Cálculo de Condução em Paredes Planas e Cilíndricas

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Aula 2 de Fenômemo de 
transporte II 
Cálculo de condução 
Parede Plana 
Parede Cilíndrica 
Parede esférica 
Cálculo de condução 
• Vamos estudar e desenvolver as equações da condução 
em nível básico para regime permanente, unidimen-
sional em parede plana. 
• Equação de Fourier. 
A = área 
 2
1
1 2
0
1 2
Separando as variáveis, temos:
 integrando 
 
Fazendo T = e x = L, temos:
T T T
 ou ainda 
xx
x
x
TL
x x
T
x x
dT
q kA
dx
q dx kAdT
T T
q dx kA dT q kA
L
T T
q kA q
L
kA kA
 
  

   
  
  
  

 
Cálculo de condução 
• Resistência Térmica. 
• Circuito térmico. A “força motriz” que gera a taxa de transf. de calor 
é o potencial térmico. 
• Analogia com circuito elétrico. 
 
 
 
 
 
 
• Na transferência de calor. 
:
 = intensidade da corrente elétrica.
U= = diferença de potencial elétrico.
 resistência elétrica.
A B
e e
A B
e
V VU
i
R R
Sendo
i
V V
R

 


A B Re 
i 
T1 
T2 
,
,
x
t c
t c
T T T
q
L x R
kA kA
L x
R
kA kA
  
  


 
Cálculo de condução 
• Perfil de temperatura da parede plana. 
• Após ter sido calculada a taxa de transferência de calor, pode-se 
calcular o perfil de temperatura no sólido, em vez de integrar de 0 a 
L e de T1 a T2. Agora se faz: 
• Para x = 0  T = T1 e para um valor definido de x, T=T(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Condição de regime permanente. 
( )
1
( ) 1 ( ) 1
0
( ) 1
"
( ) 1
 
Portanto, temos:
q
 ou em termos de fluxo de calor, q"= , então:
 Perfil de Temperatura (equação linear),
do ti
x
x
Tx
x
x x x x
T
x
x
x
q x
q dx kA dT q x kA T T T T
kA
q
T T x
kA A
q
T T x
kA
               
 
 
 
po y = a - bx
Cálculo de condução 
• Parede Cilíndrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
qr 
Área = 2rL = dL 
k 
 2r r
dT dT
q kA q k rL
dr dr
    
Cálculo de condução. Parede cilíndrica 
2 2
1 1
1 1
2 2
2
2 1
1
 2 separando as variáveis, temos:
2 integrando nas CC.
1 para r = r T = T
 r = r T = T
2 ln 2 ( )
r r
r
r T
r r
r T
dT dT
q kA q k rL
dr dr
dr
q k LdT
r
CC
rdr
q k L dT q kL T T
r r
q


 
    
 


 
      
 
 
1 2 1 2
2 2
1 1
2 1 2
,
1 2
1
2 ( ) ( )
 ou ainda então
1
ln ln
2
( )1
R ln em f(d) 
2 1
ln
r r
t
t cilindrica d
kL T T T T T
q
Rr r
r kL r
r T T
q
kL r d
kL d




  
 
   
   
   
  
   
  
 
 
Cálculo de condução 
• Perfil de temperatura da parede cilíndrica. 
• Novamente vamos integrar passando os limites: 
• Para r = r1  T = T1 e para r qualquer, tal que, r1 ≤ r ≤ r2  T = T(r). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 ln 2 ( )
1
( ) ln
2
ln fazendo q =
2
ln perfil de temperatura
2
r T
r r r
r T
r
r r
r r
r
r
dr r
q k L dT q kL T T
r r
r
T T q
kL r
q qr
T T
kL r L
q r
T T
k r
 



 
      
 
 
    
 
 
   
 
 
   
 
 
Cálculo de condução 
• Parede Esférica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Perfil de temperatura. 
 
 
 
qr 
A(r) = 4r
2 
2 2
1 1
2
2
1 2
2 1
,
1 2
 4
integrando com os limites, temos:
4 
1 1
4 ( ) 
1 1 1
4
r r
r T
r
r T
r
r
t esf
dT dT
q kA q k r
dr dr
dr
q k dT
r
q k T T
r r
T T
q
R
k r r




    
  
 
     
 
 
 
 
 
 
 
( ) 1
1
1 1
4
r
r
q
T T
k r r
 
   
 
Cálculo de condução 
• Paredes Compostas. 
• Circuito térmico – Analogia com circuito elétrico. 
• Primeiramente vamos determinar a resistência térmica de 
convecção. 
 
 
 
 
 
 
 
• Circuito térmico. 
 
,
,
( )
( ) ou 
1
Neste caso a resistência térmica de convecção é
1
p f
p f
t conv
t conv
T T T
q hA T T q
R
hA
R
hA
 
   

Valores típicos do coeficiente de transferência de calor por 
convecção. 
Cálculo de condução 
• Parede Parede Plana em Série. 
• Circuito térmico – Analogia com circuito elétrico. 
• Vamos aplicar a equação: 
 
 
 
 
 Para quaisquer dois pontos que formam um trecho do circuito 
térmico dado. 
t
T
q
R


Circuito Térmico equivalente para uma parede composta em série 
,1 ,4
x
t
T T
q
R
 

 1 4
1 1 1C totA B
t tot
A B C
L RL L
R R
A h k k k h A
  
        
 
,t c
L x
R
kA kA

 
Circuito Térmico equivalente para uma parede composta série-paralela. 
a) Considera-se que 
as superfícies 
normais à direção 
x sejam 
idotérmicas. 
b) Supõem-se que 
as superfícies 
paralelas à 
direção x sejam 
adiabáticas. 
Resistência de Contato 
• Em sistemas compostos, a queda de temperatura entre 
as interfaces dos vários materiais podem ser 
considerável. 
• Essa mudança de temperatura é atribuída ao que é 
conhecido por Resistência térmica de contato (Rt,cont). 
,
A B
tc
x
T T
R
q

 



t c
t c
c
R
R
A
,
,
Resistência térmica de contato 
depende: 
 Rugosidade superficial; 
 propriedades dos materiais; 
 pressão de contato e 
 tipo de fluído nos vazios. 
Resistência térmica de contato para (a) interfaces metálicas sob condições de 
vácuo e (b) Interface de alumínio (rugosidade superficial de 10 mm, 105 N/m2) 
com diferentes fluídos interfaciais. 
Resistência térmica em interfaces sólido/sólido representativas 
Associação em série para parede cilíndrica 
• A distribuição de temperatura associada à condução radial através 
de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear. 
2
,
1
1
R ln
2
t cilindrica
r
kL r
 
  
 
t
T
q
R


 Exercícios: 
1) Considere uma parede plana composta constituída por dois materiais com 
condutividade térmicas kA = 0,1 W/(m.K) e kB = 0,04 W/(m.K) e espessuras 
LA = 10 mm e LB = 20 mm. A resistência de contato na interface entre os 
dois materiais é conhecida, sendo 0,30 m2.K/W. O material A está em 
contato com um fluído a 200 C com h = 10 W/(m2.K) e o material B está 
em contato com um fluído a 40 C, no qual h = 20 W/(m2.K). 
a. Descreva o circuito térmico do sistema. 
b. Qual a taxa de transferência de calor para uma parede de 2 m de altura por 
2,5 m de comprimento. 
c. Calcule as temperaturas nas interfaces esboce a distribuição de 
temperatura. 
b) Calculando a resistência total do circuito térmico e q, temos: 
c) Calculando as temperaturas nas interfaces, temos: 
2) Na figura abaixo é mostrada um conjunto de paredes planas 
composta. 
a. Calcule o fluxo de calor unidimensional, permanente. 
b. Determine a temperatura em todas a s interfaces. 
Considere: Ab = Ac e ka = 170 W/(m.K), kb = 40 W/(m.K), kc = 55 
W/(m.K) e kd = 80 W/(m.K). 
a 
b 
c 
d 
2,5 cm 7,5 cm 5,0 cm 
T = 370 C 
 
q” 
T = - 10C 
3) Um aquecedor elétrico delgado é enrolado ao redor da superfícieexterna de um longo tubo cilíndrico cuja superfície interna é mantida 
a uma temperatura de 5 C. A parede do tubo possui raios interno e 
externo iguais a 25 e 75 mm, respectivamente, e um condutividade 
térmica de 10 W/(m.K). A resistência térmica de contato entre o 
aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de 
comprimento do tubo) é R’t,c = 0,01 m.K/W. A superfície externa do 
aquecedor está exposta a um fluído com T = - 10 C e com um 
coeficiente convectivo de h = 100 W/(m2.K). 
a. Esboce o circuito térmico do sistema. 
b. Determine a potência do aquecedor, por unidade de comprimento 
do tubo, requerida para mantê- lo a T0 = 25 C. 
Resolução: 
a) O Circuito térmico será: 
b) A potência (q’) do aquecedor será: