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Aula 5 Variancia e Distribuicoes Discretas

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1 
VARIÂNCIA 
 e 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
2 
x x1 x2 ... xn 
P(X=x) P(X=x1) P(X=x2) ... P(X=xn) 
 xXP xX P 
n
i
ii
1
11)(0 )( e 
As seguintes condições devem ser satisfeitas: 
Vamos lembrar que a distribuição de probabilidades de 
uma variável aleatória discreta X é dada pela tabela que 
relaciona a cada valor xi de X sua probabilidade de 
ocorrência: 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
3 
Exemplo da aula passada: 
 
X = qde. de carros vendidos em dado dia por uma loja 
x 0 1 2 3 4 
P(X=x) 0.20 0.30 0.30 0.15 0.05 
Distribuição de probabilidade de X: 
Esperança de X: 
55.105.0415.0330.0230.0120.00 )()(
1
i
n
i
i xXP xXE
Notação: 
)(XE 
4 
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – μ)2, ou seja, se 
X assume os valores x1, x2, ..., xn, então 
Da relação acima, segue que 
 .)Var()DP( XX
Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada 
positiva da variância, isto é, 
Notação: Var(X). σ2 
Notação: DP(X). σ 
)( ] - [ )Var(
1
2
i
n
i
i xXPxX
.– )( )Var( 22XEX
5 
No exemplo, 
Alternativamente, poderíamos calcular 
e, portanto, Var(X) = 3.65 –1.55
2
 = 1.2475. 
x 0 1 2 3 4 
P(X=x) 0.20 0.30 0.30 0.15 0.05 
2475.1
05.0)1.55-4(15.0)1.55-3(
30.0)1.55-2(30.0)1.55-1(20.0)1.55-(0 
)())(
22
222
1
2
i
n
i
i xXP (xXVar
65.380.035.120.130.0
05.0415.0330.0230.0120.00 
)()(
22222
1
22
i
n
i
i xXP xXE
6 
2) Se Y = aX + b, em que a e b são constantes, então 
 
 
 E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b 
 e 
 Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X). 
Propriedades da esperança e variância: 
1) Se P(X = a) = 1, então 
 
 
 E(X) = a e Var(X) = 0. 
7 
Exemplos: 
• uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 
• o resultado de um exame médico para detecção de uma 
doença é positivo ou negativo; 
• um paciente submetido a um tratamento, durante um 
período de tempo fixo, cura-se ou não da doença; 
• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 
• no lançamento de um dado ocorre ou não a face “5”. 
 Modelo de Bernoulli ou Binário 
- MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS - 
 
Existem muitos experimentos que admitem apenas dois 
resultados. 
8 
Variável aleatória de Bernoulli: É uma v.a. que assume 
apenas dois valores: 
• 1 se ocorrer sucesso, 
• 0 se ocorrer fracasso. 
 
Geralmente, a probabilidade de sucesso é representada 
por p, 0 < p < 1. 
Situações com alternativas dicotômicas podem ser 
representadas, genericamente, por respostas do tipo 
sucesso-fracasso. 
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de 
Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de 
Bernoulli. 
9 
 1, se ocorrer “sucesso” 
 X = 
 0, se ocorrer “fracasso” 
e sua distribuição de probabilidade pode ser representada 
pela tabela 
 Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, 
com a mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”, 
dão origem ao modelo binomial. 
Segue que E(X) = p, 
 Var(X) = p(1 – p). 
X 1 0 
P(X=x) p 1 - p 
“X ~ Bernoulli (p)” indica uma v.a. com distribuição de 
Bernoulli com parâmetro p, isto é, 
10 
Exemplo: Um dado equilibrado é lançado 3 vezes. 
Qual é a probabilidade de se obter a face 5 duas vezes? 
Denotamos, 
 
S: “sucesso”, ocorrer face 5; 
F: “fracasso”, não ocorrer face 5. 
 
É fácil ver que: p = P(sucesso) = 1/6 e 
 q = 1 – p = P(fracasso) = 5/6 
 = {SSS, SSF, SFS, FSS, SFF, FSF, FFS, FFF} 
Modelo Binomial 
11 
Estamos interessados no número total de sucessos que, 
no caso, é o número de vezes que a face 5 é observada 
nos 3 lançamentos do dado. 
p 
q 
F 
S 
p 
p 
p 
p 
p 
p q 
q 
q 
q 
q 
q 
F 
S 
F 
S 
F 
S 
S 
F 
S 
F 
S 
F 
 (SSS) p3 3 
 (SSF) p2q 2 
 (SFS) p2q 2 
 (SFF) pq2 1 
 (FSS) p2q 2 
 (FSF) pq2 1 
 (FFS) pq2 1 
 (FFF) q3 0 
 Prob X 
 
12 
A distribuição de probabilidade de X é dada por: 
 0,0694. 2) (X P exemplo, para n = 3 e p = 1/6, No 
 3. 2, 1, 0, k , k - 3 q k p 
k 
3 
 k) P(X 
como função essa escrever Podemos 
 
 
 
 
 
 
 
no. de sucessos probabilidades p = 1/6 
0 q3 125/216=0,5787 
1 3pq2 75/216=0,3472 
2 3p2q 15/216=0,0694 
3 p3 1/216=0,0046 
 
13 
Sua distribuição de probabilidade é dada por 
Notação: X ~ b(n; p). 
n. , ... 1, 0, k , k - n p) - (1 k p 
k 
n 
 k) P (X 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição binomial: 
 
Seja X a v.a. que dá o número de sucessos em n 
ensaios de Bernoulli independentes e com mesma 
probabilidade p de sucesso. Esta v.a. é dita ter 
distribuição binomial com parâmetros n e p. 
14 
Resultado: 
 valor esperado: = E(X) = n p 
variância: 2 = Var(X) = n p (1-p) 
Se X ~ b(n; p), então 
 
15 
Exemplo utilizando o R: 
 
Considere uma prova com 12 questões, cada uma com 
4 alternativas. Suponha que o aluno escolha a resposta 
ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele acerte 
pelo menos 6 questões? 
X: nº. de questões que o aluno acertará 
 X є {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12} 
 
Uso do R para os cálculos! 
xx
x
xXP
12
25,0125,0
12
X ~ b(12; 0,25) 
16 
x Pr(x) 
0 3.167635e-02 
1 1.267054e-01 
2 2.322932e-01 
3 2.581036e-01 
4 1.935777e-01 
5 1.032414e-01 
6 4.014945e-02 
7 1.147127e-02 
8 2.389848e-03 
9 3.540516e-04 
10 3.540516e-05 
11 2.145767e-06 
12 5.960464e-08 
Portanto, 
 
P(X ≥ 6) = 0,0544. 
Temos 
 
E(X) = n p = 12 0,25 = 3, 
ou seja, em média, o aluno 
que responder ao acaso 
todas as questões acertará 
3 questões. 
17 
Modelo Geométrico 
Seja A um evento de um experimento aleatório, e vamos repetir o 
experimento de forma independente até que o evento A ocorra. 
Seja X o número de realizações do experimento até a ocorrência 
de A. 
Exemplo. Imagine o seguinte jogo: uma moeda honesta é lançada 
repetidamente até sair cara pela primeira vez. Um apostador 
recebe R$ 1 se o número de lançamentos for par e paga R$ se 
aquele número for ímpar. Trata-se de um jogo vantajoso para o 
apostador? 
18 
No contexto geral, seja p a probabilidade de ocorrência de A. 
p = P(A) 
Então, para k = 1, 2, 3, ... 
Seja Ai o evento em que A ocorre na i-ésima realização do 
experimento. Então os eventos A1 , A2 , ... são independentes e 
P(Ai) = P(A) = p para i = 1, 2, ... 
pppppp
APAPAPAPAAAAPkXP
k
k
c
k
cc
k
c
k
cc
1
121121
)1()1)...(1)(1(
)()()...()()...()(
Dizemos que X tem distribuição geométrica com parâmetro p. 
Notação: X ~ G(p). 
19 
De volta ao exemplo, seja X o número de lançamentos da moeda 
até sair cara. Então, 
Prob(ganhar o jogo)=P(X=um número par)= 
3
1
4/3
4/1
4/11
4/1
4
1
2
1
2
1
2
1
)2(
1
2
1
12
11
i
i
i
i
i
ii
iXP
De volta ao caso geral, podemos verificar que, se X~G(p), então 
E(X)=1/p; Var(X)=(1-p)/p2 
20 
Modelo de Poisson 
Vamos voltar ao modelo binomial (X=número de sucessos em n 
realizações independentes de um ensaio de Bernoulli quem que a 
proibabilidade de sucesso vale p em cada realização;X~b(n,p)). 
Vamos supor que p seja um número bastante pequeno (indicando 
que a ocorrência de sucesso é uma raridade), mas n seja bastante 
grande, de tal forma que np não seja nem muito grande nem muito 
pequeno. 
Neste caso, podemos mostrar que para k=0,1,2,... 
,
!
)1()(
k
epp
k
n
kXP
k
knk
onde μ = np, e o símbolo significa “aproximadamente igual”; a 
aproximação é tanto melhor quanto maior for n (de forma que μ 
não oscile). 
21 
Exemplo. Os clientes de uma companhia de seguros sofrem 
sinistros a uma taxa de 2 sinistros por 1000 segurados por ano. 
Num grupo de 1500 segurados, qual a probabilidade de ocorrer 
pelo menos 1 sinistro em dado ano? E no máximo 2 sinistros? 
 Seja X o número de sinistros no grupo e ano em questão. Sob as 
suposições adequadas de independência, podemos dizer que 
X~b(1500;0.002), e logo 
050.0
!0
3
)0(1)1( 3
0
3 eeXPXP
423.0)5.431(
!2
3
!1
3
!0
3
)2()1()0()2(
3
2
3
1
3
0
3 eeee
XPXPXPXP
22 
,...2,1,0,
!
)( k
k
ekXP
k
!k
ek
kA relação , k=0, 1, 2, ..., estabelece uma distribuição 
 
de probabilidades. Dizemos que uma variável aleatória X tem 
distribuição de Poisson com parâmetro μ > 0 se 
Notação: X ~ Po(μ). 
Podemos mostrar que se X ~ Po(μ), então 
E(X) = μ = Var(X) 
23 
Como vimos atrás, se X ~ b(n,p) e p for bastante pequeno e n for 
bastante grande de tal forma que μ = np não seja nem muito 
grande nem muito pequeno, então 
,...,2,1,0),()( kkYPkXP
onde Y ~ Po(μ). 
A distribuição de Poisson é muito usada para modelar a contagem 
de ocorrência de eventos ao longo do tempo e/ou do espaço. 
Exemplos: número de chamadas que chegam num terminal 
telefônico por hora, número de acidentes em trecho de uma 
rodovia por mês, número de incêndios numa floresta em dada 
estação. 
24 
Exemplo. Suponha que o números de hits por dia ao blog de certo 
comentarista econômico siga uma distribuição de Poisson com 
média 4.5. Qual a probabilidade de que em dado dia 
• não haja nenhum hit ao blog? 
• haja ao menos 3 hits? 
Seja X o número de hits ao blog. Então X ~ Po(4.5). 
Queremos achar P(X = 0) e P(X ≥ 3). Da fórmula para a distribuição 
de Poisson: 
%1.1011.0
!0
5.4
)0( 5.4
0
5.4 eeXP
%8.65658.0342.018125.301
6
5.4
2
5.4
5.411
!3
5.4
!2
5.4
!1
5.4
!0
5.4
1)2(1)3(
5.4
32
5.4
3
5.4
2
5.4
1
5.4
0
5.4
ee
eeeeXPXP

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