifique se o vetor ~v = (2,−5, 3) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores ~e1 = (1,−3, 2), ~e2 =
(2,−4,−1) e ~e3 = (1,−5, 7).
7. Para qual valor de k sera´ o vetor ~u = (1,−2, k) em R3 uma combinac¸a˜o linear dos vetores
~v = (3, 0,−2) e ~w = (2,−1,−5)?
8. Escreva o polinoˆmio ~v = t2+4t−3 como combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios ~e1 = t2−2t+5,
~e2 = 2t
2 − 3t e ~e3 = t+ 3.
9. Escreva a matriz
[
3 1
1 −1
]
como combinac¸a˜o linear das matrizes
[
1 1
1 0
]
,
[
0 0
1 1
]
e[
0 2
0 −1
]
.
10. Mostre que os vetores ~u = (1, 2, 3), ~v = (0, 1, 2) e ~w = (0, 0, 1) geram R3.
11. Mostre que W = {(a, b, 0)|a, b ∈ R} e´ gerado