Resumo de Grafico

Prévia do material em texto

Construindo Gra´ficos
I. Crescimento e Decrescimento versus Derivada de 1a. ordem
• Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo I .
a. f e´ Estritamente Crescente (EC) em I , se para quaisquer x1 < x2, em I ,
implicar que f (x1) < f (x2);
b. f e´ Crescente (C) em I , se para quaisquer x1 < x2, em I , valer que
f (x1) ≤ f (x2);
c. f e´ Estritamente Decrescente (ED) em I , se para quaisquer x1 < x2, em
I , implicar que f (x1) > f (x2);
d. f e´ Decrescente (D) em I , se para quaisquer x1 < x2, em I , implicar
que f (x1) ≥ f (x2).
Observac¸a˜o I: Supondo que f seja deriva´vel em I e usando as definic¸o˜es
acima e a de derivada, e´ fa´cil deduzir que:
I.1 : Se f for EC (ou C) em I , enta˜o f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I .
I.2 : Se f for ED (ou C) em I , enta˜o f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I .
Pergunta: A derivada de 1a. ordem pode fornecer dados sobre crescimento
ou decrescimento? A resposta e´ dada pelo teorema que segue.
• Teorema: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo I . Suponha que
f seja deriva´vel em todos os pontos internos de I .
(i) Se f ′(x) > 0, ∀x pontos internos de I , enta˜o f e´ EC em I ;
(ii) Se f ′(x) < 0, ∀x pontos internos de I , enta˜o f e´ ED em I .
1
II. Concavidade/Ponto de Inflexa˜o versus 2a. Derivada
• Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto I .
Suponha que f seja deriva´vel em I . Para cada p ∈ I , seja
a func¸a˜o Tp que e´ a reta tangente ao gra´fico de f em (p, f (p)).
a. f tem Concavidade para Cima (CVC) em I , se f(x) > Tp(x),
exceto em x = p (ver figura abaixo);
b. f tem Concavidade para Baixo (CVB) em I , se f(x) < Tp(x),
exceto em x = p (ver figuras abaixo).
x
y
f
Tp
p
x
y
f
Tp
p
Observac¸a˜o II: Suponha que f seja deriva´vel ate´ 2a. ordem em I . Em
cada um dos gra´ficos acima, trace em alguns pontos (p, f (p)) as retas tan-
gentes Tp. Analise o comportamento da variac¸a˜o dos coeficientes angulares
dessas retas para “visualizar”que (lembrando que esses coeficientes sa˜o
dados pelos valores de f ′(p)): :
II.1 Se f tem CVC em I , enta˜o a func¸a˜o f ′ e´ crescente em I e,
portanto, segundo Obs. I.1, (f ′)′ = f ′′ ≥ 0 em I ;
II.2. Se f tem CVB em I , enta˜o a func¸a˜o f ′ e´ decrescente em I e,
portanto, segundo Obs. I.2, f ′′ ≤ 0 em I .
2
Note que as figuras abaixo tambe´m fornecem uma “visualizac¸a˜o”das
observac¸o˜es II.1 e II.2
x
y
f
p
Tp
x
y
f
Tp
p
Pergunta: A derivada de 2a. ordem pode fornecer dados sobre a forma
da concavidade? A resposta e´ dada pelo seguinte teorema.
• Teorema: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto I .
Suponha que f seja deriva´vel ate´ 2a. ordem em I
(i) Se f ′′(x) > 0, ∀x ∈ I , enta˜o f tem CVC em I ;
(ii) Se f ′′(x) < 0, ∀x ∈ I , enta˜o f tem CVB em I .
Pergunta: Pode uma func¸a˜o definida em um intervalo ter nomes diferentes
de concavidade nesse intervalo? A resposta e´ afirmativa (lembrar que isso
acontece com a func¸a˜o f (x) = x3, por exemplo!), o que motiva a seguinte
definic¸a˜o.
• Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo I e p ∈ I , de
forma que f seja cont´ınua em x = p. Dizemos que p e´ um
ponto de inflexa˜o de f se existirem subintervalos abertos
]a, p[ e ]p, b[ de I tais que a concavidade de f em cada um
deles seja diferente.
3
III. Ma´ximos e Mı´nimos
• Definic¸a˜o: Sejam f uma func¸a˜o e p ∈ Df .
(i) Um ponto x = p e´ um ponto de mı´nimo (global) de f (em Df) se
f(x) ≥ f(p), para todo x ∈ Df . Nesse caso f (p) e´ o valor mı´nimo
de f no seu domı´nio.
(ii) Um ponto x = p e´ um ponto de ma´ximo (global) de f (em Df) se
f(x) ≤ f(p), para todo x ∈ Df . Nesse caso f (p) e´ o valor ma´ximo de
f no seu domı´nio.
• Observac¸a˜o: No caso (i) o ponto (p, f(p)) e´ um ponto “mais baixo”do
gra´fico de f ; e no caso (ii) ele e´ um ponto “mais alto”.
No entanto nem sempre as desigualdades das definic¸o˜es (i) ou (ii) acima esta˜o
verificadas em todo o domı´nio da func¸a˜o, mas sim para subconjuntos contidos
nele. Tal fato da´ origem as seguintes definic¸o˜es:
(iii) Um ponto x = p e´ um ponto de mı´nimo local de f se existir um
intervalo aberto I contendo p de forma que f(x) ≥ f(p), para todo
x ∈ Df ∩ I . Nesse caso, f (p) e´ um valor mı´nimo local de f .
(iv) Um ponto x = p e´ um ponto de ma´ximo local de f se existir um
intervalo aberto J contendo p de forma que f(x) ≤ f(p), para todo
x ∈ Df ∩ J . Nesse caso, f (p) e´ um valor ma´ximo local de f .
Veja a figura que segue.
4
Na figura acima, a func¸a˜o f esta´ definida no intervalo [a, b] e e´ deriva´vel em
todos os pontos, exceto em p5.
• Os pontos x = a, x = p2 e x = p5 sa˜o todos de mı´nimo locais, e sendo
x = p2 um ponto de mı´nimo (global).
• Os pontos x = p1, x = p4 e x = b sa˜o todos de ma´ximo locais, mas
ambos p4 e b sa˜o pontos de ma´ximo (globais).
• Quanto a` derivada, temos que f ′(a) 6= 0 e f ′(b) = 0, com x = a e x = b
os pontos de fronteira de [a, b]; a derivada de f se anula nos pontos x = p1,
x = p2, x = p3, x = p4, que sa˜o todos pontos internos, embora p3 na˜o seja
nem ma´ximo, nem mı´nimo local (p3 e´ um ponto de inflexa˜o).
• Observac¸a˜o:
1. Observe que, em particular, um ponto de ma´ximo (mı´nimo) global, se
existir, e´ um ponto de ma´ximo (mı´nimo) local! Na verdade, um ponto de
ma´ximo (mı´nimo) e´ o ponto em que a f atinge o maior (menor) dos valores
ma´ximos (mı´nimos) locais.
2. Sejam f uma func¸a˜o definida e deriva´vel em um intervalo I e p um ponto
interno de I . Se p e´ um ponto de ma´ximo ou de mı´nimo local de f , enta˜o
f ′(p) = 0 (Ver figura acima).
5
3. A Observac¸a˜o 2 conta que, para pontos internos de um intervalo,
os “candidatos”a ponto de ma´ximo ou de mı´nimo locais devem ser buscados
entre aqueles que anulam a 1a. derivada da func¸a˜o. No entanto, vale observar
tambe´m que eles sa˜o apenas candidatos!! Para ilustrar este fato, e´ so´
lembrar que x = 0 anula a 1a. derivada da func¸a˜o f (x) = x3 e esta na˜o tem
nem ma´ximo, nem mı´nimo locais (x = 0 e´ ponto de inflexa˜o)!! (Ver tambe´m
figura acima)
4. A ana´lise do comportamento da func¸a˜o com relac¸a˜o ao seu crescimento
e decrescimento e dos limites permite concluir sobre a existeˆncia ou na˜o de
ma´ximos e/ou mı´nimos locais e/ou globais.
IV. Recordando Ass´ıntotas Horizontais e Verticais
(em: Texto sobre limites)
• Definic¸a˜o: Reta Ass´ıntota Horizontal
Seja f uma func¸a˜o tal que seu domı´nio conte´m um (ou ambos) dos in-
tervalos [a,+∞[ ou ]−∞, b]. A reta y = l e´ uma ass´ıntota horizontal
ao gra´fico de f se, ao menos, um dos limites abaixo estiver verificado:
lim
x→−∞
f(x) = l ou lim
x→+∞
f(x) = l
• Definic¸a˜o: Reta Ass´ıntota Vertical
Sejam f uma func¸a˜o e xo ∈ IR. A reta x = xo e´ uma ass´ıntota
vertical ao gra´fico de f se ao menos um dos limites abaixo estiver verificado:
lim
x→xo
f(x) = +∞ ou lim
x→xo
f(x) = −∞ ou lim
x→x+
o
f(x) = +∞
ou lim
x→x+
o
f(x) = −∞ ou lim
x→x−
o
f(x) = +∞ ou lim
x→x−
o
f(x) = −∞
6
V. Um Roteiro para a Construc¸a˜o de Gra´ficos
Passos: Seja y = f (x)
1. Determine o domı´nio de f ;
2. Determine, se poss´ıvel, os pontos em que a curva corta o eixo x (nem
sempre e´ fa´cil ou essencial);
3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , e os pontos
de ma´ximo e mı´nimo locais (caso existam);
4. Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o de f (caso
existam);
5. Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais de f (caso existam);
6. Verifique a existeˆncia de pontos de ma´ximo/ mı´nimo globais;
7. Usando as informac¸o˜es obtidas nos ı´tens de 1 a 6, esboce o gra´fico de f .
7