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Aula 03 Econometria II Gujarati Heterocedasticidade O modelo de MQO tem duas hipéteses fortes: A homocedasticidade onde: E(ui, uj) = σ 2 para ∀i = j E a ausência de correlação entre os resíduos, onde:E(ui, uj) = 0 para ∀i 6= j Nesse caso assumimos que por hipótese os resíduos são identicos entre sí e independentens em suas distribuições. Com heterocedasticidade veremos o que acontece se a variância mudar de acordo com as variáveis. 1. De onde vem o problema 1. Aprendizagem. Seguindo os modelos de erro-aprendizagem, comporta- mentos incorretos das pessoas diminuem com o tempo, ou o número d eerros torna-se mais consistente. 2. Variáveis de escala. A medida que a renda aumenta a tendência é que as pessoas tenham mais flexibilidade em variar seu consumo. Dessa forma a pouca renda restringe o comporatamento fazendo que na média o mesmo varie de forma menor. 3. Coleta de dados. À medida que as técnicas de coleta de dados vão se aprimorando é provavel que a variância também diminua. 4. Outliers. A heterocedasticidade também ocorre na presença de dados dis- crepantes, dados muito acima ou muito abaixo do comportamento médio da variável. Significativamente problemático em amostras pequenas o que leva à alterações substânciais nos resultados das regressões. 5. Erro de especificação do modelo. Em alguns casos pode acontecer que variáveis omitidas do modelo expliquem variações dos resíduos levando a impressão de heterocedastividade, mas ao incluir a variável ela se torna ho- mocedastica. 2. Consequências da heterocedasticidade 1. Os estimadores de MQO continua sendo não-viesado e consistente.(ver parte Viés vs consistência.) 2. O estimador perde a característica de variancia mínima. 1 Aula 03 Econometria II Gujarati 3. O erro padrão e o teste t, também perderão a eficiência. Viés VS Consistência Viés: 10 amostras com 10 observações, o valor esperado de βˆ2 é o verdadeiro β2. Ou seja com várias estimativas o valor médio delas apontará para o ver- dadeiro valor de β2. Consistência: uma única amostra aponta para o verdadeiro valor ao se acres- centar mais observações. Se um estimador é não-viesado, ele é necessariamente consistente, já o con- trário não é verdadeiro. Quando deduzimos a variancia do estimador obtinhamos a equação: βˆ2 = ΣxY Σx2 = Σ(X − X¯)(Y − Y¯ ) Σ(X − X¯)2 E(βˆ2 − β2) = E ( (Σxu)2 Σx2 ) V ar(βˆ2) = Σx2σ2 (Σx2)2 (1) Como para o caso de homocedasticidade σ2 era constante, a simplificação era possível. V ar(βˆ2) = σ2 Σx2 Com heterocedasticidade não pode-se simplificar, desse modo usaremos a equação (1), e teremos n variâncias. 3. Testes para heterocedasticidade Teste informal Se não tivermos nenhuma informação a priori sobre a natureza da hetero- cedasticidade, na prática podemos fazer a análise de regressão supondo-se que não há heterocedasticidade e então fazer um exame post mortem dos resíduos elevados ao quadrado para ver se exibem um padrão sistemático. Na regressão multipla pode-se fazer o gráfico de qualquer variável. No caso do gráfico (a) pode-se identificar que não existe relação linear entre 2 Aula 03 Econometria II Gujarati o resíduo e a variável X, desse modo existem indicios da não existência de heterocedasticidade. Nos outros casos existe uma relação linear entre X e os resíduos, desse modo existem indicios da presença de heterocedasticidade. Testes formais Utilizaremos três teste pra comprovar formalmente a existência de hetero- cedasticidade. Todos eles são baseados no teste do multiplicador de lagrange. Eles pretendem resulver o problema de termos muitas variâncias. A solução é a parametrização da variância, ou seja encontrar um parametro para que se possa dado qualquer X encontrar a variância. Na prática faremos uma regressão do resíduo contra as variáveis independentes. Teste Brusch-Pagan Utilizado quando a variância cresce de forma linear com as variáveis. A situação gráfica dos resíduos pode ser exemplificado com o exemplo (c) dos gráficos da sessão anterior. Nesse teste a tranformação dos resíduos para que se possa fazer a regressão é elevar ao quadradado. σ2 = α1 + α2X2 + u Teste de Glejsen Utilizado quando a variância cresce de forma quadrática com as variáveis. A situação gráfica dos resíduos pode ser exemplificado com o exemplo (e) dos gráficos da sessão anterior. 3 Aula 03 Econometria II Gujarati Nesse teste a tranformação dos resíduos para que se possa fazer a regressão é colocar os resíduos em módulo. |σ| = α1 + α2X2 + u Teste de Park Utilizado quando a variância cresce de forma exponencial com as variáveis. Nessa situação o gráfico seria similar ao da figura (e) mas com crescimento muito mais explosivo. Nesse teste a tranformação dos resíduos para que se possa fazer a regressão é colocar os resíduos em logaritmo, o que é o mesmo que elevar a equação ao exponencial. ln(σ2) = α1 + α2X2 + u Teste de hipóteses para os testes H0 − α1 = α2 = α3 = 0 teremos homocedasticidade. H1 - Pelo menos um dos alfas é diferente de 0, teremos heterocedasticidade. Faremos o teste conjunto. Testaremos: n.R2 ∼ χ2(p− 1) Onde n.R2 são valores do modelo e χ2(p− 1) é a distribuição. 4
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