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Probabilidade Aula 2 28-agosto-2014 Probabilidade Condicional Considere o seguinte exemplo cujos dados foram retirados do Censo de 1991. Habitantes de Sergipe, na faixa eta´ria entre 20 a 24 anos com relac¸a˜o a`s varia´veis Sexo e Leitura Sexo Leˆ Na˜o Leˆ Total Masculino 39577 8672 48249 Feminino 46304 7297 53601 Total 85881 15969 101850 Vamos sortear um jovem da populac¸a˜o de Sergipe. Se soubermos que o jovem sorteado e´ do sexo masculino, qual e´ a probabilidade de que ele saiba ler? Temos a informac¸a˜o parcial: o jovem e´ do sexo masculino Notac¸a˜o: P(L|M) Probabilidade condicional de L dado M P(L|M) = P(L ∩M) P(M) = 39577 48249 = 0, 82 Probabilidade Total Se A e B sa˜o dois eventos de Ω, enta˜o P(A ∪ Ac) = 1, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc). Exemplo: Em uma urna, ha´ 10 bolas: 4 brancas e 6 verdes. Duas bolas sa˜o sorteadas sucessivamente, sem reposic¸a˜o. Qual e´ a probabilidade da 2a bola ser verde? A = 2a bola sorteada e´ verde B = 1a bola sorteada e´ verde P(A) = ??? P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc) = 610 × 59 + 410 × 69 = 5490 = 610 Independeˆncia Sejam A e B eventos de Ω e suponha que P(B) 6= 0. Se P(A|B) = P(A)→ A e B sa˜o Independentes. No exemplo anterior: P(A|B) = 6 10 × 5 9 6 10 = 59 6= P(A) Portanto, A e B na˜o sa˜o independentes. Regra do produto para eventos independentes Sejam A e B eventos independentes, enta˜o P(A ∩ B) = P(B)× P(A|B) = P(B)× P(A) Exemplo: Qual e´ a probabilidade de sortear duas bolas verdes no sorteio com reposic¸a˜o? P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 610 × 610 = 0, 36 Partic¸a˜o do espac¸o amostral Observe a figura a seguir. Os conjuntos C1, . . . ,C8 sa˜o disjuntos e sua unia˜o e´ o espac¸o amostral (∪Ci = Ω). Dizemos que esses conjuntos formam uma partic¸a˜o do espac¸o amostral. Por exemplo, para uma dada populac¸a˜o temos a partic¸a˜o ”fumantes” (C1) e ”Na˜o-fumantes” (C2). Voltando a` figura, considere B um evento de Ω. Note que B = (B ∩ C1) ∪ (B ∩ C2)(B ∩ C3) ∪ (B ∩ C4) ∪ (B ∩ C5) ∪ (B ∩ C6) ∪ (B ∩ C7) ∪ (B ∩ C8). Regra de Bayes Esta regra nos fornece uma relac¸a˜o importante que envolve probabilidade condicional e partic¸o˜es. Primeiramente observe que podemos escrever P(A|B) em func¸a˜o de P(B|A) : P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) = P(B|A)× P(A) P(B) Regra de Bayes Seja A um evento de Ω e Ci , i = 1 . . . , k uma partic¸a˜o de Ω. P(Ci |A) = P(Ci )P(A|Ci )k∑ j=1 P(Cj)P(A|Cj) para todo i = 1, . . . , k . Vamos deduzir isto no quadro. Note que o numerador e´ aplicac¸a˜o imediata da expressa˜o anterior e o denominados e´ a P(A) escrita como unia˜o disjunta dos subconjuntos de A contidos em cada uma das partes de Ω. Regra de Bayes - Exemplos Exemplo 1: Maria e Jose´ estudam probabilidade juntos. Maria resolve um problema com probabilidade 34 e Jose´ resolve com probabilidade 23 . Qual e´ a probabilidade do problema ser resolvido? Soluc¸a˜o: Denote por R o evento ”problema ser resolvido”; por M o evento ”Maria resolver o problema” e por J Jose´ resolver o problema. Assim, P(R) = P(M ∪ J) = P(M) + P(J)− P(M ∩ J) Supondo que Maria e Jose´ resolvam o problema independentemente P(R) = 3 4 + 2 3 − 3 4 × 2 3 = 11 12 Exemplo 2: A administrac¸a˜o de um fundo de investimentos em ac¸o˜es pretende divulgar, apo´s o encerramento do prega˜o, a probabilidade de queda do ı´ndice da bolsa no dia seguinte, baseando-se nas informac¸o˜es dispon´ıveis ate´ aquele momento. Suponha que a previsa˜o inicial seja de 0,10. Apo´s encerrado o prega˜o, nova informac¸a˜o sugere alta do do´lar frente ao real. A experieˆncia passada indica que, quando houve queda da bolsa no dia seguinte, 20% das vezes foram precedidas por esse tipo de not´ıcia, enquanto, nos dias em que a bolsa esteve em alta, apenas em 5% das vezes houve esse tipo de not´ıcia no dia anterior. Soluc¸a˜o: Denote por Q o evento queda da bolsa e por A alta do do´lar Temos do enunciado que P(Q) = 0, 10, P(A|Q) = 0, 20 e P(A|Qc) = 0, 05. Assim, P(Q|A) = P(Q ∩ A) P(A) = P(A|Q)P(Q) P(A ∩ Q) + P(A ∩ Qc) = P(A|Q)P(Q) P(A|Q)P(Q) + P(A|Qc)P(Qc) = 0, 200, 10 0, 200, 10 + 0, 050, 90 = 0, 31 Varia´vel Aleato´ria Em geral, quando realizamos um experimento aleato´rio, estamos interessados em alguma func¸a˜o do resultado e na˜o no resultado em si. Por exemplo, ao jogarmos 2 dados estamos interessados na soma dos dois dados e na˜o no resultado em si. Ao lanc¸armos 10 vezes uma moeda e estamos interessados no total de caras e na˜o na sequeˆncia de caras o coroas que ocorreu. Essas func¸o˜es reais definidas no espac¸o amostral sa˜o chamadas de Varia´veis Aleato´rias Exemplo 1: Nosso experimento consiste em jogar 3 moedas equilibradas, com C indicando cara e R coroa. Considere Y o nu´mero total de coroas. Ω Y P(Y = y) CCC 0 (1/2)3 CCR 1 (1/2)3 CRC 1 (1/2)3 RCC 1 (1/2)3 RRC 2 (1/2)3 RCR 2 (1/2)3 CRR 2 (1/2)3 RRR 3 (1/2)3 Dizemos que a varia´vel aleato´ria Y tem a distribuic¸a˜o de probabilidade dada abaixo. Y P(Y = y) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 Outros exemplos: 1. Conta-se o nu´mero de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O nu´mero de acidentes em questa˜o pode ser : 0, 1, 2. . . Como na˜o temos um valor que limite esse nu´mero supomos que o nu´mero de acidentes e´ qualquer nu´mero inteiro (natural). 2. Conta-se o nu´mero de bacte´rias na sec¸a˜o de uma laˆmina; este nu´mero pode ser tambe´m qualquer nu´mero inteiro. 3. Considera-se o nu´mero de chamadas telefoˆnicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo. Aqui tambe´m este nu´mero pode ser qualquer nu´mero inteiro. 4. Observa-se o nu´mero de glo´bulos vermelhos num exame de sangue; este nu´mero pode ser qualquer inteiro na˜o negativo. 5.Em uma pesquisa de mercado entrevista- se um grupo de 200 pessoas em relac¸a˜o a compra ou na˜o de um produto A; o nu´mero de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200. 6.Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado pode ser um nu´mero real. Aqui tambe´m sabemos que esse nu´mero na˜o passa de 2 metros, mas e´ conveniente considerar qualquer nu´mero real (positivo). 7.Em um exame f´ısico para selecionar um jogador de futebol e´ medido o peso de cada candidato; aqui tambe´m consideramos que o resultado pode ser qualquer nu´mero real. 8. Em campanhas preventivas de hipertensa˜o arterial e´ comum de tempos em tempos medir- se o n´ıvel de colesterol.O valor de cada medida pode ser um nu´mero real na˜o negativo. 9. Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude e´ medir-se a temperatura; o valor da temperatura e´ um nu´mero real que se pode considerar compreendido entre 35o e 42oC. 10. O tempo de durac¸a˜o da laˆmpada e´ um nu´mero real na˜o negativo. Nota-se que nos primeiros 5 exemplos, o nu´mero que foi observado ao realizar-se o experimento aleato´rio e´ um nu´mero inteiro, pertencente a um conjunto finito ou infinito de possibilidades, e resultante de um processo de contagem. Nos exemplos de 6 a 10 o nu´mero observado no experimento aleato´rio e´ um nu´mero real e resulta, em geral, de uma medic¸a˜o. As varia´veis aleato´rias dos 5 primeiros exemplos, que resultam de uma contagem sa˜o denominadas discretas. Aquelas que encontramos nos exemplos de 6 a 10, que resultam de uma medic¸a˜o (numa escala cont´ınua) sa˜o ditas cont´ınuas. A distribuic¸a˜o de probabilidades de uma varia´vel aleato´ria DISCRETA e´ uma tabela que associa a cada valor da varia´vel sua probabilidade. Y P(Y = y) y1 p1 y2 p2 ... ... yk pk Com 0 ≤ pi ≤ 1 e k∑ i=1 pi = 1. Exemplo 1: Sabe-se que 3% dos empregados de uma cidade trabalham para o governo. Selecionamos ao acaso 3 empregados. Defina X a varia´vel que indica o nu´mero de empregados pelo governo.Fornec¸a a distribuic¸a˜o de probabilidade de X . X P(X = x) 0 (0, 97)3 1 3(0, 97)2 × 0, 03 2 3(0, 97)1 × (0, 03)2 3 (0, 03)3 Exemplo 2: Em um certo estado, as placas de licenc¸a constam de 4 algarismos. Considere a varia´vel aleato´ria X que representa o nu´mero de algarismos 7 em uma placa. Apresente a distribuic¸a˜o de probabilidades de X . Soluc¸a˜o: Vamos fazer juntos!!!! Esperanc¸a Matema´tica Em Estat´ıstica Descritiva vimos o quanto a me´dia e´ importante para resumir os dados. E´ importante salientar a diferenc¸a entre um modelo probabil´ıstico e a frequeˆncia relativa observada em uma amostra. Para uma varia´vel aleato´ria X assumindo valores x1, . . . , xk com probabilidades p1, . . . , pk , respectivamente; definimos a Esperanc¸a Matema´tica como E (X ) = x1p1 + · · ·+ xkpk = k∑ i=1 xipi . Exemplo 1: O nu´mero de automo´veis vendidos diariamente (X )por uma loja distribui-se segundo a tabela abaixo. Nu´mero de P(X = x) Vendas Dia´rias X 0 0, 20 1 0, 30 2 0, 30 3 0, 15 4 0, 05 E (X ) = 0×0, 20+1×0, 30+2×0, 30+3×0, 15+4×0, 05 = 1, 55. Exemplo 2:Um dado e´ lanc¸ado treˆs vezes. Qual e´ a esperanc¸a do nu´mero de vezes que resultou em face 6? Soluc¸a˜o: Seja X o nu´mero de vezes que o lanc¸amento resultou em face ¨6¨. Temos que X ∈ {0, 1, 2, 3}. A distribuic¸a˜o de probabilidades de X e´ X P(X = x) 0 (5/6)3 = 0, 58 1 3(5/6)2(1/6) = 0, 35 2 3(5/6)(1/6)2 = 0, 07 3 (1/6)3 = 0, 005 Assim, E (X ) = 1× 0, 35 + 2× 0, 07 + 3× 0, 005 = 0, 505 Probabilidade Condicional e Independ[Please insert \PrerenderUnicode{ê} into preamble]ncia
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