Aula 3 Solucao Pesquisa Operacional

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EAD 350EAD 350
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
Atividade 3 Atividade 3 -- SoluçõesSoluções
Prof. Hiroo Takaoka
takaoka@usp.br
FEA/USP
Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício G para 16/03 (Exercício G para 16/03 (aula será no Lab. aula será no Lab. InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício G para 16/03 (Exercício G para 16/03 (aula será no Lab. aula será no Lab. InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
• Uma empresa pretende fabricar dois produtos, A e B. O volume de vendas de 
A será de no mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a 
empresa não poderá vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos 
os produtos usam uma matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é 
240 quilos. As taxas de utilização da matéria prima são 2 quilos por unidade 
de A e 4 quilos por unidade de B. Os preços unitários de venda estimados 
pelo departamento de marketing para A e B são $20 e $ 50 respectivamente. 
Determine o mix de produto que otimize o faturamento da empresa .
• Questões
– Elabore o modelo de PL para o problema descrito.
– Determine a solução pelo método gráfico.
– O departamento de marketing estima que há uma margem de erro de 
20% para mais ou menos em relação aos preços unitários estimados. A 
solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro? 
Porque sim ou porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise 
de sensibilidade para os parâmetros da função Z)
X2
X120 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
2X1 + 4X2 < 240 (3)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABC
A
B
0
Ponto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 80 20 2600
C 100 10 2500
D 100 0 2000
Max Z (Lucro) = 20X1 + 50X2
Sujeito a
0,2X1 – 0,8X2 > 0 (Mínimo Produto A (1)
X1 < 100 (Máximo Produto A (2)
2X1 + 4X2 < 240 (Matéria prima (3)
X1, X2 > 0
0,2X1 – 0,8X2 < 0 (1)
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
X1 < 100 (2)
C
D
X2
X120 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
2X1 + 4X2 < 240 (3)
A
B
0
0,2X1 – 0,8X2 < 0 (1)
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
D
X1 < 100 (2)
a) “Girando” no sentido horário, a reta 
limite será a restrição 3
No limite, teremos as duas retas (Z e 
restrição 3) praticamente paralelas e os 
coeficientes angulares muito próximos
4
2
2
1 
c
c
Segue-se que: 
25
4
2
50 1
1  cc
40
4
220
2
2
 c
c
12 50
20
50
XZX 
2
1
c
c

4
2

C
X2
X120 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
2X1 + 4X2 < 240 (3)
A
B
0
0,2X1 – 0,8X2 < 0 (1)
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
D
X1 < 100 (2)
a) “Girando” no sentido anti horário, a 
reta limite será a restrição 1
No limite, teremos as duas retas (Z e 
restrição 1) praticamente paralelas e os 
coeficientes angulares muito próximos
8
2
2
1 
c
c
Segue-se que: 
5,12
8
2
50 1
1  cc
80
8
220
2
2
 c
c
12 50
20
50
XZX 
2
1
c
c

8
2
8
2
C
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
• Questão
– O departamento de marketing estima que há uma margem 
de erro de 20% para mais ou menos em relação aos preços 
unitários estimados. A solução encontrada é robusta 
relativamente a essa margem de erro? Porque sim ou 
porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise de 
sensibilidade para os parâmetros da função Z)
• Resposta
– Sim, a solução encontrada é robusta relativamente a essa 
margem de erro, porque a margem de erro está contida no 
intervalo da análise de sensibilidade como mostra os dados 
abaixo:
• Margem de erro do preço do produto A: 
• Análise de sensibilidade: 255,12  preçoA
2416  preçoA
Uma empresa de engenharia está considerando o tempo disponível de 
máquinas para a produção de três produtos:
1, 2 e 3. As horas requeridas para cada unidade de produto
e o tempo disponível em uma semana por máquina são:
Máquina 1 2 3
Tempo
horas/semana
Produto
A 4 h 1 h 1,5 h 100 h
B 2 h 1,5 h - 50 h
C 1 h - 0,5 h 25 h
Os produtos 1 e 2 podem ser vendidos em qualquer quantidade,
mas o produto 3 pode ser vendido até no máximo 10 unidades
por semana. O lucro unitário é de R$10, R$3 e R$4 para os produtos 1, 2 e 3 
respectivamente. Qual será o mix de produtos que a empresa deve fabricar para 
obter o lucro máximo?
Atividade Atividade 33 –– Exercício F para 16/03 (Exercício F para 16/03 (aula aula será será no Lab. no Lab. InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
Atividade Atividade 33 –– Exercício F para 16/03 (Exercício F para 16/03 (aula aula será será no Lab. no Lab. InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
Exercício F Exercício F -- Modelo de PL Modelo de PL Exercício F Exercício F -- Modelo de PL Modelo de PL 
Variáveis Decisão
x1 = Quantidade Produto 1
x2 = Quantidade Produto 2
x3 = Quantidade Produto 3
Função Objetivo
Max Z = 10x1 + 3x2 + 4x3
Restrições
4,0x1 + 1,0x2 + 1,5x3 < 100 (Máquina A)
2,0x1 + 1,5x2 < 50 (Máquina B)
1,0x1 + 0,5x3 < 15 (Máquina C)
1,0x1 < 10 (Limite Venda Produto 1)
x1, x2 > 0
• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em 
duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo
• Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta 
para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais 
de uma tonelada (1t)
• A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t)
A) Formule o modelo de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
C) Calcule preços sombra.
Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício B para 16/03 Exercício B para 16/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individualindividual, no início da , no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício B para 16/03 Exercício B para 16/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individualindividual, no início da , no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
Matéria PrimaMatéria Prima
Consumo de Matéria PrimaConsumo de Matéria Prima
por Tonelada de Tinta por Tonelada de Tinta 
Disponibilidade Disponibilidade 
Diária de Matéria Diária de Matéria 
Prima por DiaPrima por Dia
(Tonelada)(Tonelada)
Tinta paraTinta para
ExterioresExteriores
Tinta paraTinta para
InterioresInteriores
M1M1 66 44 2424
M2M2 11 22 66
Lucro por Lucro por 
ToneladaTonelada 55 44
X1
X2
X11 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
6X1 + 4X2 < 24 (M1)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF
A
C
0
E
F
Ponto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 1 4
C 1 2 13
D 2 2 18
E 3 1,5 21
F 4 0 20
Max Z (Lucro) = 5X1 + 4X2
Sujeito a
6X1 + 4X2 < 24 (M1)
1X1 + 2X2 < 6 (M2)
-1X1 + 1X2 < 1 (Interior)
0X1 +1X2 < 2 (Demanda Interior)
X1, X2 > 0
1X1 + 2X2 < 6 (M2)
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
B
-1X1 + 1X2 < 1 (Interior)X2 < 2 (Demanda Interior)
D
X2
X11 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
6X1 + 4X2 < 24 (M1)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF
A
C
0
E
F
1X1 + 2X2 < 6 (M2)
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
B
-1X1 + 1X2 < 1 (Interior)
X2 < 2 (Demanda Interior)
D
Resolvendo para E’:
1X1 + 2X2 = 7
6X1 + 4X2 =24
X1 = 7 - 2X2
6(7 - 2X2) + 4X2 =24  X2 = 2,25 
X1 = 7 - 2(2,25) = 2,5
Z´ = 5X1 + 4X2 = 5(2,5)+4(2,25)=21,5 
5,0
67
215,21
2
2 





b
Zy
E’
1X1 + 2X2 < 7 (M2)
G
A restrição pode ser deslocada até 
os pontos
F(4; 0) e G(2,66; 2)
4 < M2 < 6,66
Preço Sombra – Restrição M2
Preço sombra da 
restrição M2 é 0,5
X2
X11 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
6X1 + 4X2 < 24 (M1)
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDEF
A
C
0
E
F
1X1 + 2X2 < 6 (M2)
Exercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikksExercício B Exercício B –– ReddyReddy MikksMikks
B
-1X1 + 1X2 < 1 (Interior)
X2 < 2 (Demanda Interior)
D
Resolvendo para E’:
1X1 + 2X2 = 6
6X1 + 4X2 =25
X1 = 6 - 2X2
6(6 - 2X2) + 4X2 =25  X2 = 11/8 = 1,375 
X1 = 7 - 2(11/8) = 13/4 = 3,25
Z´ = 5X1 + 4X2 = 5(3,25) + 4(1,375)=21,75 
75,0
2425
2175,21
1
1 





b
Zy
Preço Sombra – Restrição M1
E’
G A restrição pode ser deslocada até os pontos
D(2; 2) e G(6; 0)
20 < M1 < 36
6X1 + 4X2 < 25 (M1)
Preço sombra da 
restrição M1 é 0,75
Edmundo adora bifes e batatas. Assim, decidiu entrar em dieta regular 
usando somente esses alimentos. Ele percebe que essa não é a dieta mais 
saudável e, portanto, quer certificar-se de que se alimenta das quantidades 
certas desses dois tipos de alimentos, a fim de atender a determinados 
requisitos nutricionais. Ele obteve as seguintes informações nutricionais e de 
custos, e quer determinar o número de porções diárias de cada alimento 
(pode ser fracionários) que atenderá a essas exigências a um custo mínimo.
A) Formule o modelo de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
C) Calcule preços sombra. (Hillier e Lieberman, 2010) 
Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício C para 09/03 Exercício C para 09/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individual,individual, no início da no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
Atividade 3 Atividade 3 –– Exercício C para 09/03 Exercício C para 09/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individual,individual, no início da no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
IngredienteIngrediente
Ingredientes por Grama em cada Ingredientes por Grama em cada 
PorçãoPorção Exigências DiáriasExigências Diárias
(Gramas)(Gramas)
Bife Bife BatataBatata
CarboidratosCarboidratos 55 1515 >> 5050
ProteínasProteínas 2020 55 >> 4040
GorduraGordura 1515 22 << 6060
Custo por PorçãoCusto por Porção US$4US$4 US$2US$2
Exercício C Exercício C –– DietaDietaExercício C Exercício C –– DietaDieta
X2
X15 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 3
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD
A
B
0
C
D
Ponto X1 X2 Z
A 1,272 2,909 10,909
B 0 8 16
C 0 30 60
D 3,721 2,093 29
Min Z (Custo) = 4X1 + 2X2
Sujeito a
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura) 3
X1, X2 > 0
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2
Exercício C Exercício C –– DietaDietaExercício C Exercício C –– DietaDieta
X2
X15 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura ) 3
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD
A
B
0
C
D
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2
Preço Sombra – Restrição Carboidrato 1
Resolvendo para A’:
5X1 + 15X2 = 51
20X1 + 5X2 = 40
X1 = 10,2 - 3X2
20(10,2 - 3X2) + 5X2 =40  X2 = 2,9818
X1 = 10,2 - 3(2,982) = 1,2545
Z´ = 4X1 + 2X2 = 4(1,2545) + 2(2,9818) = 
10,9818 
0727,0
5051
909,109817,10
1
1 





b
Zy
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos
E(2; 0) e B(0; 8)
10 < Carboidrato < 120
A’ 5X1 + 15X2 > 51 (Carboidrato) 1
E
Preço sombra da restrição 
Carboidrato é 0,75
Exercício C Exercício C –– DietaDietaExercício C Exercício C –– DietaDieta
X2
X15 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
15X1 + 2X2 < 60 (Gordura ) 3
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCD
A
B
0
C
D
5X1 + 15X2 > 50 (Carboidrato) 1
20X1 + 5X2 > 40 (Proteína) 2
Preço Sombra – Restrição Proteína 2
Resolvendo para A’:
5X1 + 15X2 = 50
20X1 + 5X2 = 41
X1 = 10 - 3X2
20(10 - 3X2) + 5X2 =41  X2 = 159/55
X1 = 10 - 3(159/55) = 73/55
Z´ = 4X1 + 2X2 = 4(73/55) + 2(159/55) = 11,09091 
1819,0
5051
9090,100909,11
1
1 





b
Zy
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos
F(0; 3,33) e D(3,721; 2,093)
16,66 < Proteína< 84,88
A’F
20X1 + 5X2 > 41 (Proteína) 2 Preço sombra da restrição 
Proteína é 0,75