Aula 10 - Estatística

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Estatística
9ª Aula
Profa. Rossana Silva
rsilva5@area1.edu.br
Distribuições de Probabilidade
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Distribuições
Variáveis Aleatórias
Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória, indicada por uma letra maiúscula, sendo seus valores indicados por letras minúsculas.
A variável aleatória é normalmente representada por X, que tem um único valor numérico determinado pelo acaso (sorte), para cada resultado de um experimento.
Variáveis Aleatórias
Discretas
Contínuas
Tem um número finitos de valores (contagem)
Tem um número infinitos de valores (medições em escala sem interrupções)
Exemplos de Variáveis Aleatórias:
Número de cara obtido no lançamento de uma moeda;
Número de itens defeituosos em uma amostra, obtida aleatoriamente, de um lote;
Número de defeitos de um azulejo que sai de uma linha de produção;
Número de pessoas que compram determinado tipo de objeto;
Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento de água;
Tempo de resposta de um sistema operacional.
Valor Esperado ou Esperança
Esperança é o valor médio esperado de uma variável aleatória.
Exemplo:
Calcule a Esperança desta distribuição.
Assim, se o espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas moedas” é S={(Ca,Ca),(Ca,Co), (Co,Ca),(Co,Co)} e se X representa “o número de caras” que aparecem a cada ponto, amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela que segue:
Distribuição de Probabilidade
Distribuição de probabilidade é uma descrição que se dá a probabilidade para cada valor de uma variável aleatória. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula.
Consideremos a distribuição de frequências relativa ao número de acidentes diários em um estacionamento:
Em um dia, a probabilidade:
Qual é a variável aleatória?
Após o cálculo das probabilidades, podemos construir a seguinte tabela:
Esta tabela é denominada distribuição de probabilidade. 
Ao definir a distribuição de probabilidades, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P. 
Esta correspondência define uma função; os valores xi (i=1,2,3,...,n) formam o domínio da função e os valores pi (i=1,2,3,...,n), o seu conjunto imagem. 
Essa função, assim definida, é denominada função probabilidade e representada por:
A função P(X=x) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
Assim, ao lançarmos um dado, a variável X, definida por “pontos de um dado” pode tomar os valores 1,2,3,...,6.
Como a cada um destes valores está associada uma e uma só probabilidade de realização e , fica definida uma função de probabi-lidade, da qual resulta a distribuição de probabilidades que segue:
Distribuição Binomial
Vamos considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n);
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas;
Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso);
No decorrer do experimento, a probabilidade de sucesso e de insucesso manter-se-ão constantes.
Suponhamos que realizemos a mesma prova n vezes sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função:
Essa função define a distribuição binomial
É o coeficiente binomial de n sobre k
Exercício:
Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.
Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 jogos.
Distribuição Normal
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal. 
O aspecto gráfico de uma distribuição normal é como segue:
Propriedades:
Quando temos em mãos uma variável com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. 
Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média igual a 2 e desvio padrão igual a 0,04cm. 
Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05cm. 
É fácil notar que essa probabilidade, indicada por P(2<X<2,05) corresponde à área hachurada na figura:
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal com média e desvio padrão s, então a variável:
tem distribuição normal reduzida, isto é, tem distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1.
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas. 
Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média e desvio padrão s, podemos escrever:
Com 
No nosso exemplo, queremos calcular P(2<X<2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z, que corresponde a x=2,05. Temos, então:
Procurando o valor z=1,25 na tabela da distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1, encontramos que P(Z) =0,3944. Assim, a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar um diâmetro entre a média (2) e o valor 2,05 é 0,3944.
Z = 1,25