5. Perpetuidades

Prévia do material em texto

Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 1 
5 
PERPETUIDADES 
PERPETUIDADE SEM CRESCIMENTO 
Há um caso especial de série de fluxo constante que ocorre quando o prazo não é determina-
do, ou seja, o fluxo não tem data para terminar. A indeterminação do prazo do fluxo é mode-
lada soba forma de fluxo de caixa infinito. O caso básico é aquele em que há uma série infinita 
de recebimentos constantes, como apresentado no diagrama de fluxo de caixa do Objeto 1. 
Objeto 1. Série infinita de pagamentos constantes. Prazos indefinidos usualmente são modelados como infinitos. 
 
Esse tipo de fluxo, em que o prazo é modelado como infinito, recebe o nome de perpetuidade. 
Se todos os fluxos forem iguais, é uma perpetuidade constante (ou homogênea, ou uniforme). 
A pergunta geralmente feita é qual o valor presente de uma perpetuidade. Muitas vezes, esse 
valor presente também é chamado de perpetuidade (a nomenclatura pode ficar confusa). Ape-
sar do prazo da perpetuidade constante ser infinito, o seu valor presente é finito: 
 
 
 
 (1) 
Demonstrações 
Há três formas de mostrar que essa expressão é válida. A primeira, e mais direta, é o limite da 
equação (Erro! Fonte de referência não encontrada.) para o prazo tendendo ao infinito: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 (2) 
A segunda, e mais simples, parte da ideia de que alguém possa fazer um investimento por pra-
zo indeterminado, para viver da renda desse investimento. Um valor é investido no presente 
(VP) a uma dada taxa de juros (i). Enquanto houver um mercado financeiro, a taxa ficar a 
mesma e permanecer o interesse do investidor, esse investimento gerará um rendimento 
(PGTO) equivalente à multiplicação de VP por i: 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 2 
 
 
 
 (3) 
Abordagem Numérica 
A terceira forma de mostrar a validade da equação (1) é numérica e mais extensa. Suponha 
uma série de pagamentos anuais e constantes de 1.200, a serem trazidos a valor presente por 
uma taxa de 15% a.a.. O Objeto 2 traz os valores presentes dessas parcelas. O valor presente de 
infinitas parcelas é 8.000 (=PGTO/i). 
Objeto 2. Valores presentes das parcelas de $ 1.200 @ 15% a.a.. VP da parcela do ano: valor presente VP(15%; n; 
0; 1.000). VP das parcelas até o ano: VP(15%; n; 1.000; 0). % do VP do conjunto das parcelas: VP(15%; n; 1.000; 0) / 
8.000. 
 
ano
VP da 
parcela do 
ano
VP das 
parcelas até 
o ano
% do VP do 
conjunto 
das parcelas
1 1.043 1.043 13,0%
2 907 1.951 24,4%
3 789 2.740 34,2%
4 686 3.426 42,8%
5 597 4.023 50,3%
6 519 4.541 56,8%
7 451 4.993 62,4%
8 392 5.385 67,3%
9 341 5.726 71,6%
10 297 6.023 75,3%
11 258 6.280 78,5%
12 224 6.505 81,3%
13 195 6.700 83,7%
14 170 6.869 85,9%
15 147 7.017 87,7%
16 128 7.145 89,3%
17 112 7.257 90,7%
18 97 7.354 91,9%
19 84 7.438 93,0%
20 73 7.511 93,9%
... ... ... ...
30 18 7.879 98,5%
... ... ... ...
40 4 7.970 99,6%
... ... ... ...
50 1 7.993 99,9%
... ... ... ...
60 0 7.998 100,0%
... ... ... ...
70 0 8.000 100,0%
... ... ... ...
80 0 8.000 100,0%
... ... ... ...
90 0 8.000 100,0%
... ... ... ...
100 0 8.000 100,0%
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 3 
Note-se que a soma dos valores presentes tende assintoticamente ao seu limite, como era de 
esperar, o que ilustra a equação (1). 
Aproximação do limite 
A pergunta ainda a responder é qual o conceito de infinito utilizado. Em uma concepção puris-
ta, um prazo infinito é todo o tempo até o fim do mundo e além. Em uma visão pragmática, 
um prazo torna-se equivalente ao infinito quando aquilo que ocorre depois dele deixa de ser 
relevante. 
Note-se que o valor presente das parcelas no ano 60 é 100,0% (que continua sendo um núme-
ro aproximado equivalente á totalidade) do valor presente total. Como 99% do total é atingido 
pouco antes do 40º ano e quase sempre é irrelevante desprezar os 1% restantes, 40 anos po-
dem equivaler a um tempo infinito. 
A essa taxa, 90% de todo o valor presente ocorre até o 17º ano, que pode ser considerado um 
prazo infinito, para todos os fins práticos. A precisa na estimação de muitos fluxos de caixa é 
relativamente baixa, gerando imprecisões bem superiores a 10%. Levando o conceito ao ex-
tremo, 50% do valor presente ocorre até o ano 5. Em outras palavras, do ponto de vista do va-
lor presente a essa taxa, o tempo se divide em duas metades: até o 5º ano e depois dele até a 
eternidade. 
Dito de outra forma, o infinito é uma aproximação útil, que simplifica alguns cálculos sem tra-
zer grande imprecisão. A velocidade de aproximação do limite do valor presente depende da 
taxa, como mostrado no gráfico do Objeto 3. Note-se que tanto os limites de valor presente 
como a velocidade de convergência assintótica se tornam menores com a taxa. 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 4 
Objeto 3. Valores presentes de uma perpetuidade uniforme a várias taxas. Valores presentes de uma série de pa-
gamentos uniformes de $ 1.200, como função do número de anos a várias taxas. Em tracejado: os respectivos 
VP(n∞). 
 
Aplicações 
As perpetuidades têm várias aplicações importantes: 
 Na estimação por múltiplos do valor de empresas e do VPL de projetos de investimento. 
 No valor terminal de fluxos de caixa, tanto na avaliação de empresas como de projetos 
de investimento. Para uma discussão sobre como as perpetuidades são usadas nem lau-
dos no mercado de capitais brasileiro, ver Serra (2013). 
 Na estimação do custo de capital implícito das empresas. Uma aplicação importante no 
Brasil é Noda (2013). 
 Na apresentação e discussão de conceitos de finanças corporativas baseados em mode-
los rápidos porém conceitualmente completos. 
PERPETUIDADE COM CRESCIMENTO CONSTANTE 
Em muitos casos, a perpetuidade não tem um fluxo de caixa constante, e sim exponencialmen-
te crescente a uma taxa g, como no gráfico do Objeto 4. 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 5 
Objeto 4. Série infinita de pagamentos com crescimento constante. Os fluxos de caixa crescem a uma taxa cons-
tante g. 
 
Nesse caso, a equação (1) transforma-se na equação (4), que é demonstrada no Objeto 5. 
 
 
 
 
 ( )
 
 (4) 
Demonstração 
Objeto 5. Demonstração da fórmula do valor presente de uma perpetuidade crescente. Crescimento exponencial 
com taxa constante. 
Partimos da soma dos valores presentes dos fluxos 
 
 ( )
 
( ) 
 
 ( )
 
( ) 
 
 ( )
 
( ) 
 
 ( )
 
( ) 
 (5) 
Dividimos ambos os lados de (1) por (1+i) 
 
 ( )
( )
 
 ( )
 
( ) 
 
 ( )
 
( ) 
 
 ( )
 
( ) 
 (6) 
Subtraímos (6) de (5) e rearranjamos 
 
 ( )
( )
 
 ( )
 
( ) 
 
 ( )
 
( ) 
 
 
 
( )
 
( )
( )
 
( ) 
( ) 
 
No limite 
 
 
( )
 
( )
( )
 
( ) 
( ) 
 
( )
( )
 
 
 ( )
 
 
 
 (c.q.d.) 
Note-se que a equação (4) torna-se instável, e o resultado gritantemente impreciso, quando g 
se aproxima de i. 
Aproximação do limite 
O Objeto 6 mostra que tanto o valor presente no limite quanto o tempo que o valor presente 
leva para se aproximar desse limite são maiores com elevadas taxas de crescimento. Esse é o 
mesmo efeito de uma taxa de juros baixa. A diferença i – g pode ser entendida como uma taxa 
de juros (ou custo de capital) ajustada pelo crescimento. 
 
Introdução à Matemática Financeirav 1.0, pg. 6 
Objeto 6. Valores presentes de uma perpetuidade em crescimento. Valores presentes de uma série de pagamen-
tos de $ 1.200 a uma taxa de 15%, com várias taxas de crescimento, como função do número de anos. Em traceja-
do: os respectivos VP(n∞). 
 
PERPETUIDADE COM CRESCIMENTO CONSTANTE E EXPLICITAÇÃO DO REINVESTIMENTO 
No caso geral, o crescimento do lucro das empresas o dos seus projetos de investimento é via-
bilizado (e antecipado) por investimentos em capacidade operacional. Para tal, uma parte do 
caixa gerado deve ser reinvestida e, enquanto o crescimento for muito grande, capital externo 
(dívidas, emissão de ações) pode ter de ser aportado. 
Para modelar essa realidade, é necessário definir mais claramente algumas variáveis: 
 O lucro proveniente das operações, independente de como são financiadas, já após os 
tributos sobre a renda, é o NOPAT (net operating profit after taxes). O reinvestimento 
necessário para repor os ativos depreciados é considerado equivalente à depreciação, o 
que torna o NOPAT equivalente ao fluxo de caixa gerado pelas operações (Desafio 1: 
mostre que esta última afirmação é verdadeira). 
 O ativo relevante às operações da empresa, já descontados os passivos operacionais, é o 
AOL (ativo operacional líquido). É nele que a empresa investe para crescer e aumentar 
seu NOPAT. O investimento se dá no ano anterior à entrada dos novos ativos em opera-
ção. 
 A taxa r é o retorno operacional (NOPAT/AOL) dos investimentos futuros e é constante. 
Portanto, a taxa g o crescimento do NOPAT será a mesma do AOL. Desafio 2: mostre que 
esta última afirmação é verdadeira. 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 7 
 O custo de capital k é constante no tempo. Essa é a taxa, até agora chamada de i, utili-
zada para trazer o fluxo de caixa a valor presente. 
O valor presente de uma perpetuidade em crescimento constante com reinvestimento é dado 
pela equação (7) e demonstrada no Objeto 7. 
 
 
 
( 
 
 
) (7) 
Demonstração 
Objeto 7. Demonstração da fórmula do valor presente de uma perpetuidade crescente com reinvestimento. Cres-
cimento exponencial com taxa constante e uso de caixa como investimento. 
NOPAT é a rentabilidade do AOL: 
 (8) 
Tanto NOPAT quanto AOL crescem à taxa g: 
 ( ) ( )
 (9) 
 ( ) 
O investimento em expansão (Inv) é o acréscimo de AOL, que, com (8) e (9), se torna: 
 
 
 
 
O fluxo de caixa de um período é a entrada de caixa (NOPAT) menos a saída (Inv): 
 ( 
 
 
) ( )
 ( 
 
 
) 
O valor da empresa ou do projeto de investimento é o valor presente do fluxo de caixa até o infinito: 
 ∑
 
( ) 
 
 ∑
 ( )
 ( 
 
 
)
( ) 
 ( 
 
 
) ∑
( ) 
( ) 
 
 
No limite, da mesma forma como foi feito em (): 
 ( 
 
 
)
( )
 
 
 
 
 
( 
 
 
) (c.q.d.) 
Como ocorre com (4), a equação (7) é inviavelmente imprecisa quando g se aproxima de k. 
Aplicação 
Essa equação é importante, pois permite compreender alguns aspectos importantes da criação 
de valor nas empresas e nos seus projetos de investimento. Três condições são destacadas: 
 Não há qualquer investimento. A equação (7) torna-se igual à (1), pois, se não há cres-
cimento, não há necessidade de investimento em expansão. 
Se g=0, 
 
 
 
 O investimento em expansão gera um retorno igual ao custo de capital. Nesse caso, a 
equação (7) também se torna igual à (1). Se o crescimento não é capaz de gerar valor, 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 8 
pois rende o mesmo que o capital custa, é como se ele não existisse. Desafio 3: mostre 
que esta última afirmação é verdadeira. 
Se r=k, 
 
 
 
 O investimento em expansão é feito a uma taxa de retorno infinita. Uma aproximação 
convincente dessa situação pode ocorrer em setores de serviços pessoais (escritórios de 
consultoria, advocacia, engenharia, consultórios médicos, serviços de limpeza, de vigi-
lância, etc.), em que o capital necessário é ínfimo. Desta vez, a equação (7) se torna 
igual à (4). 
Se , 
 
 
 
EXERCÍCIOS, PROBLEMAS E CASOS
Mesmo quando o capítulo tem um conteúdo 
relativamente mais conceitual, são apresenta-
dos casos reais relevantes. 
Exercícios 
A tabela a seguir contém uma série de exercí-
cios, referentes a perpetuidades uniformes. Pa-
ra cada um dos exercícios, calcule o dado fal-
tante (indicado com ???). 
# VP FC i 
 189. ??? 400 14,1% 
 190. 4.000.000 350.000 ??? 
 191. 100.000 ??? 10,50% 
 192. ??? 300.000 17,8% 
 193. 1.000.000 70.000 ??? 
 194. 2.000.000 ??? 0,50% 
A tabela a seguir contém uma série de exercí-
cios, referentes a perpetuidades com cresci-
mento uniforme. Para cada um dos exercícios, 
calcule o dado faltante (indicado com ???). 
# VP FC i g 
 195. ??? 400 14,1% 3,80% 
 196. 4.000.000 350.000 ??? 1,00% 
 197. 100.000 ??? 10,50% 3,00% 
 198. ??? 300.000 17,8% 8,17% 
 199. 1.000.000 70.000 ??? 2,10% 
 200. 2.000.000 ??? 1,00% 0,50% 
Problemas 
 Um título de $1.000 rende $100 anuais. 201.
De quanto é sua taxa de juros? Não é ób-
vio que essa deve ser a taxa? 
 Projeta-se que um fluxo de caixa será de 202.
$200 por 4 anos e de $300 daí em diante 
(sem crescimento e sem data para aca-
bar). Qual o valor presente desse fluxo de 
caixa a uma taxa de 8,5% a.a.? 
 Um recém-aposentado juntou $350.000, 203.
de cujo rendimento pretende viver. Co-
mo ele não quer apostar contra si mes-
mo, ele prefere que esse montante seja 
suficiente para sustenta-lo por um núme-
ro indeterminado de anos. Qual a renda 
mensal que ele terá se o mercado finan-
ceiro lhe trouxer uma rentabilidade de 
0,5% a.a. líquida real(após os impostos e 
acima da inflação)? 
 Uma empresa gerou um fluxo de caixa de 204.
$4,5 milhões no ano que terminou. Não 
há previsão de término da vida da em-
presa (considera-se perpétua) e o cres-
cimento do fluxo de caixa é de 3% a.a.. A 
um custo de capital de 14,4% a.a., qual o 
valor da empresa. 
 Estima-se que uma empresa gere um flu-205.
xo de caixa de $4,5 milhões no ano que 
vem. Não há previsão de término da vida 
da empresa (considera-se perpétua) e o 
crescimento do fluxo de caixa é de 
3% a.a.. A um custo de capital de 
14,4% a.a., qual o valor da empresa. 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 9 
Casos 
Bônus perpétuos. Em novembro de 2007, a 
BRMalls (investidora e operadora de shopping 
centers) emitiu títulos de dívida no valor de 
US$175 milhões. Esses bônus são perpétuos 
(nunca vencem) e rendem 
9,75% a.a. em dólares. Esses 
juros expressavam a precifica-
ção que o mercado financeiro 
fazia na época para a taxa bá-
sica de juros, o risco da operação, os tributos e 
alguns custos transacionais. Um investidor (ne-
cessariamente domiciliado nos EUA) comprou 
um lote de US$100.000. 
 De quanto são os juros pagos anualmen-206.
te (em dólares) por esse lote de bônus? 
 O mercado mudou e, em outubro de 207.
2012, a empresa foi capaz de emitir $175 
milhões adicionais, desta vez à taxa de 
8,5% a.a. Qual o valor presente, à nova 
taxa de mercado, do fluxo de caixa per-
pétuo calculado no item anterior? 
 Como os bônus antigos e os novos têm 208.
características idênticas (inclusive o prazo 
e o risco) a taxa de remuneração deve ser 
idêntica. Portanto, o valor presente cal-
culado no item anterior é o novo valor de 
mercado dos bônus antigos. Qual foi o 
ganho do investidor? 
Quanto vale a padaria. O padrão de mercado 
para o valor de uma padaria é um múltiplo de 6a 12 receitas mensais, a depender da sua lucra-
tividade (lucro/receita) e do seu crescimento de 
vendas. 
 Mostre que esse múltiplo é apenas a in-209.
teração entre a margem de lucro (lu-
cro/receita) e do valor de uma perpetui-
dade. 
 A lucratividade de uma padaria é algo en-210.
tre 20% (bem trabalhada) e 10% (medío-
cre). Essa variabilidade é suficiente para 
explicar a variabilidade do múltiplo de re-
ceita? 
 Qual deve ser a taxa de retorno esperada 211.
pelo mercado para uma padaria que te-
nha valor de mercado de 9 meses de re-
ceita, lucratividade de 15% e crescimento 
de 1% a.a.. 
 Expresse a taxa de retorno como função 212.
das demais variáveis mencionadas. 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 10 
 
BIBLIOGRAFIA 
----------. (1990). Código de Defesa do Consumidor (Lei Nº 8.078). 
Allen, F., Myers, S. C., & Brealey, R. A. (2013). Princípios de Finanças Corporativas. MsGraw-Hill 
(10ª ed.). 
Assaf Nº, A. (2010). Finanças Corporativas e Valor. São Paulo: Atlas (5ª ed.). 
BIS. (2014). Debt securities statistics. Acesso em 2014, disponível em BIS: 
www.bis.org/statistics/secstats.htm 
BNDES. (n/d). tjlp.pdf. Acesso em 2014, disponível em www.bndes.gov.br: 
http://www.bndes.gov.br/SiteBNDES/export/sites/default/bndes_pt/Galerias/Arquivo
s/produtos/download/tjlp.pdf 
Brigham, E., & Houston, J. (1999). Fundamentos da Moderna Administração Financeira. (12ª 
ed.). 
Bruni, A. L. (2008a). A matemática das finanças: com aplicações na HP 12-C e Excel. São Paulo: 
Atlas ( Vol.1, 3ª. ed.). 
Bruni, A. L., & Famá, R. (2008b). Matemática financeira com HP 12-C e Excel. São Paulo: Atlas 
(5ª ed.). 
Damodaran, A. (2004). Finanças Corporativas - Teoria e Prática. Porto Alegra: Bookman (2ª 
ed.). 
Gitman, L. J. (2010). Princípios de Administração Financeira. São Paulo: Pearsosn (12ª ed.). 
Gomes, J. M., & Matias, W. F. (2009). Matemática Financeira. São Paulo: Atlas (6ª ed.). 
Gosling, J. (1995). QuickSmart Maths for Business & Finance. Glebe, NSW, Australia: Pascal 
Press. Obtido (parcialmente) de books.google.com.br em mar14. 
Kassai, S. C. (???). ??? ???: ???? 
Paschoarelli, R. (2007). Como usar a calculadora HP-12C. São Paulo: Saint Paul. 
Ross, S. A., Jordan, B. D., & Westerfield, R. W. (2013). Administração Financeira. (9ª ed.). 
Securato, J. R., & coautores. (2008). Cálculo financeiro das tesourarias. São Paulo: Saint Paul 
(4a ed.). 
Sousa, A. F. (2007). Avaliação de Investimentos - uma Abordagem Prática. São Paulo: Saraiva. 
 
Introdução à Matemática Financeira v 1.0, pg. 11 
Vieira Sobrinho, J. D. (2012). Cobrança de juros sobre juros - Anatocismo. São Paulo: Almedina. 
wiki/Frederick_Macaulay. (2014). Acesso em 2014, disponível em Wikipaedia: 
http://en.wikipedia.org/wiki/Frederick_Macaulay 
wiki/Richard_Price. (2014). Acesso em 2014, disponível em Wikipedia: 
en.wikipedia.org/wiki/Richard_Price