Resolução Lista 3 Casa

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EXERCICIOS DE CASA (LISTA 03) 
AULA 03 (Probabilidade) Noções de Estatística (MAE0116) 
2° Semestre de 2014 para FEA-Administração (Grupo D) 
 
Nomes: Felipe Rodrigues N° USP 
 Daniel Saraiva N° USP 
 
Exercício. 1. Jogam-se dois dados equilibrados, um em seguida do outro. Construa o modelo 
probabilístico desse experimento aleatório e, em seguida, use o modelo construído para calcular 
a probabilidade de ocorrer o evento “produto dos números mostrados nas faces superiores dos 
dados não e menor que 12 e não e maior que 15". 
 
Todas as Possibilidade são: 6𝑥6 = 36 
Eventos favoráveis: Maior de 12 e menor de 15 
2𝑥6 ; 3𝑥4; 3𝑥5; 4𝑥3; 5𝑥3 ; 6𝑥2 => Total de 6 possibilidades. 
Logo, 𝑃 = 
6
36
=
1
6
 
 
Exercício. 2. Um açougue será inaugurado hoje e tem 50% de probabilidade de receber carne 
de um frigorífico contratado para seu abastecimento. A cada dia consecutivo, a probabilidade 
de haver carne no açougue depende somente do fato de ter havido carne ou não no dia anterior, 
obedecendo a seguinte regra: 60% de chances de encontrar carne no açougue se, no dia anterior, 
esse produto estava disponível, e 30% se, no dia anterior, ela estava em falta. Ao tomar 
conhecimento sobre a inauguração do açougue, uma dona de casa resolveu ir até ele daqui dois 
dias. Determine a probabilidade dessa senhora encontrar a carne no açougue. 
 
 
𝑃(𝑇𝑒𝑟 𝐶𝑎𝑟𝑛𝑒) = 
1
2
×
3
5
+
1
2
×
3
10
 
 
 
 
𝑃(𝑇𝑒𝑟 𝐶𝑎𝑟𝑛𝑒) =
3
10
+
3
20
=
9
20
= 0,45 = 45% 
 
 
 
 
Exercício. 3. Uma fábrica tem três maquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 
40%, 35% e 25% da sua produção. 2% da produção da máquina A consistem em peças 
defeituosas; essa proporção e de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. Toma-se 
uma peça ao acaso da produção da fábrica, e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade 
de ter sido produzida pela máquina B? 
 
Máquina A: Máquina B: 
40% da Produção 35% da Produção 
2% Defeituosa = 0,8% do Total 1% Defeituosa = 0,35% do Total 
 
 
 
Máquina C: 
25% da Produção 
3% Defeituosa = 0,75% do Total 
Sendo a peça defeituosa e retirada ao acaso temos: 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) = 
0,35
0,8 + 0,35 + 0,75
=
0,35
1,9
= 0,184 
 
Exercício. 4. Verifique, no âmbito do Exercício 3, a validade da formula 
Tomando o evento “peça sorteada veio da máquina B" como B 
e o evento “peça sorteada e defeituosa" como D. Aqui, �̅� denota 
o complementar do evento B, cuja interpretação em termos do exercício é: “a peça sorteada não 
veio da máquina B". 
𝑃[𝐵|𝐷] + 𝑃[�̅�|𝐷] = 1 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷)
+
𝑃(�̅� ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷)
= 1 
0,35
1,9
+ 
1,55
1,9
= 1 
1,9
1,9
= 1 
Portanto, no âmbito do exercício 3 a formula é válida. 
 
Exercício. 5. Verifique, no âmbito do Exercício 3, o fato de que 
 
 
Tomando B e D como os do Exercício. 4. Aqui, �̅� denota o complementar do evento D, cuja 
interpretação em termos do exercício é: “a peça sorteada não e defeituosa". 
 
𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐷) =
9810
10000
 
𝑃(�̅�|𝐵) = 1 − 𝑃(𝐷|𝐵) =
99
100
 
𝑃(𝐵|�̅�) =
𝑃(𝐵) × 𝑃(�̅�|𝐵)
𝑃(𝐷)
=
3455
9810
 
𝑃(𝐵|𝐷) + 𝑃(𝐵|�̅�) =
35
190
+
3455
9810
=
9998
18639
 
Exercício. 6. Três moedas honestas são lançadas em sequência. Considere dois eventos: A= 
“obter uma “cara" e uma “coroa" nos dois primeiros lançamentos, em qualquer ordem", e B=” 
obter duas “caras" nos dois últimos lançamentos". 
 
(a) Calcule P[A|B]. Compare o resultado com P[B]. (Não e preciso comentar; o resultado da 
comparação será usado na próxima aula teórica para a discussão do conceito de independência.) 
 
Possibilidades do Evento A: 
Cora | Coroa | Cara; 
Cora | Coroa | Coroa; 
Coroa | Cora | Cara; 
Coroa | Cora | Coroa; 
 
 
 
Possibilidades do Evento B 
Coroa | Cara | Cara; 
Cara | Cara | Cara; 
 
 
b) Calcule P[B|A]. Compare o resultado com P[B]. (Não e preciso comentar; o resultado da 
comparação será usado na próxima aula teórica para a discussão do conceito de 
independência.) 
 
 
Exercício. 7. 
(a) Numa escola ha 7 professores e 3 professoras. Será formada uma comissão de três pessoas. 
Qual a probabilidade que nesta comissão haja somente uma mulher (quer dizer, exatamente 
uma mulher)? 
 
Todas as possibilidades: (
10
3
) = 40 
Eventos Favoráveis: (
3
1
) × (
7
2
) = 21 
 𝑃𝑎 = 
(
3
1) × (
7
2)
(
10
3 )
 =
21 
40
 
 
(b) Numa escola ha 7 professores e 3 professoras, sendo que um professor e uma professora 
são irmãos. Será formada uma comissão de três pessoas. Qual a probabilidade que nesta 
comissão haja somente uma mulher e que esta não seja a irmã de qualquer professor da 
comissão? 
𝑃(𝐵) = 3 × 𝑃(𝐻𝐻𝑚) + 3 × 𝑃(𝐻𝐻𝑀) + 6 × 𝑃(ℎ𝐻𝑀) 
 
𝑃(𝐵) = 3 × (
6
10
×
5
9
×
1
8
) + 3 × (
6
10
×
5
9
×
2
8
) + 6 ×
1
10
×
6
9
×
2
8
=
342
720
=
19
40
 
 
 
 (c) No âmbito do item (b), responda a seguinte questão: Sabendo que na comissão ha dois 
homens e uma mulher, qual a probabilidade que esta seja a irmã de um dos homens da 
comissão? 
 
𝑃(𝐻ℎ𝑚) = 
1
10
×
6
9
×
1
8
=
6
720
 
𝑃𝑐 =
6 × 𝑃(𝐻ℎ𝑚)
𝑃(𝐵) + 6 × 𝑃(𝐻ℎ𝑚)
=
36
378
=
2
21