Derivada: resumo

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Derivada 
Principal ferramenta matemática utilizada para calcular e estudar taxas de variação. 
 
 
 
 
 
Função Y=f(x) Derivada Y’=f’(x) 
Constante (1, π, ln k, e, ...) 0 
X 1 
xz Zxz-1 
Sen(x) Cos(x) 
Cos(x) -sen(x) 
Ekx Kekx 
Ln x 1
𝑥
 
Ln U 𝑢′
𝑢
 
 
A derivada é a inclinação da 
reta tangente de uma função 
Se, Y=xz Y’= zxz-1 
Então: Y=X1 Y’= 1x0= 1. 
No caso das constantes: 
{cos (wx)}’=w sen(wx) 
Ln kx= Ln k + Ln x=1
𝑥
 
(kx)n’= (knxn)’ = kn nxn-1 
 
(Kn Xn)’= 
0 xn+ kn nxn-1 
CUIDADO: 
(x-6)´ =-6x-6-1= -6x-7 ! 
 
Derivada da soma e/ou diminuição: 
É só somar/ diminuir as derivadas de cada termo. 
Exemplo: (x4+3x3+7x2+9x+81)’ = 4x3 + 3.2x2 + 7.2x + 9 
Derivada de uma multiplicação: 
(f. g)′ = f ′. g + f. g′ 
Derivada de uma divisão: 
(
f
g
)
′
=
f ′q − q′f
g2
 
 
Regra da cadeia 
Variável elevado a uma “constante” 
 
Exemplo: 
1-f(x)=(2x2-8)5 
=2x2-8 
’= 4x+0=4x 
f’(x)= 5= 5 4 . ‘ 
f´(x)=5.(2x2-8)4.4x= 20x.(2x2-8)4 
2- g(x)=ln [sen (x7)] 
 ‘ g(x)’= 
 =x7 =7x6 1/ . cos . 7x6= 
 ‘ 
 = sen =cos 
1
sen𝑥7
.cosx7.7x6 
 
 ‘ 
 == ln = 1/ 
Diferenciação Logarítmica 
Quando é uma variável elevado a uma outra variável 
(Xx)’=y 𝑦´
𝑦
= ln(𝑥) + 1 
Ln y= x ln x y’= y [ln(x)+1] 
𝑦´
𝑦
= 1 ln(𝑥) + 𝑥 
1
𝑥
 y’= xx [ln(x)+1] 
Calculando derivada pela definição 
Exemplo: 
f(x)=2x2-3x+4 
(2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 − 3𝑥 − 3ℎ + 4)– 2𝑥2 + 3𝑥 − 4
ℎ
 
f’(x)= lim
ℎ−0
ℎ(4𝑥+2ℎ−3)
ℎ
= lim
ℎ−0
4𝑥 + 2ℎ − 3= 4x-3 
Derivação implícita 
Forma explícita=função expressa onde o y está isolado de um lado da igualdade 
Forma implícita- O y não se encontra isolado em um lado da igualdade, 
Exemplo: 1-Derive a função acima em relação a y. 
X2+Y3+Z2=6 2x.𝑑𝑥
𝑑𝑦
 + 3y2 .𝑑𝑦
𝑑𝑦
 + 2z.𝑑𝑧
𝑑𝑦
=0 
2- Ache a derivada, em relação a x, da função abaixo, que está na forma implícita. 
x2y+7x+8y=5 
2xy+x2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+7.1+ 8𝑑𝑦
𝑑𝑥
=0 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (x2+8)= -2xy-7 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝑥𝑦−7
𝑥2+8
 
 
 
 
f(x+h)= 2(x+h)2-3(x+h)+4= 
2(x2+2xh+h2)-3x+3h+4= 
2x2+4xh+2h2-3x-3h+4 
𝑥′ =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 1 
(x2y)’= 
2x.y+x2.1.𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
Você consegue! Cálculo não é impossível 
 
Obs: Ao derivar 
em relação a uma 
variável (x) é 
necessário escrever 
𝑑𝜔
𝑑𝑥
 no final de 
cada derivada. 
Teorema de Rolle 
Para ser aplicado, 3 hipóteses devem ser satisfeitas: 
1-As funções devem ser contínua em um determinado intervalo (a,b) 
2-A função deve ser derivável em determinado intervalo (a,b) 
3- f(a)=f(b) 
ENTÃO: 
EXISTE PELO MENOS ALGUM X=C EM (A,B) CUJO SUA DERIVADA=0 
Exemplo: f(x)=- (0,4) 
 f(a)=f(b) 
Existe algum f’(c)=0 
F’(x)= -2x+4 
-2c+4=0 c=4
2
= 2 
 
 
Teorema do valor médio 
Para ser aplicado, 2 hipóteses devem ser satisfeitas. 
1- Contínua num intervalo (a,b) 
2- A função deve ser derivável 
ENTÃO: 
EXISTE PELO MENOS UM VALOR C QUE 𝑓´(𝑐) = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
. (RETA PARALELA A DERIVADA =0) 
f(x)=x2-2x (0,3) f(0)=0-0=0 f(3)=9-2.3=9-6=3 3−0
3−0
= 1 
f’(x)=2x-2 f’(c)=2c-2=1 c=3
2
 
Regra de L´Hospital 
Resolve indeterminações de limite de um quociente. lim
𝑥→0
𝑦
𝑧
 . f(x) e g(x) devem existir. 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
Exemplozinhos maroto: 
lim
𝑥→𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
 (𝑠𝑒𝑛0
0
=
0
0
) lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
= 1 lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
 lim
𝑥→0
0+𝑠𝑒𝑛𝑥
1
= 0 lim
𝑥→∞
4𝑥2+𝑥
5𝑥2+1
 lim
𝑥→∞
8𝑥+1
10𝑥
 
8
10
=
4
5
 
 
A função não derivável 
apresenta um “bico” 
F(0)=02+4.0=0 
F(4)=-16+16=0 
Reta horizontal que passa pelo 
ponto máximo (não possui 
inclinação) 
Indeterminações: 
±∞
±∞
 0
0
 
 
 
 
 
 
Reta secante e reta normal 
 
 
 
 
 
 Y=ax+b 
Reta tangente: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥𝑜)(𝑥 − 𝑥𝑜) Reta Normal 𝑦 − 𝑦0 = −1𝑓′(𝑥𝑜) (𝑥 − 𝑥𝑜) 
Exercício jow para gabaritar tudo! 
Xo=1 𝑓(𝑥) = 1𝑥 𝑓(𝑥0) = 1 𝑓′(𝑥) = (𝑥−1)′ = −1𝑥−2 = −
1
𝑥2
 𝑓′(1) = −
1
12
= −1 
−1
𝑓′(1)
=
−1
−1
= 1 
𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑦 − 1 = −1(𝑥 − 1) → 𝑦 − 1 = −𝑥 + 1 
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 → 𝑦 − 1 = 1(𝑥 + 1) → 𝑦 − 1 = 𝑥 + 1 
Derivada de funções trigonométricas 
(tgx)’=(𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
)’=cos2𝑥−(−𝑠𝑒𝑛2𝑥)
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
(secx)’=( 1
𝑐𝑜𝑠𝑥
)
′
=
0+𝑠𝑒𝑛𝑥.1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑡𝑔𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥 
(cossecx)’=( 1
𝑠𝑒𝑛𝑥
)
′
=
0−𝑐𝑜𝑠𝑥.1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= −
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
= −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥). 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
(cotgx)’=(𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
)
′
=
−𝑠𝑒𝑛𝑥.𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= 1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥
 
 
 
 
 
 
 
Obszinho que pode vir-a-ser útil: 
 
 
 
 
Indeterminações: 
 
 
 
 
Caso o limite dê uma indeterminação que não 
seja 
±∞
±∞
 
0
0
, podemos transformar outras 
indeterminações nelas: 
lim
𝑥→𝑜
𝑥. 𝑙𝑛𝑥 = lim
𝑥→𝑜
 
𝑥
1
. 𝑙𝑛𝑥 = lim
𝑥→𝑜
𝑙𝑛𝑥
1
𝑥
=
∞
∞
 
 
 
Lembre-se: lim
𝑥→𝑜
 ln(x) tende a -∞. 
lim
𝑥→∞
 ex=∞ 
 
Obs linduxo: Sen0 =0 Cos0 =1 
Yo 
 
Xo f’(xo)=a 
Anormal= −1
𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
 
Lembrandinho: 
(cosx)’=-senx 
(senx)’=cosx 
Gráfico de uma função 
Para fazer um gráfico é necessário: 
1-Achar f’(x) 
2-f’(x)=0 acha os pontos estacionários=xe 
3-Colocar esses pontos numa reta e pegar um valor antes e outro depois do ponto. 
4-f’(x)>0 crescente f’(x)<0 decrescente 
5-Cálculo f(xe) 
Exemplozinho jow: 
Esboce o gráfico de f(x)=x3-3x2-9x+7 
1-f’(x)=3x2-3.2x-9+0=3x2-6x-9 
2- 3x2-6x-9=0  x=3 x=-1 
 
3- -2 -1 0 3 4 
4-f’(-2)=3.4-6(-2)-9=12+12-9>0 crescente f’(0)=-9 decrescente 
f’(4)=3.42+6.4-9=48+24-9=63>0 crescente 
 
 
5-f(-1)= -13-3(-1)2-9(-1)+7=-1-3+9+7=16-4=12 (máximo) 
f(3)=33-3(3)2-9(3)+7=27-27-27+7=20 (mínimo) 
Máximo e mínimo 
 
3x2-6x-9=0 
∆= 36 − 4.3. (−9) = 108 + 36 = 144 
𝑥 =
−6 ± 12
6
 → 𝑥1 = −1 𝑥2 = 3 
 
Deduções marotinhas: -1 é ponto de máximo e 3 é ponto de mínimo 
Concavidade 
Ponto de inflexção 
Raízes 
Pavidade