Lista de Exercícios 4

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UFPB - CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 
4a LISTA DE EXERCÍCIOS – PERÍODO 2013.2 
 
 
1) Verifique se a função 〈,〉 define um produto interno sobre o R2. 
 a) 21122121 522, yyyxyxxxvu +−−=〉〈 , onde ),( 11 yxu = e ),( 22 yxv = . 
 b) 
2
21
2
21,
b
yy
a
xx
vu +=〉〈 , onde ),( 11 yxu = e ),( 22 yxv = . 
 c) 211221212, yyyxyxxxvu +++=〉〈 , onde ),( 11 yxu = e ),( 22 yxv = 
2) Para que valores de λ a função 21122121 33, yyyxyxxxvu λ+−−=〉〈 , com ),( 11 yxu = e 
),( 22 yxv = define um produto interno sobre o R2. 
3) Sejam f, g ∈℘2 . 
 a) Mostre que ∫= 10 )()()(),( dxxgxfxgxf é um produto interno sobre o ℘2 . 
 b) Calcule, usando o produto interno do item a): 〉−〈
2
1,
2xx e 21 x− . 
 c) Para que valores de m, 1)( 2 += mxxf é ortogonal a xxg =)( . 
 d) Ortonormalize a base canônica do ℘2 . 
 4) Em ℘2 , considere o produto interno do exercício anterior. Se { }12 += xW , encontre uma base 
para ⊥W . 
5) Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que, para todos u, v ∈ V, tem-se 
vu = se, e somente se, 0, =−+ vuvu . 
 
6) Sendo 211221212, yyyxyxxxvu +++=〉〈 , com ),( 11 yxu = e ),( 22 yxv = , um produto 
interno, obtenha uma base ortonormal para o R3, a partir da base ( ) ( ){ }1,2,2,1=β . 
7) Seja V = R3 com o produto interno usual. Determine uma base ortonormal para o subespaço 
( ){ }0;,, =+−= zyxzyxW . 
8) Seja V = R3 com o produto interno usual. Considere o conjunto ( ) ( ) ( ){ }1,1,2,1,0,1,0,1,1=S . 
Determine ⊥S . Encontre uma base ortogonal para ⊥S . Se ( ) ( ) ( )[ ]1,1,2,1,0,1,0,1,1=S , determine ⊥S . 
9) Sejam x, y, z e t escalares. Se u e v são vetores ortogonais e unitários, mostre que tvzuyvxu +⊥+ se, 
e somente se, 0=+ ytxz . 
10) Se u e v são vetores ortogonais e unitários, mostre que 2=− vu . 
 2
11) Seja T : R2 → R2 um operador linear que satisfaz 0),( =uuT , ∀u ∈ R2. Mostre que, para 
todos u e v do R2 tem-se uvTvuT ),(),( −= . 
12) Seja T : R3 → R3 um operador linear definido por ),,(),,( zyxzzyxT −−= . Em relação ao 
produto interno usual do R3, determine ⊥W , onde W é o núcleo do operador linear dado. 
13) Seja ( )ijaA = uma matriz quadrada de ordem 2. Definimos o traço de A como sendo a soma 
dos elementos da diagonal principal de A, ou seja, 2211)( aaAtr += . Mostre que a função 
)(, ABtrBA t= é um produto interno no espaço vetorial M2x2. 
15) Se u e v são vetores, prove que a função 2)( xvuxf += possui um ponto de mínimo. 
17) Se u e v são vetores, mostre que vuvu =, se, e somente se, u e v são vetores linearmente 
dependentes. 
Sugestão: ⇒) Se u ou v é o vetor nulo, nada a demonstrar. Se ambos são não nulos, então 
vuvu =, ⇒ vuvu =, ou vuvu =− , . Se a primeira hipótese for verdadeira, 
então teremos 0, ≥−−
v
v
u
u
v
v
u
u . Se a segunda hipótese for verdadeira, então teremos 
0, ≥++
v
v
u
u
v
v
u
u . Ambas levam à conclusão de que os vetores u e v são linearmente 
dependentes. 
⇐ ) Se u e v são vetores linearmente dependentes, então podemos escrever vu λ= , λ um escalar.