Gabarito Lista 11 Casa

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2o semestre de 2014
Gabarito da Décima Primeira Lista de Exercícios
Exercício 1 - Aderência
Um modelo de automóvel é vendido em quatro versões: GLX, GTX. Foi feita uma campanha
publicitária para melhorar vendas das versões GLX e GTX. Posteriormente, foi verificada escolha
das versões em 500 vendas escolhidas ao acaso. resultados foram:
Versão SX LX GLX GTX
Unidades vendidas 210 125 105 60
De acordo com o fabricante, a participação de cada versão nas vendas deste modelo até a reali-
zação da campanha era 40% de SX, 30% de LX , 20% de GLX e 10% de GTX. Você diria, através
do teste de aderência com o nível de significância de 5%, que os resultados deste experimento
indicam que, após a campanha, houve mudanças na participação de cada versão nas vendas deste
modelo?
(2,5 pts) Vamos supor que a venda de um automóvel de um modelo não influencie na outra venda.
Denotemos por pSX , pLX , pGLX e pGTX as probabilidades de que uma venda resulte em cada um dos modelos.
Nossa hipótese nula é dada por:
H : pSX “ 0, 4 pLX “ 0, 3 pGLX “ 0, 2 pGTX “ 0, 1
enquanto que a hipótese alternativa é a negação dessa hipótese, isso é, pelo menos uma das probabilidades não
seja igual aos valores dados.
Sob essa hipótese nula, podemos montar a seguinte tabela com as vendas esperadas para cada modelo:
Versão SX LX GLX GTX
Vendas Esperadas 200 150 100 50
Com isso calculamos o valor observado da estatística de teste:
χ2obs “
ÿ
i
pxi ´ eiq2
ei
“ 6, 92
Observando a tabela de distribuição Qui-quadrado com 4´1 “ 3 graus de liberdade, obtemos o valor crítico
do teste para o nível de significância α “ 5% como 7,815. Como χ2obs ă 7, 815, nós não rejeitamos a hipótese
nula e concluímos que não há evidências de que a campanha publicitária tenha afetado a participação das vendas
de cada modelo.
Exercício 2 - Aderência
Os dados seguintes representam os resultados de uma investigação da distribuição do sexo das
crianças de 32 famílias possuindo cada uma delas 4 crianças. Pode-se afirmar que o número de
meninos por família, em famílias com 4 crianças, segue uma distribuição binomial com n “ 4 e
p “ 0, 50? Responda usando o nível de significância de 2.5%.
Número de meninos 0 1 2 3 4
Número de famílias 4 10 8 7 3
1
Observação: Se supormos que cada criança, ao nascer numa família, é menino ou é menina
com as probabilidades que não dependem dos sexos das crianças já nascidas nesta família, e se
supormos ainda, que cada das duas probabilidades é 1/2, então, a distribuição do número de
meninos em famílias com 4 crianças deve ser BIN(4; 1/2). Isto explica a pergunta do exercício.
(2,5 pts) Podemos montar a seguinte tabela, com as probabilidades calculadas para o número de meninos
em cada família segundo uma Binomial(4, 0,5) e o número esperado de famílias com cada quantidade de meninos:
Número de meninos 0 1 2 3 4
Probabilidade 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
Número esperado de famílias 2 8 12 8 2
Dessa forma podemos calcular a estatística de teste:
χ2obs “
4ÿ
i“0
pxi ´ eiq2
ei
“ 4, 458.
Observando a tabela de uma Qui-quadrado com 5 ´ 1 “ 4 graus de liberdade, obtemos que o valor crítico
desse teste com nível de significância α “ 2, 5% é dado por 11, 143. Como χ2obs ă 11, 143 nós não rejeitamos a
hipótese nula e concluímos que a suposição de que a número de meninos em uma família segue uma distribuição
binomial (4, 0.5) é condizente com a amostra.
Exercício 1 - Independência
Em um estudo para verificar a relação entre asma e incidência de gripe no outono, 150 crianças
foram escolhidas ao acaso, dentre aquelas acompanhadas pelo Posto de Saúde de um bairro.
Os dados referentes a uma semana são apresentados na tabela a seguir.
gripe total
sim não
asma sim 27 34 61não 42 47 89
total 69 81 150
Existem evidências, ao nível de significância de 4%, de que a ocorrência de gripe é influenciada
pela presença de asma nesta população?
(2,5 pts) Vamos supor que a condição das crianças sejam independentes, isso é, uma criança estar gripada
ou ter asma não influencia nas condições de outra criança observada no estudo.
Primeiramente definimos a hipóteses de teste:
H : A presença de asma em uma criança não interfere na probabilidade de que ela esteja gripada;
A : A presença de asma em uma criança interfere na probabilidade de que ela esteja gripada.
Montando a tabela de valores esperados sob a hipótese nula, obteremos:
gripe total
sim não
asma sim 28,06 32,94 61não 40,94 48,06 89
total 69 81 150
Dessa forma podemos calcular a estatística de teste:
χ2obs “
ÿ
i,j
poij ´ eijq2
eij
“ 0, 125
Observando uma tabela da distribuição Qui-quadrado com p2´1qˆp2´1q “ 1 grau de liberdade, encontramos
o valor crítico ao nível de significância α “ 4% como l “ 4.218.
Como χ2obs ă l nós não rejeitamos a hipótese nula, concluindo que a amostra não nos fornece evidências de
que a ocorrência de gripe seja influenciada pela presença de asma.
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Exercício 2 - Independência
A tabela abaixo mostra o aproveitamento em Física e Matemática para uma amostra de alunos
de uma escola de ensino médio.
Matemática
Notas altas Notas regulares Notas baixas
Física
Notas altas 46 71 22
Notas regulares 47 143 58
Notas baixas 29 72 40
Com o objetivo de verificar se os aproveitamentos em Física e Matemática estão relacionados,
construa as hipóteses H e A. Calcule o valor observado da estatística χ2 para o teste de hipóteses
em questão. Conclua sobre a presença do relacionamento, usando a nível de significância 2%.
(2,5 pts) Para podermos aplicar o teste Qui-quadrado, precisamos supor que o desempenho de uma criança
não influencie no desempenho das demais.
As hipóteses nula e alternativa são dadas por:
H : o desempenho de uma criança em Física e Matemática não estão relacionados.
A : o desempenho de uma criança em Física e Matemática estão relacionados.
Sob a hipótese nula, podemos montar a tabela das frequências esperadas como:
Matemática
Notas altas Notas regulares Notas baixas
Física
Notas altas 32,117 75,292 31,591
Notas regulares 57,303 134,333 56,364
Notas baixas 32,580 76,375 32,045
Dessa forma podemos calcular a estatística de teste:
χ2obs “
ÿ
i,j
poij ´ eijq2
eij
“ 14, 235.
Observando uma tabela da Qui-quadrado com p3 ´ 1q ˆ p3 ´ 1q “ 4 graus de liberdade, obtemos o valor
crítico ao nível de significância α “ 2% como l “ 11, 668.
Como χ2obs ą l, nós rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a amostra nos fornece evidências que dizem
que o aproveitamento de alunos em matemática e física estão relacionados.
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