Aula 12 Correlacao e Regressao

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Correlação e RegressãoCorrelação e Regressão
1
Associação entre 
Variáveis Quantitativas
Associação entre variáveis qualitativas
Na aula passada estudamos a relação entre duas 
variáveis qualitativas.
Tabelas de Contingência
2
Podemos construir tabelas de frequências conjuntas
(tabelas de contingência), relacionando duas variáveis 
qualitativas.
Exemplo 1Exemplo 1: Há indícios de associação entre Sexo e Hábito de 
fumar?
Sexo Fuma Não Fuma Total
Hábito de Fumar
Como concluir?
Sexo Fuma Não Fuma Total
Masculino 20 37 57
Feminino 8 27 35
Total 28 64 92
→ TESTE DE INDEPENDÊNCIA (Quiquadrado)
Associação entre variáveis quantitativas
Correlação e Regressão
4
Exemplos::
Idade e altura das crianças
Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco
Objetivo
Estudar a relação entre duas variáveis quantitativas.
Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco
Tempo de estudo e nota na prova
Taxa de desemprego e taxa de criminalidade
Expectativa de vida e taxa de analfabetismo
5
a) Quantificando a força dessa relação: correlação
b) Explicitando a forma dessa relação: regressão
Investigaremos a presença ou ausência de relação 
linear sob dois pontos de vista:
Representação gráfica de duas variáveis quantitativas: 
Diagrama de dispersão
6
Exemplo 2: nota da prova e tempo de estudo
X : tempo de estudo (em horas)
Y : nota da prova
Tempo(X) Nota(Y)
3,0 4,5
7,0 6,5
Pares de observações (Xi , Yi) para cada estudante
7,0 6,5
2,0 3,7
1,5 4,0
12,0 9,3
7
Coeficiente de correlação linear
É uma medida que avalia o quanto a “nuvem de pontos”
no diagrama de dispersão aproxima-se de uma reta.
8
O coeficiente de correlação linear de Pearson é calculado por:
YX
n
i
ii
SSn
YYXX
r )1(
))((
1
−
−−
=
∑
=
sendo que
mente.respectiva, e de padrão desvios os sãoe
mente,respectiva ,ede amostrais médias as sãoe
YXSS
YXYX
YX 
 
9
Fórmula alternativa para o coeficiente de correlação:
, )1( 
1
YX
n
i
ii
SSn
YXnYX
r
−
−
=
∑
=
.
1
2n
1i
2
−
−
=
∑
=
n
XnX
S
i
2
X
10
sendo
Voltando ao Exemplo 2:
Tempo (X) Nota (Y)
3,0 4,5
7,0 6,5
2,0 3,7
1,5 4,0
12,0 9,3
25,5 28,0 41,2
25,53
5,76
5,89
1,71
2,31
)-X - (X )-Y - (Y
5,6 
-
Y 5,1 
-
X ==
00
3,76,9
-1,6-3,6
-1,9-3,1
0,91,9
-1,1-2,1
)-X - (X )-Y - (Y
2,34 5,47 
4
21,9
 
4
(3,7)... (-1,1)
 
4,42 19,55 
4
78,2
 
4
(6,9)... (-2,1)
 
22
2
22
2
=⇒==
++
=
=⇒==
++
=
yy
xx
SS
SS
Então,
r = 
41,2
4 . 4,42 . 2,34
 = 0,9959
11
Propriedade: -1 ≤≤≤≤ r ≤≤≤≤ 1
Casos particulares:
r = 1⇒ correlação linear positiva e perfeita
r = -1⇒ correlação linear negativa e perfeitar = -1⇒ correlação linear negativa e perfeita
r = 0⇒ inexistência de correlação linear
12
r = 1, correlação linear positiva e perfeita
r = -1r = -1, correlação linear negativa e perfeita
13
r 0≅
5040302010
40
30
20
10
X
Y
X
Y
121086420
6
5
4
3
2
1
14
r 1≅ r -1≅
15
Considere as duas variáveis observadas em 50 estados 
norte-americanos.
Y: taxa de criminalidade
X: taxa de analfabetismo
Exemplo 3: criminalidade e analfabetismo
X: taxa de analfabetismo
16
Obs. Estado TAnalf ExpVida TCrime Obs. Estado TAnalf ExpVida TCrime
1 Alabama 2.1 69.05 15.1 26 Montana 0.6 70.56 5
2 Alaska 1.5 69.31 11.3 27 Nebraska 0.6 72.6 2.9
3 Arizona 1.8 70.55 7.8 28 Nevada 0.5 69.03 11.5
4 Arkansas 1.9 70.66 10.1 29 New-Hampshire 0.7 71.23 3.3
5 California 1.1 71.71 10.3 30 New-Jersey 1.1 70.93 5.2
6 Colorado 0.7 72.06 6.8 31 New-Mexico 2.2 70.32 9.7
7 Connecticut 1.1 72.48 3.1 32 New-York 1.4 70.55 10.9
8 Delaware 0.9 70.06 6.2 33 North-Carolina 1.8 69.21 11.1
9 Florida 1.3 70.66 10.7 34 North-Dakota 0.8 72.78 1.4
10 Georgia 2 68.54 13.9 35 Ohio 0.8 70.82 7.4
11 Hawaii 1.9 73.6 6.2 36 Oklahoma 1.1 71.42 6.4
12 Idaho 0.6 71.87 5.3 37 Oregon 0.6 72.13 4.2
13 Illinois 0.9 70.14 10.3 38 Pennsylvania 1 70.43 6.113 Illinois 0.9 70.14 10.3 38 Pennsylvania 1 70.43 6.1
14 Indiana 0.7 70.88 7.1 39 Rhode-Island 1.3 71.9 2.4
15 Iowa 0.5 72.56 2.3 40 South-Carolina 2.3 67.96 11.6
16 Kansas 0.6 72.58 4.5 41 South-Dakota 0.5 72.08 1.7
17 Kentucky 1.6 70.1 10.6 42 Tennessee 1.7 70.11 11
18 Louisiana 2.8 68.76 13.2 43 Texas 2.2 70.9 12.2
19 Maine 0.7 70.39 2.7 44 Utah 0.6 72.9 4.5
20 Maryland 0.9 70.22 8.5 45 Vermont 0.6 71.64 5.5
21 Massachusetts 1.1 71.83 3.3 46 Virginia 1.4 70.08 9.5
22 Michigan 0.9 70.63 11.1 47 Washington 0.6 71.72 4.3
23 Minnesota 0.6 72.96 2.3 48 West-Virginia 1.4 69.48 6.7
24 Mississippi 2.4 68.09 12.5 49 Wisconsin 0.7 72.48 3
25 Missouri 0.8 70.69 9.3 50 Wyoming 0.6 70.29 6.9
Diagrama de dispersão
Pode-se notar que, conforme aumenta a taxa de
analfabetismo (X), a taxa de criminalidade (Y) tende a
aumentar. Nota-se também uma tendência linear.
18
Cálculo da correlação
Correlação entre X e Y:
Y= 7,38 
_
(média de Y) e SY = 3,692 (desvio padrão de Y)
(média de X) e SX = 0,609 (desvio padrão de X)X= 1,17
_
ΣXiYi= 509,12
19
Considere o mesmo conjunto de dados, mas agora as 
duas variáveis observadas em 50 estados norte-
americanos são
W: expectativa de vida
Exemplo 4: expectativa de vida e analfabetismo
W: expectativa de vida
X: taxa de analfabetismo
20
Diagrama de dispersão
Pode-se notar que, conforme aumenta a taxa de
analfabetismo (X), a expectativa de vida (W) tende
a diminuir. Nota-se também uma tendência linear.
21
Correlação entre X eW:
W= 70,88 
_
(média de W) e SW = 1,342 (desvio padrão de W)
(média de X) e SX = 0,609 (desvio padrão de X)X= 1,17
ΣXiWi= 4122,8
Cálculo da correlação
22
Atenção:
• Na interpretação do coeficiente de correlação é importante 
visualizar o diagrama de dispersão.
X Y1 Y2 Y3 X4 Y4
1 10 8,04 9,14 7,46 8 6,58
2 8 6,95 8,14 6,77 8 5,76
3 13 7,58 8,74 12,74 8 7,71
Considere o seguinte exemplo: 6 variáveis são medidas em 11 indivíduos.
correlação linear de X e Y1 = 0,816
correlação linear de X e Y2 = 0,816
correlação linear de X e Y3 = 0,8164 9 8,81 8,77 7,11 8 8,84
5 11 8,33 9,26 7,81 8 8,47
6 14 9,96 8,10 8,84 8 7,04
7 6 7,24 6,13 6,08 8 5,25
8 4 4,26 3,10 5,39 19 12,50
9 12 10,84 9,13 8,15 8 5,56
10 7 4,82 7,26 6,42 8 7,91
11 5 5,68 4,74 5,73 8 6,89
correlação linear de X e Y3 = 0,816
correlação linear de X4 e Y4 = 0,817
⇒ Mesmos valores de correlação. 
⇒ Qual é a forma esperada da 
dispersão conjunta destas 
variáveis?
23
Diagramas de dispersão dos dados anteriores, todos com 
coeficientes de correlação rr = = 0,8160,816
Y
2
10
9
8
7
6
5
4
3
Dispersão 
esperada!
Y
1
11
10
9
8
7
6
5
4
X4
Y
4
2018161412108
13
12
11
10
9
8
7
6
5
X
Y
3
15,012,510,07,55,0
13
12
11
10
9
8
7
6
5
X
15,012,510,07,55,0
3
X
15,012,510,07,55,0
4
Pontos 
influentes!
24
Diagramas de Dispersão 
Análise de Regressão
⇒⇒⇒⇒ Explicar a forma da relação por meio de uma 
função matemática: Y = a + bX
25
Reta ajustada:
O que são a e b?
a : intercepto
b : inclinação ou coeficiente angular
Análise de Regressão
bXaY +=ˆ
b : inclinação ou coeficiente angular
26
Análise de Regressão
• Coeficientesangulares iguais
• Interceptos diferentes
• Coeficientes angulares diferentes
• Interceptos iguais
27
Interpretação de b:
Para cada aumento de uma unidade em X, tem-se um 
aumento, em média, de b unidades em Y.
y − y y − y
Reta ajustada: bXaY +=ˆ
tg(α) = y2 − y1
x2 − x1
=
y2 − y1
x1 +1− x1
 = y2 − y1 = b
b
11 +x1x
2y
1y
28
Reta ajustada 
(método de mínimos quadrados)
e1
e2
29
Reta ajustada 
(método de mínimos quadrados)
Os coeficientes a e b são calculados da seguinte maneira:
1
n
i
ii YXnYX
b
−
=
∑
=
( ) 2
1
1 X
i
Sn
b
−
=
=
XbYa −=
30
No Exemplo 3,
A reta ajustada é:
XY 257,4397,2ˆ +=
Se a taxa do analfabetismo (X) aumenta de uma unidade, 
a taxa de criminalidade (Y) aumenta, em média, 4,257 
unidades.
Interpretação de b:
31
 :
:
smoanalfabeti de taxa
adecriminalid de taxa a para predito valor
X
Y
)
A reta ajustada é:
No Exemplo 4,
: vida de aexpectativ a para predito valorY
)
XY 296,1395,72ˆ −=
Interpretação de b:
Para um aumento de uma unidade na taxa do analfabetismo 
(X), a expectativa de vida (Y) diminui, em média, 1,296 anos.
32
 :
:
smoanalfabeti de taxa
vida de aexpectativ a para predito valor
X
Y
)
Y: consumo de cerveja diário por mil habitantes, em litros.
X: temperatura máxima (em ºC).
As variáveis foram observadas em nove localidades com as 
Exemplo 5: consumo de cerveja e temperatura
As variáveis foram observadas em nove localidades com as 
mesmas características demográficas e socioeconômicas.
33
Localidade Temperatura Consumo 
(X) (Y) 
1 16 290
2 31 374
3 38 393
4 39 425
Dados:
4 39 425
5 37 406
6 36 370
7 36 365
8 22 320
9 10 269
34
400
350
o
n
s
u
m
o
Diagrama de dispersão
40302010
300
Temperatura
C
o
A correlação entre X e Y é r = 0,962.
35
A reta ajustada é:
Qual é a interpretação de b?
Aumentando-se um grau na 
temperatura (X), o consumo 
de cerveja (Y) aumenta, em 
média, 4,74 litros por mil 
habitantes.
Qual é o consumo previsto para uma temperatura de 25ºC?
habitantes.
( ) litros 87,3352574,437,217ˆ =+=Y
36