Gabarito P3 Reposição (2017 I) s. resolução

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Reposic¸a˜o da 3a Prova - MAT241 - Ca´lculo III - 07/07/2017
Nome: Matr´ıcula:
Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 Turma 5
Giovanni Je´ssyca Edson Sandro Edson
Seg 08 - 10 Seg 16 - 18 Ter 14 - 16 Seg 10 - 12 Ter 08 - 10
Qua 10 - 12 Qui 14 - 16 Qui 16 - 18 Qui 08 - 10 Qui 10 - 12
Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova!
Questa˜o 1: (25 pontos) Determine o valor ma´ximo global e o valor mı´nimo global de f(x, y) = y2 − y4 − x2 sobre o
conjunto
S = {(x, y) ∈ R2; x2 + 4y2 ≤ 10}.
1
Questa˜o 2: Considere a seguinte expressa˜o∫ 1
√
2
2
∫ x
√
1−x2
f(x, y)dydx +
∫ √2
1
∫ x
0
f(x, y)dydx +
∫ 2
√
2
∫ √4−x2
0
f(x, y)dydx.
(a) (10 pontos) Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, as regio˜es de integrac¸a˜o de cada uma das treˆs
integrais.
(b) (10 pontos) Escreva a expressa˜o anterior utilizando coordenadas polares.
(c) (10 pontos) Calcule a expressa˜o quando f(x, y) = ln
√
x2 + y2.
2
Questa˜o 3: Seja W o so´lido limitado pelas superf´ıcies de equac¸o˜es y = x2, y = 2, z − y = 2 e z + y = 2.
(a) (10 pontos) Esboce o so´lido W.
(b) (15 pontos) Calcule
∫∫∫
W
x3
√
y2 + 1 dV.
3
Questa˜o 4: (20 pontos) Encontre o volume do so´lido S descrito pelas desigualdades
x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥
√
x2 + y2
3
e z ≤
√
3x2 + 3y2
Boa Prova!
4