Aula 10 Testes de Hipoteses II

Prévia do material em texto

NOÇÕES DE TESTES DE NOÇÕES DE TESTES DE 
HIPÓTESES IIHIPÓTESES II
PROPORÇÃO, PROPORÇÃO, PROPORÇÃO, PROPORÇÃO, 
ERROSERROS, REGIÃO , REGIÃO CRÍTICACRÍTICA
Em nossa aula anterior, apresentamos a noção de
testes de hipóteses.
Relembrando: dado um parâmetro populacional
(que nestas duas aulas é sempre a média),
denotado por µ, sejam as hipóteses, por exemplo:
HH: µµµµ = µµµµ , AA: µµµµ >>>> µµµµ .HH: µµµµ = µµµµ0 , AA: µµµµ >>>> µµµµ0.
O procedimento do teste destas hipóteses (uma
contra a outra) consiste no seguinte,
Se P ≤ αααα, então rejeitamos H; caso contrário, não
rejeitamos H.
Dizemos que o teste tem nível de significância αααα.
Exemplo 1: Queremos avaliar se uma moeda é honesta. Seja 
p a probabilidade de cara da moeda. Então queremos testar 
as hipóteses 
H: p = 0,5; A: p ≠≠≠≠ 0,5
Vamos fazer (tomar uma amostra de) n lançamentos da moeda. 
Seja X1 = 1, se o primeiro lançamento resulta em cara, e X1 = 0, 
caso contrário. Similarmente, vamos definir Xi = 1, se o i-ésimo caso contrário. Similarmente, vamos definir Xi = 1, se o i-ésimo 
lançamento resulta em cara, e Xi = 0, caso contrário, i = 2,...,n. 
Note que E(X1) = E(X2) = ... = E(Xn) = p. Logo, estamos no 
quadro do teste de hipóteses para a média. 
Então, como se trata de um teste bilateral, o nível descritivo 
vale 
V(X1) = V(X2) = ... = V(Xn) = σ2 = p(1-p). 






×
−
>≅
n
pZPP obs
/5.05.0
|5.0ˆ|2
 × n/5.05.0
Como sempre, fixado o nível de significância do teste, 
digamos α, α, α, α, então rejeitamos a hipótese H (de honestidade da 
moeda se P ≤ αααα, e não rejeitamos H caso contrário.
Suponha que adotemos α α α α = 5% = 5% = 5% = 5% e que foram realizados 100 
lançamentos, dos quais 40 resultaram em cara. Então P ≈ 
2P(Z>2) = 2 x (1-A(2)) = 2 x 0.02 = 0.04, o que leva à rejeição 
de H (no nível de significância de 5555%).%).%).%).
Exemplo 2: A proporção de analfabetos em um município era 
de 15% na gestão anterior. O prefeito atual implantou um 
programa de alfabetização desde o início de sua gestão e 
afirma que após 2 anos reduziu a proporção de analfabetos. 
Para verificar a afirmação do prefeito 60 cidadãos foramPara verificar a afirmação do prefeito 60 cidadãos foram
entrevistados.
Sendo p a proporção atual de analfabetos (após o programa 
de alfabetização). 
As hipóteses de interesse são
HH: a proporção de analfabetos não se alterou
(a afirmação do prefeito está incorreta).
AA: a proporção de analfabetos diminuiu
(afirmação do prefeito está correta).
Equivalentemente, HH: p = 0,15Equivalentemente, HH: p = 0,15
AA: p < 0,15
Podemos tratar este caso como no exemplo anterior. Trata-se 
de um teste para a média, neste caso, p. 
Portanto não há evidência no nível de significância de 5% que 
H seja falsa. Não há suporte dos dados para a afirmação do 
prefeito neste nível de significância.
PARTICULARIDADE DO TESTE PARA A PROPORÇÃOPARTICULARIDADE DO TESTE PARA A PROPORÇÃO
npp
pp
n
X
/)1(
ˆ
/ 00
0
−
−
=
−
σ
µ
TESTE EXATOTESTE EXATO
ERROSERROS
Erro do tipo 1: rejeitar H quando H verdadeira
Em procedimentos estatísticos com base em amostragem,
sempre há a possibilidade de cometermos erros. Nos testes
de hipóteses que discutimos, temos os seguintes possíveis
erros.
Erro do tipo 2: não rejeitar H quando H falsa
Gostaríamos de ter controle sobre a ocorrência d(e ambos) 
estes erros (já que não sabemos qual das duas hipóteses, H 
ou A, é verdadeira, e nem saberemos após a amostragem).
Uma primeira observação a fazer é que o nível de significância 
de um teste de hipóteses (até aqui, interpretado como limiar 
para a plausibilidade de H frente aos dados, medida pelo nível 
descritivo, abaixo do qual passamos a considerar H implausível, 
e a rejeitamos) é também (aproximadamente, se quisermos ser 
rigorosamente precisos) a probabilidade de cometermos o erro 
do tipo 1 (supondo H verdadeira).
ERRO DO TIPO 1ERRO DO TIPO 1
REGIÃO CRÍTICA DO TESTEREGIÃO CRÍTICA DO TESTE
OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES
Há duas observações a serem feitas neste ponto.
A segunda observação, mais interessante, é que a relação
DETERMINANDO A REGIÃO CRÍTICADETERMINANDO A REGIÃO CRÍTICA
ERRO DO TIPO 2ERRO DO TIPO 2
∉
onde
∉
EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Suponha que p = 0.10. Logo H é falsa. Neste caso, Suponha que p = 0.10. Logo H é falsa. Neste caso, 
REGIÃO CRÍTICA PARA OUTROS TIPOS DE TESTEREGIÃO CRÍTICA PARA OUTROS TIPOS DE TESTE
Uma argumentação semelhante à que fizemos acima, desta 
vez aplicada ao teste para a média unilateral à direita e 
bilateral nos permite definir e determinar a RC (associada a 
nível de significância α) naqueles casos. Isto nor permite 
achar a probabilidade do erro do tipo 2, como acima.
No primeiro caso: H: µ = µ0 ; A: µ > µ0 , a RC tem o seguinte 
aspecto:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Suponha que p = 0.35. Logo H é falsa. Neste caso, 
DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRADIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA
Logo,