Máquinas Simples e Princípio de Arquimedes

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Arquimedes
 
I – Introdução
A alavanca é uma das máquinas simples estudadas na Antiguidade grega. Uma máquina
simples é um dispositivo mecânico que muda a direção ou a intensidade de uma força. Em
geral, estes dispositivos podem ser definidos como os mecanismos mais simples que
utilizam a vantagem mecânica para multiplicar a força. O termo refere-se a seis
máquinas simples clássicas que foram definidas pelos cientistas da Renascença:
a) Alavanca; 
b) Cunha; 
c) Parafuso sem fim; 
d) Plano Inclinado; 
e) Polia; e 
f) Roda e eixo.
A ideia de máquina simples surgiu com o filósofo grego Arquimedes (287 A.C – 212
A.C.): alavanca, parafuso e polia. Ele descobriu o princípio da vantagem mecânica e
expressou: “Dê-me um ponto de apoio e eu moverei a Terra”. Essa afirmação expressa sua
percepção de que não há limite para a quantidade de amplificação de uma força que
poderia ser obtido por meio da vantagem mecânica. 
II - Lei das Alavancas
A alavanca é uma barra móvel que rotaciona em torno de um fulcro (Ponto de apoio de
uma alavanca). A alavanca opera através da aplicação de forças em diferentes
distâncias do fulcro. 
A figura 1 ilustra a lei das alavancas. Segundo Arquimedes, o trabalho realizado por
um operador ao empurrar para baixo o braço mais longo da barra é igual ao trabalho
realizado pelo braço mais curto ao levantar o corpo.
 
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Figura 1: Alavanca com pesos PA e PB distantes XA e XB do fulcro, respectivamente.
A vantagem mecânica da alavanca pode ser determinada considerando a igualdade dos
momentos polares, em relação ao fulcro. 
 
 
 
Sendo PA a força peso do bloco A e PB a força peso do bloco B. As distâncias XA e XB
são distâncias perpendiculares entre as forças e o fulcro.
Assim, pela igualdade dos momentos:
A vantagem mecânica da alavanca é dada pela razão entre as forças:
 
 
Esta equação demonstra que a vantagem mecânica pode ser calculada a partir da razão
entre as distâncias do ponto de aplicação das forças até o fulcro.
 
Saiba mais: Principle of the Lever from the Wolfram Demonstrations Project by S. M.
Blinder
III – Leis dos Corpos Flutuantes
Um corpo, ao ser mergulhado em um líquido, aparentemente tem seu peso diminuído,
chegando às vezes ser totalmente anulada quando o corpo flutua. Esse fenômeno ocorre
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devido a uma força que atua de baixo para cima, aplicada pelo líquido sobre o corpo,
sempre que o mesmo é mergulhado. A essa força chamamos de empuxo (E). 
 
Considere um recipiente contento água, figura 2a, mergulha-se nele uma esfera, figura
2b. Observa-se que a presença da água deslocou um certo volume (V) de líquido.
Figura 2: a) recipiente preenchido contendo água e b) deslocamento de água em virtude do mergulho de
uma esfera.
 
Com base nesse experimento, Arquimedes estabeleceu o seguinte princípio: Um corpo
mergulhado em um fluido em equilíbrio, recebe um empuxo vertical, de baixo para cima,
cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
 
Tomando um fluido de densidade constante, o empuxo vale:
sendo Pfluido o peso do fluido deslocado 
 
Para um determinado volume (V) deslocado em um fluido com densidade igual a d, tem-se:
 
como
onde mf é a massa do fluido deslocado e g a aceleração da gravidade. Assim:
Veja mais em: The Principle of Archimedes from the Wolfram Demonstrations Project by
Enrique Zeleny
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IV - Exercícios Resolvidos
Exemplo 1) Uma pessoa levanta uma pedra de 280 kg (P = 2800 N)por meio de uma alavanca. Esta
alavanca possui comprimento total de 2 m e a pedra está a 50 cm do fulcro. Sabendo que a
pessoa aplicou uma força máxima de intensidade F, determine a intensidade da força aplicada e
a vantagem mecânica obtida nesta situação.
Dados:
P = 2800 N
dP = 0,50 m
F = ?
dF = 1,50 m
Segundo apresentado na teoria, em uma alavanca a situação é satisfeita:
Assim,
 
A vantagem mecânica é obtida por meio da razão entre as distâncias ou entre as forças:
 
Portanto, para o problema apresentado a vantagem mecânica obtida foi de 3 (a força
aplicada pelo usuário foi amplificada 3 vezes).
Exemplo 2) Uma esfera de ouro com massa de 1 kg e densidade douro = 19,3 g/cm3, é totalmente
mergulhado em água. Qual é o empuxo sobre esta esfera e seu peso aparente considerando a
densidade da água como dágua = 1 g/cm3 ? Considere a aceleração gravitacional g = 10 m/s2.
 
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Dados:
m = 1 kg
douro = 19,3 g/cm3
dágua = 1 g/cm3
g = 10 m/s2
Como o bloco de ouro está totalmente submerso, pode-se afirmar que o volume de água deslocado
é exatamente igual ao volume do bloco. Assim:
Substituindo os valores fornecidos pelo problema:
 
Para o cálculo do empuxo (E), tem-se:
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O peso aparente (Pa) será:
Exercício 1:
Um bloco de gelo possui seção transversal de área A e altura H e está em equilíbrio
parcialmente submerso em água, conforme ilustrado a seguir. A altura submersa é
representada por h. As densidades do gelo e da água são respetivamente dG e dA. A
altura h vale, em m: 
Dados:
dG = 920 kg/m3 dA = 1000 kg/m3 H = 0,40 m g = 10 m/s2 A = 5×10-4 m2
 
A)
0,500
B)
0,123
C)
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0,256
D)
0,300
E)
0,368
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Exercício 2:
Um bloco de gelo possui seção transversal de área A e altura H e está em equilíbrio
parcialmente submerso em água, conforme ilustrado a seguir. A altura submersa é
representada por h. As densidades do gelo e da água são respectivamente dG e dA. A
força de empuxo que atua sobre o bloco de gelo vale, em N:
Dados:
dG = 920 kg/m3 dA = 1000 kg/m3 H = 0,40 m g = 10 m/s2 A = 5×10-4 m2
 
A)
1,28
B)
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1,84
C)
2,22
D)
3,13
E)
0,25
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Exercício 3:
Considere a figura ilustrada a seguir. Utilizando a lei da alavanca de Arquimedes,
determine o valor Y que preenche a tabela:
A)
456
B)
345
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C)
234
D)
144
E)
45
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Exercício 4:
Uma coroa foi confeccionada com ouro e prata, cujas densidades são respectivamente
douro e dprata. Sabe-se que a massa da caroa é m e o seu volume é V. Determine a massa
de ouro contida na coroa, em gramas.
Dados: douro = 19,3 g/cm3, dprata = 10,5 g/cm3, m = 2000 g e V = 120 cm3
A)345
B)
234
C)
566
D)
856
E)
1623
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Exercício 5:
Uma coroa foi confeccionada com ouro e prata, cujas densidades são respectivamente
douro e dprata. Sabe-se que a massa da caroa é m e o seu volume é V. Determine a
porcentagem de prata contida na coroa.
Dados: douro = 19,3 g/cm3, dprata = 10,5 g/cm3, m = 2000 g e V = 120 cm3
A)
25,5%
B)
55,8%
C)
11,3%
D)
18,8%
E)
7,5%
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Exercício 6:
Um rapaz deseja mover um objeto de massa m = 500 kg. Ele possui uma barra de 3 m de
comprimento, apoiada conforme a figura a seguir. Sabendo que o rapaz apoiou a barra a
0,5 m da pedra, qual a força F aproximadamente que ele terá que fazer para movimentar
a pedra? Despreze a altura do apoio.
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A)
F = 1000 N
B)
F = 2500 N
C)
F = 3000 N
D)
F = 3500 N
E)
F = 5000 N
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Exercício 7:
Uma esfera de volume 0,6 cm3 tem massa de 1,0 g. Ela está completamente mergulhada em
água e presa, por um fio fino, a um dos braços de uma balança, conforme a figura. A
massa específica da água é 1,0 g/cm3. Então, a massa m2 que deve ser suspensa no outro
braço da balança, para mantê-la em equilíbrio é, em gramas:
 
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A)
0,2
B)
0,3
C)
0,4
D)
0,5
E)
0,6
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Exercício 8:
Um engenheiro deseja determinar a massa específica de um líquido e para isso dispõe de
um dinamômetro, uma esfera de massa 1,0 kg e volume 0,6 m3. Ele mergulha a esfera,
presa ao dinamômetro por um fio ideal, no líquido que deseja determinar a massa
específica, e obtém a leitura de 3 N. A massa específica do líquido vale em, kg/m3:
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A)
0,63
B)
0,80 
C)
1,17 
D)
2,32 
E)
1,86
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Exercício 9:
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Um objeto de madeira flutua em água com dois terços de seu volume V submerso. Calcule
a densidade da madeira. Dado: dágua = 1000 kg/m³ 
Observação: na condição de equilíbrio, o peso equivale ao empuxo.
A)
666,7 kg/m³
B)
530,5 kg/m³
C)
430,1 kg/m³
D)
257,8 kg/m³
E)
720,0 kg/m³
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