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MAE 116 - Noções de Estatística Grupo D - 2 ◦ semestre 2014 Gabarito da Décima Lista de Exercícios Exercício 1. Um criador tem constatado uma incidência de 10% na proporção de gado com verminose no seu rebanho. O veterinário alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de intensidade. Um exame em 100 cabeças do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 8 delas com verminose. (a) Formule o problema como um teste de hipóteses estatístico. (b) Com base no nível descritivo, há indícios de que a incidência diminuiu, ao nível de significância de 8%? Solução. (a) Pelo enunciado temos que: H : a proporção de gado com verminose não se alterou. A : a proporção de gado com verminose diminuiu. Equivalentemente: H : p = 0.10 A : p < 0.10 Sendo p a proporção atual de gado com verminose (após de alterar a dieta dos ani- mais). (b) Seja Xi = 1, se o i-ésimo gado da amostra tem verminose, e Xi = 0, caso comtrário, i = 1, · · · , 100. (X¯ = pˆ é a proporção amostral de gado com verminose após de alterar a dieta deles). x¯obs = pˆobs = 8 100 = 0.08 p =P ( X¯ < pˆobs ) =P ( X¯ < 0.08 ) ≈P ( Z < 0.08− 0.10√ 0.10× 0.90/100 ) =P (Z < −0.6667) = 0.2525 Portanto, não há evidência no nível de significância de 8% que H seja falsa. Não há suporte dos dados para a afirmação do veterinário neste nível de significância. 1 Exercício 2. Até o ano passado, apenas 20% dos empregados de uma indústria aprovavam a qualidade das refeições servidas no seu refeitório. Após uma série de medidas corretivas serem adotadas, foram entrevistados 120 empregados dos quais 33 estavam satisfeitos. Formule o problema como um teste de hipóteses estatístico e conclua, com base no nível descritivo, se as medidas surtiram efeito, ao nível de significância de 5%. Solução. (a) Pelo enunciado temos que: H : a proporção de empregados que aprovam a qualidade das refeições não se alte- rou. A : a proporção de empregados que aprovam a qualidade das refeições aumentou. Equivalentemente: H : p = 0.20 A : p > 0.20 Sendo p a proporção de empregados que aprovam a qualidade das refeições (após de uma série de medidas corretivas foram adotadas). Seja Xi = 1, se o i-ésimo empregado da amostra está satisfeito com a qualidade das refeições, e Xi = 0, caso comtrário, i = 1, · · · , 120. X¯ = pˆ. x¯obs = pˆobs = 33 120 = 0.275 p =P ( X¯ > pˆobs ) =P ( X¯ > 0.275 ) ≈P ( Z > 0.275− 0.20√ 0.20× 0.80/120 ) =P (Z > 2.0540) = 0.02 Portanto, como p = 0.02 < α = 0.05, rejeitamos H. 2 Exercício 3. Um jornal afirma que 25% dos seus leitores pertencem à classe A. Um jornal concorrente afirma que essa proporção é menor. Para verificar sua suspeita, o concorrente sorteou 150 leitores daquele jornal e observou 28 leitores da classe A. (a) Formule este problema com um teste de hipóteses, identificando o parâmetro esta- tístico em questão, e conclua com base no nível descritivo e nível de significância de 8%. (b) Qual o significado dos erros de tipo I e de tipo II no problema? (c) Determine a região crítica do teste e calcule a probabilidade do erro do tipo II para o caso de a proporção de leitores da classe A do jornal ser de 20%. Solução. (a) Pelo enunciado temos que: H : a proporção de leitores pertenecem à classe A é 0.25. A : a proporção de leitores pertenecem à classe A é menor que 0.25. Equivalentemente: H : p = 0.25 A : p < 0.25 Sendo p a proporção atual de leitores pertenecem à classe A. Seja Xi = 1, se o i-ésimo leitor da amostra que pertenece à classe A, e Xi = 0, caso comtrário, i = 1, · · · , 120. X¯ = pˆ. x¯obs = pˆobs = 28 150 = 0.1867 p =P ( X¯ < pˆobs ) =P ( X¯ < 0.1867 ) ≈P ( Z < 0.1867− 0.25√ 0.25× 0.75/150 ) =P (Z < −1.7913) = 0.0366 Portanto, como p = 0.0366 < α = 0.08, rejeitamos H. 3 (b) Erro tipo I: Rejeitar H quando H é verdadeira. Afirmar que a proporção de lei- tores que pertenecem à classe A é menor que 0.25 quando, na verdade, ela é 0.25. Erro tipo II: Não rejeitar H quando H é falsa. Afirmar que a proporção de leitores que pertenecem à classe A é 0.25 quando, na verdade, ela é menor que 0.25. (c) Para α = 0.08 temos que Z1−α = 1.405. Portanto, x0 = 0.25− 1.405× √ 0.25× 0.75/150 = 0.2003 Assim: RC = (−∞ , 0.2003} Agora, supondo que p = 0.20 temos que P (erro2) =P (Z > x∗∗0 ) =P ( Z > x0 − 0.20√ 0.20× 0.80/150 ) =P (Z > 0.0099) =1− A(0.0099) =0.4960 4 Exercício 4. No ano de 1997, em uma estância turística foi feita uma pesquisa e constatou-se que apenas 60% dos visitantes estavam satisfeitos com a infraestrutura ofe- recida. A prefeitura com o intuito de aumentar essa proporção, fez algumas melhorias na cidade e depois de um ano, resolveu verificar se as mesmas produziram o efeito desejado. (a) Formule esse problema como um teste de hipóteses, identificando o parâmetro esta- tístico em questão. (b) Qual o significado dos erros de tipo I e de tipo II no problema? (c) Se a prefeitura desejar que o teste tenha nível de significância de 5%, e que a probabilidade de cometer erro do tipo II seja de 10% caso a proporção de visitantes satisfeitos após as melhorias tenha subido para 80%, qual deve ser o tamanho da amostra a ser tomada? Solução. (a) Pelo enunciado temos que: H : a proporção de visitantes satisfeitos com a infraestrutura da cidade não se alterou. A : a proporção de visitantes satisfeitos com a infraestrutura da cidade aumentou. Equivalentemente: H : p = 0.60 A : p > 0.60 Sendo p a proporção atual de de visitantes satisfeitos com a infraestrutura da cidade (após de algumas melhorias na cidade). Seja Xi = 1, se o i-ésimo visitante da amostra que está satisfeito com a infraes- trutura da cidade e Xi = 0, caso comtrário, i = 1, · · · , n. X¯ = pˆ. (b) Erro tipo I: Rejeitar H quando H é verdadeira. Afirmar que a proporção de visitantes satisfeitos com a infraestrutura da cidade é maior que 0.60 quando, na verdade, ela é 0.60. Erro tipo II: Não rejeitar H quando H é falsa. Afirmar que a proporção de visitantes satisfeitos com a infraestrutura da cidade é 0.60 quando, na verdade, ela é maior que 0.60. (c) Pelo enunciado temos que α = 0.05, P (erro2) = 0.10 e p1 = 0.80. Então: 5 0.10 = P (erro2) = P (Z < x∗∗0 ), onde x∗∗0 = (x0 − p1)× √ n√ p1 × (1− p1) (1) e x0 = p0 + Z1−α √ p0 × (1− p0)√ n (2) Logo, A (x∗∗0 ) = 0.10, e da tabela: x ∗∗ 0 = −1.2816. Por 1 temos que −1.2816×√0.20× 0.80 = (x0 − 0.80)× √ n, então x0 = 0.80×√n− 1.2816×√0.20× 0.80√ n (3) Agora, por 2 e 3 temos que 0.80− −1.2816× √ 0.20× 0.80√ n = 0.60 + 1.64 √ 0.60× 0.40√ n Assim: n = ( 1.2816×√0.20× 0.80 + 1.64√0.60× 0.40 0.80− 0.60 )2 = 43.30 ≈ 44 6 Pontuações dos exercícios. 1. (2.5 pontos) (a) (1.0) (b) (1.5) 2. (2.5 pontos) 3. (2.5 pontos) (a) (1.0) (b) (0.5) (b) (1.0) 4. (2.5 pontos) (a) (1.0) (b) (0.5) (b) (1.0) 7
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