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Aula 1 Solucao Pesquisa Operacional

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EAD 350EAD 350
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
Aula Aula 01 01 -- SoluçãoSolução
Prof. Hiroo Takaoka
takaoka@usp.br
FEA/USP
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício A para 02/03/15Exercício A para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício A para 02/03/15Exercício A para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de metal. 
A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus 
preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.
Itens/
Atividades
Liga
tipo A
Liga
tipo B
Matéria prima
disponível
Cobre 2 1 16
Zinco 1 2 11
Chumbo 1 3 15
Preço unitário
de venda R$30 R$50
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício B para 02/03/15Exercício B para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício B para 02/03/15Exercício B para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em 
duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo
• Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta 
para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais 
de uma tonelada (1t)
• A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t)
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico. (TAHA, 2008)
Matéria PrimaMatéria Prima
Consumo de Matéria PrimaConsumo de Matéria Prima
por Tonelada de Tinta por Tonelada de Tinta 
Disponibilidade Disponibilidade 
Diária de Matéria Diária de Matéria 
Prima por DiaPrima por Dia
(Tonelada)(Tonelada)
Tinta paraTinta para
ExterioresExteriores
Tinta paraTinta para
InterioresInteriores
M1M1 66 44 2424
M2M2 11 22 66
Lucro por Lucro por 
ToneladaTonelada 55 44
Edmundo adora bifes e batatas. Assim, decidiu entrar em dieta regular 
usando somente esses alimentos. Ele percebe que essa não é a dieta mais 
saudável e, portanto, quer certificar-se de que se alimenta das quantidades 
certas desses dois tipos de alimentos, a fim de atender a determinados 
requisitos nutricionais. Ele obteve as seguintes informações nutricionais e de 
custos, e quer determinar o número de porções diárias de cada alimento 
(podem ser fracionários) que atenderá a essas exigências a um custo mínimo.
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Atividade 1 Atividade 1 –– Exercício C para 02/03/15Exercício C para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
Atividade 1 Atividade 1 –– Exercício C para 02/03/15Exercício C para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
IngredienteIngrediente
Ingredientes por Grama em Ingredientes por Grama em 
cada Porçãocada Porção Exigências DiáriasExigências Diárias
(Gramas)(Gramas)
Bife Bife BatataBatata
CarboidratosCarboidratos 55 1515 >> 5050
ProteínasProteínas 2020 55 >> 4040
GorduraGordura 1515 22 << 6060
Custo por Custo por 
PorçãoPorção US$4US$4 US$2US$2
• A Ozark Farm usa no mínimo 800 quilos de ração especial por dia. 
Essa ração é uma mistura de dois componentes, milho e soja, com 
as composições nutricionais apresentadas na tabela abaixo
• Os requisitos nutricionais da ração exigem que sua composição 
possua no mínimo 30% de proteína e no máximo 5% de fibra.
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
(TAHA, 2008)
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício D para 02/03/15Exercício D para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício D para 02/03/15Exercício D para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
ComponenteComponente
Composição por QuiloComposição por Quilo
de Componentede Componente Custo por QuiloCusto por Quilo
($)($)
ProteínaProteína FibraFibra
MilhoMilho 9%9% 2%2% 0,30,3
SojaSoja 60%60% 6%6% 0,90,9
Exercício A Exercício A –– Fabricante de LigaFabricante de LigaExercício A Exercício A –– Fabricante de LigaFabricante de Liga
X2
X12 4 6 8
1
2
3
8
1X1 + 2X2 < 11 (Zinco)
2X1 + 1X2 < 16 (Cobre)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDE
A
B
0
C
D
E
Ponto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 5 290
C 3 4 310
D 7 2 310
E 8 0 240
Max Z (Receita) = 30X1 + 50X2
Sujeito a
2X1 + 1X 2 < 16
1X1 + 2X 2 < 11
1X1 + 3X2 < 15
X1, X2 > 0
4
5
6
7
9
1 3 5 7
10
11
12
13
14
15
16
9 10 11 12 13 14 15 16
1X1 + 3X2 < 15 (Chumbo)
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
X2
X11 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
6X1 + 4X2 < 24 (M1)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD
A
B
0
C
D
Ponto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 3 12
C 3 1,5 21
D 4 0 20
Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2
Sujeito a
6X1 + 4X2 < 24 (M1)
1X1 + 2X2 < 6 (M2)
X1, X2 > 0
1X1 + 2X2 < 6 (M2)
Exercício C Exercício C –– DietaDietaExercício C Exercício C –– DietaDieta
X2
X15 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
15X1 + 2X2 > 60 (Gordura)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD
A
B
0
C
D
Ponto X1 X2 Z
A 1,272 2,909 10,909
B 0 8 16
C 0 30 60
D 3,73 2,09 29
Min Z (Custo) = 4X1 + 2X2
Sujeito a
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato)
20X1 + 5X2 < 40 (Proteína)
15X1 + 2X2 > 60 (Gordura)
X1, X2 > 0
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato)
20X1 + 5X2 < 40 (Proteína)
Exercício D Exercício D –– OzarkOzark FarmFarmExercício D Exercício D –– OzarkOzark FarmFarm
X2
X1200 400 600 800 1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
X1 + X2 > 800 (Ração)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABC
A
B
0
C
E
Ponto X1 X2 Z
A 470,6 329,4 437,6
B 200 600 600
C 1454,6 181,8 600
Min Z (Custo) = 0,3X1 + 0,9X2
Sujeito a
X1 + X2 > 800 (Ração)
2X1 + 6X2 < 4000 (Fibra)
9X1 + 60X2 >24000 (Proteína)
X1, X2 > 0
1400 1600 1800 2000
2X1 + 6X2 < 4000 (Fibra)
9X1 + 60X2 > 24000 (Proteína)

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