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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS À FLEXÃO DE VIGAS (Curso de Engenharia Civil) Lucas da Mata Rocha Menezes1. Erica Dantas Pereira Gama2. RESUMO A base teórica da engenharia em grande parte vem da linguagem e análise matemática. Por isso o engenheiro deve ter um bom embasamento dos cálculos diferenciais e integral, equações diferenciais, álgebra linear entre outros recursos matemáticos para resolver a maioria dos problemas de engenharia. O objetivo desse artigo é mostrar uma aplicação de um dos métodos matemáticos chamado equações diferenciais à análise estrutural, mais especificamente à flexão de vigas, visando um melhor entendimento dos recursos e da aprendizagem das equações diferenciais através da utilização da mesma no comportamento de estruturas. PALAVRAS-CHAVE: Equações Diferenciais. Matemática. Engenharia.Flexão.Vigas. ABSTRACT The theoretical basis of engineering largely comes from the language and mathematical analysis. For this the engineer must have a good foundation for differential and integral calculations, differential equations, linear algebra and other mathematical tools to solve most engineering problems. The aim of this paper is to show an application of a mathematical method called differential equations for structural analysis, specifically bending of beams, seeking a better 1 Aluno do Curso de Engenharia Civil – Universidade Tiradentes. 2 Professora Titular – Universidade Tiradentes. understanding of resources and learning of differential equations by using the same behavior of structures. KEYWORDS: Differential Equations. Mathematics.Engineering.Flexion. Beams. INTRODUÇÃO As equações diferencias estão presentes em quase todos os tipos de estudo, não só em áreas de engenharia como em física, biologia, estatística entre outras, o que faz o seu estudo de grande importância. Uma das aplicações da equação diferencial é o estudo da mecânica dos sólidos em função de forças atuantes, podemos incluir como corpo sólido as vigas, que são elementos estruturais que são projetadas para receber carregamentos e suportar diversas cargas ao longo de sua extensão. O principal objetivo desse trabalho é fazer a associação das equações diferencias e a mecânica dos sólidos. Descrevendo a relação entre eles. Para melhor entendimento do trabalho será feito uma apresentação superficial das equações diferenciais priorizando as principais definições e métodos de resolução, para facilitar o entendimento da utilização dessa ferramenta. Após o expor os principais conceitos das equações diferenciais, será apresentada a base para o estudo de vigas assim como as forçasque atuam sobre a mesma. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é uma equação em que as suas incógnitas são funções e a equação envolve as derivadas dessas funções. Definição: Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma: F(x, y(x), y’(x), y’’(x),...,y(n)(x)) = 0. Exemplos: y’ + 5y = ex. ↔ + 5y = e x. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem. As equações diferencias de 1ª ordem são equações que podem ser escritas na forma:F(x,y,y’) = 0 Vamos ver equações de primeira ordem escritas como: Quando resolvemos uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem normalmente obtemos uma família de soluções que dependem de uma constante arbitrária. Se toda solução particular puder ser obtida da família de soluções que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos que a família de soluções é a solução geral da equação. Exemplo: , pode-se resolver por integração direta: , Que é uma solução geral da equação diferencial dada. Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem. Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma:a(x) y’’ + b(x) y’ + c(x) y = d(x) Onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x) são funções conhecidas somente da variável independente x. Exemplos de equações diferenciais lineares de segunda ordem: a) x2y’’ + sin(x) y’ + exy = u(x) b) y’’ − 7y’ + 12y = cos(x) CONCEITOS PRELIMINARES DA MECÂNICA. Força Normal (N) Força Normal é a componente da força interna que age perpendicularmente à seção transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da força, é chamada de força normal de tração ou solicitação de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido deaplicação da força, é chamada de força normal de compressão ou solicitação de compressão. Força Cortante (V) Força Cortante é componente de força interna que equilibra uma dada seção transversal de barra (ou viga), contida no plano da seção transversal que tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área), representadas pela letra grega τ (Thau). Momento Fletor (M). Considerando a análise de membros prismáticos sujeitos a dois conjugados ou momentos, iguais e de sentidos opostos, M e M’, atuando no mesmo plano longitudinal. Se passarmos uma seção transversal cortando a viga, as condições de equilíbrio de uma parte da viga exigem que os esforços elementares exercidos sobre essa parte formem um conjugado equivalente. Desse modo, a seção transversal da barra submetida à flexão pura apresentará esforços internos equivalentes a um conjugado. O momento M desse conjugado é chamado momento fletorda seção. Por convenção, indica-se como positivo o momento M que flexiona a barra e como negativo o caso em que M e M’ têm sentidosinversos. FLEXÃO DE VIGAS Vigas geralmente são elementos prismáticos retos e longos. Vigas de aço e de alumínio desempenham um papel importante na engenharia de estruturas e mecânica. Vigas de concreto armado e madeira são muito usadas na construção de casas. Na maioria dos casos, as forças são perpendiculares ao eixo da viga. Esse carregamento transversal provoca somente flexão e cisalhamento naviga. Quando as forças não estão em ângulo reto com o eixo da viga, elas produzem também forças axiais na viga (Ferdinand, 2006). O projeto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer uma investigação das cargas que atuam em seu interior para a garantia de que o material utilizado possa resistir a tal carregamento. Esses efeitos internos podem ser determinados pelo uso do método das seções. Em mecânica, os componentes da Força N, atuando à viga na região de corte, e V que atua tangente a essa região, são denominados força normal ou axial e força de cisalhamento, respectivamente. O momento M é denominado momento fletor (Hibbeler, 2005). As vigas são classificadas de acordo com a maneira como são vinculadas ou apoiadas. A figura a seguir mostrao tipo de viga usada frequentemente. A distância L mostrada naviga é chamada de vão. Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor. A determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do momento fletor em uma viga fica muito mais fácil se os valores V e M forem construídos graficamente em função da distancia x medida a partir de uma extremidade da viga. Além disso, o conhecimento de M em função de x é essencial para a determinação do deslocamento de uma viga. No exemplo da figura a baixo, os diagramas de forçacortante e momento fletor serão obtidos determinando-se os valores de V e M em pontos selecionados da viga. Esses valores serão determinados da maneira usual, isto é, cortando-se a viga no ponto onde eles devem ser determinados (figura 2a) e considerando o Figura 1(Figura - Representação de uma Viga em 3D Fonte: GASPAR: 2005.) equilíbrio da parte da viga localizada de cada lado da seção (figura 2b). Como as forças cortantes V e V’ têm sentidos opostos, registrar a força cortante no ponto C com uma seta para cima ou para baixo não teria significado, a menos que indicássemos ao mesmo tempo qual dos corpos livres AC e CB estamos considerando. Por esta razão, a força cortante V será marcada com um sinal: um sinal positivo se estiverem direcionadas, como mostra a figura 2b, e um sinal negativo, no caso contrario. Será aplicada uma convenção similar para o momento fletor M. Ele será considerado positivo se os momentos fletores estiverem direcionados, conforme mostrado naquela figura, e negativo caso contrario. Figura 2(Ferdinand, 2006) Curva de Deflexão (Coeficiente de Poisson). Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como: Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou n » 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isotrópico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente. Equações Diferenciais das Curvas de Deflexão. Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando para cima na extremidade livre. Figura 3 - Curva de deflexão de uma viga engastada. (Gere, 2003) Considerações: O plano xyé um plano de simetria da viga e todos os carregamentos atuam nesse plano (plano de flexão). O material segue a Lei de Hooke e consideramos somente deformações devido à flexão pura. Deflexão ν - É o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga, como apresenta a Figura 3b. Como y é positivo para cima, então ν é positivo. Vamos considerar a curva de deflexão com mais detalhes como mostra a Figura 4. Figura 4 - Curva de deflexão de uma viga. (Gere, 2003) Ângulo de rotação θ - É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de deflexão, como mostra a Figura 4b. Observações: θ é positivo no sentido anti-horário. Notação: Ângulo de rotação = Ângulo de inclinação = Ângulo de declive Ângulo de rotação em m2 = θ+dθ dθ- Aumento no ângulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2. Ângulo entre as normais as tangentes = dθ Ponto de interseção entre as normais as tangentes = O’ (Centro de curvatura) ρ - Raio de curvatura – Distância de O’ à curva e é dado pela seguinte expressão. ondedθé dado em radianos e dsé a distância ao longo da curva de deflexão entre os pontos m1e m2. A curvatura é dada por: A convenção de sinal para a curvatura é apresentada na Figura 5. Figura 5 - Convenção de sinal para a curvatura. (Gere, 2003) A inclinação da curva de deflexão é a primeira derivada . Geometricamente, a inclinação da curva de deflexão é o incremento dν na deflexão (conforme vamos do ponto m1 para o ponto m2) dividindo pelo incremento dxna distância ao longo do eixo x. Como dve dxsão infinitesimais tem-se que: De modo similar tem-se: Essas equações são validas para vigas de qualquer material Vigas com pequenos ângulos de Rotação: Estruturas encontradas na vida diária: Edifícios, Automóveis, Aeronaves, navios e etc. Essas estruturas sofrem pequenas variações na forma enquanto estão em serviço e não são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curva de deflexão da maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muito pequenos, deflexões muito pequenas e curvaturas muito pequenas. De acordo com a Figura 4, se o ângulo de rotação é muito pequeno, a curva de deflexão é quase horizontal. Dessa forma tem-se que: Assim a curvatura, pode ser dada por: Uma vez que quando é pequeno, tem-se o seguinte: Derivando a expressão anterior em relação a x temos: Igualando com a expressão da curvatura: A expressão anterior é válida para uma viga de qualquer material, com a condição de que as rotações sejam pequenas. Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dada por: Em que M é o momento fletor e EI é a rigidez a flexão da viga. Combinando as duas ultimas equações da deflexão produz-se a equação diferencial da curva de deflexão básica de uma viga. Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para se obter, ν, M e EI que são funções de x. Equações adicionais podem ser obtidas a partir das relações entre o momento fletorM, a força de cisalhamento V e a intensidade q da carga distribuída, como a seguir: Vigas Não-Prismáticas A rigidez a flexão EIxé variável. A equação torna-se: Diferenciando ambos os lados da equação anterior e usando as equações obtém-se: Vigas Prismáticas No caso de uma viga prismática (EI constante), as equações diferenciais tornam-se: Iremos nos referir a essas equações como a equação do momento fletor, a equação da força de cisalhamento e a equação do carregamento, respectivamente. Deflexões por integração da equação do momento fletor – Método de integrações Sucessivas Objetivo: Integrar duas vezes 1ª Integração → 2ª Integração → deflexão v Passos: 1- Escrever as equações para os momentos fletores da viga 2- Para cada região da viga substituímos as expressões para M na equação diferencial da elástica e integramos para obter a inclinação ν’ 3- Integramos cada equação da inclinação para obter ν. Observações: Cada integração produz uma constante de integração. As constantes de integração são obtidas a partir de condições relativas às inclinações e deflexões. As condições classificam-se em três categorias. Condições de contorno: relativas às inclinações e deflexões nos apoios das vigas, como exemplifica a Figura 6 e a Figura 7. Figura 6 - Condições de contorno em apoio simples.(Gere, 2003) Figura 7 - Condições de contorno no engaste (Apoio fixo). Fonte: Gere, 2003 APLICAÇÃO EM VIGAS BIAPOIADAS: Imaginemos uma viga isolada de uma estrutura de certo empreendimento, para a determinação da carga devemos levar em conta o próprio pesa desta viga “q” adicionado o peso resultante da parede sobre esta viga “p”. Esta carga “w” representada por q + p, é chamada de carregamento e tem como unidade Kg/m, ou seja, o peso da viga mais o peso da parede sobre esta viga gera certa quantidadede peso em Kg sobre cada metro ao longo do comprimento da viga analisada. A viga em analise está apoiada em sobre pilares em cada uma de sua extremidade (biapoiada), cada uma desses pilares representados pelas letras A e B, fornecerão as respectivas reações devido o carregamento aplicado. Conhecida a viga, os conceitos de equações e da mecânica dos sólidos, determine a equação da linha elástica (deflexão) de uma viga simples ABsuportando um carregamento uniforme de intensidade watuando por toda a extensão da viga. Determine também a flecha máxima vno ponto médio da viga. (Nota: A viga tem comprimento L e rigidez à flexão EI constante). Figura 8 - Viga Biapoiada com carregamento uniformemente distribuído. Fonte: Beer, 2006 Solução: Determinando o momento fletor desta viga: O momento fletor em uma secção transversal distante x de um dos apoios fixo é obtido considerando a reação no mesmo que é igual awL /2. Consequentemente, a expressão para o momento fletorM é: M = (1) Considerando a equação diferencial do momento fletor para uma viga prismática EI =M e substituindo em (1), obtemos: EI = (2) Essa equação pode ser utilizada para se obter a inclinação e a elástica da viga . Reescrevendo a equação diferencial (2) que é uma equação de variáveis separáveis, e integrando ambos os lados: EI = EI = + C1 (3) A equação diferencial (3) representa a inclinação da viga ( ). Para determinarmos C1na equação (3) observamos, a partir da simetria da viga e de seu carregamento, que a inclinação da curva de flexão na metade da extensão é igual a zero, e daí, temos a seguinte condição de simetria: Para , Então: 0= + C1 C1= A equação para a inclinação da viga torna-se então: EI = (4) (5) Para encontrar a deflexão da viga (v), temos que integrar a função (4): + C2 (6) A constante de integração C2 pode ser calculada a partir da condição de que adeflexão da viga no suporte fixo é igual a zero; isto é, v = 0 quando x = 0. C2=0, então: ou , (7) Essa equação da o deslocamento vertical em qualquer ponto ao longo do eixo da viga. Vale ressaltar que esse deslocamento é zero em ambas as extremidades da viga e negativa em qualquer outra parte, pois flechas para baixo são negativas por convenção. Flecha Máxima: Da simetria, observamos que a flecha máxima (deflexão máxima) ocorre no ponto médio do comprimento. Assim, fixando x igual a L/2 na equação (7), obtemos: max APLICAÇÃO EM VIGAS EM BALANÇO (ENGASTADAS). Imaginemos agora outra viga do mesmo empreendimento da aplicação anterior, só que esta viga não é biapoiada, ou seja, não possui apoio em uma de suas extremidades. O peso ao longo desta viga será o peso próprio da mesma w em Kg/m. vamos determinar a equação da linha elástica (deflexão) para uma viga engastada AB submetida a um carregamento uniforme de intensidade w.E também o ângulo de rotação e a deflexão v em B,na extremidade livre.(Nota: a viga tem comprimento L e rigidez de flexão EI constante). Solução: Considerando que a reação vertical no apoio é igual awLe que a reação do momento é igual a wL²/2 , o momento fletor à distância x do suporte fixo é expresso pela equação: (1) Quando a expressão precedente para o momento fletor é substituída na equação diferencial: EI Obtemos: EI (2) Agora integramos ambos os lados da equação (2) para obter a inclinação: EI + C1 (3) A constante de integração C1pode ser obtida a partir da condição de contorno de que a inclinação da viga é zero no suporte. Para x=0, = 0. Quando essa condição é aplicada à equação (3), obtemos C1 = 0. Em consequência, a equação (3) torna-se: EI (4) Assim, a inclinação é: (5) Como esperado, a inclinação é zero no suporte (x=0) e negativa por todo o comprimento da viga. A integração da equação (4) produz a equação da deflexão: EI + C2 (6) A constante C2é encontrada a partir da condição de contorno de que a flecha da viga é zero no suporte. Para x=0, v=0: Quando essa condição é aplicada na equação (6), vemos imediatamente que C2 = 0. Em consequência, a equação para a deflexão v é: (7) Como esperado, o deslocamento vertical v é zero no suporte (x = 0) e negativa (para baixo) em outras partes. O ângulo de rotação na extremidade B da viga é igual ao negativo da inclinação naquele ponto. Assim, usando a equação (5), obteremos, para x = L: (8) Esse é o ângulo de rotação máxima para a viga. Uma vez que a deflexão v é para baixo, ela é igual ao negativo da deflexão obtida a partir da equação (7). Para x = L max = Essa flecha é o deslocamento vertical máximo da viga. CONCLUSÃO É percebida a importância do entendimento de equações diferenciais enquanto ferramenta matemática disponível para diversos ramos da ciência, e em específico, para a engenharia, na necessidade de determinar as tensões e as deformações usando as propriedades físicas dos materiais, bem como as leis que regem o comportamento dessas estruturas. Ao realizar o estudo do comportamento de vigas percebemos a importância da relação da matemática e engenharia. A matemática fornecendo as ferramentas úteis para o entendimento de fenômenos que estão à nossa volta e aplicar para uma melhor produtividade na engenharia. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS SODRÉ, Ulysses (21 de maio de 2003). Equações Diferenciais Ordinárias. SANTOS, Reginaldo J.Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias / Reginaldo J. Santos. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2007. BEER, Ferdinand Pierre, 1915 – Resistencia dos Materiais / Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf; tradução Mario Moro Fecchio; revisão técnica Walter Libardi. – São Paulo: McGraw-Hill, 2006. HIBBELER, R. C. Estática : mecânica para engenharia, vol. 1 / R. C. Hibbeler; tradução EveriAntonio Carrara, Joaquim Nunes Pinheiro; revisão técnica Wilson Carlos da Silva Junior. – São Paulo: Pearson Prentive Hall, 2005.
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