Gabarito P3 (2017 II)

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
3a Prova - MAT241 - Ca´lculo III - 30/11/2017
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova!
Questa˜o 1: Seja f uma func¸a˜o definida por f(x, y) = 2x2 + 3y2 − 4x− 5.
(a) (15 pontos) Classifique os pontos cr´ıticos de f.
(b) (15 pontos) Encontre o ma´ximo global e o mı´nimo global de f em R = {(x, y) ∈ R2;x2 + 2y2 ≤ 16}.
(a) Como f e´ diferencia´vel, os pontos cr´ıticos, quando existem, satisfazem ∇f(x, y) = (0, 0). Como ∂f
∂x
(x, y) = 4x− 4
e
∂f
∂y
(x, y) = 6y, temos que o u´nico ponto cr´ıtico de f e´ o ponto P0 = (1, 0).
Observe que
∂2f
∂x2
(x, y) = 4,
∂2f
∂y2
(x, y) = 6 e
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂2f
∂y∂x
(x, y) = 0.
Da´ı,
H(1, 0) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂2f
∂x2
(1, 0)
∂2f
∂y∂x
(1, 0)
∂2f
∂x∂y
(1, 0)
∂2f
∂y2
(1, 0)
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 4 00 6
∣∣∣∣ = 24 > 0.
Uma vez que H(1, 0) > 0 e
∂2f
∂x2
(1, 0) > 0, temos que o ponto P0 = (1, 0) e´ um ponto de mı´nimo local.
(b) O u´nico ponto cr´ıtico de f no interior de R foi encontrado no item anterior. Para encontrar os poss´ıveis pontos de
ma´ximo global e de mı´nimo global na fronteira de R, ou seja, no conjunto de pontos que satisfaz x2 + 2y2 = 16,
utilizaremos o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange. Seja g : R2 → R dada por g(x, y) = x2 + 2y2 − 16. Note
que f e g sa˜o func¸o˜es de classe C1, a fronteira de R e´ uma curva de n´ıvel de g e que ∇g(x, y) = (2x, 4y) 6= (0, 0)
para qualquer ponto tal que g(x, y) = 0. Devemos resolver o sistema ∇f(x, y)+λ∇g(x, y) = −→0 , sujeito a` restric¸a˜o
g(x, y) = 0.  (4x− 4) + λ(2x) = 0(6y) + λ(4y) = 0
x2 + 2y2 = 16
Pela segunda equac¸a˜o, temos que y = 0 ou λ = −3
2
.
• Se y = 0, pela terceira equac¸a˜o obtemos x = ±4. O valor x = 4 satisfaz a primeira equac¸a˜o para λ = −3
2
e
para x = −4 a primeira equac¸a˜o e´ satisfeita para λ = −5
2
.
• Se λ = −3
2
, enta˜o pela segunda equac¸a˜o temos x = 4 e segue da terceira equac¸a˜o que y = 0.
Desta forma, obtemos outros dois pontos P1 = (4, 0) e P2 = (−4, 0). Como
f(P0) = f(1, 0) = −7, f(P1) = f(4, 0) = 11 e f(P2) = f(−4, 0) = 43,
segue que f(P0) = f(1, 0) = −7 e´ o mı´nimo global de f em R e f(P2) = f(−4, 0) = 43 e´ ma´ximo global de f em
R.
x
−4 −2 2 4
y
2
√
2
−2√2
0
P0 P1P2
1
Questa˜o 2: Considere a regia˜o R dada por R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ y ≤ 8 e 3√y ≤ x ≤ 2}.
(a) (10 pontos) Esboce a regia˜o R.
(b) (15 pontos) Resolva
∫ 8
0
∫ 2
3
√
y
cos(x2)dxdy.
(a) A regia˜o R pode ser reescrita como
R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x3}.
A ilustrac¸a˜o da regia˜o R e´ apresentada ao
lado.
x
1 2 3
y
2
4
6
8
0
(b) Neste caso, e´ necessa´rio a mudanc¸a na ordem de integrac¸a˜o. Desta forma,∫ 8
0
∫ 2
3
√
y
cos(x2)dxdy = =
∫ 2
0
∫ x3
0
cos(x2)dydx
=
∫ 2
0
y cos(x2)
∣∣∣∣y=x
3
y=0
dx
=
∫ 2
0
x3 cos(x2)dx
∗
=
1
2
∫ 4
0
w cos(w)dw
∗∗
=
1
2
(
w sen(w)
∣∣∣∣4
0
−
∫ 4
0
sen(w)dw
)
=
1
2
(
4 sen(4) + cos(w)
∣∣∣∣4
0
)
=
1
2
(4 sen(4) + cos(4)− 1)
= 2 sen(4) +
1
2
cos(4)− 1
2
.
∗
w = x2 ⇒ dw = 2xdx
∗∗
u = w ⇒ du = dw
dv = cos(w)dw ⇒ w = sen(w)
2
Questa˜o 3: (20 pontos) Seja S a semi-esfera definida pelos pontos (x, y, z) tais que x2 + y2 + z2 ≤ 4 e y ≥ 0. Resolva∫∫∫
S
x2
√
x2 + y2 + z2dV.
A resoluc¸a˜o e´ realizada utilizando coordenadas
esfe´ricas, ou seja,
x = ρ senϕ cos θ
y = ρ senϕ sen θ
z = ρ cosϕ
.
Uma vez que o so´lido e´ a semi-esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4 e y ≥ 0, temos 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ pi e 0 ≤ θ ≤ pi. Como∣∣∣∣∂(x, y, z)∂(ρ, θ, ϕ)
∣∣∣∣ = ρ2 senϕ, pelo Teorema de Mudanc¸a de Varia´veis,
∫∫∫
S
x2
√
x2 + y2 + z2dV =
∫ pi
0
∫ pi
0
∫ 2
0
(ρ2 cos2 θ sen2 ϕ)(ρ2)(ρ2 senϕ)dρdθdϕ
=
∫ pi
0
∫ pi
0
∫ 2
0
ρ5 cos2 θ sen3 ϕdρdθdϕ
=
∫ pi
0
∫ pi
0
ρ6
6
cos2 θ sen3 ϕ
∣∣∣∣ρ=2
ρ=0
dθdϕ
=
32
3
∫ pi
0
∫ pi
0
1 + cos(2θ)
2
· (sen3 ϕ)dθdϕ
=
32
3
∫ pi
0
sen3 ϕ
(
θ
2
+
sen(2θ)
4
) ∣∣∣∣θ=pi
θ=0
dϕ
=
32
3
∫ pi
0
pi
2
sen3 ϕdϕ
=
16pi
3
∫ pi
0
senϕ(1− cos2 ϕ)dϕ
∗
=
16pi
3
∫ 1
−1
−(1− w2)dw
=
16pi
3
∫ −1
1
(1− w2)dw
=
16pi
3
(
w − w
3
3
)∣∣∣∣1
−1
=
16pi
3
[(
1− 1
3
)
−
(
−1 + 1
3
)]
=
16pi
3
· 4
3
=
64pi
9
.
∗
w = cos(ϕ) ⇒ dw = − sen(ϕ)dϕ
3
Questa˜o 4: (25 pontos) Calcular o volume do so´lido S que esta´ no interior do cilindro x2 + y2 = 2y, z ≥ 0 e abaixo do
cone z =
√
x2 + y2.
Como z =
√
x2 + y2 ≥ 0, o volume do so´lido e´ dada por V (S) =
∫∫
R
√
x2 + y2dA, onde
R = {(x, y) ∈ R2, x2 + y2 ≤ 2y} = {(x, y) ∈ R2, x2 + (y − 1)2 ≤ 1}.
Utilizando coordenadas polares, ou seja,
x = r cos θ
y = r sen θ
,
a regia˜o R e´ descrita por 0 ≤ θ ≤ pi, 0 ≤ r ≤ 2 sen θ e
∣∣∣∣∂(x, y)∂(r, θ)
∣∣∣∣ = r. Assim,
V (S) =
∫∫
R
√
x2 + y2dA
=
∫ pi
0
∫ 2 sen θ
0
(r · r)drdθ
=
∫ pi
0
r3
3
∣∣∣∣r=2 sen θ
r=0
dθ
=
8
3
∫ pi
0
sen3 θdθ
=
8
3
∫ pi
0
sen θ(1− cos2 θ)dθ
∗
=
8
3
∫ −1
1
−(1− w2)dw
=
8
3
∫ 1
−1
(1− w2)dw
=
8
3
(
w − w
3
3
)∣∣∣∣1
−1
=
8
3
[(
1− 1
3
)
−
(
−1 + 1
3
)]
=
8
3
· 4
3
=
32
9
.
x
−2 −1 1 2
y
1
2
0
∗
w = cos(ϕ) ⇒ dw = − sen(ϕ)dϕ
Boa Prova!
4