a02 t07

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Comprimento de arco - exemplo 
 
Como )(' tσ é continua, esse limite existe. 
[ ] [ ] [ ]∫ ++=+∞→
b
a
nn
dttztytxS 222 )(')(')('lim
 
Logo, [ ] [ ] [ ]∫ ++=
b
a
dttztytxCL 222 )(')(')(')( 
 
Como queríamos demonstrar. 
 
Exemplo 1: Calcule o comprimento da curva (hélice circular)
),,(coscos)( ttsentktjtsenitt =++=σ , [ ]π2,0∈t . 
[ ] [ ] [ ] 221cos)(
2
0
222 π
π
=++−= ∫ dtttsenCL 
 
Definição: Sejam )(tσ ( bta ≤≤ ) e )(tβ ( dtc ≤≤ ) duas parametrizações de classe 
1C de 
uma curva C. Dizemos que )(tσ e )(tβ são parametrizações equivalentes se existe uma 
função [ ] [ ]badch ,,: → bijetora de classe 1C tal que ( ))()( tht σβ = , dtc ≤≤ 
 
 
Observação: A função h relaciona as velocidades com que as partículas se movem sobre C. 
( ))(')(')(' ththt σβ ⋅= 
 
Teorema: O comprimento de uma curva C independe das parametrizações equivalentes 
escolhidas. 
 
Observação: Você deverá pesquisar a demonstração deste teorema na bibliografia indicada. 
h 
 
)(tβ