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1 VARIÂNCIA e DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 2 x x1 x2 ... xn P(X=x) P(X=x1) P(X=x2) ... P(X=xn) xXP xX P n i ii 1 11)(0 )( e As seguintes condições devem ser satisfeitas: Vamos lembrar que a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta X é dada pela tabela que relaciona a cada valor xi de X sua probabilidade de ocorrência: VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 3 Exemplo da aula passada: X = qde. de carros vendidos em dado dia por uma loja x 0 1 2 3 4 P(X=x) 0.20 0.30 0.30 0.15 0.05 Distribuição de probabilidade de X: Esperança de X: 55.105.0415.0330.0230.0120.00 )()( 1 i n i i xXP xXE Notação: )(XE 4 Variância: É o valor esperado da v.a. (X – μ)2, ou seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn, então Da relação acima, segue que .)Var()DP( XX Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é, Notação: Var(X). σ2 Notação: DP(X). σ )( ] - [ )Var( 1 2 i n i i xXPxX .– )( )Var( 22XEX 5 No exemplo, Alternativamente, poderíamos calcular e, portanto, Var(X) = 3.65 –1.55 2 = 1.2475. x 0 1 2 3 4 P(X=x) 0.20 0.30 0.30 0.15 0.05 2475.1 05.0)1.55-4(15.0)1.55-3( 30.0)1.55-2(30.0)1.55-1(20.0)1.55-(0 )())( 22 222 1 2 i n i i xXP (xXVar 65.380.035.120.130.0 05.0415.0330.0230.0120.00 )()( 22222 1 22 i n i i xXP xXE 6 2) Se Y = aX + b, em que a e b são constantes, então E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b e Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X). Propriedades da esperança e variância: 1) Se P(X = a) = 1, então E(X) = a e Var(X) = 0. 7 Exemplos: • uma peça é classificada como boa ou defeituosa; • o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo; • um paciente submetido a um tratamento, durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença; • um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; • no lançamento de um dado ocorre ou não a face “5”. Modelo de Bernoulli ou Binário - MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS - Existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados. 8 Variável aleatória de Bernoulli: É uma v.a. que assume apenas dois valores: • 1 se ocorrer sucesso, • 0 se ocorrer fracasso. Geralmente, a probabilidade de sucesso é representada por p, 0 < p < 1. Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, genericamente, por respostas do tipo sucesso-fracasso. Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli. 9 1, se ocorrer “sucesso” X = 0, se ocorrer “fracasso” e sua distribuição de probabilidade pode ser representada pela tabela Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”, dão origem ao modelo binomial. Segue que E(X) = p, Var(X) = p(1 – p). X 1 0 P(X=x) p 1 - p “X ~ Bernoulli (p)” indica uma v.a. com distribuição de Bernoulli com parâmetro p, isto é, 10 Exemplo: Um dado equilibrado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade de se obter a face 5 duas vezes? Denotamos, S: “sucesso”, ocorrer face 5; F: “fracasso”, não ocorrer face 5. É fácil ver que: p = P(sucesso) = 1/6 e q = 1 – p = P(fracasso) = 5/6 = {SSS, SSF, SFS, FSS, SFF, FSF, FFS, FFF} Modelo Binomial 11 Estamos interessados no número total de sucessos que, no caso, é o número de vezes que a face 5 é observada nos 3 lançamentos do dado. p q F S p p p p p p q q q q q q F S F S F S S F S F S F (SSS) p3 3 (SSF) p2q 2 (SFS) p2q 2 (SFF) pq2 1 (FSS) p2q 2 (FSF) pq2 1 (FFS) pq2 1 (FFF) q3 0 Prob X 12 A distribuição de probabilidade de X é dada por: 0,0694. 2) (X P exemplo, para n = 3 e p = 1/6, No 3. 2, 1, 0, k , k - 3 q k p k 3 k) P(X como função essa escrever Podemos no. de sucessos probabilidades p = 1/6 0 q3 125/216=0,5787 1 3pq2 75/216=0,3472 2 3p2q 15/216=0,0694 3 p3 1/216=0,0046 13 Sua distribuição de probabilidade é dada por Notação: X ~ b(n; p). n. , ... 1, 0, k , k - n p) - (1 k p k n k) P (X Distribuição binomial: Seja X a v.a. que dá o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes e com mesma probabilidade p de sucesso. Esta v.a. é dita ter distribuição binomial com parâmetros n e p. 14 Resultado: valor esperado: = E(X) = n p variância: 2 = Var(X) = n p (1-p) Se X ~ b(n; p), então 15 Exemplo utilizando o R: Considere uma prova com 12 questões, cada uma com 4 alternativas. Suponha que o aluno escolha a resposta ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele acerte pelo menos 6 questões? X: nº. de questões que o aluno acertará X є {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12} Uso do R para os cálculos! xx x xXP 12 25,0125,0 12 X ~ b(12; 0,25) 16 x Pr(x) 0 3.167635e-02 1 1.267054e-01 2 2.322932e-01 3 2.581036e-01 4 1.935777e-01 5 1.032414e-01 6 4.014945e-02 7 1.147127e-02 8 2.389848e-03 9 3.540516e-04 10 3.540516e-05 11 2.145767e-06 12 5.960464e-08 Portanto, P(X ≥ 6) = 0,0544. Temos E(X) = n p = 12 0,25 = 3, ou seja, em média, o aluno que responder ao acaso todas as questões acertará 3 questões. 17 Modelo Geométrico Seja A um evento de um experimento aleatório, e vamos repetir o experimento de forma independente até que o evento A ocorra. Seja X o número de realizações do experimento até a ocorrência de A. Exemplo. Imagine o seguinte jogo: uma moeda honesta é lançada repetidamente até sair cara pela primeira vez. Um apostador recebe R$ 1 se o número de lançamentos for par e paga R$ se aquele número for ímpar. Trata-se de um jogo vantajoso para o apostador? 18 No contexto geral, seja p a probabilidade de ocorrência de A. p = P(A) Então, para k = 1, 2, 3, ... Seja Ai o evento em que A ocorre na i-ésima realização do experimento. Então os eventos A1 , A2 , ... são independentes e P(Ai) = P(A) = p para i = 1, 2, ... pppppp APAPAPAPAAAAPkXP k k c k cc k c k cc 1 121121 )1()1)...(1)(1( )()()...()()...()( Dizemos que X tem distribuição geométrica com parâmetro p. Notação: X ~ G(p). 19 De volta ao exemplo, seja X o número de lançamentos da moeda até sair cara. Então, Prob(ganhar o jogo)=P(X=um número par)= 3 1 4/3 4/1 4/11 4/1 4 1 2 1 2 1 2 1 )2( 1 2 1 12 11 i i i i i ii iXP De volta ao caso geral, podemos verificar que, se X~G(p), então E(X)=1/p; Var(X)=(1-p)/p2 20 Modelo de Poisson Vamos voltar ao modelo binomial (X=número de sucessos em n realizações independentes de um ensaio de Bernoulli quem que a proibabilidade de sucesso vale p em cada realização;X~b(n,p)). Vamos supor que p seja um número bastante pequeno (indicando que a ocorrência de sucesso é uma raridade), mas n seja bastante grande, de tal forma que np não seja nem muito grande nem muito pequeno. Neste caso, podemos mostrar que para k=0,1,2,... , ! )1()( k epp k n kXP k knk onde μ = np, e o símbolo significa “aproximadamente igual”; a aproximação é tanto melhor quanto maior for n (de forma que μ não oscile). 21 Exemplo. Os clientes de uma companhia de seguros sofrem sinistros a uma taxa de 2 sinistros por 1000 segurados por ano. Num grupo de 1500 segurados, qual a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 sinistro em dado ano? E no máximo 2 sinistros? Seja X o número de sinistros no grupo e ano em questão. Sob as suposições adequadas de independência, podemos dizer que X~b(1500;0.002), e logo 050.0 !0 3 )0(1)1( 3 0 3 eeXPXP 423.0)5.431( !2 3 !1 3 !0 3 )2()1()0()2( 3 2 3 1 3 0 3 eeee XPXPXPXP 22 ,...2,1,0, ! )( k k ekXP k !k ek kA relação , k=0, 1, 2, ..., estabelece uma distribuição de probabilidades. Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro μ > 0 se Notação: X ~ Po(μ). Podemos mostrar que se X ~ Po(μ), então E(X) = μ = Var(X) 23 Como vimos atrás, se X ~ b(n,p) e p for bastante pequeno e n for bastante grande de tal forma que μ = np não seja nem muito grande nem muito pequeno, então ,...,2,1,0),()( kkYPkXP onde Y ~ Po(μ). A distribuição de Poisson é muito usada para modelar a contagem de ocorrência de eventos ao longo do tempo e/ou do espaço. Exemplos: número de chamadas que chegam num terminal telefônico por hora, número de acidentes em trecho de uma rodovia por mês, número de incêndios numa floresta em dada estação. 24 Exemplo. Suponha que o números de hits por dia ao blog de certo comentarista econômico siga uma distribuição de Poisson com média 4.5. Qual a probabilidade de que em dado dia • não haja nenhum hit ao blog? • haja ao menos 3 hits? Seja X o número de hits ao blog. Então X ~ Po(4.5). Queremos achar P(X = 0) e P(X ≥ 3). Da fórmula para a distribuição de Poisson: %1.1011.0 !0 5.4 )0( 5.4 0 5.4 eeXP %8.65658.0342.018125.301 6 5.4 2 5.4 5.411 !3 5.4 !2 5.4 !1 5.4 !0 5.4 1)2(1)3( 5.4 32 5.4 3 5.4 2 5.4 1 5.4 0 5.4 ee eeeeXPXP
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