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Aula 4 Probabilidade

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Probabilidade
Aula 2
28-agosto-2014
Probabilidade Condicional
Considere o seguinte exemplo cujos dados foram retirados do
Censo de 1991.
Habitantes de Sergipe, na faixa eta´ria entre 20 a 24 anos com
relac¸a˜o a`s varia´veis Sexo e Leitura
Sexo Leˆ Na˜o Leˆ Total
Masculino 39577 8672 48249
Feminino 46304 7297 53601
Total 85881 15969 101850
Vamos sortear um jovem da populac¸a˜o de Sergipe. Se soubermos
que o jovem sorteado e´ do sexo masculino, qual e´ a probabilidade
de que ele saiba ler?
Temos a informac¸a˜o parcial: o jovem e´ do sexo masculino
Notac¸a˜o: P(L|M)
Probabilidade condicional de L dado M
P(L|M) = P(L ∩M)
P(M)
=
39577
48249
= 0, 82
Probabilidade Total
Se A e B sa˜o dois eventos de Ω, enta˜o
P(A ∪ Ac) = 1,
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc).
Exemplo: Em uma urna, ha´ 10 bolas: 4 brancas e 6 verdes. Duas
bolas sa˜o sorteadas sucessivamente, sem reposic¸a˜o. Qual e´ a
probabilidade da 2a bola ser verde?
A = 2a bola sorteada e´ verde
B = 1a bola sorteada e´ verde P(A) = ???
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)
= 610 × 59 + 410 × 69 = 5490 = 610
Independeˆncia
Sejam A e B eventos de Ω e suponha que P(B) 6= 0. Se
P(A|B) = P(A)→ A e B sa˜o Independentes.
No exemplo anterior:
P(A|B) =
6
10
× 5
9
6
10
= 59 6= P(A)
Portanto, A e B na˜o sa˜o independentes.
Regra do produto para eventos independentes
Sejam A e B eventos independentes, enta˜o
P(A ∩ B) = P(B)× P(A|B) = P(B)× P(A)
Exemplo: Qual e´ a probabilidade de sortear duas bolas verdes no
sorteio com reposic¸a˜o?
P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 610 × 610 = 0, 36
Partic¸a˜o do espac¸o amostral
Observe a figura a seguir.
Os conjuntos C1, . . . ,C8 sa˜o disjuntos e sua unia˜o e´ o espac¸o
amostral (∪Ci = Ω). Dizemos que esses conjuntos formam uma
partic¸a˜o do espac¸o amostral.
Por exemplo, para uma dada populac¸a˜o temos a partic¸a˜o
”fumantes” (C1) e ”Na˜o-fumantes” (C2).
Voltando a` figura, considere B um evento de Ω.
Note que
B = (B ∩ C1) ∪ (B ∩ C2)(B ∩ C3) ∪ (B ∩ C4) ∪ (B ∩ C5) ∪
(B ∩ C6) ∪ (B ∩ C7) ∪ (B ∩ C8).
Regra de Bayes
Esta regra nos fornece uma relac¸a˜o importante que envolve
probabilidade condicional e partic¸o˜es.
Primeiramente observe que podemos escrever P(A|B) em func¸a˜o
de P(B|A) :
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
=
P(B|A)× P(A)
P(B)
Regra de Bayes
Seja A um evento de Ω e Ci , i = 1 . . . , k uma partic¸a˜o de Ω.
P(Ci |A) = P(Ci )P(A|Ci )k∑
j=1
P(Cj)P(A|Cj)
para todo i = 1, . . . , k .
Vamos deduzir isto no quadro. Note que o numerador e´ aplicac¸a˜o
imediata da expressa˜o anterior e o denominados e´ a P(A) escrita
como unia˜o disjunta dos subconjuntos de A contidos em cada uma
das partes de Ω.
Regra de Bayes - Exemplos
Exemplo 1: Maria e Jose´ estudam probabilidade juntos. Maria
resolve um problema com probabilidade 34 e Jose´ resolve com
probabilidade 23 . Qual e´ a probabilidade do problema ser resolvido?
Soluc¸a˜o: Denote por R o evento ”problema ser resolvido”; por M
o evento ”Maria resolver o problema” e por J Jose´ resolver o
problema. Assim,
P(R) = P(M ∪ J) = P(M) + P(J)− P(M ∩ J)
Supondo que Maria e Jose´ resolvam o problema
independentemente
P(R) =
3
4
+
2
3
− 3
4
× 2
3
=
11
12
Exemplo 2: A administrac¸a˜o de um fundo de investimentos em
ac¸o˜es pretende divulgar, apo´s o encerramento do prega˜o, a
probabilidade de queda do ı´ndice da bolsa no dia seguinte,
baseando-se nas informac¸o˜es dispon´ıveis ate´ aquele momento.
Suponha que a previsa˜o inicial seja de 0,10. Apo´s encerrado o
prega˜o, nova informac¸a˜o sugere alta do do´lar frente ao real. A
experieˆncia passada indica que, quando houve queda da bolsa no
dia seguinte, 20% das vezes foram precedidas por esse tipo de
not´ıcia, enquanto, nos dias em que a bolsa esteve em alta, apenas
em 5% das vezes houve esse tipo de not´ıcia no dia anterior.
Soluc¸a˜o: Denote por Q o evento queda da bolsa e por A alta do
do´lar Temos do enunciado que P(Q) = 0, 10, P(A|Q) = 0, 20 e
P(A|Qc) = 0, 05.
Assim,
P(Q|A) = P(Q ∩ A)
P(A)
=
P(A|Q)P(Q)
P(A ∩ Q) + P(A ∩ Qc)
=
P(A|Q)P(Q)
P(A|Q)P(Q) + P(A|Qc)P(Qc)
=
0, 200, 10
0, 200, 10 + 0, 050, 90
= 0, 31
Varia´vel Aleato´ria
Em geral, quando realizamos um experimento aleato´rio, estamos
interessados em alguma func¸a˜o do resultado e na˜o no resultado em
si. Por exemplo, ao jogarmos 2 dados estamos interessados na
soma dos dois dados e na˜o no resultado em si. Ao lanc¸armos 10
vezes uma moeda e estamos interessados no total de caras e na˜o
na sequeˆncia de caras o coroas que ocorreu.
Essas func¸o˜es reais definidas no espac¸o amostral sa˜o chamadas de
Varia´veis Aleato´rias
Exemplo 1:
Nosso experimento consiste em jogar 3 moedas equilibradas, com
C indicando cara e R coroa. Considere Y o nu´mero total de
coroas.
Ω Y P(Y = y)
CCC 0 (1/2)3
CCR 1 (1/2)3
CRC 1 (1/2)3
RCC 1 (1/2)3
RRC 2 (1/2)3
RCR 2 (1/2)3
CRR 2 (1/2)3
RRR 3 (1/2)3
Dizemos que a varia´vel aleato´ria Y tem a distribuic¸a˜o de
probabilidade dada abaixo.
Y P(Y = y)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Outros exemplos:
1. Conta-se o nu´mero de acidentes que ocorrem em uma rodovia
num feriado prolongado. O nu´mero de acidentes em questa˜o pode
ser : 0, 1, 2. . . Como na˜o temos um valor que limite esse nu´mero
supomos que o nu´mero de acidentes e´ qualquer nu´mero inteiro
(natural).
2. Conta-se o nu´mero de bacte´rias na sec¸a˜o de uma laˆmina; este
nu´mero pode ser tambe´m qualquer nu´mero inteiro.
3. Considera-se o nu´mero de chamadas telefoˆnicas que chegam a
uma central em um intervalo de tempo. Aqui tambe´m este nu´mero
pode ser qualquer nu´mero inteiro.
4. Observa-se o nu´mero de glo´bulos vermelhos num exame de
sangue; este nu´mero pode ser qualquer inteiro na˜o negativo.
5.Em uma pesquisa de mercado entrevista- se um grupo de 200
pessoas em relac¸a˜o a compra ou na˜o de um produto A; o nu´mero
de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.
6.Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor
encontrado pode ser um nu´mero real. Aqui tambe´m sabemos que
esse nu´mero na˜o passa de 2 metros, mas e´ conveniente considerar
qualquer nu´mero real (positivo).
7.Em um exame f´ısico para selecionar um jogador de futebol e´
medido o peso de cada candidato; aqui tambe´m consideramos que
o resultado pode ser qualquer nu´mero real.
8. Em campanhas preventivas de hipertensa˜o arterial e´ comum de
tempos em tempos medir- se o n´ıvel de colesterol.O valor de cada
medida pode ser um nu´mero real na˜o negativo.
9. Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira
atitude e´ medir-se a temperatura; o valor da temperatura e´ um
nu´mero real que se pode considerar compreendido entre 35o e
42oC.
10. O tempo de durac¸a˜o da laˆmpada e´ um nu´mero real na˜o
negativo.
Nota-se que nos primeiros 5 exemplos, o nu´mero que foi observado
ao realizar-se o experimento aleato´rio e´ um nu´mero inteiro,
pertencente a um conjunto finito ou infinito de possibilidades, e
resultante de um processo de contagem.
Nos exemplos de 6 a 10 o nu´mero observado no experimento
aleato´rio e´ um nu´mero real e resulta, em geral, de uma medic¸a˜o.
As varia´veis aleato´rias dos 5 primeiros exemplos, que resultam de
uma contagem sa˜o denominadas discretas.
Aquelas que encontramos nos exemplos de 6 a 10, que resultam de
uma medic¸a˜o (numa escala cont´ınua) sa˜o ditas cont´ınuas.
A distribuic¸a˜o de probabilidades de uma varia´vel aleato´ria
DISCRETA e´ uma tabela que associa a cada valor da varia´vel sua
probabilidade.
Y P(Y = y)
y1 p1
y2 p2
...
...
yk pk
Com 0 ≤ pi ≤ 1 e
k∑
i=1
pi = 1.
Exemplo 1: Sabe-se que 3% dos empregados de uma cidade
trabalham para o governo. Selecionamos ao acaso 3 empregados.
Defina X a varia´vel que indica o nu´mero de empregados pelo
governo.Fornec¸a a distribuic¸a˜o de probabilidade de X .
X P(X = x)
0 (0, 97)3
1 3(0, 97)2 × 0, 03
2 3(0, 97)1 × (0, 03)2
3 (0, 03)3
Exemplo 2: Em um certo estado, as placas de licenc¸a constam de
4 algarismos. Considere a varia´vel aleato´ria X que representa o
nu´mero de algarismos 7 em uma placa. Apresente a distribuic¸a˜o de
probabilidades de X .
Soluc¸a˜o: Vamos fazer juntos!!!!
Esperanc¸a Matema´tica
Em Estat´ıstica Descritiva vimos o quanto a me´dia e´ importante
para resumir os dados. E´ importante salientar a diferenc¸a entre um
modelo probabil´ıstico e a frequeˆncia relativa observada em uma
amostra.
Para uma varia´vel aleato´ria X assumindo valores x1, . . . , xk com
probabilidades p1, . . . , pk , respectivamente; definimos a Esperanc¸a
Matema´tica como
E (X ) = x1p1 + · · ·+ xkpk =
k∑
i=1
xipi .
Exemplo 1: O nu´mero de automo´veis vendidos diariamente (X )por
uma loja distribui-se segundo a tabela abaixo.
Nu´mero de P(X = x)
Vendas Dia´rias X
0 0, 20
1 0, 30
2 0, 30
3 0, 15
4 0, 05
E (X ) = 0×0, 20+1×0, 30+2×0, 30+3×0, 15+4×0, 05 = 1, 55.
Exemplo 2:Um dado e´ lanc¸ado treˆs vezes. Qual e´ a esperanc¸a do
nu´mero de vezes que resultou em face 6?
Soluc¸a˜o: Seja X o nu´mero de vezes que o lanc¸amento resultou em
face ¨6¨. Temos que X ∈ {0, 1, 2, 3}.
A distribuic¸a˜o de probabilidades de X e´
X P(X = x)
0 (5/6)3 = 0, 58
1 3(5/6)2(1/6) = 0, 35
2 3(5/6)(1/6)2 = 0, 07
3 (1/6)3 = 0, 005
Assim,
E (X ) = 1× 0, 35 + 2× 0, 07 + 3× 0, 005 = 0, 505
	 Probabilidade Condicional e Independ[Please insert \PrerenderUnicode{ê} into preamble]ncia

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