Gabarito P2 Reposição (2017 I) s. resolução

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Reposic¸a˜o da 2a Prova - MAT241 - Ca´lculo III - 31/05/2017
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 Turma 5
Giovanni Je´ssyca Edson Sandro Edson
Seg 08 - 10 Seg 16 - 18 Ter 14 - 16 Seg 10 - 12 Ter 08 - 10
Qua 10 - 12 Qui 14 - 16 Qui 16 - 18 Qui 08 - 10 Qui 10 - 12
Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova!
Questa˜o 1: Considere a func¸a˜o f(x, y) =
√
4y − x2 − y2.
(a) (7 pontos) Determine o domı´nio de f e represente-o no plano xy.
(b) (10 pontos) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f.
(c) (8 pontos) Encontre a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (1, 1,
√
2).
1
Questa˜o 2: Considere a func¸a˜o f(x, y) =

xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(a) (7 pontos) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em (0, 0) ?
(b) (5 pontos) A func¸a˜o f e´ diferencia´vel fora da origem? Justifique.
(c) (8 pontos) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0).
(d) (10 pontos) Verifique se f e´ diferencia´vel na origem.
2
Questa˜o 3: A altura dos pontos de uma montanha e´ dada por h(x, y) =
xy
1 + x2 + y2
.
(a) (10 pontos) Encontre a taxa de variac¸a˜o da altura em (1, 1) e na direc¸a˜o do vetor −→v = (2,−1).
(b) (10 pontos) Uma pessoa esta´ sobre montanha, no ponto
(
1, 1,
1
3
)
. Esta pessoa que descer a montanha na direc¸a˜o
em que a altura decresc¸a mais rapidamente. Encontre o vetor unita´rio nessa direc¸a˜o.
3
Questa˜o 4: Seja f : R2 → R uma func¸a˜o dada por
f(x, y) = ye
(
x3− y22
)
.
(a) (15 pontos) Determine os pontos cr´ıticos de f e classifique-os.
(b) (10 pontos) Determine F ′(−1), sabendo que
F (t) = f(x(t), y(t)), x(−1) = 2, y(−1) = −1, e x′(3) = 1.
Boa Prova!
4