Gabarito Lista 7 Casa

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2o semestre de 2014
Gabarito da Sétima Lista de Exercícios
Exercício 1
A distribuição dos comprimentos dos elos da corrente da bicicleta é normal, com média 2 cm
e variância 0,01 cm2. Para que uma corrente se ajuste à bicicleta, deve ter comprimento total
entre 58 e 61 cm.
(a) Qual é a probabilidade de uma corrente com 30 elos não se ajustar à bicicleta?
(b) E para uma corrente com 29 elos?
[Observação: suponha que os elos sejam selecionados ao acaso para compor a corrente, de modo
que se tenha independência.]
(a) Chame de X1, X2, . . . , Xn os comprimentos dos n “ 30 elos da corrente. O comprimento total da corrente
é dado por Sn “ X1 `X2 ` . . .`Xn.
Como as variáveis X1, X2, . . . , Xn são independentes e identicamente distribuídas, com distribuição normal
de média µ “ 2cm e variância σ2 “ 0,01cm2, então um resultado apresentado em aula nos diz que Z “ X¯´µb
σ2
n
tem distribuição normal padrão.
Note que X¯ “ X1`...`Xnn “ Snn , então:
PpSn ă 58Y Sn ą 61q “ PpSn ă 58q ` PpSn ą 61q
“ PpX¯ ă 58
n
q ` PpX¯ ą 61
n
q
“ P
¨˝
X¯ ´ µb
σ2
n
ă
58
n ´ µb
σ2
n
‚˛` P
¨˝
X¯ ´ µb
σ2
n
ą
61
n ´ µb
σ2
n
‚˛
“ P pZ ă ´3,65q ` P pZ ą 1,83q
Agora vamos procurar esses valores em uma tabela na tabela da distribuição normal padrão. Pela simetria
da distribuição normal ao redor da sua média, sabemos que PpZ ă ´3,65q “ PpZ ą 3,65q “ 1 ´ PpZ ď
3,65q « 1´ 0,999 9 “ 0,000 1. De maneira análoga PpZ ą 1,83q “ 1´ PpZ ď 1,83q « 1´ 0,966 4 “ 0,033 6.
De onde concluímos que:
PpSn ă 58Y Sn ą 61q « 0,000 1` 0,033 6 “ 0,033 7
Dessa forma a probabilidade de que uma corrente não se ajuste a bicicleta é de 3,37%.
(b) Podemos refazer as mesmas contas do item anterior, mas agora substituindo n “ 29, obtendo:
PpSn ă 58Y Sn ą 61q “ P
¨˝
X¯ ´ µb
σ2
n
ă
58
n ´ µb
σ2
n
‚˛` P
¨˝
X¯ ´ µb
σ2
n
ą
61
n ´ µb
σ2
n
‚˛
“ P pZ ă 0q ` P pZ ą 5.57086q
« 0,5` 0 “ 0,5
Dessa forma há uma probabilidade de 50% de que uma corrente com 29 elos não se ajuste à bicicleta.
1
Exercício 2
Uma determinada máquina produz peças, sendo que 5% são defeituosas. É tomada uma
amostra aleatória de 400 peças da produção da máquina. Qual é a probabilidade aproximada
de que no máximo 10 peças sejam defeituosas? Suponha agora que a máquina se desregulou e
passou a produzir 10% de peças defeituosas; recalcule essa probabilidade.
Se denotarmos por X o número de peças defeituosas na amostra, então X terá distribuição binomial com
n “ 400 e p “ 0,05. Essa distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal de média µ “ nˆp “ 20
e variância σ2 “ nˆ pˆ p1´ pq “ 19. Denotemos por Y uma variável aleatória com esta distribuição.
Sabemos que Z “ Y´µσ têm distribuição normal padrão, dessa forma podemos calcular:
PpX ď 10q « PpY ď 10q “ P
ˆ
Y ´ µ
σ
ď 10´ µ
σ
˙
“ P
ˆ
Z ď 10´ 20?
19
˙
“ PpZ ď ´2,29q “ PpZ ě 2,29q “ 1´ PpZ ă 2,29q
“ 1´ 0,989 “ 0,011
Portanto a probabilidade de observarmos até 10 peças defeituosas é de aproximadamente 1,1%.
Se a máquina se desregulou e agora produz uma peça defeituosa com p “ 0,10, então recalculamos µ “
nˆ p “ 40 e σ2 “ nˆ pˆ p1´ pq “ 36. Dessa forma:
PpX ď 10q « PpY ď 10q “ P
ˆ
Y ´ µ
σ
ď 10´ µ
σ
˙
“ P
ˆ
Z ď 10´ 40?
36
˙
“ PpZ ď 5q “ PpZ ě 5q “ 1´ PpZ ă 5q ă 0,000 1
A tabela normal não chega a dar valores tão pequenos, dessa forma podemos dizer que a probabilidade
aproximada de que observemos no máximo 10 peças defeituosas quando a máquina está desregulada é menor
que 0,01%.
Exercício 3
O erro de medida de certo aparelho utilizado em um laboratório é normalmente distribuído
com média 0 mg/mL e desvio padrão 0,2 mg/mL.
(a) Qual é a probabilidade de ocorrer um erro de medida entre 0,10 e 0,15 mg/mL?
(b) Encontre um intervalo simétrico em torno da média que contenha 95% dos possíveis erros.
(c) Se forem realizadas 70 medições independentes nesse aparelho, qual é a probabilidade apro-
ximada de que menos de três apresentem um erro de medida entre 0,10 e 0,15 mg/mL?
Seja X o erro do aparelho de medição, que tem distribuição normal de média µ “ 0 e desvio padrão σ “ 0,2.
Vamos denotar por Z “ X´µσ , sabemos que essa variável tem distribuição normal padrão.
(a) Queremos calcular:
P p0,1 ă X ă 0,15q “ P
ˆ
0,1´ µ
σ
ă X ´ µ
σ
ă 0,15´ µ
σ
˙
“ Pp0,5 ă Z ă 0,75q
“ PpZ ă 0,75q ´ PpZ ă 0,5q
“ 0,773 4´ 0,691 5 “ 0,081 9
(b) Da tabela da normal, observamos que PpZ ď 1,96q « 0,975. Portanto Pp0 ă Z ď 1,96q “ PpZ ď
1,96q ´ PpZ ď 0q « 0,975´ 0,5 “ 0,475. Usando a simetria da distribuição normal obtemos que:
Pp´1,96 ă Z ă 1,96q “ Pp´1,96 ă Z ă 0q ` Pp0 ă Z ă 1,96q « 0,475` 0,475 “ 0,95
2
Portanto:
0,95 « Pp´1,96 ă Z ă 1,96q
“ Pp´1,96 ă X ´ µ
σ
ă 1,96q
“ Pp´1,96ˆ σ ` µ ă X ă 1,96ˆ σ ` µq
“ Pp´0,392 ă X ă 0,392q
Dessa forma o intervalo p´0,392, 0,392q contêm um erro de observação com probabilidade 95%.
(c) Seja Y o número de medições do aparelho que estão entre 0,10 e 0,15 mg/mL. Calculamos no item paq que
uma medição está nesse intervalo com probabilidade p “ 0,081 9. Dessa forma Y tem distribuição binomial
de parâmetros n “ 70 e p.
Y pode ser aproximado por uma distribuição normal de média µ “ n ˆ p “ 5,733 e variância σ2 “
nˆ pˆ p1´ pq “ 5,263. Portanto:
PpY ă 3q “ P
ˆ
Y ´ µ
σ
ă 3´ µ
σ
˙
« P pZ ă ´1,19q “ P pZ ą 1,19q
“ 1´ P pZ ď 1,19q “ 0,117 0
Exercício 4
A Companhia aérea Beta observa que, das reservas feitas em seus voos da tarde, cerca de 10%
dos fregueses não aparecem para embarque. A Cia Beta então adota a política de aceitar 215
reservas para um voo da tarde que tem 200 lugares. Qual é a probabilidade aproximada de que
todos os clientes que aparecem para embarque consigam lugar?
Seja X o número de passageiros que aparecem para o embarque. Considerando que cada passageiro aparece
ou não para o embarque independentemente dos demais, então essa quantidade tem distribuição binomial de
parâmetros n “ 215 e p “ 0,90.
Sabemos que a distribuição de X pode ser aproximada por uma normal de média µ “ n ˆ p “ 193,5 e
variância σ2 “ 19,35. Chamemos de Y uma variável aleatória com esta distribuição.
Denotando por Z “ Y´µσ , sabemos que Z têm distribuição normal padrão, dessa forma podemos calcular a
probabilidade de todos os passageiros conseguirem embarcar como:
PpX ď 200q « PpY ď 200q
“ P
ˆ
Y ´ µ
σ
ď 200´ µ
σ
˙
“ P
ˆ
Y ´ µ
σ
ď 200´ 193,5?
19,35
˙
“ PpZ ď 1,48q “ 0,930 6
Portanto todos os passageiros conseguirão embarcar com probabilidade de aproximadamente 93,06%.
Exercício 5
O peso de pacotes de certo tipo de pó de café tem distribuição normal com média 1000 g e
desvio padrão 10 g.
(a) Um pacote é considerado dentro do padrão se apresentar conteúdo entre 980 e 1020 g.
Selecionando-se ao acaso um pacote desse tipo de pó de café, qual é a probabilidade do
mesmo estar dentro do padrão?
(b) Numa amostra de 500 pacotes, qual é a probabilidade aproximada de pelo menos 480 estarem
dentro do padrão?
(c) Serão retirados do mercado os pacotes com conteúdo inferior à 980 g. Qual é a probabilidade
de um pacote selecionado ao acaso ser retirado do mercado ?
3
(d) Numa amostra de 100 pacotes, calcule a probabilidade aproximada de que no máximo 4 sejam
retirados do mercado.
(a) Se X é o peso, em gramas, de um pacote de café, que têm distribuição normal de média µ “ 1000g e desvio
padrão σ “ 10g. Sabemos que Z “ X´µσ tem distribuição normal padrão. Dessa forma, consultando uma
tabela da distribuição normal podemos calcular:
Pp980 ă X ă 1020q “ P
ˆ
980´ 1000
10
ă X ´ µ
σ
ă 1020´ 1000
10
˙
“ Pp´2 ă Z ă 2q “ PpZ ă 2q ´ PpZ ă ´2q
“ PpZ ă 2q ´ PpZ ą 2q
“ PpZ ă 2q ´ p1´ PpZ ă 2qq
“ 2ˆ PpZ ă 2q ´ 1
“ 0,954 4
Portanto a probabilidade de um pacote estar dentro do padrão é de 95,44%.
(b) Se Y éo número de pacotes dentro do padrão em uma amostra de tamanho 500, então Y tem distribuição
binomial de parâmetros n “ 500 e p “ 0,954 4, esse último calculado no item (a).
Dessa forma podemos aplicar a aproximação normal para a binomial para obter:
PpY ě 480q “ P
˜
Y ´ npa
npp1´ pq ě
480´ npa
npp1´ pq
¸
« P pZ ě 0,60q
“ 1´ P pZ ă 0,60q
“ 1´ 0,725 7 “ 0,274 3
Dessa forma a probabilidade de pelo menos 480 pacotes, dentre uma amostra de 500, estarem dentro do
padrão é de aproximadamente 27,43%.
(c) Usando a notação do item (a), queremos calcular:
P pX ă 980q “ P
ˆ
X ´ µ
σ
ă 980´ µ
σ
˙
“ P pZ ă ´2q “ P pZ ą 2q “ 1´ PpZ ď 2q
“ 1´ 0,977 2 “ 0,022 8
Dessa forma a probabilidade de um pacote escolhido ao acaso ser retirado do mercado é de 2,28%.
(d) Denotemos por Y o número de pacotes retirados do mercado em uma amostra de tamanho 100. Essa variável
tem distribuição binomial de parâmetros n “ 100 e p “ 0,022 8 (calculado no item anterior). Aplicando a
aproximação normal podemos calcular:
PpY ď 4q “ P
˜
Y ´ npa
npp1´ pq ď
4´ npa
npp1´ pq
¸
« P pZ ď 1,15q “ 0,874 9
Dessa forma uma aproximação para a probabilidade de que no máximo 4 pacotes sejam retirados do mercado,
dentre uma amostra de 100, vale 87,49%.
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