1° Prova Calculo 3 - UFV

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
1a Prova - MAT241 - Ca´lculo III - 08/04/2017
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 Turma 5
Ariane Je´ssyca Edson Sandro Edson
Seg 08 - 10 Seg 16 - 18 Ter 14 - 16 Seg 10 - 12 Ter 08 - 10
Qua 10 - 12 Qui 14 - 16 Qui 16 - 18 Qui 08 - 10 Qui 10 - 12
Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova!
Questa˜o 1: Sejam r e s retas de equac¸o˜es parame´tricas dadas por
r :
 x = −3 + ty = 4− t, t ∈ R
z = −3 + 2t
e s :
 x = −4− ty = 2, t ∈ R
z = −5− 2t
.
(a) (10 pontos) Verifique que as retas r e s sa˜o concorrentes.
(b) (5 pontos) Determine o ponto de intersec¸a˜o entre elas.
(c) (10 pontos) Determine a equac¸a˜o do plano que as conte´m.
Soluc¸a˜o:
(a) Neste caso basta verificar a unicidade de soluc¸a˜o do sistema linear −3 + t1 = −4− t24− t1 = 2
2t1 + 2t2 = −2
⇒
 t1 + t2 = −1−t1 = −2
2t1 + 2t2 = −2
Neste caso, na˜o ha´ necessidade de escalonamento. Assim, temos que t1 = 2 e t2 = −1 − t1 = −1 − 2 = −3. Note que
t1 = 2 e t2 = −3 satisfaz a terceira equac¸a˜o do sistema. Logo, as retas r e s sa˜o concorrentes.
(b) Para determinar o ponto de intersec¸a˜o, basta tomar t = 2 nas equac¸o˜es de r. Logo, o ponto de intersec¸a˜o e´ dado por
P0 = (−1, 2, 1).
(c) Como ja´ conhecemos um ponto do plano, a saber P0 = (−1, 2, 1), basta determinar um vetor normal ao mesmo. Neste
caso, basta tomar −→n = −→vr ×−→vs ,
onde −→vr = (1,−1, 2) e´ um vetor diretor de r e −→vs = (−1, 0,−2) e´ um vetor diretor de s. Da´ı,∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1 −1 2
−1 0 −2
∣∣∣∣∣∣ = (2, 0,−1).
Logo, um ponto P = (x, y, z) esta´ no plano procurado se, e somente se
〈−−→P0P ,−→n 〉 = 0
〈(x+ 1, y − 2, z − 1), (2, 0,−1)〉 = 0
2x+ 2− z + 1 = 0
2x− z = −3.
1
Questa˜o 2: (25 pontos) Determinar dois planos pi1 e pi2 formando um aˆngulo de 45
◦ e de tal forma que a reta de intersec¸a˜o
entre eles seja a reta r de equac¸o˜es
r :
 x = −2y = 2 + t, t ∈ R
z = −1
Soluc¸a˜o: Neste caso, basta encontrar −→n1 e −→n2 vetores normais aos planos pi1 e pi2, respectivamente. O ponto P0 = (−2, 2,−1)
e´ um ponto comum aos planos, pois P0 ∈ r. O vetor −→vr = (0, 1, 0) e´ um vetor diretor da reta r. Um vetor −→n1 pode ser tomado
como qualquer vetor tal que
〈−→n1,−→vr〈= 0,
uma vez que r ⊂ pi1. Tome −→n1 = (1, 0, 0). Um vetor −→n2 deve ser tomado de tal forma que
〈−→n2,−→vr〉 = 0
|〈−→n2,−→n1〉|
‖−→n2‖‖−→n1‖ =
√
2
2
Suponha que −→n2 = (a, b, c) 6= −→0 . Assim, 
b = 0
|a|√
a2 + b2 + c2
=
√
2
2
Da´ı,
|a|√
a2 + c2
=
√
2
2
a2
a2 + c2
=
2
4
2a2 = a2 + c2
a2 = c2.
Podemos tomar a = c = 1. Desta forma, −→n2 pode ser escolhido como sendo −→n2 = (1, 0, 1). Assim, as equac¸o˜es de pi1 e pi2
sa˜o dadas por
pi1 : 〈(x+ 2, y − 2, z + 1), (1, 0, 0)〉 = 0
x+ 2 = 0
x = −2
e
pi2 : 〈(x+ 2, y − 2, z + 1), (1, 0, 1)〉 = 0
x+ 2 + z + 1 = 0
x+ z = −3
2
Questa˜o 3: Considere as retas r e s de equac¸o˜es dadas por
r :
 x = −1 + 2ty = −1 + t, t ∈ R
z = 2− t
e s :
 x = 1− 2ty = −2 + 2t, t ∈ R
z = 5 + 2t
.
(a) (10 pontos) Verifique que as retas r e s sa˜o reversas.
(b) (10 pontos) Determine as equac¸o˜es dos planos pi1 e pi2 paralelos tais que r ⊂ pi1 e s ⊂ pi2.
(c) (5 pontos) Determine a distaˆncia entre tais retas.
Soluc¸a˜o:
(a) Considere os pontos Pr = (−1,−1, 2) ∈ r e Ps = (1,−2, 5) ∈ s. Observe que −→vr = (2, 1,−1) vetor diretor de r e−→vs = (−2, 2, 2) vetor diretor de s na˜o sa˜o paralelos. Logo, as retas r e s na˜o sa˜o paralelas. O produto misto 〈−→vr×−→vs ,−−−→PrPs〉
e´ dado por
〈−→vr ×−→vs ,−−−→PrPs〉 =
∣∣∣∣∣∣
2 1 −1
−2 2 2
2 −1 3
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·
∣∣∣∣ 2 2−1 3
∣∣∣∣+ 1 · (−1) ∣∣∣∣ −2 22 3
∣∣∣∣+ (−1) · ∣∣∣∣ −2 22 −1
∣∣∣∣
= 2 · 8 + (−1)(−10) + (−1)(−2) = 28 6= 0.
Logo, as retas r e s sa˜o reversas.
(b) Como as retas r e s na˜o sa˜o paralelas, um vetro normal −→n aos planos pi1 e pi2 pode ser tomado como
−→n = −→vr ×−→vs =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
2 1 −1
−2 2 2
∣∣∣∣∣∣ = (4,−2, 6).
Da´ı,
pi1 : 〈(x+ 1, y + 1, z − 2), (4,−2, 6)〉 = 0
4x− 2y + 6z = 10
e
pi2 : 〈(x− 1, y + 2, z − 5), (4,−2, 6)〉 = 0
4x− 2y + 6z = 38
(c) Podemos utilizar distaˆncia entre planos para calcular a distaˆncia entre retas reversas. Assim,
d(r, s) = d(pi1, pi2) =
|d1 − d2|
‖−→n ‖ ,
onde d1 = 10 e d2 = 38. Assim,
d(r, s) =
|10− 38|√
16 + 4 + 36
=
28√
56
=
14
2
√
14
=
14√
14
=
√
14.
3
Questa˜o 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lo´gico ou com um contra-
exemplo. Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
(a) ( ) (5 pontos) O triaˆngulo determinado pelos pontos A = (1, 0,−2), B = (3, 2,−1), e C = (2,−1, 1) tem a´rea igual a
3
2
√
10.
(b) ( ) (5 pontos) A superf´ıcie de equac¸a˜o x2 + y2 + z2 + 4x− 4z = 0 e´ um esfera de centro C = (−2, 0, 2) e raio r = 2√2.
(c) ( ) (5 pontos) A superf´ıcie de equac¸a˜o x2 − 4y2 − 4x− 8y − 4z − 4 = 0 representa um paraboloide el´ıptico.
(d) ( ) (5 pontos) O plano determinado pelo pontos A = (1, 0, 2), B = (−2, 0, 1) e C = (−1, 2, 1) tem equac¸a˜o
2x− y − 6z = −10.
(e) ( ) (5 pontos) Se −→u ×−→v = −→0 , enta˜o −→u = −→0 ou −→v = −→0 .
Soluc¸a˜o:
(a) (Verdadeiro) A a´rea do triaˆngulo determinado pelos pontos A, B e C e´ dada por
A(∆ABC) =
1
2
‖−−→AB ×−→AC‖.
Note que
−−→
AB = (2, 2, 1) e
−→
AC = (1,−1, 3). Da´ı,
−−→
AB ×−→AC =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
2 2 1
1 −1 3
∣∣∣∣∣∣ = (7,−5,−4).
Assim,
A(∆ABC) =
1
2
√
49 + 25 + 16 =
1
2
√
90 =
3
2
√
10.
(b) (Verdadeiro) Completando quadrados, com o intuito de colocar na forma padra˜o, obtemos
x2 + y2 + z2 + 4x− 4z = 0
(x2 + 4x) + y2 + (z2 − 4z) = 0
(x+ 2)2 + y2 + (z − 2)2 = 8
(x+ 2)2 + y2 + (z − 2)2 = (2
√
2)2
(c) (Falso) A qua´drica e´ um paraboloide hiperbo´lico. Procedendo como no item anterior
x2 − 4y2 − 4x− 8y − 4z = 4
(x2 − 4x)− 4(y2 + 2y) = 4z + 4
(x− 2)2 − 4(y + 1)2 = 4(z + 1)
(x− 2)2
22
− (y + 1)
2
12
= (z + 1).
(d) (Verdadeiro) Note que os pontos A, B e C pertencem ao plano, pois verificam a sua equac¸a˜o. De fato,
2(1)− (0)− 6(2) = −10
2(−2)− (0)− 6(1) = −10
2(−1)− (2)− 6(1) = −10.
Ale´m disso, os pontos na˜o sa˜o colineares, pois os vetores
−−→
AB = (−3, 0,−1) e −→AC = (−2, 2,−1) na˜o sa˜o paralelos. Como
o plano que conte´m treˆs pontos na˜o colineares e´ u´nicos, segue que a equac¸a˜o do plano e´ dada por 2x− y − 6z = −10.
(e) (Falso) Tome −→u = (1, 0, 0) e −→v = (2, 0, 0). Temos −→u ×−→v = −→0 , com −→u 6= −→0 e −→v 6= −→0 .
Boa Prova!
4