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EAD 350EAD 350 Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional Atividade 3 Atividade 3 -- SoluçõesSoluções Prof. Hiroo Takaoka takaoka@usp.br FEA/USP Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício G para 16/03 (Exercício G para 16/03 (aula será no Lab. aula será no Lab. InformaticaInformatica)) Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos realizadosrealizados Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício G para 16/03 (Exercício G para 16/03 (aula será no Lab. aula será no Lab. InformaticaInformatica)) Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos realizadosrealizados • Uma empresa pretende fabricar dois produtos, A e B. O volume de vendas de A será de no mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não poderá vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é 240 quilos. As taxas de utilização da matéria prima são 2 quilos por unidade de A e 4 quilos por unidade de B. Os preços unitários de venda estimados pelo departamento de marketing para A e B são $20 e $ 50 respectivamente. Determine o mix de produto que otimize o faturamento da empresa . • Questões – Elabore o modelo de PL para o problema descrito. – Determine a solução pelo método gráfico. – O departamento de marketing estima que há uma margem de erro de 20% para mais ou menos em relação aos preços unitários estimados. A solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro? Porque sim ou porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise de sensibilidade para os parâmetros da função Z) X2 X120 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 2X1 + 4X2 < 240 (3) Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABC A B 0 Ponto X1 X2 Z A 0 0 0 B 80 20 2600 C 100 10 2500 D 100 0 2000 Max Z (Lucro) = 20X1 + 50X2 Sujeito a 0,2X1 – 0,8X2 > 0 (Mínimo Produto A (1) X1 < 100 (Máximo Produto A (2) 2X1 + 4X2 < 240 (Matéria prima (3) X1, X2 > 0 0,2X1 – 0,8X2 < 0 (1) Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks X1 < 100 (2) C D X2 X120 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 2X1 + 4X2 < 240 (3) A B 0 0,2X1 – 0,8X2 < 0 (1) Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks D X1 < 100 (2) a) “Girando” no sentido horário, a reta limite será a restrição 3 No limite, teremos as duas retas (Z e restrição 3) praticamente paralelas e os coeficientes angulares muito próximos 4 2 2 1 c c Segue-se que: 25 4 2 50 1 1 cc 40 4 220 2 2 c c 12 50 20 50 XZX 2 1 c c 4 2 C X2 X120 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 2X1 + 4X2 < 240 (3) A B 0 0,2X1 – 0,8X2 < 0 (1) Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks D X1 < 100 (2) a) “Girando” no sentido anti horário, a reta limite será a restrição 1 No limite, teremos as duas retas (Z e restrição 1) praticamente paralelas e os coeficientes angulares muito próximos 8 2 2 1 c c Segue-se que: 5,12 8 2 50 1 1 cc 80 8 220 2 2 c c 12 50 20 50 XZX 2 1 c c 8 2 8 2 C Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks • Questão – O departamento de marketing estima que há uma margem de erro de 20% para mais ou menos em relação aos preços unitários estimados. A solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro? Porque sim ou porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise de sensibilidade para os parâmetros da função Z) • Resposta – Sim, a solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro, porque a margem de erro está contida no intervalo da análise de sensibilidade como mostra os dados abaixo: • Margem de erro do preço do produto A: • Análise de sensibilidade: 255,12 preçoA 2416 preçoA Uma empresa de engenharia está considerando o tempo disponível de máquinas para a produção de três produtos: 1, 2 e 3. As horas requeridas para cada unidade de produto e o tempo disponível em uma semana por máquina são: Máquina 1 2 3 Tempo horas/semana Produto A 4 h 1 h 1,5 h 100 h B 2 h 1,5 h - 50 h C 1 h - 0,5 h 25 h Os produtos 1 e 2 podem ser vendidos em qualquer quantidade, mas o produto 3 pode ser vendido até no máximo 10 unidades por semana. O lucro unitário é de R$10, R$3 e R$4 para os produtos 1, 2 e 3 respectivamente. Qual será o mix de produtos que a empresa deve fabricar para obter o lucro máximo? Atividade Atividade 33 –– Exercício F para 16/03 (Exercício F para 16/03 (aula aula será será no Lab. no Lab. InformaticaInformatica)) Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos realizadosrealizados Atividade Atividade 33 –– Exercício F para 16/03 (Exercício F para 16/03 (aula aula será será no Lab. no Lab. InformaticaInformatica)) Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos realizadosrealizados Exercício F Exercício F -- Modelo de PL Modelo de PL Exercício F Exercício F -- Modelo de PL Modelo de PL Variáveis Decisão x1 = Quantidade Produto 1 x2 = Quantidade Produto 2 x3 = Quantidade Produto 3 Função Objetivo Max Z = 10x1 + 3x2 + 4x3 Restrições 4,0x1 + 1,0x2 + 1,5x3 < 100 (Máquina A) 2,0x1 + 1,5x2 < 50 (Máquina B) 1,0x1 + 0,5x3 < 15 (Máquina C) 1,0x1 < 10 (Limite Venda Produto 1) x1, x2 > 0 • A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo • Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais de uma tonelada (1t) • A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t) A) Formule o modelo de PL para esse problema B) Resolva o problema pelo método gráfico. C) Calcule preços sombra. Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício B para 16/03 Exercício B para 16/03 Entregar Entregar em papelem papel, , individualindividual, no início da , no início da aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício B para 16/03 Exercício B para 16/03 Entregar Entregar em papelem papel, , individualindividual, no início da , no início da aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados Matéria PrimaMatéria Prima Consumo de Matéria PrimaConsumo de Matéria Prima por Tonelada de Tinta por Tonelada de Tinta Disponibilidade Disponibilidade Diária de Matéria Diária de Matéria Prima por DiaPrima por Dia (Tonelada)(Tonelada) Tinta paraTinta para ExterioresExteriores Tinta paraTinta para InterioresInteriores M1M1 66 44 2424 M2M2 11 22 66 Lucro por Lucro por ToneladaTonelada 55 44 X1 X2 X11 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6X1 + 4X2 < 24 (M1) Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABCDEF A C 0 E F Ponto X1 X2 Z A 0 0 0 B 0 1 4 C 1 2 13 D 2 2 18 E 3 1,5 21 F 4 0 20 Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2 Sujeito a 6X1 + 4X2 < 24 (M1) 1X1 + 2X2 < 6 (M2) -1X1 + 1X2 < 1 (Interior) 0X1 +1X2 < 2 (Demanda Interior) X1, X2 > 0 1X1 + 2X2 < 6 (M2) Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks B -1X1 + 1X2 < 1 (Interior)X2 < 2 (Demanda Interior) D X2 X11 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6X1 + 4X2 < 24 (M1) Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABCDEF A C 0 E F 1X1 + 2X2 < 6 (M2) Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks B -1X1 + 1X2 < 1 (Interior) X2 < 2 (Demanda Interior) D Resolvendo para E’: 1X1 + 2X2 = 7 6X1 + 4X2 =24 X1 = 7 - 2X2 6(7 - 2X2) + 4X2 =24 X2 = 2,25 X1 = 7 - 2(2,25) = 2,5 Z´ = 5X1 + 4X2 = 5(2,5)+4(2,25)=21,5 5,0 67 215,21 2 2 b Zy E’ 1X1 + 2X2 < 7 (M2) G A restrição pode ser deslocada até os pontos F(4; 0) e G(2,66; 2) 4 < M2 < 6,66 Preço Sombra – Restrição M2 Preço sombra da restrição M2 é 0,5 X2 X11 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6X1 + 4X2 < 24 (M1) Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABCDEF A C 0 E F 1X1 + 2X2 < 6 (M2) Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks B -1X1 + 1X2 < 1 (Interior) X2 < 2 (Demanda Interior) D Resolvendo para E’: 1X1 + 2X2 = 6 6X1 + 4X2 =25 X1 = 6 - 2X2 6(6 - 2X2) + 4X2 =25 X2 = 11/8 = 1,375 X1 = 7 - 2(11/8) = 13/4 = 3,25 Z´ = 5X1 + 4X2 = 5(3,25) + 4(1,375)=21,75 75,0 2425 2175,21 1 1 b Zy Preço Sombra – Restrição M1 E’ G A restrição pode ser deslocada até os pontos D(2; 2) e G(6; 0) 20 < M1 < 36 6X1 + 4X2 < 25 (M1) Preço sombra da restrição M1 é 0,75 Edmundo adora bifes e batatas. Assim, decidiu entrar em dieta regular usando somente esses alimentos. Ele percebe que essa não é a dieta mais saudável e, portanto, quer certificar-se de que se alimenta das quantidades certas desses dois tipos de alimentos, a fim de atender a determinados requisitos nutricionais. Ele obteve as seguintes informações nutricionais e de custos, e quer determinar o número de porções diárias de cada alimento (pode ser fracionários) que atenderá a essas exigências a um custo mínimo. A) Formule o modelo de PL para esse problema B) Resolva o problema pelo método gráfico. C) Calcule preços sombra. (Hillier e Lieberman, 2010) Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício C para 09/03 Exercício C para 09/03 Entregar Entregar em papelem papel, , individual,individual, no início da no início da aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício C para 09/03 Exercício C para 09/03 Entregar Entregar em papelem papel, , individual,individual, no início da no início da aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados IngredienteIngrediente Ingredientes por Grama em cada Ingredientes por Grama em cada PorçãoPorção Exigências DiáriasExigências Diárias (Gramas)(Gramas) Bife Bife BatataBatata CarboidratosCarboidratos 55 1515 >> 5050 ProteínasProteínas 2020 55 >> 4040 GorduraGordura 1515 22 << 6060 Custo por PorçãoCusto por Porção US$4US$4 US$2US$2 Exercício C Exercício C –– DietaDietaExercício C Exercício C –– DietaDieta X2 X15 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 3 Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABCD A B 0 C D Ponto X1 X2 Z A 1,272 2,909 10,909 B 0 8 16 C 0 30 60 D 3,721 2,093 29 Min Z (Custo) = 4X1 + 2X2 Sujeito a 5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 3 X1, X2 > 0 5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 Exercício C Exercício C –– DietaDietaExercício C Exercício C –– DietaDieta X2 X15 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 15X1 + 2X2 < 60 (Gordura ) 3 Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABCD A B 0 C D 5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 Preço Sombra – Restrição Carboidrato 1 Resolvendo para A’: 5X1 + 15X2 = 51 20X1 + 5X2 = 40 X1 = 10,2 - 3X2 20(10,2 - 3X2) + 5X2 =40 X2 = 2,9818 X1 = 10,2 - 3(2,982) = 1,2545 Z´ = 4X1 + 2X2 = 4(1,2545) + 2(2,9818) = 10,9818 0727,0 5051 909,109817,10 1 1 b Zy A restrição pode ser deslocada até os pontos E(2; 0) e B(0; 8) 10 < Carboidrato < 120 A’ 5X1 + 15X2 > 51 (Carboidrato) 1 E Preço sombra da restrição Carboidrato é 0,75 Exercício C Exercício C –– DietaDietaExercício C Exercício C –– DietaDieta X2 X15 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 15X1 + 2X2 < 60 (Gordura ) 3 Conjunto de soluções viáveis: Polígono ABCD A B 0 C D 5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1 20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2 Preço Sombra – Restrição Proteína 2 Resolvendo para A’: 5X1 + 15X2 = 50 20X1 + 5X2 = 41 X1 = 10 - 3X2 20(10 - 3X2) + 5X2 =41 X2 = 159/55 X1 = 10 - 3(159/55) = 73/55 Z´ = 4X1 + 2X2 = 4(73/55) + 2(159/55) = 11,09091 1819,0 5051 9090,100909,11 1 1 b Zy A restrição pode ser deslocada até os pontos F(0; 3,33) e D(3,721; 2,093) 16,66 < Proteína< 84,88 A’F 20X1 + 5X2 > 41 (Proteína) 2 Preço sombra da restrição Proteína é 0,75
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