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Econometria 2 - aula 3 - heterocedasticidade

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Aula 03 Econometria II Gujarati
Heterocedasticidade
O modelo de MQO tem duas hipéteses fortes:
A homocedasticidade onde: E(ui, uj) = σ
2
para ∀i = j
E a ausência de correlação entre os resíduos, onde:E(ui, uj) = 0 para ∀i 6= j
Nesse caso assumimos que por hipótese os resíduos são identicos entre sí e
independentens em suas distribuições.
Com heterocedasticidade veremos o que acontece se a variância mudar de
acordo com as variáveis.
1. De onde vem o problema
1. Aprendizagem. Seguindo os modelos de erro-aprendizagem, comporta-
mentos incorretos das pessoas diminuem com o tempo, ou o número d eerros
torna-se mais consistente.
2. Variáveis de escala. A medida que a renda aumenta a tendência é que
as pessoas tenham mais flexibilidade em variar seu consumo. Dessa forma
a pouca renda restringe o comporatamento fazendo que na média o mesmo
varie de forma menor.
3. Coleta de dados. À medida que as técnicas de coleta de dados vão se
aprimorando é provavel que a variância também diminua.
4. Outliers. A heterocedasticidade também ocorre na presença de dados dis-
crepantes, dados muito acima ou muito abaixo do comportamento médio da
variável. Significativamente problemático em amostras pequenas o que leva
à alterações substânciais nos resultados das regressões.
5. Erro de especificação do modelo. Em alguns casos pode acontecer que
variáveis omitidas do modelo expliquem variações dos resíduos levando a
impressão de heterocedastividade, mas ao incluir a variável ela se torna ho-
mocedastica.
2. Consequências da heterocedasticidade
1. Os estimadores de MQO continua sendo não-viesado e consistente.(ver
parte Viés vs consistência.)
2. O estimador perde a característica de variancia mínima.
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Aula 03 Econometria II Gujarati
3. O erro padrão e o teste t, também perderão a eficiência.
Viés VS Consistência
Viés: 10 amostras com 10 observações, o valor esperado de βˆ2 é o verdadeiro
β2. Ou seja com várias estimativas o valor médio delas apontará para o ver-
dadeiro valor de β2.
Consistência: uma única amostra aponta para o verdadeiro valor ao se acres-
centar mais observações.
Se um estimador é não-viesado, ele é necessariamente consistente, já o con-
trário não é verdadeiro.
Quando deduzimos a variancia do estimador obtinhamos a equação:
βˆ2 =
ΣxY
Σx2
=
Σ(X − X¯)(Y − Y¯ )
Σ(X − X¯)2
E(βˆ2 − β2) = E
(
(Σxu)2
Σx2
)
V ar(βˆ2) =
Σx2σ2
(Σx2)2
(1)
Como para o caso de homocedasticidade σ2 era constante, a simplificação era
possível.
V ar(βˆ2) =
σ2
Σx2
Com heterocedasticidade não pode-se simplificar, desse modo usaremos a
equação (1), e teremos n variâncias.
3. Testes para heterocedasticidade
Teste informal
Se não tivermos nenhuma informação a priori sobre a natureza da hetero-
cedasticidade, na prática podemos fazer a análise de regressão supondo-se
que não há heterocedasticidade e então fazer um exame post mortem dos
resíduos elevados ao quadrado para ver se exibem um padrão sistemático.
Na regressão multipla pode-se fazer o gráfico de qualquer variável.
No caso do gráfico (a) pode-se identificar que não existe relação linear entre
2
Aula 03 Econometria II Gujarati
o resíduo e a variável X, desse modo existem indicios da não existência de
heterocedasticidade. Nos outros casos existe uma relação linear entre X e os
resíduos, desse modo existem indicios da presença de heterocedasticidade.
Testes formais
Utilizaremos três teste pra comprovar formalmente a existência de hetero-
cedasticidade. Todos eles são baseados no teste do multiplicador de lagrange.
Eles pretendem resulver o problema de termos muitas variâncias. A solução
é a parametrização da variância, ou seja encontrar um parametro para que
se possa dado qualquer X encontrar a variância. Na prática faremos uma
regressão do resíduo contra as variáveis independentes.
Teste Brusch-Pagan
Utilizado quando a variância cresce de forma linear com as variáveis.
A situação gráfica dos resíduos pode ser exemplificado com o exemplo (c) dos
gráficos da sessão anterior.
Nesse teste a tranformação dos resíduos para que se possa fazer a regressão
é elevar ao quadradado.
σ2 = α1 + α2X2 + u
Teste de Glejsen
Utilizado quando a variância cresce de forma quadrática com as variáveis.
A situação gráfica dos resíduos pode ser exemplificado com o exemplo (e) dos
gráficos da sessão anterior.
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Aula 03 Econometria II Gujarati
Nesse teste a tranformação dos resíduos para que se possa fazer a regressão
é colocar os resíduos em módulo.
|σ| = α1 + α2X2 + u
Teste de Park
Utilizado quando a variância cresce de forma exponencial com as variáveis.
Nessa situação o gráfico seria similar ao da figura (e) mas com crescimento
muito mais explosivo.
Nesse teste a tranformação dos resíduos para que se possa fazer a regressão
é colocar os resíduos em logaritmo, o que é o mesmo que elevar a equação ao
exponencial.
ln(σ2) = α1 + α2X2 + u
Teste de hipóteses para os testes
H0 − α1 = α2 = α3 = 0 teremos homocedasticidade. H1 - Pelo menos um
dos alfas é diferente de 0, teremos heterocedasticidade.
Faremos o teste conjunto.
Testaremos: n.R2 ∼ χ2(p− 1)
Onde n.R2 são valores do modelo e χ2(p− 1) é a distribuição.
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