Resistênica dos Materiais

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
Reitor 
Prof. Me. Stefano Barra Gazzola 
 
 
Gestão da Educação a Distância 
Prof. Me. Wanderson Gomes de Souza 
 
 
Design Instrucional e Diagramação 
Amanda Alves 
Isabella de Menezes 
 
Revisão Ortográfica / Gramatical 
Olga Tereza Prado Martins 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
THIAGO LUIS NOGUEIRA SILVA 
 
 
 
Graduado em Engenharia Mecânica, especialista em Gestão Estratégica e 
Inteligência em Negócios. Professor da Instituição ministrando aulas nas 
disciplinas de Mecânica, Resistência dos Materiais, Metrologia, 
Transferência de Calor I e II, Máquinas Térmicas e Instrumentos e Sistemas 
de Medida. Analista de Processos Acadêmicos na GEAT – Gestão de 
Engenharia, Arquitetura e Tecnologia do Grupo UNIS 
 
 
 
 
 
 
http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K8133631D2 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
SILVA, Thiago Luís Nogueira. Guia de Estudo – Resistência dos 
Materiais. Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2015. 
177p. 
 
Resistência, Tensão e Deformação. 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
EMENTA DA DISCIPLINA _________________________________________________________ 10 
ORIENTAÇÕES GERAIS DA DISCIPLINA ______________________________________________ 10 
PALAVRAS-CHAVE ______________________________________________________________ 10 
UNIDADE I – INTRODUÇÃO A RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. ___________________________ 12 
OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 12 
INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 12 
1. EVOLUÇÃO HISTÓRICA _______________________________________________________ 14 
1.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA DOS COPOS RÍGIDOS ________________________ 17 
1.2. VETORES FORÇA – DETERMINAÇÃO DE SUAS COMPONENTES ___________________________ 17 
1.2.1. MÓDULO DA FORÇA RESULTANTE E DIREÇÃO ___________________________________ 17 
ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 21 
1.2.2. EQUILÍBRIO DE UM PONTO – RESULTANTE DE FORÇAS IGUAL A ZERO ___________________ 26 
ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 37 
1.2.3. EQUILÍBRIO DE CORPO RÍGIDO _____________________________________________ 40 
1.2.3.1. REAÇÕES DE APOIO _____________________________________________________ 41 
ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 52 
1.2.4. FORÇAS INTERNAS ______________________________________________________ 54 
1.2.4.1. FORÇAS INTERNAS ______________________________________________________ 55 
ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 61 
UNIDADE II – TENSÃO NORMAL, TENSÃO DE CISALHAMENTO, DEFORMAÇÃO E DIAGRAMA 
TENSÃO X DEFORMAÇÃO ________________________________________________________ 64 
OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 64 
INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 64 
2. TENSÃO NORMAL MÉDIA EM UMA BARRA COM CARGA AXIAL ____________________________ 69 
2.1. TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA ____________________________________________ 77 
2.1.1. CISALHAMENTO DUPLO __________________________________________________ 79 
ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 89 
2.2. TENSÃO ADMISSÍVEL E FATOR DE SEGURANÇA _____________________________________ 90 
2.3. DEFORMAÇÃO __________________________________________________________ 98 
2.4. TENSÃO X DEFORMAÇÃO __________________________________________________ 103 
2.5. DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO ___________________________________________ 104 
2.5.1. MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS ____________________________________________ 113 
2.6. LEI DE HOOKE __________________________________________________________ 115 
2.7. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO _________________________________________________ 117 
2.8. COEFICIENTE DE POISSON __________________________________________________ 123 
 
 
7 
2.9. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO ______________________________ 130 
UNIDADE III – CARGAS AXIAIS, TENSÃO TÉRMICA, TORÇÃO E FLEXÃO ___________________ 137 
OBJETIVOS DESTA UNIDADE _______________________________________________________ 137 
3. PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT __________________________________________________ 138 
3.1. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO COM CARREGAMENTO AXIAL _________________ 139 
3.2. MEMBRO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADO ________________________ 145 
3.3. MÉTODO DAS FORÇAS PARA MEMBROS COM CARGA AXIAL ___________________________ 150 
3.4. TENSÃO TÉRMICA _______________________________________________________ 156 
3.5. TORÇÃO ______________________________________________________________ 161 
3.7. FLEXÃO ______________________________________________________________ 171 
3.8. DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO DE UM MEMBRO RETO ________________________________ 171 
RESUMINDO __________________________________________________________________ 176 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ___________________________________________________ 177 
 
 
 
8 
 
 
 
9 
 
 
 
Olá, sou o Prof. Thiago, e irei trabalhar com vocês a disciplina de 
Resistência dos Materiais. 
O estudo da resistência dos materiais traz para nós engenheiros a 
segurança de empregar os materiais e tipos de perfis mais adequados para 
um projeto. Os engenheiros civis a utilizam para trabalhos em pontes e 
edifícios. Engenheiros mecânicos utilizam para projetos de máquinas, 
estruturas metálicas e tanques diversos. E ela se espalha pra todas as áreas 
da engenharia. 
O que sempre vai existir, é a busca do melhor material, tanto em 
termos técnicos, mas também econômicos, além da preservação da 
natureza para extração e descarte. 
Todos esses fatores são empregados com o que já foi estudado 
durante o curso de engenharia, para tanto, se faz necessário dedicação 
extra para a resolução dos problemas, uma vez que não depende apenas 
do que vamos aprender nesta disciplina, mas sim grande parte do que já foi 
visto durante o curso. 
Desejo a todos um excelente semestre, que Deus nos abençoes e 
possamos vencer mais essa etapa. 
 
"Se você está procurando uma grande oportunidade, descubra um grande 
problema." 
Martinho Lutero 
 
 
 
 
 
10 
Ementa da disciplina 
 
Introdução. Solicitação Axial. Tensão Normal. Deformação. Diagrama 
tensão-deformação. Lei de Hooke. Coeficiente de dilatação linear. 
Coeficiente de Poisson. Forma Geral da Lei de Hooke. Sistemas 
Estaticamente Indeterminados. Cisalhamento Simples. Recipiente de 
paredes finas. Estudo da Torção. Flambagem. 
 
 
 Orientações gerais da disciplina 
 
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no ambiente virtual. 
 
 
Palavras-chave 
 
Resistência, Tensão e Deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
12 
UNIDADE I – Introdução a resistência dos 
materiais. 
 
Objetivos desta unidade 
 
 Diferenciar aspectos importantes para a resistência dos materias. 
 Reforçar os conceitos de mecânica estática, aplicação e 
decomposição de forças. 
 Determinar as componentes e as forças resultantes de um ponto ou 
sistemas de forças. 
 
Introdução 
 
A Resistência dos Materiais, é um ramo da Mecânica que estua a 
deformação dos corpos a partir da aplicação de um determinado esforço, 
bem como oseu comportamento em relação a estas cargas. 
 
Fonte: HIBELLER 
 
 
13 
No projeto de qualquer máquina ou ainda estrutura, é imprescindível 
primeiramente definirmos os esforços aplicados, tanto interior quanto 
exterior do corpo, princípios estes abordados na estática, ou mecânica dos 
corpos rígidos. Além disso é importante considerar o tipo de material da 
qual o corpo é feito, esses fatores são considerados fundamentais para a 
precisa compreensão do comportamento dos materiais e para o 
desenvolvimento das equações que serão usadas para determinar a 
resistência dos materiais. 
 
 
 
 
14 
Um exemplo da aplicação das equações para a resistência dos 
materiais, podem ser vistas na fabricação dos parafusos que fixarão as 
vigas na coluna da estrutura. Eles estarão expostos a tensões que, se mal 
projetados, os levarão a ruptura 
 
1. Evolução Histórica 
 
A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século 
XVII, época em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de 
cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais. No entanto, para a 
compreensão adequada dos fenômenos envolvidos, foi necessário 
estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades 
mecânicas de materiais. Os métodos para tais descrições foram 
consideravelmente melhorados no início do século XVIII. Na época, estudos 
foram realizados, principalmente na França, baseados em aplicações da 
mecânica a corpos materiais, denominando-se o estudo de Resistência dos 
Materiais. Atualmente, no entanto, refere-se a esses estudos como 
mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos 
materiais (HIBBELER, 2004). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Figura 01: Galileu Galilei – Responsável por tornar a resistência dos 
materiais uma ciência. 
 
Fonte: Cursos Técnicos Online – A História da Resistência 
 
Se você quiser se aprofundar na história deste físico, pode 
acessar o link: 
http://educacao.uol.com.br/biografias/galileu-galilei.jhtm: 
UOL Educação – Galileu Galilei: 
 
 
 
16 
Com o passar do tempo, depois de muitos dos problemas 
fundamentais da resistência dos materiais foram resolvidos, tornou-se 
necessário usar técnicas de matemática avançada e de computador para 
resolver problemas mais complexos. Como resultado, essa matéria 
ampliou-se para outras disciplinas de mecânica avançada, tais como a 
teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade. A pesquisa nesses campos 
está em andamento não só para satisfazer a demanda pela resolução de 
problemas avançados de engenharia, como também para justificar o uso 
mais amplo e as limitações em que a teoria fundamenta da resistência dos 
materiais é baseada (HIBBELER, 2004). 
 
Figura 02: Avanço das soluções para engenharia através da resistência dos 
materiais 
 
Fonte: Blog da Engenharia – Resistência dos Materiais 
 
 
17 
1.1. Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Copos Rígidos 
 
Conforme foi citado acima, para um bom entendimento sobre a 
resistência dos materiais, é de fundamental importância conhecer os 
procedimentos para determinar cargas que são aplicadas em corpos e a 
partir daí determinar as reações que este corpo sofrerá. 
 
1.2. Vetores Força – Determinação de suas Componentes 
 
Em muitos casos onde existem forças aplicadas, se torna mais viável 
a decomposição destas forças afim de obter duas componentes, desta 
forma fica mais fácil aplicar tendo como base os efeitos de “puxão” e 
“empurrão”. 
Para começar a análise de decomposição de forças, vamos 
começar com os cálculos para determinar a força resultante entre um 
sistema de forças aplicadas em um ponto. Reforçando que todos os passos 
descritos nos cálculos já foram vistos na disciplina de mecânica. E para 
uma melhor fixação da disciplina de resistência dos materiais. 
 
1.2.1. Módulo da Força Resultante e Direção 
 
Conforme dito, a força resultante, tem o efeito de substituir as todas 
as forças de um sistema, feito isso, a análise daquele ponto onde as forças 
estão aplicadas, se torna mais clara e precisa. 
 
 
 
18 
EXEMPLO 
 
1) O gancho na Figura 03 está sujeita a duas forças F1 e F2. Determine 
a intensidade e a direção da força resultante. 
 
Figura 03: Exemplo 01 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
Resolução: 
1°) Passo – Realizar o somatório das componentes das forças em “X” e “Y” 
 
∑ 
 
∑ 
 
2°) Passo – Aplicar a formula de força resultante e em seguida o cálculo 
para determinar o ângulo. 
 
 √ ∑ 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 √ ( ) ( ) 
 
 
 
 
∑ 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
2) Determinar a Resultante das duas forças P e Q que agem sobre o 
parafuso A e sua direção. 
 
Figura 04: Exemplo 02 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
∑ 
 
∑ 
 √ ∑ 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 √ ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
1) Determine a intensidade da força que atua sobre a argola e sua 
direção, medida no sentido horário a partir do eixo “x”. 
 
Figura 05: Exercícios 01 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
Atividades 
 
 
22 
2) Determine a intensidade e a direção da força resultante. 
 
Figura 06: Exercício 02 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
3) Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a 
cantoneira e sua direção θ. 
 
Figura 07: Exercício 03 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
4) Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida 
no sentido anti-horário a partir do eixo “x” positivo. 
 
Figura 08: Exercício 04 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
5) Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade da 
força resultante 
Figura 09: Exercício 05 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
1.2.2. Equilíbrio de Um Ponto – Resultante de Forças Igual a Zero 
 
Quando se diz que um ponto, ou partícula, está em repouso não 
quer dizer necessariamente parado, mas sim leva-se em consideração o 
estado inicial da partícula. Por exemplo, se um ponto está com velocidade 
zero, podemos afirmar que o corpo está parado, mas se ele está em 
movimento, mas a sua velocidade é constante, significa que não a adição 
de força neste sistema, e podemos afirmar também que o ponto está em 
equilíbrio. 
Para se determinar se um ponto está em equilíbrio, a somatória de 
todas as forças em um determinado eixo do plano onde estão as forças 
devem ser iguais a zero, ou seja, elas irão se anular umas com as outras, 
quando isso ocorre dizemos que há o equilíbrio. 
 
Figura 10: Equilíbrio de um ponto 
 
Fonte:http://eletronicanoel.blogspot.com.br/2012/05/curso-de-eletronica-grandezas-ca.html 
 
Segundo HIBBELER, para se utilizar as equações de equilíbrio de 
maneira mais correta, deve-se levar em consideração todas as forçar em 
pregadas naquele ponto, tanto as conhecidas como as desconhecidas. 
 
 
27 
Para tal, basta utilizarmos o diagrama de corpo livre (DCL), que consiste em 
isolar a particular esboçando as forças empregada bem como a sua 
direção. 
As equações de equilíbrio mencionadas anteriormente são: 
 
 
∑ 
 
∑ 
 
Segue exemplo abaixo do que é um diagrama de corpo livre: 
 
 
Figura 11. Diagrama deCorpo Livre 
Fonte: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula6.pdf 
 
 
 
28 
Quando aplicamos as equações de equilíbrio, se em duas 
dimensões, devemos considerar que para qualquer tipo de problema só 
poderemos resolver duas incógnitas, ou seja, duas variáveis 
desconhecidas, se o problema for em três dimensões, essa situação 
também irá se modificar para três variáveis. 
Além disso, é necessário sempre considerar o sinal na qual a força 
está representada no D.C.L. Se para “x” o vetor força está para a direita, sinal 
positivo, se para esquerda, negativo. Para “y” vetor acima da origem, 
positivo, abaixo, negativo. 
Se ao acaso não for possível conhecer alguma das forças aplicada 
no ponto, este deverá ter o seu sentido no D.C.L assumido, de tal forma que 
se o valor no final dos cálculos for negativo, significa que ele deverá ter o 
seu sentido alterado. 
Conforme descrito por Hibbeler, os procedimentos que dever ser 
adotados quando queremos determinas se um ponto está em equilíbrio ou 
não são: 
PROCEDIMENTOS: 
Para Diagrama de Corpo Livre: 
 Estabeleça os eixos x e y, com qualquer orientação adequada. 
 Identifique todas as intensidades e direções das forças conhecidas e 
desconhecidas no diagrama. 
 O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é 
assumido. 
 
Para as Equações de Equilíbrio: 
 Aplicar as equações de equilíbrio ∑ e ∑ 
 As componentes devem ter os seus sinais considerados, a partir da 
definição de sentidos adotados. 
 
 
29 
 Como a intensidade de uma força é sempre uma quantidade 
positiva, então, se a solução produzir um resultado negativo, isso 
indica que o sentido da força e oposto ao mostrado do diagrama de 
corpo livre (que foi assumido). 
 
 
EXEMPLOS 
 
1) Verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio. 
 
Figura 12. Exemplo 01 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
30 
Solução: 
 
Nesse exemplo a força F2 não possui componente de força em X, 
ela está integralmente em Y, o mesmo acontece com a força F1, porém ela 
está em X, e não possui componente em Y. 
Começamos somando todas as componentes e verificando se o 
resultado é igual a zero. 
 
∑ 
 
∑ 
 
Os resultados nos mostram que o ponto está em equilíbrio tanto para o eixo 
X quanto para o Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
2) Determine a tração nos cabos BA e BC necessária para sustentar o 
cilindro de 60Kg conforme figura abaixo. 
 
Figura 13: Exemplo 02 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
Solução: 
 
Para iniciarmos este exemplo, precisamos primeiramente definirmos 
que quando tratamos de uma MASSA de 60Kg, e isso ainda não é o valor 
da força para efeito de cálculos, bastando apenas multiplicarmos pela 
aceleração da gravidade, para assim termos a força peso P. 
 
 
 
 
 
 
32 
Agora desenharemos o diagrama de corpo livre com todas as forças 
presentes. 
 
 
 
 
∑ (
 
 
) 
 
 (
 
 
) 
 
 
 (
 
 )
 
 
 
 
 (
 
 )
 
 
 
 (1ª Equação) 
 
 
 
 
 
33 
∑ (
 
 
) 
 
 (
 
 
) 
 
 
 (
 
 ) 
 
 
 
 (2ª Equação) 
 
Quando juntamos as equações, poderemos calcular o valor de Tba. E logo 
depois Tbc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 420,6 N 
 
Se usarmos a equação 1, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
3) A caixa de 200Kg é suspensa usando as cordas AB e AC. Cada corda 
pode suportar uma força máxima de 10 KN antes de se romper. Se 
AB sempre permanece na horizontal, determine o menor ângulo 𝞱 
para o qual a caixa pode ser suspensa antes que uma das cordas se 
rompa. 
 
Figura 14: Exemplo 02 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
35 
Solução: 
 
 
 
 
Podemos afirmar que a corda que liga a caixa no anel A, não se 
romperá, pois está abaixo da resistência da corda, que é 10KN. 
Agora temos que determinar se as demais cordas sustentarão o 
peso sem se romper. 
 
 
 
∑ 
 
 
Podemos perceber com a equação acima, que AB sempre será 
menor que AC, visto que , com isso, podemos adotar 
que AC terá a carga limite suportada pela corda, porque saberemos que AB 
sempre será um valor menor, não rompendo o cabo. 
Fazendo isso encontraremos o valor máximo de . 
 
 
36 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para constatarmos o valor de AB, basta aplicar a equação de 
somatório em X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
1) A caixa tem um peso de 2,75 KN. Determine a força em cada cabo 
de sustentação. 
 
Figura 15: Exercício 01 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
Atividades 
 
 
38 
2) A viga tem um peso de 3,5 KN. Determine o cabo mais curto ABC 
que pode ser usado para levantá-la se a força máxima que o cabo 
pode suportar é 7,5 KN 
 
Figura 16: Exercício 2 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
3) Se o bloco de 5 Kg é suspenso pela polia B e a curvatura da corda é 
d = 0,15 m, determine a força na corda ABC. Despreze a dimensão 
da polia. 
 
Figura 17: Exercício 03 
 
Fonte: HIBBELER 12° edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
1.2.3. Equilíbrio de Corpo Rígido 
 
Diferentemente do que foi visto em equilíbrio de um ponto ou 
partícula, quando falamos em corpo, devemos nos atentar para que não 
cometemos erros considerados fatais nos cálculos. 
A maior diferença que se tem nestes dois assuntos, é que no 
equilíbrio de um ponto, todas as forças visíveis e invisíveis que atua no 
corpo devem ser consideradas, e não mais as que atuam apenas em um 
determinado ponto do corpo. Segue exemplo 
 
Figura 18: Viaduto Georgina Erismann 
 
Fonte: http://reginaldotracaja.blogspot.com.br/2009/10/viaduto-georgina-erismann.html 
 
Conforme podemos perceber na imagem acima, não haveria 
condições de ser calcular os apoios das vigas, se as mesmas não fizessem 
 
 
41 
parte de um corpo só, onde seriam considerados os pesos das vigas mais 
as cargas que elas deveriam suportar, com esses dados os apoios 
poderiam ser calculados com base em um corpo. Nesse exemplo, não há 
como estipular as reações de apoio, tendo somente como base as leis 
adotadas no equilíbrio de um ponto. 
 
1.2.3.1. Reações de Apoio 
 
Antes de começarmos a efetuar os cálculos para o equilíbrio de um 
corpo, é necessário que entendamos como esses corpos podem ser 
apoiados, de forma a estabelecer a quantidade de incógnitas que 
deveremos encontrar para determinar o equilíbrio. 
Na maioria dos casos, utiliza-se apoios que impedem o movimento 
do corpo em três situações, são elas: 
1ª Situação: Movimento em “x” 
Nesta situação, os apoios promovem uma força de reação ao 
movimento na horizontal. Para se determinar essa reação, utiliza-se a 
equação do somatório de forças em “x” iguais a zero 
 
∑ 
 
2ª Situação: Movimento em “y” 
Nesta situação, os apoios promovem uma força de reação ao 
movimento na vertical. Para se determinar essa reação, utiliza-se a equação 
do somatório de forças em “y” iguais a zero 
∑ 
 
 
 
423ª Situação: Movimento de rotação 
Nesta situação, os apoios promovem uma força de reação ao 
movimento de rotação, ou seja, uma reação de movimento. Para se 
determinar essa reação, utiliza-se a equação do somatório de momentos 
iguais a zero. 
 
∑ 
 
Para estas três situações os tipos de conexões empregados nos 
apoios, fornecem o número de incógnitas na qual o apoio é empregado, ou 
seja, impedirá o movimento em uma das situações descritas. 
Para ter uma maior compreensão, segue alguns dos apoios mais 
usuais e suas características. 
Um método consiste de um rolete ou cilindro. Como esse suporte 
apenas impede que a viga translade na direção vertical, o rolete só 
exercerá uma força sobre a viga nessa direção. 
 
Figura 19: Apoio tipo rolete 
 
Fonte: Hibbler 12° Edição 
 
 
 
 
43 
A viga pode ser apoiada de uma forma mais restritiva por meio de 
um pino. 
Dessa forma, fica restringida o movimento em ambas as direções. 
 
Figura 20: Apoio por Pino 
 
Fonte: Hibbler 12° Edição 
 
Por fim a maneira mais restritiva de apoiar a viga seria usar um apoio 
fixo. 
Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação da viga 
 
 
 
 
 
 
44 
Figura 21: Apoio Fixo 
 
Fonte: Hibbler 12° Edição 
 
A tabela abaixo apresenta outras variedades de apoios bem como as suas 
características: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
Figura 22: Tabela Tipos de Apoio 
 
 
 
 
 
46 
 
 
Fonte: Hibbler 12° Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Exemplos 
 
1) Determine as componentes horizontal e vertical da reação sobre a 
viga, causada pelo pino em B e o apoio oscilante em A. Despreze o 
peso da viga. 
 
Figura 23: Exemplo 01 
 
Fonte: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula16.pdf 
 
Solução: 
Primeiro passo a ser realizado, é a utilização do diagrama de corpo 
livre, conforme figura abaixo, o diagrama nos permite observar as forças 
que já estão aplicadas ao corpo, mas também a observar as que não 
aparecem, que são exatamente as reações nos apoios A e B. 
 
 
 
 
48 
Figura 24: Diagrama de Corpo Livre – Exemplo 01 
 
Fonte: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula16.pdf 
 
Após o desenho do D.C.L, basta aplicar as equações de equilíbrio 
para se determinar as reações. 
Observação: Note que existem cargas tanto na direção “X” quanto 
na “Y”, isso já nos mostra que em nenhumas reações encontradas nos 
apoios, podem ser iguais a zero. 
Além disso, a equação mais utilizada para simplificar os cálculos, é a 
de somatório de momento, pois sabemos que onde o ponto onde se aplica 
uma ou mais forças não geram momento, com isso fica fácil definir que no 
apoio onde está presente o maior número de incógnitas, deve ser o 
primeiro a ser tomado como referência. 
Para o cálculo temos três equações disponíveis: 
∑ 
∑ 
∑ 
 
 
 
49 
Para determinar a reação Ay 
∑ 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
( ) 
 
 
 
Para determinar a reação By 
 
∑ 
 
 ( ) 
 
 
 
Para determinar a reação Bx 
 
∑ 
 
( ) 
 
 
 
ATENÇÂO: Deve-se recordar que no desenho do diagrama de corpo livre, 
como não conhecemos as reações, os seus sentidos devem ser adotados 
de forma aleatória, caso no decorrer do cálculo os seus resultados forem 
 
 
50 
valores negativos, devemos voltar no D.C.L e modificar o seu sentido. Não 
existem reações com sinal negativo. 
 
02) O membro mostrado na figura, está conectado por um pino em A e 
apoia-se em um suporte liso em B. Determine as componentes horizontal e 
vertical da reação no ponto A 
 
Figura 25: Exemplo 02 
 
Fonte: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula16.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
51 
D.C.L 
 
Figura 26: Diagrama de Corpo Livre – Exemplo 02 
 
Fonte: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula16.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
1) A treliça é suportada por um pino em A e um rolete em B. Determine as 
reações de apoio. 
 
Figura 27: Exercício 01 
 
Fonte: Hibbeler 12° Edição 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades 
 
 
53 
2) Determine as componentes de reação no apoio fixo A. Despreze a 
espessura da viga 
 
Figura 28: Exercício 02 
 
Fonte: Hibbeler 12° Edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
1.2.4. Forças Internas 
 
Quando pretendemos construir algum elemento estrutural, é de 
grande valia que saibamos encontrar os esforços internos presentes nestes 
elementos quando são expostos a cargas, podendo ser até mesmo o peso 
do próprio elemento. 
Para isso, precisaremos atribuir o método das seções, que consiste 
em “cortar” o elemento em um ponto e expor estas forças. 
A imagem abaixo apresenta uma viga, com o seu carregamento, 
bem como o D.C.L 
 
Figura 29: Viga Carregada 
 
Fonte: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula16.pdf 
 
Depois que o diagrama de corpo livre é feito, é preciso que 
escolhamos um dos lados do ponto “C” para fazer a analises. Via de regra, 
costuma ser mais fácil escolher o lado que possua o menor número de 
forças desconhecidas. 
 
 
55 
Quando fazemos isso, o corte feito no ponto “C” irá expor as cargas 
internas. Que são o Esforço Cortante, Esforço Normal e Momento Fletor. 
 
Figura 30: Cargas internas de uma viga 
 
Fonte: http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula16.pdf 
 
Podemos perceber que as cargas Vc (Esforço cortante), Nc (Esforço 
Normal) e Mc (Momento Fletor) são as únicas cargas que não apareciam 
no D.C.L. Estas cargas são os Esforços Internos. 
 
1.2.4.1. Forças Internas 
 
Segundo Hibbeler, o método das seções pode ser usado para 
determinar as cargas internas sobre a seção transversal de um membro 
usando o procedimento a seguir: 
 
REAÇÕES DE SUPORTE 
 Antes que o membro seja cortado, pode ser preciso primeiro 
determinar suas reações de apoio, de modo que as equações de 
 
 
56 
equilíbrio possam ser usadas para solucionar as cargas internas 
somente depois que o membro for seccionado. 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
 Mantenha todas as cargas distribuídas, momentos de binário e 
forças que atuam sobre o membro em seus locais exatos, depois 
faça uma secção imaginária pelo membro, perpendicular ao seu 
eixo, no ponto onde as cargas internas devem ser determinadas. 
 Depois que a secção for feita, desenhe um diagrama de corpo livre 
do segmento que tem o menor número de cargas sobre ele e 
indique as componentes das resultantes da força e do momento de 
binário na seção transversal que atua em suas direções positivas, 
conforme a convenção de sinal estabelecida. 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 Os momentos devem ser somados na seção. Desse modo, as forças 
normal e cortante na seção são eliminadas, e podemos obter uma 
solução direta para o momento. 
 Se a solução das equações de equilíbrio der um número negativo, o 
sentido da força é contrário ao estabelecido do D.C.L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
EXEMPLO 
 
 
1) Determine a força normal, o esforço cortante interno e o momento 
fletor nos pontos C e D da viga. Assuma que o apoio em B seja um 
rolete. O ponto C está localizado logo à direita da carga de 40 kN 
 
Figura 31: Exemplo 01 
 
Fonte:http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/professor/49/TE224/Aula%207%20Esfor%C3%A7os%20internos.p
df 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
Solução: 
O primeiro passo é o desenho do D.C.L: 
 
 
Para este exemplo, necessariamente teremos que determinar as 
reaçõesde apoio antes de seccionar a viga, para isso temos que usar as 
equações de equilíbrio. 
 
Note que usamos primeiramente a equação de momento no ponto 
“A”, pois dispensa conhecer os valores das reações presentes neste ponto, 
isso ocorre porque a força não gera momento quando aplicada no ponto 
onde se calcula o momento, a distância entre ela e a origem vai ser zero. 
Dessa forma o valor de By passa a ser conhecido diretamente por 
esse cálculo. 
Após calculado um dos pontos, basta efetuar a aplicação das outras 
equações. 
 
 
 
 
59 
Determinação das cargas internas (Mc, Vc e Nc) no ponto “C”: 
 
 
 
 
Para o cálculo de Nc, se torna bem fácil, pois como não existe 
nenhuma força atuando nesta seção na horizontal, logicamente que seu 
valor não poderia ser diferente de zero. 
Para Vc, repare que entram na equação em “Y” somente os valores 
presentes na seção de “c” para a esquerda. 
O mesmo ocorre para o Mc, as forças que geram este momento, só 
podem ser consideradas as que estão presentes na seção, de modo 
específico, a força Vc não gera momento, pois está aplicada no mesmo 
ponto. 
 
 
 
 
 
60 
Determinação das cargas internas (Md, Vd e Nd) no ponto “D”: 
 
 
 
Para realizar os cálculos no ponto “D”, as etapas e considerações 
são as mesmas para o ponto “C”. Lembrando apenas que agora existe um 
momento de binário igual a 60 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
v 
 
 
1) Determine a força normal, o esforço cortante e o momento fletor nos 
pontos D e E da viga. O ponto D está localizado à esquerda do 
suporte de rolete em B, onde o momento de binário atua. 
 
 
Figura 32: Exercício 01 
 
Fonte: Hibbeler 12° Edição 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades 
 
 
62 
2) O guindaste da figura a seguir, consiste na viga AB, das roldanas 
acopladas, do cabo e do motor. Determine a resultante das cargas 
internas que atuam na seção transversal em C se o motor levanta a 
carga W de 500 lb com velocidade constante. Desprezar o peso das 
roldanas e da viga 
 
Figura 32: Exercício 02 
 
Fonte: Hibbeler 5° Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
64 
UNIDADE II – Tensão Normal, Tensão de 
Cisalhamento, Deformação e Diagrama Tensão 
X Deformação 
 
Objetivos desta unidade 
 
 Aplicar os cálculos de carregamento interno para estabelecer as 
tensões oriundas a estes carregamentos. 
 Entender e calcular as tensões normais, tensões de cisalhamento e 
as deformações em elementos. 
 Compreender as propriedades dos materiais e suas reações quando 
são submetidos a tensões 
 
Introdução 
 
Vimos até agora que a força e o momento que atuam em 
determinado ponto na área da seção de um corpo representam os efeitos 
resultantes da distribuição de forças que atua na área secionada. 
Determinar a distribuição das cargas internas é de primordial 
importância na resistência dos materiais. Para resolver esse problema é 
necessário estabelecer o conceito de tensão. (HIBBELER, 5 ª Edição. Pg 24) 
Podemos fazer um comparativo entre tensão e pressão. Geralmente 
utilizamos os conceitos de Pressão em fluidos, e de Tensão para os sólidos. 
 
 
 
 
65 
Ambas obedecem a mesma fórmula: 
Para pressão: 
 
 
 
Para Tensão: 
 
 
 
Em relação a unidade de medida será Pa (Pascal) = 
 
. Como 1 
Pascal, representa um valor muito pequeno, costuma-se utilizar prefixos do 
tipo “k” quilo ( ), “M” mega ( ) ou “G” giga ( ) 
Continuando com a comparação entre pressão e tensão, as vezes 
nos paramos diante de uma dúvida, por que existe pressão? 
A resposta é simples, sempre se movimenta um fluido e existem 
restrições ao deslocamento, surgem as pressões. No caso de uma panela 
de pressão, se não houvesse a tampa da panela exercendo essa restrição, 
a água evaporaria e com isso não teríamos pressão no interior do 
recipiente. 
Para trazer esse comparativo para o estudo de tensão, basta analisar 
a figura abaixo. 
Figura 33: Sólido com aplicação de força 
 
 
66 
 
Fonte: EEEP – Resistência dos Materiais 
 
Analisando este sólido com a força sendo aplicado, fica fácil 
entender que se este sólido de alguma forma oferecer resistência a 
deformação, ocasionada pela aplicação da força “F”, então começa a surgir 
as tensões das quais iremos discutir neste momento. 
 
EXEMPLO DE TENSÃO: 
 
Considere a estrutura da figura abaixo, que consiste em barras AB e 
BC, nos propomos a verificar se essa estrutura pode suportar com 
segurança a carga de 30 kN, aplicada no ponto B. 
 
 
 
 
 
67 
Figura 34: Exemplo 
 
Fonte: Beer 5ª Edição 
 
Aplicando as regras da estática, obtemos: 
y 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
∑ 
 
 
Fbc 
Fba 
30 kN 
 
 
68 
Podemos concluir que as barras BC está sob tração e a barra BA 
está sob compressão. 
Além disso se cortar estas barras em um determinado ponto, iremos 
constatar que, para elas permanecerem em equilíbrio, é necessário que as 
mesmas forneçam uma reação, da qual a maio força será de 50 kN. 
Os dados encontrados até aqui, representam o primeiro passo para 
se determinar o projeto desta estrutura. 
O fato de encontrarmos os esforços interno não garante que a barra 
irá suportar o peso ou não, mas sim essa condição depende em muito da 
área transversal da barra e do material a ser utilizado na sua construção. 
Seguindo essa premissa, vamos imaginar que a barra em questão 
tem 20 mm e é feita de aço. Temos a seguinte condição para a fórmula de 
tensão: 
 
 
 
 
 
F = Força 
= 
A = Área 
= ( 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
Para efeito de entendimento, podemos comparar esse valor com o 
máximo aceitável pelo aço, se ele estiver abaixo do especificado, então a 
estrutura será aceita e suportará os efeitos da carga com segurança. 
Em tabelas que contenham as características dos materiais, 
podemos extrair a informação sobre a tensão máxima admissível para o 
aço, que é igual a . 
Como o valor encontrado nos cálculos foi de 159 Mpa, podemos 
afirmar que a estrutura não se romperá com o peso. Claro que estamos 
tratando para o momento, somente as barras, mas existem outros 
elementos que dever ser considerados, como a compressão da barra AB, e 
as tensões existentes nos pinos e suportes. 
 
2. Tensão Normal Média em Uma Barra com Carga Axial 
 
Na maioria dos membros utilizados em elementos mecânicos ou 
estruturais possuem um comprimento maior do que a largura, ou diâmetro, 
que é o caso de eixos, parafusos e barras de treliças. 
Para que começamos o nosso estudo a cerca desse assunto, é 
importante analisarmos inicialmente duas hipóteses: 
1ª. É importante que a barra fique reta durante todo o procedimento 
de aplicação e retirada de uma carga. Além desse critério, a barra também 
precisa permanecer com a sua seção transversal plana durante a 
deformação. Seguindo essas duas condições, as linhas de grade que estão 
inscritas na figura a seguir, permanecerão constantes durante a aplicação 
da carga, fazendo com que a deformação seja uniforme. Para tanto, 
devemos desconsiderar as extremidades das barras, pois essas deformam 
mais. 
 
 
70 
2ª. Para que se consiga uma deformação mais homogênea, é 
importante que a carga seja aplicada no centroide da seção transversal da 
barra. Além disse, é necessário que a barra a ser submetido a carga tenha 
na sua construção um material homogêneo* e isotrópico*. Hibbeler – 
Resistência dosMateriais 
 
 
Figura 35: Exemplo de Barra submetida a tração com as linhas de 
deformação 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
*Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas. 
*Material Isotrópico. Possui as mesmas propriedades em todas as direções 
 
 
71 
EXEMPLO: 
1) A barra da figura abaixo tem largura constante de 35 mm e 
espessura de 10 mm. Determinar a tensão normal média máxima 
na barra quando submetida ao carregamento mostrado. 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
72 
Solução: 
Cargas Internas: Podemos perceber nas seções acima, que os 
esforços internos, apesar de diferentes, são constantes. 
Podemos verificar no desenho do diagrama de esforço normal (c) 
que a maior carga está presente no segmento BC, visto que nesse trecho 
concentra-se a maior carga visto que a área da seção é a mesma. 
 
 
2) A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como 
mostra a Figura. Se AB tem diâmetro 10 mm, e BC tem diâmetro de 8 
mm, determinar a tensão normal média em cada haste. 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
73 
Diagrama de Corpo Livre: 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Solução: 
 Devemos inicialmente encontrar as cargas internas em cada 
membro proposto: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Como é do conhecimento de todos, pela aplicação da terceira lei de 
Newton, essas barrar ofereceram uma reação de sentido oposto em todo o 
segmento da barra. 
Podemos assim calcular a tensa normal média pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
74 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
3) O elemento AC mostrado na figura abaixo está submetido a uma 
força vertical de 3 kN. Determinar a posição x de aplicação da força 
de modo que a tensão de compressão médio no apoio C seja igual a 
tensão de tração no tirante AB. A haste tem uma área de seção 
transversal de , e área de contato em C é de 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
75 
Diagrama de Corpo Livre: 
Figura 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Solução: 
Note que para esse exemplo, temos três incógnitas, sendo Fab, x e Fc. Para 
tanto, necessitaremos de três equações para a resolução. 
Para isso podemos usar inicialmente as equações de ∑ ∑ : 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
76 
Como o exemplo pede que as tensões de compressão em C seja 
igual a tensão de tração em AB, podemos igualar as equações de tensão 
nestes dois pontos e com isso conseguir a terceira equação: 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora basta substituir na equação obtida através do ∑ para encontrar o 
valor de “x” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
2.1. Tensão de Cisalhamento Média 
 
O que tratamos anteriormente era de tensões ocasionadas por 
esforços normais a uma seção transversal, ou seja, forças axiais. Porém 
quando duas forças são aplicadas na direção transversal a uma barra, 
produz um tipo de tensão que denominamos de tensão de cisalhamento. 
(Beer, Ferdinand 3 ed.) 
 
Figura 43: Exemplo de Tensão de Cisalhamento 
Fonte: Beer, Ferdinand 3 ed 
 
Se passarmos uma seção transversal no ponto C, iremos perceber 
que existem forças internas que devem-se igualar a P. Essas forças 
internas, levam o nome de forças cortantes, que já vimos anteriormente. A 
força cortante gera a tensão de cisalhamento, que é indicada pela letra 
grega (tau) 
 
 
 
 
 
 
78 
Figura 44: Força Cortante 
 
Fonte: Beer, Ferdinand 3 ed 
 
 
 
 
 
Onde: 
 = Tensão de Média de Cisalhamento 
P= Carga 
A= Área da seção transversal 
 
Podemos citar ainda que esse tipo de cisalhamento é considerado 
simples, pois a carga está aplicada diretamente sobre a seção. Existem 
outros exemplos na engenharia que se assemelham com este tipo de 
cisalhamento, como o encontrado em juntas parafusadas, pinos, material 
soldado entre outros: 
 
 
 
 
 
 
79 
Figura 45: Cisalhamento Simples 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Outro exemplo: 
 
Figura 46: Cisalhamento simples em um parafuso 
 
Fonte: Escola de Engenharia Industrial de Volta Redonda 
 
2.1.1. Cisalhamento Duplo 
 
Um exemplo que pode ser dado para cisalhamento duplo é o 
encontrado em juntas de dupla sobreposição, que constitui de duas 
superfícies de cisalhamento unidas por um elemento de fixação. 
 
 
80 
A imagem abaixo apresenta exemplos desta aplicação bem como as 
características da força cortante que está aplicada em cada elemento: 
 
Figura 47: Cisalhamento Duplo 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Por consequência a este cisalhamento duplo, teremos a força V=F/2. 
 
EXEMPLOS 
 
1) A barra mostrada na imagem a seguir, tem seção transversal 
quadrada para a qual a profundidade e a largura são de 40 mm. 
Supondo que fosse aplicado uma força axial 800N ao longo do eixo 
do centroide da área da seção transversal da barra, determinar a 
tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam 
sobre o material. 
a) No plano a-a 
b) No plano da seção b-b 
 
 
 
 
81 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Diagrama de Corpo Livre – a) 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Solução a): 
A carga interna associada a seção a-a, está vinculada apensas na força 
axial de 800N, com isso pela 3ª lei de Newton, a força de axial que 
promoverá a tensão normal médias será a próprias de 800N 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
82 
Como não existe força cortante para esta seção, pode-se considerar 
que a tensão de cisalhamento é nula: 
 
 
 
Diagrama de Corpo Livre – b) 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Solução b): 
Neste caso, como a seção produz componentes de forças que irão gerar 
tanto a tensão normal como a de cisalhamento, a duas formas de 
calcularmos estas cargas, a primeira é utilizar o par de eixos y-x e a outras, 
que já nos mostra os valores diretamente, que é o par de eixos y’-x’. Vamos 
na primeira forma: 
 
 
 
83 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Pela segunda forma, usando o par de eixos y’-x’: 
 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Tensão média: Para esse corte, temos que nos atentar que, como ele 
está inclinado, a largura da barra até permanece a mesma, contudo o 
comprimento da seção irá aumenta, devido a inclinação. 
Podemos então definir esse novo comprimento como sendo: 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, a tensão norma média é: 
 
 
 
 
84 
E a tensão média de cisalhamento é: 
 
 
 
2) A escora de madeira mostrada na figura a seguir, está suportada por 
uma haste de aço de 10 mm, de diâmetro, presa na parede. Se a 
escora suporta uma carga vertical de 5kN, calcular a tensão de 
cisalhamento média da haste na parede e ao longo das duas áreas 
sombreadas de escora, uma das quais está identificada como abcd. 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
85 
Diagrama de Corpo livre da Haste: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ªEdição – Resistência dos Materiais 
 
Diagrama de Corpo Livre da escora: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
86 
Solução: 
Primeiramente reparamos que existe uma diferença no esforço 
cortante que gera a tensão de cisalhamento em ambas as situações. 
Reparamos que na haste, a tensão de cisalhamento é gerada pela 
força de 5kN, mas na escora, essa força age nas duas áreas sombreadas 
do diagrama, isso ocorre, pois os dois planos em questão apresentados, 
geram resistência ao cisalhamento, com isso a força deve ser dividida por 
dois para que os cálculos sejam realizados, vejam: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
3) O elemento inclinado, conforme mostrado na figura, está submetido 
a uma força de compressão de 600lb. Determinar a tensão de 
compressão média ao longo das áreas de contato planas definidas 
por AB e BC e a tensão de cisalhamento ao longo do plano definido 
por EDB 
 
 
 
87 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Diagrama de Corpo Livre: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
88 
Solução: 
Notemos que pelo diagrama de corpo livre a força de 600lb, é 
decomposta em duas componentes vertical e horizontal. A vertical gera 
tensão de compressão no plano BC e a horizontal gera tensão no plano BA. 
Para tanto precisaremos decompor essa força e descobrir suas 
componentes nos respectivos eixos Y e X. 
Repara que a direção do vetor força está escrita como semelhança 
de triângulos, onde se pode terminar as componentes tanto diretamente 
pelo triângulo, ou definindo o ângulo por alguma relação trigonométrica. 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Tensão média de Compressão nos Planos solicitados: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Para determinarmos agora a tensão de cisalhamento, devemos 
identificar e entender que o plano que sofrerá essa tensão é o EDB, visto 
que é a única seção que está submetida a um esforço cortante, além disso, 
a força que irá colabora para isso é a Fab: 
 
 
89 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
1) As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 1,25 pol2. 
Supondo que a tensão normal média máxima em cada barra não 
exceda 20 ksi, determinar a grandeza máxima P das cargas 
aplicadas à treliça. 
 
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula6.pdf Mecânica Técnica – 
 
 
 
 
Atividades 
 
 
90 
2.2. Tensão Admissível e Fator de Segurança 
 
Em projetos de engenharia, não se pode considerar, para efeitos de 
projetos, a tensão máxima que um determinado matéria e peça estão 
submetidos. Por questões de segurança o projeto deve ter um fator de 
segurança e trabalhar com uma tensão admissível. Seja para projetos de 
máquinas ou peças. 
Consiste basicamente em determinar uma carga segura em que o 
elemento possa estar submetido, logicamente essa carga deverá ser menor 
do que a carga que o elemento suportaria integralmente. 
Tal procedimento se faz necessário, pois não se pode garantir a 
integralidade de um material durante toda a sua vida útil. Ele pode sofrer 
avarias por corrosão, desgastes por agentes atmosféricos ou algo do tipo. 
Além disso o elemento pode vir a sofrer cargas acidentais, que não estão 
especificadas no projeto inicial. Todas essas variáveis não podem ser 
mensuradas, por isso se estipula um fator de segurança, afim de obter uma 
tensão admissível para o elemento garantindo maior segurança. 
Um método de definir o fator de segurança e fazer a razão entre a 
carga de ruptura pela carga admissível. 
 
 
 
 
 
 
Se a carga de ruptura estiver alinha na mesma direção do elemento, 
ela irá gerar uma tensão admissível normal ao elemento, e na direção 
perpendicular, irá gerar uma tensão de cisalhamento. Nesse conceito, 
podemos estender o fator de segurança para uma análise voltada as 
tensões: 
 
 
91 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Os valores dos fatores de segurança, estão associados em grande 
parte na utilização do elemento estrutural ou de máquinas, um exemplo são 
os carros de fórmula 1, seus fatores de segurança estão próximos de 1, o 
mínimo, pois quanto menor é o fator de segurança, menor é o peso destes 
componentes e assim aumenta o rendimento nas pistas. O que não ocorre 
numa usina hidrelétrica por exemplo, que precisa ter uma barragem muito 
resistente e está exposta a ação de vários fatores que causam deterioração 
e precisa ter um fator de segurança de aproximadamente 3. 
 
EXEMPLO 
 
 
1) Os dois elementos estão acoplados por pinos em B, conforme figura. 
A figura também mostra o topo dos acoplamentos em A e B. 
Supondo que os pinos tenham tensão de cisalhamento admissível 
de e o esforço de tração admissível da haste CB seja 
 , determinar o menos diâmetro dos pinos A e B, com 
aproximação de 
 
 , e o diâmetro da haste CB necessário para 
suportar a carga. 
 
 
 
92 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Solução: 
Devemos observar que o segmento BC, possui duas componentes de 
força. 
Precisamos primeiramente calcular as reações de apoio e depois a carga 
que causa cisalhamento ao parafuso: 
 
D.C.L 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
93 
∑ ( ) ( ) 
 
 
 
∑ ( (
 
 
) ) ( ) 
 
 
 
∑ ( (
 
 
)) 
 
 
 
A força que causa cisalhamento em B é de 3,33kip, mas a que 
causa cisalhamento em A, será a somatória dos vetores das componentes 
Ax e Ay. E a direção será arcotangente da razão entre Ay e Ax. 
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
94 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Para determinarmos os diâmetros dos pinos em cada ponto, vasta 
analisar as forças que geram as tensões de cisalhamento. Perceba que em 
A, a um cisalhamento duplo, por isso utiliza-se a metade da força 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
95 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Conforme estabelecido no enunciado, os tamanhos dos pinos que mais se 
aproximam com os valores encontrados nos cálculos são: 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Para encontrarmos estes valores, basta pegar o valor encontrado e 
multiplicar por 16 e mantermos o denominador 16. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 Como é um elemento de carga, nunca podemos 
arredondar para baixo, sempre para casa inteira superior, no caso 7. 
 
Cálculo na haste: 
 
 
96 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
2) Uma carga axial no eixo mostrado na figura abaixo, é suportada pelo 
colar em C, que está preso ao eixo e localizado à direita do mancal 
em B. Determinar o maior valor de P para as duas forças axiais em E 
e F de modo que a tensão no colar não exceda uma tensão de apoio 
admissível em C de , e que a tensão normal média no 
eixo não exceda um esforço tração admissível de 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
97 
Diagrama de corpo Livre: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Para começarmos está análise, vamos primeiramente determinar 
onde a carga será máxima, ou seja, onde teremos uma maior tensão na 
barra, pode perceber no diagrama de corpo livre que se fizermosum corte 
na seção A-E, a força interna será de 2P, porém na seção E-F, a carga 
interna será de 3P. Como todo o eixo tem a mesma área, pode-se definir 
que a tensão máxima será em E-F. 
Tensão norma no eixo: 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Tensão de Apoio: Para determinar a área do colar que sofre a tensão, 
deve-se desconsiderar a área do eixo, ( ( ) ( ( ) )] 
 : 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
98 
Para finalizar, a maior carga que pode ser aplicada nesse conjunto, será a 
menor encontrada, no caso, 51,8kN, pois qualquer carga acima desta gera 
insegurança para o projeto. 
 
2.3. Deformação 
 
Vamos entender o conceito de deformação segundo Hibbeler. 
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o 
tamanho dele. Tais mudanças são denominadas deformação e podem ser 
perfeitamente visíveis ou praticamente imperceptíveis sem o uso de 
equipamento para fazer medições precisas. Por exemplo, uma tira de 
borracha sofre deformação muito grande quando esticada. Por outro lado, 
ocorrem apenas pequenas deformações de membros estruturais quando 
um edifício é ocupado por pessoas movimentando-se. O corpo também 
pode sofrer deformação quando sua temperatura muda. Um exemplo típico 
é a expansão ou a contração de um telhado provocadas pelas condições 
atmosféricas. 
 
 
 
 
 
99 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
100 
Conceito: 
Quando se pretende fazer análises em um material quando é 
submetido a uma carga, é necessário que se tenha equipamentos que 
façam as medições de maneira cada vez mais precisas. 
Deformação Normal – Segundo Hibbeler, a deformação normal é a 
deformação do segmento de reta AB, conforme figura, 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Devemos considerar a reta AB, quando o corpo é submetido a uma 
força, essa linha se tona curva, originando um deslocamento A’ até B’, em 
que podemos perceber que A’ era se aproximar de B’. Podemos perceber 
que iremos gerar um comprimento final A mudança de comprimento 
pode da reta, dar-se-á por . A deformação normal média, será 
escrita com a letra grega epsílon ( ) 
 
 
 
101 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO: 
 
Consideremos os dois segmentos de retas da imagem abaixo. 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Quando as retas estão perpendiculares e deformam criando um 
ângulo entre elas, isso gera a deformação por cisalhamento. Este ângulo é 
denominado (gama) e medido em radianos. 
 
 
 
 
 
102 
EXEMPLOS 
 
1) Uma força que atua no cabo da alavanca mostrada na figura a 
seguir, provoca uma rotação de na alavanca no 
sentido horário. Determinar a deformação normal média 
desenvolvida no arame BC. 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
Diagrama de Corpo Livre: 
 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
2.4. Tensão x Deformação 
 
Após utilizarmos os conceitos de tensão e deformação, vamos 
analisarmos como a tensão pode causar no material e como ele se 
deforma. 
Através de testes experimentais, pode-se obter dados que são 
necessários para os estudos da resistência dos materiais. 
 
 
 
104 
2.5. Diagrama Tensão Deformação 
 
Segundo Beer 2012, a relação entre tensão e deformação de um 
certo material é uma característica importante para se determinar se um 
material pode ser utilizado em um projeto. 
Essas características são obtidos através de ensaios de tração e 
compressão. 
O ensaio de tração consiste em um corpo de prova construído com 
o mesmo material a ser utilizado. No corpo de prova são feitas marcações 
afim de obter a real deformação quando a carga vai aumentando, e a partir 
daí o diagrama de tensão x deformação é construído. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
Figura: Maquina de ensaio de materias 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
106 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Os corpos de provas devem possuir o diâmetro inicial de 
aproximadamente 13mm e comprimento de 50 mm. Percebem que o corpo 
de prova de ver ter um diâmetro reduzido na região onde está instalado o 
extensômetro, isso porque a ruptura deve ocorrer nessa região, como 
sabemos, onde a seção tem área reduzida, a tensão ali será maior. 
Além disso, a máquina que realiza a tração no corpo de prova, deve 
aplicar uma carga crescente até o corpo de prova romper, o correto é que 
essa carga seja aplicada lentamente, para garanti que o corpo se deforme 
de maneira mais homogênea. 
 
 
 
 
107 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Conforme cita o livro do Hibbeler, os dados da carga aplicada são 
registrados a intervalos frequentes à medida que são lidos no mostrador da 
máquina ou em mostrador digital. Além disso, mede-se o alongamento 
 entre as marcas de punção no corpo de prova por meio de um 
 
 
108 
calibre ou dispositivo óptico, denominado de extensômetro. O valor (delta) 
é então usado para calcular a deformação normal média do corpo de 
prova. 
Com os dados extraídos destes testes, pode-se então construir um 
gráfico que identifica todas as regiões e as respectivas tensões e 
deformações aplicadas ao corpo de prova, através deste diagrama, pode 
por exemplo, identificar se o material quando exposto a uma tensão X, se 
comportará numa região elástica ou plástica, que discutiremos 
posteriormente. 
Desse modo, quando dividimos a carga aplicada na máquina, pela 
área da seção do corpo de prova, adotando que essa seção se 
permanecerá a mesma, então podemos medir a tensão como: 
 
 
 
 
 
 
Assim como, para identificar a deformação basta visualizar no 
extensômetro ou dividir a variação do comprimento pelo comprimento 
inicial Lo. 
 
 
 
 
 
 
Se adicionarmos essas duas grandezas em eixos cartesianos, onde 
o eixo X seria a deformação e o eixo Y fosse . E a partir daí traçarmos um 
gráfico, a curva deste gráfico é o chamado diagrama de tensão por 
deformação. 
Temos que considerar que para todo material, submetido a um 
ensaio de tração ou compressão, possuirá um gráfico deste, mas como a 
 
 
109 
nossa finalidade é o estudo em torno do aço, que é um material utilizado 
tanto para elementos estruturais, quanto de máquinas. 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Comportamento Elástico: Na região 1, podemos perceber que não 
se trata tecnicamente de uma curva, mais sim de uma reta, isso ocorre 
porque nessa região o tratamento da tensão e formação, se comporta 
linearmente, ou seja, toda vez que o material for submetido a uma tensão, 
dentro dessa região, ela se deformará, mas quando a carga for retirada, o 
material volta as condições normais. 
 
 
110 
Podemos perceber que logo no fim dessa reta inclinada, existe um 
limite de proporcionalidade, ou seja, mesmo que a tensão ultrapasse um 
pouco o limite de proporcionalidade, o material pode se comportar como 
elástico, mas tenderá a uma curva que indica o início do regime plástico. 
 
REGIME DE ESCOAMENTO: 
Quando a tensão ultrapassa o limite de elasticidade, ele começa a 
iniciar um processo em que a sua forma não voltará mais ao do inicial, esse 
comportamento é registrado na região 2, a de Regime de escoamento. 
Nessa região de escoamento, o corpo de prova irase deformar de 10 a 40 
vezes mais do que no regime elástico, quando ele está nessa região, 
podemos dizer que o material está perfeitamente plástico. 
ENDURECIEMTO POR DEFORMAÇÃO: 
Quando o corpo de prova para de se deformar, ele começa a entrar 
na região 3 de endurecimento por deformação, neste estágio, o material 
começa a ficar mais resistente a tensão, deformando-se menos, contudo 
essa característica vai a um limite, o que denomina-se de limite de 
resistência, qualquer carga acima desse ponto, levará o corpo de prova a 
ruptura. 
ESTRICCÇÃO: 
Ao atingir o limite de resistência, o corpo de prova começa a ter sua 
área de seção transversal reduzida, com isso o corpo de prova não pode 
resistir mais as tensões que eram impostas, e começa a diminuir a tensão e 
fazer com que o gráfico decresça ao limite de ruptura. 
 
 
 
111 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
 
 
112 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO: 
 
O diagrama de tensão por deformação que veremos a seguir resumi 
os conceitos apresentados até o momento. 
Neste exemplo, foi usado um aço doce (baixo teor de carbono) e o 
diagrama pode ser observado abaixo: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Observe que a região de endurecimento por deformação é muito 
extensa, essa característica confere a este material uma gama de 
finalidades. Este aço pode ser usado em várias situações que exige 
deformação do material, exemplo encontrado em lataria de carros, portões 
de garagem e outros, a facilidade a deformação é obtida graças ao baixo 
teor de carbono. 
 
 
113 
2.5.1. Materiais Dúcteis e Frágeis 
 
MATERIAIS DUCTEIS: 
Todos os materiais se comportam bem a grandes deformações 
antes da ruptura, são materiais dúcteis. O aço apresentado no exemplo 
anterior é um bom material dúctil. 
Vários profissionais da área de engenharia, escolhem este tipo de 
material, pois resistem bem a deformação, choques ou energia. Podem 
apresentar grande deformação antes da falha ou ruptura. 
Existem duas maneiras em geral de especificar se um material é 
dúctil. A primeira é a relação de alongamento do corpo de prova, do 
instante em que inicia o teste, até a ruptura. Esse cálculo deve ser expresso 
como porcentagem: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
A outra forma e a relação de redução da área transversal do corpo de prova 
no regime de estricção. 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
MATERIAIS FRAGEIS: 
São o outro extremo dos materiais dúcteis. Os frágeis suportam 
pouquíssima deformação, ou quase nenhuma. O ferro fundido é um 
exemplo claro desse tipo de material. Geralmente os materiais frágeis são 
 
 
114 
extremamente duros, porém quebradiços, por isso o ferro fundido entra 
nessa classe, além dele o vidro também é um material frágil. 
Podemos ainda chegar a uma conclusão sob análise do diagrama 
tensão –deformação do ferro fundido, que ele se comporta muito melhor 
sobre compressão do que com tração, observe: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Na engenharia a procura do maior ideal é o que se comporte bem 
sob ambas as situações, de modo que o aço pode ser submetido a estas 
situações e reage bem. Um aço com teor de carbono alto, pode resistir vem 
a ensaios de dureza, material com menor teor de carbono são mais dúcteis 
e fáceis de serem conformados. 
Além disso, o aço pode varias a suas propriedades quando são 
expostos a grandes temperaturas. 
 
 
115 
2.6. Lei de Hooke 
 
É a Relação linear entre tensão e deformação na região de 
elasticidade. Foi descoberta por Robert Hooke, em 1676, com o auxílio de 
molas. (UFF-Volta Redonda) 
Robert Hooke percebeu, com o auxílio de molas, que quando o 
material estava na região elástica, sua deformação era linear em relação a 
tensão aplicada. Tal regra obedece a seguinte regra: 
 
 
 
Onde E é a constante de proporcionalidade, módulo de elasticidade 
ou módulo de Young, nome derivado de Thomas Young que explicou a Lei 
em 1807. 
Um material é chamado de linear-elátisco se a tensão for 
proporcional a deformação dentro da região elástica. Essa condição é 
denominada Lei de Hooke e o declive da curva é chamado de módulo de 
elasticidade E. (Hibbeler). 
Para entender melhor vamos analisar novamente o diagrama de 
tensão-deformação do aço: 
 
 
 
116 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Repare que a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos, entretanto, que a forma como o material reage nas 
regiões elástica e plástica, está vinculada na composição neste material em 
relação ao teor de carbono, isso para os aços. Observe o diagrama a 
seguir: 
 
 
117 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
2.7. Energia de Deformação 
 
Energia por deformação representa a energia que um material pode 
armazenar quando é deformado. 
Podemos definir como a força que promove um deslocamento no 
material, quando multiplicados, gera o trabalho externo, esse trabalho é 
igual ao interno. 
 
 
118 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Pela definição de trabalho, chegamos na seguinte equação: 
 
 
 
Se a região em questão, for linear e elástica, então podemos aplicar 
a lei de Hooke para estes casos, onde 
 
 
 
Quando a tensão no material atinge a região de proporcionalidade, a 
energia acumulada no material passa a ser denominada como módulo de 
resiliência: 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
119 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
MÓDULO DE TENACIDADE: 
Consiste em toda a área sob o gráfico, uma propriedade muito 
importante para as análises. Ela indica toda a energia absorvida pelo 
material imediatamente antes da ruptura. Essa informação é muito 
importante quando se pensa que cargas acidentais podem atuar nesses 
materiais, com o valor do módulo de tenacidade é possível mensurar como 
o material se comportará até a ruptura. 
Por exemplo, materiais com módulo de tenacidade alto, distorcem 
muito com a sobre carga. No entanto, ainda sim são preferidos em relação 
a materiais com pouca tenacidade, isso porque como possui pouca 
tenacidade, eles rompem subitamente, sem apresentar falhas. 
 
 
 
120 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
EXEMPLO 
 
1) O teste de tração para uma liga de aço resulta no diagrama tensão-
deformação da figura abaixo. Calcular o módulo de elasticidade e a 
resistência ao escoamento com base em uma deformação residual 
de 0,2%. Identificar no gráfico o limite de resistência e a tensão de 
ruptura. 
 
 
121 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
122 
SOLUÇÃO: 
Devemos encontrar o módulo de elasticidade, aplicando a fórmula 
abaixo. 
Além disso vamos traçar um outro gráfico utilizando escalas 
ampliadas, como já está descrito no próprio diagrama, de modo que as 
coordenadas que vamos extrair no gráfico será da escala ampliada 
Para isso basta identificar no gráfico os valores das coordenadas da 
reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite de escoamento: Para isso utilizaremos a deformação de 0,2%, 
ou 0,002, e traçamos uma reta tracejada até que ela intercepte o gráfico, 
lembrando que essa reta deve ter a mesma inclinação da reta OA no 
desenho. O limite de escoamento é de aproximadamenteLimite de Resistência: Definido como a maior tensão no diagrama 
tensão-deformação, este pico ocorre no ponto B 
 
 
 
123 
 
 
Tensão de Ruptura: Ocorre na maior deformação, a tensão chega no ponto 
de ruptura em C: 
 
 
 
2.8. Coeficiente de Poisson 
 
Quando aplicamos uma carga de tração em um corpo, ele tende a 
se deformar. Essa deformação é percebida principalmente na diminuição 
da largura e espessura e alongamento do comprimento. 
No caso da compressão, a deformação é percebida ao contrário 
aumentando-se a largura e diminuindo o comprimento. 
Repare a imagem a seguir: 
 
 
 
124 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Quando é aplicado o carregamento, a barra muda o seu 
comprimento na quantidade e se raio na quantidade . (HIBBELER 12° 
edição) 
 
 
125 
Dessa forma pode-se definir a equação como sendo a razão entre a 
quantidade alongada pelo comprimento, com isso se obtém a deformação 
na direção analisada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Cientista que conduziu estes estudos, descobriu que na região 
elástica, a razão entre as deformações era sempre constante. Essa 
constante então foi chamada de coeficiente de Poasson (Nu), e terá valor 
exclusivo se o material for homogêneo e isotrópico. Veja a expressão: 
 
 
 
 
 
 
O sinal negativo é indicado para as deformações negativas, que 
podem ocorrer tanto para o alongamento do comprimento diminuindo a 
largura, ou vice-versa. 
O valor indicado para sólidos não porosos é de 1/4 a 1/3 para o 
coeficiente de Poasson, que é adimensional. Além disso iremos verificar 
que o valor máximo do coeficiente é 0,5. 
 
 
 
126 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Para diversos materiais já existem o coeficiente de Poasson 
tabelado, bem como pra outros dados: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
 
127 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
EXEMPLO 
 
1) Uma barra feita de aço A-36 tem as dimensões mostradas na figura 
abaixo. Supondo que uma força axial de P=80kN, seja aplicada a ela, 
determinar as mudanças em seu comprimento e nas dimensões de 
sua seção transversal e depois de aplicada a carga. O material 
comporta-se elasticamente.(E = 200GPa, para o aço A-36) 
 
 
 
128 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Solução: 
Devemos calcular inicialmente a tensão norma na barra: 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( ) ( )
 
 
 
 
 
Para o cálculo da deformação na direção de z, devemos utilizar a 
divisão da tensão pelo módulo de elasticidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
129 
 
 
 
 
 
 
 
 
O alongamento da barra na direção de z, será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar a deformação na seção temos que considerar a 
seguinte expressão: 
 
 
 
Podemos considerar que essas deformações, é a quantidade 
alongada na direção radial da barra. Com isso a expressão fica: 
 
 
 
Pela tabela de propriedades dos materiais, podemos extrair a 
constante de Poasson, sendo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
130 
 
 
 
Para calcular as mudanças nas dimensões ( ) da seção transversal 
será: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
2.9. Diagrama Tensão-Deformação de Cisalhamento 
 
Como no teste de tração, o material, quando submetido a 
cisalhamento, exibirá comportamento linear-elástico e terá limite de 
proporcionalidade bem definido. 
 
 
131 
O diagrama também possuirá um limite de resistência , causa pelo 
endurecimento por deformação. E por fim chegará a um ponto que o 
material se romperá que é a tensão de ruptura (HIBBELER 12° edição) 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
 
132 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Para a maioria dos materiais na engenharia o comportamento 
elástico é linear e, desse modo, a lei de Hooke para cisalhamento é 
expressa como: 
 
 
 
Nesse caso, G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento, ou 
módulo de rigidez e possui as mesmas unidades de E, seu valor é medido 
pelo declive da reta do diagrama . Ou seja, 
 
. O é o ângulo 
gerado pelo cisalhamento, medido em radianos. 
Com a aplicação dos experimentos, foi possível criar uma equação 
que possui as três variáveis, e com isso facilitar na definição de alguns 
dados, sem a necessidade dos experimentos: 
 
 
 
 ( )
 
 
 
133 
Como E e G são conhecidos, o valor de pode ser determinado por 
essa equação. Por exemplo, no caso do aço A-36, 
 de modo que, por essa equação 
 
 
EXEMPLO 
 
1) O corpo de prova de alumínio mostrado na figura abaixo, tem 
diâmetro e comprimento de referência de . 
Supondo que uma força de 165 kN alongue o comprimento de 
referência em 1,2 mm, determinar o módulo de elasticidade. 
Determinar também quanto o diâmentro de corpo de prova contrai-
se. Supor . 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
 
134 
Solução: 
Para o modo de elasticidade devemos primeiramente determinar a 
tensão média normal ao corpo de prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação normal média (Longitudinal) será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos verificar que como é menor que 440Mpa, 
podemos afirmar que o corpo de prova se comporta elasticamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
135 
Contração do diâmetro: Devemos encontrar o coeficiente de Poisson, para 
depois aplicar nas fórmulas: 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
136 
 
 
 
137 
UNIDADE III – Cargas Axiais, Tensão Térmica, 
Torção e Flexão 
 
Objetivos desta unidade 
 
 Determinação dos deslocamentos através das cargas internas. 
 Solução de problemas estaticamente indeterminados. 
 Cálculo do deslocamento por variação da temperatura 
 Torção 
 Flexão 
 
Introdução 
 
Nessa etapa dos nossos estudos, iremos estudar quais são os 
efeitos das cargas axiais e como elas podem nos auxiliar para 
determinação de várias coisas, como por exemplo as reações de apoio em 
que as equações de equilíbrio não podem ser usadas. 
Iremos estudas também os efeitos térmicos e suas consequências 
nos elementos de máquinas ou estruturais. 
 
 
 
 
 
 
 
138 
3. Princípio de Saint-Venant 
 
Esse Princípio foi observado por um francês chamado Barré de 
Saint-Venant em 1855. Esse princípio nos remete um pouco no estudo do 
efeito de Poisson. 
Vejamos as imagens abaixo: 
 
 
Fonte: Hibbeler, 5ª Edição – Resistência dos Materiais 
 
Já sabemos que a região onde uma carga “P” é aplicada, terá 
deformações e tensões diferentes do que se encontra a uma distância 
considerável do ponto de aplicação, podemos dizer que essas linhas 
distorcem mais do que no centro do elemento. Toda via, o cientista 
observou e determinou que a região em que essas linhas se estabilizam 
seria a região onde a tensão seria adequada para o material,