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Material parte 1 - Estatística

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FACULDADE PITÁGORAS DE SÃO LUÍS 
Curso de ENGENHARIA de produção 
ESTATÍSTICA e probabilidade 
Prof. Oton ribeiro 
Material parte 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS – MA 
2014 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 2 
 
1. Introdução 
O termo Estatística provém da palavra latina status, que significa “Estado” e foi utilizado 
originalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em suas 
decisões. 
Como todas as ciências, a estatística tem suas raízes na história do homem. Embora nem existisse a 
palavra escrita como a conhecemos hoje, há indícios que desde a antiguidade, os povos já registravam o 
número de nascimentos, levantam informações sobre homens aptos a guerrear, cobravam impostos e 
realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de Estatística. 
A estatística trata dos métodos científicos para coleta, organização, resumo, apresentação e análise 
de dados, visando também a tomada de decisões. 
 
2. População e amostra 
Ao coletar dados sobre as características de um conjunto de elementos, como, por exemplo, as peças 
de automóveis produzidas por uma indústria, os carros que passam por um determinado farol ou as 
preferências da população sobre candidatos a uma determinada eleição, nem sempre é possível considerar 
todos os elementos, ou seja, toda a população ou universo. Considera-se, então, apenas uma pequena parte 
do todo, chamada amostra. No caso da eleição, a população é formada por todos os cidadãos com direito a 
voto e amostra é formada por pelos eleitores que serão entrevistados. 
 
2.1 Amostragem 
 Amostragem é uma contagem ou medição de parte de uma população e é mais comumente usada nos 
estudos estatístico. Para coletar dados imparciais, o pesquisador deve ter certeza de que a amostra representa 
a população, pois se esses dados apresentar falhas, os resultados são questionáveis. Mesmo com os melhores 
métodos de amostragem, um erro de amostragem pode acontecer. Um erro de amostragem é a diferença 
entre os resultados da amostra e da população. Quando aprendemos sobre estatística inferencial, também 
aprendemos técnicas para controlar esses erros de amostragem. 
 Uma amostra aleatória é aquela na qual todos os membros de uma população têm chances iguais de 
serem selecionados. Uma amostra aleatória simples é aquela na qual toda amostra possível de mesmo 
tamanho tem a mesma chance de ser selecionada. 
Nota: Uma amostra tendenciosa é aquela que não é representativa da população da qual é extraída. Por 
exemplo, uma amostra consistindo apenas de estudantes universitários entre 18 e 22 anos não seria 
representativa de toda a população entre 18 e 22 anos do pais. 
 
3. Estatística descritiva 
A parte da estatística que apenas descreve e analisa um conjunto de dados é chama Estatística 
descritiva. Nela não são tiradas conclusões. 
 
4. Estatística indutiva 
Também é chamada de Inferência estatística. A partir da análise de dados são tiradas conclusões. A 
Estatística indutiva trata das inferências e conclusões. 
 
5. Variáveis contínuas e discretas 
Uma variável que pode assumir qualquer valor entre dois valores dados é uma variável contínua. Se 
isto não for possível, a variável é chamada variável discreta. 
 
Exemplos 
1) Os resultados do lançamento de um dado podem assumir os valores 1, 2, 4, etc., mas não os valores 2,3 ou 
4,2. Logo a variável é discreta. 
2) Os pesos ou alturas de um conjunto de pessoas podem assumir, teoricamente, qualquer valor. Logo, a 
variável é contínua. 
Observação: De modo geral as contagens resultam em variáveis discretas e as medições em variáveis 
contínuas. 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 3 
 
 
Exemplos de variáveis 
1) População: Bolsa de valores de São Paulo - Variável: número de ações negociadas. 
R: Variável discreta 
2) População: Pregos produzidos por uma máquina - Variável: comprimento. 
R: Variável contínua 
3) População: Pessoas residentes em uma cidade - variável: idade. 
R: Variável contínua 
Para atingir os objetivos da Estatística descritiva, os dados observados são muitas vezes 
sistematizados e apresentados em formas de tabelas ou gráficos, os quais irão fornecer rápidas e seguras 
informações a respeito das variáveis em estudo. Uma das tabelas mais utilizadas na estatística é distribuição 
de frequências. Os gráficos associados a ela são o gráfico de frequências (denominados histogramas, para o 
caso de variáveis quantitativas contínuas), o polígono de frequências, o gráfico de frequência acumulada e o 
polígono de frequência acumulada. 
 
6. Coleta de Dados 
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do planejamento da pesquisa 
(forma pela qual os dados serão coletados; cronograma das atividades; custos envolvidos; exame das 
informações disponíveis; delineamento da amostra, etc.), o passo seguinte é a coleta dos dados, que consiste 
na busca ou compilação dos dados das variáveis, componentes do fenômeno a ser estudado. 
 A coleta pode ser direta e indireta. A coleta dos dados é direta quando os dados são obtidos 
diretamente da fonte originária, como no caso da empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência 
dos consumidores pela sua marca. A coleta dos dados é indireta quando é inferida a partir dos elementos 
conseguidos pela coleta direta, como por exemplo a pesquisa sobre mortalidade infantil, que é feita através 
de dados colhidos por uma coleta direta. 
 A coleta de dados direta pode ser classificada em contínua, periódica, ocasional. 
 Contínua – quando feita continuamente, como as frequências dos alunos às aulas. 
 Periódica – quando feita em intervalos constante de tempo, como os sensos em 10 e 10 anos. 
 Ocasional – quando feita esporadicamente, como no caso de epidemias. 
 
7. Gráficos 
Os gráficos permitem a representação da relação entre variáveis e podem facilitar a compreensão dos 
dados, se apresentados de forma clara e objetiva. Em Estatística são usados os gráficos de linha, de barras, de 
setores, de colunas, pictóricos, cartograma. 
 
7.1 Gráficos de Linhas 
Os dados são colocados num sistema cartesiano ortogonal. Em geral representam dados de uma 
tabela. 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 4 
 
 
7.2 Gráficos de Barras 
Nesse tipo de gráfico usamos retângulos com bases de mesma medida e separados por distâncias. As 
frequências dos fatos observados são dadas pelas as alturas (comprimentos) dos retângulos. Anotadas no eixo 
x, se as barras forem horizontais e anotadas no eixo y se forem verticais. 
 
 
 
 
7.3 Gráficos de Setores 
Os dados são apresentados em setores circulares que são proporcionais aos valores. Fazemos 
corresponder a uma volta do círculo (360°) o total (100%) dos dados e estabelecemos através de uma regra 
de três, o ângulo relativo ao setor circular de acordo com cada valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4 Pictograma 
Os dados nos gráficos de barras podem ser representados por diferentes formas de figuras, tais como 
pessoas, objetos, etc. Esses gráficos recebem o nome de pictóricos. 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 5 
 
 
7.5 Cartograma 
O cartograma é a representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o 
objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
 
8. Exercícios propostos 
1) Para você o que é estatística 
2) Como uma amostra é relacionada a uma população? 
3) Para você o que é coletar dados? 
4) Como podem ser apresentados ou expostos os dados?5) Classifique em verdadeiro ou falso 
a) Um dado estatístico é uma medida que descreve as características de uma população. 
b) um censo é uma contagem de parte da população. 
c) É impossível para o Bureau que realiza os censos nos EUA obter todos os dados de censo sobre a 
população dos Estados Unidos. 
d) A estatística inferencial envolve o uso de uma população para chegar a conclusões sobre a amostra 
correspondente. 
e) A palavra estatística deriva do grego status, que significa “estado”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 6 
 
9. Distribuição de frequências 
 
9.1 Dados brutos (rol) 
Vamos considerar as notas de 40 alunos do curso de Engenharia de Produção 3° período da 
Faculdade Pitágoras – São Luís-MA. 
1 8 4 9 6,5 6 9 10 2 3 
8,5 4 9 6 5 5,5 6,5 9 8 7 
4,5 6 6,5 7,5 5 6 5,5 8 9 8 
6 7 8 9 10 3 2,5 1,5 4 7 
 
Colocando estes dados em ordem crescente, vamos obter uma nova tabela denominada rol: 
1 1,5 2 2,5 3 3 4 4 4 4,5 
5 5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6,5 
6,5 6,5 7 7 7 7,5 8 8 8 8 
8 8,5 9 9 9 9 9 9 10 10 
 
Vamos estabelecer a amplitude do rol, que é a diferença entre o maior e menor valor. No caso, temos 
10 – 1 = 9 como amplitude do rol. 
O número de vezes que um determinado valor se repete é denominado como frequência deste valor. 
Podemos então formular uma nova tabela onde a cada valor associado a sua frequência. 
Notas Frequências 
1 1 
1,5 1 
2 1 
2,5 1 
3 2 
4 3 
4,5 1 
5 2 
5,5 2 
6 5 
6,5 3 
7 3 
7,5 1 
8 5 
8,5 1 
9 6 
10 2 
 
 
 
A tabela continua muito extensa. Vamos agrupar de 0 a 2 (0 2, fechado em 0 e aberto em 2, que 
não é do intervalo), de 2 a 4 (2 4), de 4 a 6 (4 6), de 6 a 8 (6 8) e de 8 a 10 (8 10). Assim, temos: 
 
 
 
Notas Frequências 
0 2 2 
2 4 4 
4 6 8 
6 8 12 
8 10 14 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 7 
 
A esta tabela chamamos de distribuição de frequências com intervalos de classe. 
Observe que esta última distribuição pode ser feita sem passar pela distribuição intermediária. 
Na distribuição feita temos cincos intervalos de classe (0 2, 2 4, ..., 8 10). Cada intervalo de 
classe tem amplitude 2 (2 – 0 = 4 – 2 = ... = 10 - 8). 
Aos extremos de cada classe chamamos de limites, que podem ser inferior ou superior. Assim, 0, 2, 
4, 6 e 8 são os limites inferiores e 2, 4, 6, 8 e 10 são limites superiores. 
Temos também a frequência relativa ou percentual (Fr), onde a frequência de cada classe associa-se o 
percentual que esta representa em relação à frequência total. Já a frequência acumulada (Fa) de cada classe é 
dada pela soma das frequências de todas as classes desde a 1ª até a classe considerada. 
 
Notas Frequências Fr Fa 
0  2 2 5% 2 
2  4 4 10% 6 
4  6 8 20% 14 
6  8 12 30% 26 
8 10 14 35% 40 
 f = 40 
 
 
Exemplo 1 
Sejam as alturas em (em centímetros) de 25 alunos de uma determinada classe: 
 
150 159 157 151 152 
156 153 163 159 175 
162 162 164 158 159 
164 168 166 160 162 
170 169 174 165 167 
 
a) Dispor os dados em ordem crescente. 
b) Calcular a amplitude do rol. 
c) Calcular a amplitude de cada intervalo de classe. 
d) Achar a distribuição de frequências com intervalos de classe, a frequência relativa ou percentual (Fr) e a 
frequência acumulada (Fa). 
 
solução 
a) 
150 151 152 153 156 
157 158 159 159 159 
160 162 162 162 163 
164 164 165 166 167 
168 169 170 174 175 
 
b) Amplitude do Rol = 175 – 150 = 25 (diferença entre o maior e menor valor) 
c) Procuramos estabelecer um número razoável de classes, considerando que a amplitude total é 25. 
Assim, podemos formar 5 classes, tendo cada intervalo de classe a amplitude 5 (25:5). Embora o 
número i de intervalos seja dado por , o aluno pode usar o bom senso para cada 
caso. Temos então os intervalos de classe , 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 8 
 
 , , e . 
d) 
Altura (cm) Frequência 
 4 
 6 
 7 
 5 
 3 
 
Frequência relativa (%) 
• De , vem: • De , vem: 
 
 
 
 x = 16% 
 
 
 x = 24% 
 
• De , vem: • De , vem: 
 
 
 
 x = 28% 
 
 
 x = 20% 
 
• De , vem: 
 
 
 
 x = 12% 
 
Frequência acumulada 
 , temos 4. 
 , temos 4 + 6 = 10. 
 , temos 4 + 6 + 7 = 17. 
 , temos 4 + 6 + 7 + 5 = 22. 
 , temos 4 +6 + 7 + 5 + 3 = 25. 
Logo: 
Alturas (cm) Frequências Fr (%) Fa 
 4 16 4 
 6 24 10 
 7 28 17 
 5 20 22 
 3 12 25 
O cálculo de classes e suas amplitudes pode ser obtido pelas seguintes fórmulas: 
 
 e 
 
 
 
Onde: 
K é o número de classes 
n é o número de elementos (dados) 
h é a amplitude das classes 
Ar é a amplitude do rol 
 
Exemplo 2 
sejam as alturas (em centímetros) de 25 alunos de uma classe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
150 159 157 151 152 
156 153 163 159 175 
162 162 164 158 159 
164 168 166 160 162 
170 169 174 165 167 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 9 
 
a) Dispor os dados em rol; 
b) Calcular a amplitude do rol; 
c) Calcular o nº de classes e a amplitude para cada intervalo de classe; 
d) Achar a distribuição de frequências com intervalos de classe, a frequência relativa e a frequência 
acumulada. 
Solução: Colocando os dados em ordem crescente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AR = 175 – 150 = 25 (diferença entre o maior e menor valor) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Altura freq fr fa 
150 155 4 16% 4 
155 160 6 24% 10 
160 165 7 28% 17 
165 170 5 20% 22 
 
 
3 12% 25 
 = 25 
 
9.1.1 Exercícios propostos 
1) Os números abaixo, nos fornece, por faixa etária, a frequência com que ocorre determinada doença, para 
um grupo de 50 pessoas estudadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agrupe os dados acima em uma distribuição de frequência. 
 
 
 
 
 
 
150 151 152 153 156 
157 158 159 159 159 
160 162 162 162 163 
164 164 165 166 167 
168 169 170 174 175 
72 60 64 41 57 42 45 59 43 55 
43 45 47 62 69 48 59 50 51 52 
40 52 59 53 57 55 44 56 53 57 
57 41 58 59 43 50 59 52 63 40 
62 47 60 41 64 65 68 48 69 52 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 10 
 
2) Um teste para aferir o quociente de inteligência da turma do 4° período do curso de Engenharia Mecânica 
da Faculdade Pitágoras São Luís deu origem a sequência de valores. 
 
 
111 90 121 105 122 61 128 112 128 93 
108 138 88 110 112 112 97 128 102 125 
87 119 104 116 96 114 107 113 80 113 
123 95 115 70 115 101 114 127 92 103 
78 118 100 115 116 98 119 72 125 109 
79 139 75 109 123 124 108 125 116 83 
94 106 117 82 122 99 124 84 91 130 
Escreva a distribuição de frequência para os dados acima. 
 
 
9.2 Representações Gráficas de uma Distribuição de Frequência 
A representação gráfica de uma distribuição de frequências é feita pelo o histograma e pelo polígono 
de frequências. 
Utilizaremos nos gráficos mencionados o plano cartesiano xOy, onde no eixodas abscissas 
colocaremos os valores das variáveis e o eixo das ordenadas as frequências. 
 
9.2.1 Histograma 
O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam no eixo 
das abscissas, de tal modo que seus pontos médios coincidem com os pontos médios dos intervalos de classe. 
Obs. As larguras dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe e as alturas proporcionais 
às frequências das classes. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 11 
 
9.2.2 Polígono de Frequências 
É um gráfico de linhas, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, 
levantadas pelos os pontos médios dos intervalos de classe. 
Exemplo: 
 
 
 
 
10. Medidas de Tendência Central ou Medidas de Posição 
 
Essas medidas têm como objetivo ressaltar as tendências características de cada distribuição, 
isoladamente, ou em confronto com as outras. 
Dentre as medidas de uma distribuição, usaremos a média aritmética, a mediana e a moda, pois 
ocupam posições especiais. São medidas de tendência central, devido ao fato de ocuparem posições centrais 
numa distribuição. 
 
10.1 Média Aritmética ( ) 
É o quociente da divisão da soma dos valores pelo número de elementos. 
 Se x1, x2, x3, ..., xn são os elementos, então: 
 
 n
n
 
 
n
 
n
 
Exemplo 
Para os elementos 2, 4, 5, 8 e 9, temos: 
 
 
Média aritmética para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Se os elementos x1, x2,..., xn apresentam, respectivamente, frequências f1, f2, ..., fn, então: 
 
 ifi
n
i 
 fi
 
Onde: fi i
n
i 
Trata-se da média aritmética pondera. 
Exemplo 1 
Notas ( i) Frequências (fi) fi 
2,0 2 
4,5 3 
6,0 10 
8,0 9 
9,0 7 
 fi = ifi
n
i = 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 12 
 
 Com intervalos de classe 
Nesse caso, consideramos todos os valores de um determinado intervalo como coincidentes com o 
ponto médio (mi) do intervalo. 
Temos então: 
 
 fi i
n
i 
 
 
Exemplo 
 
Notas Frequências (fi) Ponto médio (mi) fi mi 
 5 
 7 
 12 
 15 
 9 
 = fi i
n
i 
 
 
 fi i
n
i 
 
 
 
 
10.2 Mediana (Md) 
 
Mediana para dados não agrupados 
Dispondo os elementos em ordem crescente, a mediana é o valor intermediário ou a média dos 
valores intermediários. 
a) O número de valores observados é ímpar. 
Exemplo: Considere o conjunto de dados A = {6, 5, 9, 8, 4, 2, 1}. 
 
Md = 
 
b) O número de valores observados é par. 
Exemplo: Considere o conjunto de dados A = {10, 8, 5, 9, 8, 11, 3, 2}. 
 
Md = 
 
Mediana para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Basta considerar a frequência acumulada e elementos intermediários. 
Exemplo 
 
Salários fi fa 
90 10 
110 14 
130 10 
150 7 
170 9 
 
 
 Com intervalos de classe 
Devemos inicialmente localizar a classe mediana, ou seja, a que contém o elemento 
 fi
 
, Em seguida, 
calculamos seu valor usando a fórmula: 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 13 
 
 d d 
 
 
 ant 
fd
 d 
 
Onde: 
 d: limite inferior da classe mediana 
 ant: soma das frequências das classes anteriores à classe mediana. 
 d: amplitude da classe mediana 
fd: frequência da classe mediana. 
 
 
Exemplo 
Calcule a mediana para a seguinte distribuição: 
 
Salários fi fa 
0 7 
4 8 
8 13 
12 14 
16 6 
 = 
 
 
 
 
 
10.3 Moda (Mo) 
A moda de um conjunto de elementos é o elemento que ocorre com maior frequência. 
Um conjunto de elementos pode ter uma moda, mais de uma ou não ter moda. 
Exemplos 
1) A moda do conjunto de números 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7. 
Mo = 5, que ocorre com frequência 3. 
 
2) No conjunto 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7 e 8, temos os números 3, 5 e 7 com frequência 2. Temos, portanto, três 
modas que são 2, 4 e 6. 
 
3) No conjunto 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, não temos moda. 
 
 
Moda para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Basta considerar a medida com maior frequência. 
 
Exemplo 
 
x fi 
1 5 
3 10 
7 7 
10 11 
12 9 
Mo = 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 14 
 
 Com intervalos de classe 
 Devemos considerar a classe modal, que é a classe que apresenta maior frequência. Consideramos 
como moda de uma distribuição de frequências o valor compreendido entre os limites da classe modal. Tal 
valor, pelo processo de Czuber, é dado por: 
 o o 
 o
 
 
Onde: 
 o: limite inferior da classe modal 
 o: amplitude da classe modal 
 : frequência da classe modal menos frequência da classe anterior à modal 
 : frequência da classe modal menos frequência da classe posterior à modal. 
 
Exemplo 
Calcular a moda para a distribuição de frequências que apresentam tempos gastos por jogadores de 
um clube para percorrer uma certa distância: 
 
Tempo (s) fi 
10 7 
20 6 
30 5 
40 12 
50 60 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 15 
 
11. Medidas de Dispersão 
As medidas de tendência central (média, mediana e moda) descrevem apenas uma das 
características dos valores numéricos de um conjunto de observações, o da tendência central. Porém, 
nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados. Em qualquer grupo de 
dados os valores numéricos não são semelhantes e apresentam desvios variáveis em relação a tendência geral 
de média. 
As medidas de dispersão (amplitude total, desvio médio, variância e desvio padrão) servem para 
avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Desse 
jeito, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média. 
É fácil demonstrar que apenas a média é insuficiente para descrever um grupo de dados. Dois grupos 
podem ter a mesma média, mas serem muito diferentes na amplitude de variação de seus dados. Por 
exemplo: 
-Grupo A (dados observados): 5; 5; 5. 
-Grupo B (dados observado): 4; 5; 6. 
-Grupo C (dados observados): 0; 5; 10. 
A édia dos três grupos é a es a (5), as no grupo “A” não á variação entre os dados, enquanto 
no grupo “B” a variação é enor que no grupo “C”. Dessa for a, u a aneira ais co pleta de apresentar 
os dados (além de aplicar uma medida de tendência central como a média) é aplicar uma medida de 
dispersão. 
11. 1 Amplitude total 
Trata-se da diferença entre o maior e o menor valor ocorridos numa distribuição de frequências. 
Exemplos 
1) Para os números 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11 e 15 a amplitude total é 15 – 3 = 12. 
2) Se considerarmos uma distribuição de frequências com intervalos , ,..., 
 , a amplitude total é igual a 200 – 160 = 40, ou seja, a diferença entre o maior limite superior e o menor 
limite inferior. 
 
 
11. 2 Desvio Médio 
Para um conjunto de números x1, x2, ..., xn, de média aritmética , definimos o desvio médio (dm) 
por: 
d 
 i 
n
 
Exemplo 
1) Calcular o desvio médio para os números 2, 5, 6, 7, 10 e 12. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desvio Médio para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Se os elementos x1,x2,..., xn apresentam, respectivamente, frequências f1, f2, ..., fn. Então, definimos 
desvio médio para uma distribuição de frequência sem intervalo de classe por: 
d 
 i 
 
 
Lembrando que: 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 16 
 
 
 fi i
n
i 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule o desvio médio para a distribuição abaixo: 
 
x fi Xi fi 
3 5 
4 10 
6 8 
7 5 
9 6 
 
 
 
d 
 
 
 Com intervalos de classe 
 
Se os elementos x1, x2,..., xn apresentam, respectivamente, frequências f1, f2, ..., fn. Então, definimos 
desvio médio para uma distribuição de frequência com intervalo de classe por: 
d 
 i 
 
 
 
Lembrando que: 
 
 fi i
n
i 
 
 
 
Exemplo: Calcule o desvio médio para a duração de uma determinada lâmpada: 
 
Horas fi 
10 3 
15 4 
20 7 
25 12 
30 35 6 
 
 
Solução 
Para calcularmos a média aritmética, precisamos encontrar os valores médios (mi) e os produtos (fimi). 
Assim: 
 
 
Nº de horas 
 
(fi) 
 
(mi) 
 
mifi 
 
 
10 3 
15 4 
20 7 
25 12 
30 35 6 
 = = = 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 17 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
 i 
 
 
 
 
 
11. 3 Desvio Padrão (dp ou ) 
No estudo do desvio médio observa-se que a dificuldade em se operar com o mesmo, se deve à 
presença do módulo, para que as diferenças possam ser interpretadas como distâncias. Então, uma 
maneira de se resolver essa problemática é considerar o quadrado dessas diferenças 
 , com isso 
obtemos uma nova medida de dispersão, chamada variância. 
Portanto, variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos 
entre os elementos da série e a sua média. O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
Obs: A variância será denotada por e o desvio padrão por . 
 
O cálculo da variância é dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
e o desvio padrão, por: 
 
 
Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão para a sequência: X: 2, 5, 8. 
 
 
 
 
 
 
 
Desvio Padrão para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
Definimos a variância para uma distribuição de frequência sem intervalos de classe, como sendo uma 
média aritmética ponderada dos quadrados dos desvios dos elementos da série para a média da série. 
O cálculo da variância é dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
e o desvio padrão, por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 18 
 
Exemplo 
 Calcule o desvio para a distribuição abaixo 
 
 Notas ( i) (fi) fi 
 
 
3 3 
5 5 
8 2 
10 6 
11 7 
 = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com intervalos de classe 
A definição é a mesma da anterior, a diferença está no cálculo de obtenção, pois devemos substituir 
os valores de xi por mi. 
O cálculo da variância é dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 
e o desvio padrão, por: 
 
 
Exemplo 
Calcule o desvio padrão da distribuição dada: 
 
Custo fi 
 6 
 4 
 7 
 9 
 
Vamos precisar das colunas mi, fimi e 
 Assim: 
 
Custo fi mi fimi 
 
 6 
 4 
 7 
 9 
 = = 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 19 
 
12. Exercício propostos 
1°) Considerando os conjuntos de dados: 
A= {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}, B = {20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7}, C = {51,6; 48,7; 50,3; 49,15; 48,9}, D = { 
15, 18, 20, 13, 10, 16, 14}. 
Calcule: 
a) a média b) a mediana c) a moda 
2°) A distribuição dada apresenta os pares de calçados vendidos numa loja em um determinado dia, de 
acordo com o número usado de uma certa marca. Calcule a média aritmética, e a mediana. 
 
Número usado Frequência 
34 6 
35 8 
36 7 
37 11 
38 10 
39 8 
40 9 
41 7 
 
3°) Calcule a média, moda e a mediana para as notas da distribuição dada: 
Notas fi 
 3 
 6 
 14 
 11 
 7 
 
4°) Calcule a média, mediana e moda para a distribuição que apresenta os salários de uma empresa: 
Salários Frequência 
10 15 
 3 
 9 
 3 
 2 
 1 
 
5°) Calcule o desvio médio e o desvio padrão para as seguintes distribuições: 
 
Intervalos Frequência 
 5 
 7 
 9 
 15 
 14 
 7 
 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 20 
 
6°) Os números abaixo, nos fornece, por faixa etária, a frequência com que ocorre determinada doença, para 
um grupo de 50 pessoas estudadas, com idade entre 40 e 72 anos. Calcule a média, moda e mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7°) Para a distribuição das notas abaixo, determine: 
 
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57 
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89 
a) o histograma e o polígono de frequências b) a média aritmética 
c) a moda d) a mediana 
e) o desvio médio f) o desvio padrão 
8°) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo 
o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os 
seguintes dados: 
 
 10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 
 09 14 19 20 32 18 16 26 24 20 
 07 18 17 28 35 22 19 39 18 21 
 15 15 22 20 25 28 30 16 12 20 
 
Agrupe por frequência e em seguida encontre: 
a) o histograma e o polígono de frequências b) a média aritmética 
c) a moda d) a mediana 
e) o desvio médio f) o desvio padrão 
 
9°) Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas físicas em uma agência, em determinado dia, 
obtendo os seguintes saldos em dólares: 
52.500,00 18.300,00 35.700,00 43.800,00 22.150,00 
 6.830,00 3.250,00 17.603,00 35.600,00 7.800,00 
16.323,00 42.130,00 27.606,00 18.350,00 12.521,00 
25.300,00 31.452,00 39.610,00 22.450,00 7.380,00 
28.000,00 21.000,00 14.751,00 39.512,00 17.319,00 
Agrupe, por frequência, estes dados e calcule: 
a) a média aritmética; 
b) a moda 
c) a mediana; 
d) o desvio médio; 
f) o desvio padrão.72 60 64 41 57 42 45 59 43 55 
43 45 47 62 69 48 59 50 51 52 
40 52 59 53 57 55 44 56 53 57 
57 41 58 59 43 50 59 52 63 40 
62 47 60 41 64 65 68 48 69 52

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