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Unidade IV 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
Profa. Cristiane Aragão 
Noções de teoria de conjuntos 
 Conjunto – qualquer coleção de objetos (em matemática: 
elementos). 
 Elementos pertencem a uma mesma classe (têm algo em 
comum, uma característica comum). 
 Exemplos: conjuntos de números, pessoas, alunos, letras etc. 
 Os conjuntos são representados por uma letra maiúscula e os 
seus elementos são apresentados entre chaves {...}. 
 Exemplos: 
 A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. 
 B = {a, e, i, o, u} – conjunto das vogais. 
 Um elemento pode pertencer (∈) ou não (∉) a um conjunto: 
 𝟎 ∈ 𝑨, 𝐢 ∈ 𝑩, 𝐞 ∉ 𝑨, 𝟖 ∉ 𝑩. 
 
Conjunto vazio, subconjuntos e diagramas de Venn 
 Conjunto vazio: sem elementos. Notação: F = { } ou F = ∅. 
 Subconjuntos: quando todos os elementos do conjunto A 
também pertencem ao conjunto B, dizemos que A é um 
subconjunto de B. Exemplo: 
 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 
 A = {1, 3, 5, 7, 9}. 
 Diagrama de Venn: figura utilizada para representar um 
conjunto (facilita a visualização dos conjuntos e dos 
subconjuntos). Exemplo: o diagrama de Venn do conjunto 
A = {0, 2, 4, 6, 8} é A 
 0 2 
 4 6 
 8 
 
 
Operações com conjuntos – diferença 
 Diferença: (por exemplo, A = {0, 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}). 
 B – A = {4, 5, 6}. 
 
 
 
Operações com conjuntos – diferença 
 Por exemplo, para A = {0, 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}. 
 A – B = {0, 1, 2}. 
 
Operações com conjuntos – interseção 
(elementos que pertencem a A e a B) 
 Por exemplo, para A = {0, 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}. 
 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝟑}. 
 
Operações com conjuntos – união 
(elementos que pertencem a A ou a B) 
 Por exemplo, para A = {0, 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}. 
 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓,𝟔} (o 3 aparece apenas uma vez). 
 
Conjuntos disjuntos 
Conjuntos com elementos comuns 
 Se os conjuntos não possuem elementos comuns, eles são 
disjuntos. Por exemplo, A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 7}. 
 Nesse caso, a união de A com B será um conjunto com 8 
elementos 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟏,𝟐,𝟑,𝟒,𝟓,𝟔,𝟕,𝟖 , ou seja, o número de 
elementos de 𝑨 ∪ 𝑩 será: 
 𝒏𝑨∪𝑩 = 𝒏𝑨 + 𝒏𝑩. 
 Se os conjuntos possuem elementos comuns, precisamos 
descontar os elementos repetidos. Por exemplo, para 
A = {0, 2, 4} e B = {0, 1, 3}, a união será 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟎,𝟏,𝟐,𝟑,𝟒 . 
 Então, 
 𝒏𝑨∪𝑩 = 𝒏𝑨 + 𝒏𝑩 − 𝒏𝑨∩𝑩 (princípio aditivo). 
 
Diagrama de Venn com os elementos 
 A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conjunto universo ou universo – reúne todos os 
elementos considerados no problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Venn com os elementos (3 conjuntos) 
Exemplo 1 
Diagrama de Venn – número grande de elementos 
 A construção e a leitura do diagrama perdem a função 
prática (excesso de elementos – difícil visualização). 
 Muitas vezes, é suficiente indicar o número de elementos em 
cada região do diagrama, sem inserir cada um deles no 
gráfico. Por exemplo, no cálculo de probabilidades basta 
saber a quantidade de elementos. 
 Vamos rever o diagrama de Venn do exemplo 1, indicando 
apenas a quantidade de dados em cada região, ou seja, 
vamos fazer o diagrama com contagem dos elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Venn com contagem de elementos 
Diagrama de Venn – aplicação 
 Uma pesquisa realizada com estudantes de EAD verificou que 
100 alunos possuem e-mail do Gmail, 80 do Hotmail, 20 alunos 
possuem Gmail e Hotmail e 40 alunos não possuem nenhum 
dos dois. Quantos estudantes participaram da pesquisa? Qual 
a probabilidade de um aluno possuir os dois e-mails (Gmail e 
Hotmail)? 
 Para resolver o exercício, vamos construir o diagrama de 
Venn correspondente. 
 Primeiro passo: colocar o número de estudantes que 
possuem os dois e-mails (elementos comuns). A partir 
daí, completamos as outras regiões. 
 
Aplicação – pesquisa sobre e-mails 
100 – Gmail (G), 80 – Hotmail (H), 20 – comuns, 40 – 
nenhum dos dois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de participantes: 80 + 20 + 60 +40 = 200. 
Probabilidade P(G e H) = 𝟐𝟎
𝟐𝟎𝟎
 = 0,1 ou 10%. 
Diagrama de Venn – aplicação com 3 conjuntos 
 Uma pesquisa realizada com estudantes de EAD verificou que 
170 alunos possuem e-mail do Gmail (G), 150 do Hotmail (H), 
160 do Yahoo (Y), 40 alunos possuem os três (G, H e Y), 50 
possuem G e H, 50 possuem G e Y, 60 possuem Y e H. 
Finalmente, 40 alunos não possuem nenhum dos três. 
Quantos estudantes participaram da pesquisa? Qual a 
probabilidade de um aluno possuir os três e-mails (Gmail, 
Hotmail e Yahoo)? 
 Para resolver o exercício, vamos construir o diagrama de 
Venn correspondente. 
 Primeiro passo: colocar o número de estudantes que 
possuem os três e-mails (elementos comuns). A partir 
daí, completamos as outras regiões. 
 
Aplicação – pesquisa sobre e-mails (2) 
170 – G, 150 – H, 160 – Y, 40 – G, H e Y, 50 – G e H, 
50 – G e Y, 60 – Y e H, 40 alunos nenhum dos três 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total: 110 + 10 + 10 + 40 + 20 + 80 + 90 + 40 = 400. 
Probabilidade P(G, H e Y) = 𝟒𝟎
𝟒𝟎𝟎
 = 0,1 ou 10%. 
Interatividade 
Uma pesquisa feita com universitários constatou que 110 
alunos acessam as redes sociais por meio do computador, 130 
estudantes utilizam seus smartphones com esse propósito, 50 
alunos utilizam computador e smartphone e 10 alunos não 
utilizam nenhum dos dois. Quantos universitários participaram 
da pesquisa? Qual a probabilidade de um aluno utilizar apenas o 
smartphone para acessar as redes sociais? 
a) 200 e 0,3. 
b) 200 e 0,4. 
c) 200 e 0,25. 
d) 300 e 0,3. 
e) 300 e 0,4. 
Propriedades das probabilidades 
 Eventos complementares – os eventos E e E’ (“E linha”) são 
complementares quando o evento E’ engloba todos os 
resultados possíveis em um espaço amostral que não fazem 
parte do evento E. 
 Quando os eventos são complementares: 
 P(E) + P(E’) = 1 ou P(E) + P(não E) = 1. 
 Chamando P(E) = p (probabilidade de ocorrência ou sucesso) 
e P(não E) = q (probabilidade de não ocorrência ou 
insucesso): p + q = 1 ou seja, q = 1 – p. 
 Exemplo: Lançamento de um dado – probabilidade de dar um 
número ≥ 5 é p = 2/6 (E = {5, 6}). A probabilidade de não dar 
um número ≥ 5 (ou seja, dar um número < 5) é q = 1 - 𝟐
𝟔
= 𝟒
𝟔
. 
(E’ = {1, 2, 3, 4}). 
Regra da adição – P(A ou B) 
 Probabilidade de que ocorra o evento A ou o evento B, 
P(A ou B), é dada por: 
 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B). 
 Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é, não 
podem ocorrer ao mesmo tempo, P(A e B) = 0. Nesse caso: 
 P(A ou B) = P(A) + P(B). 
 mutuamente exclusivos não mutuamente exclusivos 
 
Regra da adição – aplicação (pesquisa sobre e-mails) 
100 – Gmail (G), 80 – Hotmail (H), 20 – comuns, 40 – 
nenhum dos dois. Total: 200 participantes (já visto) 
 Qual é a probabilidade de um estudante ter e-mail do Gmail ou 
do Hotmail? 
 Eventos não são mutuamente exclusivos (há elementos 
comuns). Então, 
 P(G ou H) = P(G) + P(H) – P(G e H) 
 P(G ou H) = 𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎
+ 𝟖𝟎
𝟐𝟎𝟎
−
𝟐𝟎
𝟐𝟎𝟎
= 𝟏𝟔𝟎
𝟐𝟎𝟎
, ou seja, P(G ou H) = 0,8. 
 Como sabemos o número de alunos: 
 P(G ou H) = 𝟐𝟎𝟎−𝟒𝟎
𝟐𝟎𝟎
= 𝟏𝟔𝟎
𝟐𝟎𝟎
. 
 Porém: precisamos utilizar essa propriedade quando temos 
apenas as probabilidades (sem o número total). 
Regra da multiplicação – P(A e B) 
 A probabilidade de que dois eventos A e B ocorram (em 
sequência) é: 
 P(A e B)= P(A).P(B|A) 
 com P(A)>0 e P(B|A) é a probabilidade condicional 
(probabilidade do evento B ocorrer, dado que A já ocorreu). 
 Para calcular P(B|A), procedemoscomo se os resultados 
pertencentes ao evento A formassem um novo espaço 
amostral, ou seja, precisamos levar em conta apenas os 
resultados do evento B que fazem parte do evento A. Quando 
A e B são eventos independentes, a ocorrência do evento A 
não afeta a probabilidade do evento B. Ou seja, quando A e B 
são independentes P(B|A) = P(B). Nesse caso, 
 P(A e B) = P(A).P(B). 
Regra da multiplicação – aplicação 
 A biblioteca de um campus da UNIP constatou que apenas um 
aluno a cada 10 estudantes retira um livro emprestado para 
seus estudos. Verificou também que 60% dos estudantes que 
consultam a biblioteca são mulheres. Qual a probabilidade de 
um estudante que utiliza a biblioteca seja homem e retire um 
livro? 
 Os eventos são independentes. 
 P(H) = 1 – P(M), então, P(H) = 1 – 0,6, ou seja, P(H) = 0,4 
 P(1 livro) = 1/10 ou P(1 livro) = 0,1. 
 Probabilidade de que seja homem e retire um livro: 
 P(H e 1 livro) = P(H).P(1 livro). Portanto, P(H e 1 livro) = 0,4*0,1 
 P(H e 1 livro) = 0,04 ou 4%. 
Análise combinatória 
Princípio Fundamental da Contagem 
 Análise combinatória – realiza a contagem do número de 
eventos em um dado acontecimento. Estuda o número de 
possibilidades, modos, maneiras de uma dada situação 
ocorrer. 
Princípio da multiplicação ou Princípio Fundamental da 
Contagem: 
 Se um evento é composto de k etapas sucessivas e 
independentes umas das outras, sendo 𝒏𝒊 o número de modos 
da etapa i acontecer, o número de maneiras do evento 
acontecer é dado por 
𝒏𝟏.𝒏𝟐.𝒏𝟑.𝒏𝟒. … .𝒏𝒌. 
 
Exemplo: senha de acesso 
 Uma senha de acesso a um cofre consiste em uma letra e três 
dígitos. Quantas senhas podemos formar? 
 4 etapas – posições: 
____ ____ ____ ____ 
Letra nº nº nº 
 
 26 letras (de A a Z, incluindo K, Y e W) 
 nº: de 0 a 9 (10 possibilidades) 
 Usando o Princípio Fundamental da Contagem: 
 26 . 10 . 10 . 10 = 26.000 
 
Permutações 
 Agrupamentos em que todos os elementos de um conjunto 
são utilizados e em que a ordem é importante, ou seja, 
mudando um elemento de posição, temos um novo 
agrupamento. 
 Exemplo: anagramas. Um anagrama de uma palavra é 
qualquer ordenação de suas letras. Quantos anagramas tem a 
palavra livro? 
 Temos cinco letras, sem repetição. Cada uma delas ocupará 
uma das cinco posições do anagrama. Na primeira, temos 
cinco opções (l, i, v, r, o). Uma vez escolhida a primeira letra, 
restam 4 para a segunda posição. Do mesmo modo, tendo 
escolhido a letra da segunda posição, sobram 3 para a terceira 
posição, 2 para a quarta posição e 1 para a quinta. 
 
 
 
 
 
 
 
Permutações – fatorial de um número 
 Ou seja, 
____ ____ ____ ____ ____ 
 5 4 3 2 1 
 𝑷𝟓 = 𝟓.𝟒.𝟑.𝟐.𝟏 = 𝟏𝟐𝟎. 
 Fatorial de um número (inteiro e positivo) – indicado por um 
ponto de exclamação após o número: 
 n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3). ... .1. 
 Exemplo anterior: 5! = 5.4.3.2.1 = 120. 
 4! = 4.3.2.1 = 24. 
 0! = 1 (a partir das propriedades). 
 Assim, o número de permutações é 𝑷𝒏 = 𝒏!. 
 Para permutações com repetições: 𝑷𝒏𝒂,𝒃,𝒄… = 𝒏!𝒂!𝒃!𝒄!…. 
Arranjos 
 Agrupamentos em que alguns elementos do conjunto são 
utilizados e em que a ordem é importante. 
 Dez ciclistas participam de uma corrida. De quantas maneiras 
eles podem terminar em primeiro, segundo ou terceiro lugar? 
____ ____ ____ 
 10 9 8 
 10.9.8 = 720 maneiras. 
 Número de arranjos: 𝑨𝒏,𝒑 = 𝒏!𝒏−𝒑 !, sendo n o número total de 
elementos e p o número de posições do agrupamento. Para o 
exemplo dado: 
 𝑨𝟏𝟎,𝟑 = 𝟏𝟎!𝟏𝟎−𝟑 ! ⇒ 𝑨𝟏𝟎,𝟑 = 𝟏𝟎.𝟗.𝟖.𝟕!𝟕! 
 𝑨𝟏𝟎,𝟑 = 𝟏𝟎.𝟗.𝟖 ⇒ 𝑨𝟏𝟎,𝟑 = 𝟕𝟐𝟎. 
 
Combinações 
 Agrupamentos em que alguns elementos do conjunto são 
utilizados e em que a ordem não é importante. 
 Número de combinações: 𝑪𝒏,𝒑 = 𝒏!𝒑! 𝒏−𝒑 !. 
 Uma turma de ADS possui 20 alunos. Quantos grupos de 5 
alunos podemos formar para o PIM? A ordem não é 
importante, portanto, temos combinações. 
 𝑪𝟐𝟎,𝟓 = 𝟐𝟎!𝟓! 𝟐𝟎−𝟓 ! ⇒ 𝑪𝟐𝟎,𝟓 = 𝟐𝟎!𝟓!𝟏𝟓! ⇒ 𝑪𝟐𝟎,𝟓 = 𝟐𝟎.𝟏𝟗.𝟏𝟖.𝟏𝟕.𝟏𝟔.𝟏𝟓!𝟓!𝟏𝟓! 
 𝑪𝟐𝟎,𝟓 = 𝟐𝟎.𝟏𝟗.𝟏𝟖.𝟏𝟕.𝟏𝟔𝟓.𝟒.𝟑.𝟐.𝟏 ⇒ 𝑪𝟐𝟎,𝟓 = 𝟏𝟓.𝟓𝟎𝟒 grupos. 
 
 
 
Interatividade 
Uma senha de acesso a um cofre consiste em uma letra (de A a 
Z, incluindo K, Y e W) e três dígitos distintos. Quantas senhas 
podemos formar? 
a) 18.720. 
b) 26.000. 
c) 23.000. 
d) 16.560. 
e) 78. 
Distribuições de probabilidade 
Variáveis aleatórias 
 Distribuições de probabilidade – modelos estatísticos – 
descrever como as probabilidades se distribuem, podendo 
estar associadas a cada valor da variável aleatória ou a 
intervalos de valores (universo ou espaço amostral – conjunto 
de todos os resultados possíveis do experimento). 
 Distribuição de probabilidades – modelo probabilístico 
apresentado em termos de uma variável aleatória. 
 A variável x é aleatória quando é determinada pelo acaso 
(experimentos aleatórios). Exemplos: números sorteados, 
lançamento de moeda, número de acessos a um site etc. 
 A variável aleatória pode ser discreta ou contínua. 
 Variável aleatória discreta – conseguimos enumerar todos os 
seus possíveis resultados (número finito). Exemplo: 
número de mensagens na caixa de entrada de e-mail. 
Variáveis aleatórias – tipos de distribuições 
 Variável aleatória contínua – não conseguimos enumerar 
os seus possíveis resultados (número incontável – conjunto 
infinito). Exemplo: perda de peso durante uma dieta alimentar. 
 Quando a variável aleatória é discreta, a distribuição de 
probabilidades também será discreta (probabilidades 
associadas a cada um dos valores possíveis). Há vários 
tipos de distribuições discretas, estudaremos apenas a 
distribuição binomial. 
 Quando a variável aleatória é contínua, a distribuição de 
probabilidades também será contínua (probabilidades 
associadas aos intervalos possíveis). Veremos, neste curso, 
a distribuição normal. 
 
Distribuição binomial 
Utilizamos a distribuição binomial quando a variável aleatória é 
discreta e o experimento possui as seguintes características: 
 é repetido n vezes (há n eventos); 
 os eventos são independentes entre si (a ocorrência de um 
não altera a probabilidade do outro); 
 há somente dois resultados possíveis e complementares para 
cada evento: sucesso (ou sim) e insucesso (ou 
não/fracasso/falha); 
 Para um evento: P(sucesso) = p, P(insucesso) = q 
 p + q = 1, logo, q = 1 – p; 
 a probabilidade p é a mesma para cada evento; 
 a variável aleatória x = número de sucessos nos n eventos. 
Distribuição binomial 
 Fórmula geral de probabilidade binomial: 
𝑷 𝒙 = 𝒏!
𝒙! 𝒏−𝒙 ! .𝒑𝒙.𝒒𝒏−𝒙, 
sendo 𝑪𝒏,𝒙 = 𝒏!𝒙! 𝒏−𝒙 !, o número de combinações (a ordem não 
importa). 𝑪𝒏,𝒙 também pode ser representado pelo binômio de 
Newton (daí o nome da distribuição): 
𝒏
𝒙
= 𝒏!
𝒙! 𝒏 − 𝒙 ! . 
Substituindo q = 1 - p, temos: 
𝑷 𝒙 = 𝒏
𝒙
.𝒑𝒙. (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙. 
Média: 𝒙� = 𝒏.𝒑; desvio padrão: 𝝈 = 𝒏.𝒑.𝒒. 
 
 
Distribuição binomial – aplicação 
 Uma equipe de TI verificou que 10% dos 10 computadores de 
uma empresa apresentam problemas recorrentes. Qual é a 
média dos computadores com problemas? Qual é a 
probabilidade de não haver computadores com problemas 
acima da média? 
 n = 10, p = 0,1, portanto, 𝒙� = 𝒏.𝒑 ⇒ 𝒙� = 𝟏𝟎.𝟎,𝟏 ⇒ 𝒙� = 𝟏. 
 p = 0,1 (sucesso), logo, q = 1 – p será q = 1 – 0,1, ou seja, 
q = 0,9 (insucesso). 
 Para que não haja computadores com problemas acima da 
média (𝒙� = 𝟏), x pode ser 0 ou 1, ou seja, precisamos calcular 
P(0) e P(1), usando𝑷 𝒙 = 𝒏𝒙 .𝒑𝒙. (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 e somar as 
probabilidades obtidas. 
Distribuição binomial – aplicação (continuação) 
 n = 10; p = 0,1; q = 0,9. 
 𝑷 𝒙 = 𝒏!
𝒙! 𝒏−𝒙 ! .𝒑𝒙.𝒒𝒏−𝒙 ⇒ 𝑷 𝒙 = 𝟏𝟎!𝒙! 𝟏𝟎−𝒙 !𝟎,𝟏𝒙.𝟎,𝟗𝟏𝟎−𝒙. 
 𝑷 𝟎 = 𝟏𝟎!
𝟎! 𝟏𝟎−𝟎 ! .𝟎,𝟏𝟎.𝟎,𝟗𝟏𝟎−𝟎 ⇒ 𝑷 𝟎 = 𝟎,𝟗𝟏𝟎 = 𝟎,𝟑𝟒𝟖𝟕. 
 𝑷 𝟏 = 𝟏𝟎!
𝟏! 𝟏𝟎−𝟏 ! .𝟎,𝟏𝟏.𝟎,𝟗𝟏𝟎−𝟏 ⇒ 𝑷 𝟏 = 𝟎,𝟗𝟗 = 𝟎,𝟑𝟖𝟕𝟒. 
 P(0) + P(1) = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361 ou, aproximadamente, 
74% de probabilidade do número de computadores com 
problema não ser maior do que a média (𝒙� = 𝟏). Ou seja, há 
uma probabilidade de quase 26% de haver um número de 
computadores com problema maior do que a média. 
 
Distribuição de probabilidade binomial – gráfico 
(alto grau de segurança: máximo de 3 computadores) 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(
x)
 
Número de computadores com problemas (x) 
Distribuição de probabilidades 
Distribuição de
probabilidades
Distribuição uniforme de probabilidades 
 Para um número n muito grande, podemos aproximar a 
distribuição binomial (variável discreta) por uma distribuição 
normal (variável contínua). 
 f(x) é uma função contínua de probabilidade para a variável 
aleatória contínua X se: 
 a área total sob f(x) é igual a 1; 
 𝒇 𝒙 ≥ 𝟎, para todo 𝒙 ∈ (−∞,∞). 
 Para calcular a probabilidade de X estar em um dado intervalo, 
precisamos calcular a área sob a função de probabilidade. 
 Quando a distribuição de probabilidades é uniforme, todos os 
valores têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
Distribuição uniforme – gráfico 
 Área = 0,25 . 4 = 1 (base*altura do retângulo). 
 
 
Distribuição normal de probabilidades 
(distribuição gaussiana) 
 Uma das mais importantes em Estatística. 
 Variável aleatória contínua (intervalos de valores). 
 Propriedades: 
 a distribuição depende somente da média (𝒙�) e do desvio-
padrão (σ). A média indica a posição central da curva e é o 
valor mais provável, o desvio-padrão indica como a 
distribuição varia; 
 curva chamada normal, tem forma de sino e é simétrica em 
torno da média; 
 área total sob a curva é igual a 1; 
 conforme a curva se distancia da média, ela se aproxima cada 
vez mais do eixo x, mas nunca o toca. 
 
Distribuição normal 
 𝒙� = ∑ 𝒙𝒊
𝑵
; 𝝈𝟐 = ∑(𝒙−𝒙�)𝟐
𝑵
; 𝝈 = 𝝈𝟐𝟐 . 
 A função de probabilidade normal (função densidade) é dada 
por 
 𝒇 𝒙 = 𝟏
𝝈 𝟐𝟐 𝒆−(𝒙−𝒙�)𝟐𝟐𝝈𝟐 . 
 Distribuição normal padrão (𝒛 = 𝟎 quando 𝐱 = 𝒙�, e σ = 1): 
utiliza a variável z dada por 
 𝒛 = 𝒙−𝒙�
𝝈
 (indica o número de desvios-padrão de um 
valor a partir da média). 
 Substituindo em f(x): 
 𝒇 𝒛 = 𝟏
𝟐𝟐
𝒆
−𝒛𝟐
𝟐 . 
Distribuição normal padrão – gráfico (curva gaussiana) 
Interatividade 
Analise as seguintes afirmações feitas sobre a distribuição 
normal de probabilidades: 
I. É uma distribuição discreta, pois a variável aleatória é 
discreta. 
II. Para obter a probabilidade, é necessário calcular um 
binômio de Newton. 
III. Depende somente da média e do desvio-padrão. 
IV. O desvio-padrão indica a posição central da curva e a média 
indica como a distribuição varia. 
V. A curva é chamada de normal, tem forma de sino e é 
simétrica em torno da média. 
 
 
 
 
 
 
 
Interatividade 
Estão corretas: 
a) I, II e III. 
b) III, IV e V. 
c) III e V. 
d) I e II. 
e) I e V. 
Distribuição normal padrão (ou padronizada) 
 Utilizar o valor z e a tabela normal padrão (dá a área sob a 
gaussiana em função do valor de z) para obter a área da curva 
no intervalo de interesse. A probabilidade corresponde à área 
obtida. 
 Observação: a tabela a seguir apresenta a área da curva 
normal reduzida de 0 a z (ou seja, a área correspondente ao 
intervalo entre 0 e o valor de z obtido). 
 
 
Tabela da distribuição normal reduzida de 0 a z 
Z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
Tabela (continuação) 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,0050 
Exemplo – troca de celular entre 1 ano e 1 ano e meio 
 Exemplo: Uma pesquisa feita com os estudantes de EAD 
revelou que, em média, um estudante troca seu celular a cada 
1 ano e meio, com desvio-padrão de 0,5. Qual a probabilidade 
de que um aluno troque seu celular entre um ano e um ano e 
meio de uso? 
 𝒛 = 𝒙−𝒙�
𝝈
, com 𝒙� = 𝟏,𝟓 e 𝝈 = 𝟎,𝟓. Para os valores 𝒙𝟏 = 𝟏 e 
𝒙𝟐 = 𝟏,𝟓 temos, respectivamente, 
 𝒛𝟏 = 𝟏−𝟏,𝟓𝟎,𝟓 ⇒ 𝒛𝟏 = −𝟏 e 𝒛𝟐 = 𝟏,𝟓−𝟏,𝟓𝟎,𝟓 ⇒ 𝒛𝟐 = 𝟎. 
 O gráfico a seguir indica os dois valores de z na gaussiana. 
 
Gaussiana do exemplo – troca de celular entre 1 ano e 
1 ano e meio (𝒛𝟏 = −𝟏 e 𝒛𝟐 = 𝟎) 
 Por simetria, a área 
entre z = -1 e z = 0 é 
igual à área entre 
z = 0 e z = 1. Utilizando a tabela 
vista anteriormente, 
obtemos a área para 
z = 1: 
 A(1,0) = 0,3413. 
 Para z = 0, A(0) = 0. 
 A área é 0,3413 e a 
probabilidade é 
P = 0,3413. 
Inferência e estimação – definições úteis 
 População – é o conjunto com todos os elementos estudados 
pelo pesquisador. 
 Amostra – é um conjunto formado por uma parte da 
população e é estudado para se conhecer características da 
população. Precisa representar bem a população. 
 População finita (número limitado de elementos) ou infinita 
(número ilimitado de elementos). 
 Censo – estudo realizado com a população. Vantagem: 
precisão. Desvantagens: custos e tempo (geralmente). 
 Amostragem – estudo realizado com uma amostra da 
população. Vantagens: custos e tempo, variedade e 
profundidade das informações coletadas em relação ao censo, 
testes destrutivos, testes de novos tratamentos na medicina. 
 
Técnicas de amostragem 
 Amostras probabilísticas – os elementos são escolhidos de 
maneira aleatória (sorteio). Estudos econômicos e sociais. 
 Amostras não probabilísticas (não aleatórias) – elementos 
escolhidos intencionalmente. Estudos médicos. 
Técnicas probabilísticas: 
 Amostragem aleatória simples – sortear os elementos 
aleatoriamente (mesma probabilidade). 
 Amostragem estratificada – leva em conta diferenças entre os 
estratos, mantendo proporções presentes na população 
também na amostra que a representa. 
Técnicas não probabilísticas: 
 Amostragem acidental – exemplo: pesquisas de opinião (rua). 
 Amostragem intencional – critérios preestabelecidos. 
 
Distribuições amostrais 
 Distribuição amostral – conjunto completo com todas as 
amostras possíveis para um dado número de elementos. 
 A média da distribuição amostral (𝝁𝒙�) é igual à média da 
população (𝝁), ou seja, 𝝁𝒙� = 𝝁. Quando o número de dados é 
muito grande, a distribuição dos valores das médias das 
amostras aproxima-se da curva normal e a distribuição fica 
em torno da média populacional. 
 O desvio-padrão das médias é dado por 
 𝝈𝒙� = 𝝈𝒏 
 o que significa que quanto maior a dispersão na população, 
maior será o desvio-padrão das médias. Por outro lado, 
quanto maior for a amostra, menor será 𝝈𝒙�. 
Estimação 
 Como estimar a confiabilidade de valores obtidos por meio de 
uma amostragem? 
 Exemplo: média. 
 (média obtida) – (média para a população) = erro, ou seja, 
 𝒙� − 𝝁 = 𝒆 ⇒ 𝝁 = 𝒙� − 𝒆. 
 O erro estimado é 
 𝒆 = 𝒛.𝝈
𝒏
 
 e z é a grandeza que usamos para determinar áreas sob a 
curva gaussiana (distribuição normal padrão). Antes, a partir 
do valor encontrado para z, encontrávamos a área 
correspondente com o auxílio da tabela, agora, escolhemos a 
probabilidade (a área) e obtemos o valor de z associado. 
 
Intervalos de confiança 
 Tendo encontrado z, substituímos seu valor na expressão do 
erro 𝒆 = 𝒛.𝝈
𝒏
 e, então, encontramos o intervalo. 
 Aplicação: Uma pesquisa verificou que os funcionários de 
uma empresa levam, em média, 2h para ir de casa para o 
trabalho, com desvio-padrão de 0,5h, a partir de uma amostra 
com n = 100. 
 O erro é dado por e = 0,05*z. A tabela a seguir apresenta os 
resultados. 
 
 
 
 
Confiança z e Intervalo 
90% 1,65 0,0825 1,9175 a 2,0825 
95% 1,96 0,0980 1,9020 a 2,0980 
99% 2,58 0,1290 1,8710 a 2,1290 
Interatividade 
Uma pesquisa sobre e-mails constatou que cada usuário recebe, 
em média, 20 mensagens de spam por dia, com desvio-padrão 
de 5, a partir de uma amostra com n = 100. Podemos afirmar 
que: 
a) O erro é dado por 𝒆 = 𝒛 𝟐⁄ e quanto maior a confiança, menor 
será o seu valor. 
b) O erro é dado por 𝒆 = 𝟐 ∗ 𝒛 e quanto maior a confiança, maior 
será o seu valor. 
c) O erro é dado por 𝒆 = 𝟐 ∗ 𝒛 e quanto maior a confiança, 
menor será o seu valor. 
d) O erro é dado por 𝒆 = 𝒛 𝟐⁄ e quanto maior a confiança, maior 
será o seu valor. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
ATÉ A PRÓXIMA! 
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	Noções de teoria de conjuntos
	Conjunto vazio, subconjuntos e diagramas de Venn
	Operações com conjuntos – diferença
	Operações com conjuntos – diferença
	Operações com conjuntos – interseção�(elementos que pertencem a A e a B)
	Operações com conjuntos – união�(elementos que pertencem a A ou a B)
	Conjuntos disjuntos�Conjuntos com elementos comuns
	Diagrama de Venn com os elementos
	Diagrama de Venn com os elementos (3 conjuntos)�Exemplo 1 
	Diagrama de Venn – número grande de elementos
	Diagrama de Venn com contagem de elementos
	Diagrama de Venn – aplicação
	�Aplicação – pesquisa sobre e-mails�100 – Gmail (G), 80 – Hotmail (H), 20 – comuns, 40 – nenhum dos dois�
	Diagrama de Venn – aplicação com 3 conjuntos
	Aplicação – pesquisa sobre e-mails (2)�170 – G, 150 – H, 160 – Y, 40 – G, H e Y, 50 – G e H, 50 – G e Y, 60 – Y e H, 40 alunos nenhum dos três
	Interatividade
	Resposta
	Propriedades das probabilidades
	Regra da adição – P(A ou B)
	Regra da adição – aplicação (pesquisa sobre e-mails)�100 – Gmail (G), 80 – Hotmail (H), 20 – comuns, 40 – nenhum dos dois. Total: 200 participantes (já visto) 
	Regra da multiplicação – P(A e B)
	Regra da multiplicação – aplicação
	Análise combinatória�Princípio Fundamental da Contagem
	Exemplo: senha de acesso
	Permutações
	Permutações – fatorial de um número
	Arranjos
	Combinações
	Interatividade
	Resposta
	Distribuições de probabilidade�Variáveis aleatórias
	Variáveis aleatórias – tipos de distribuições
	Distribuição binomial
	Distribuição binomial
	Distribuição binomial – aplicação
	Distribuição binomial – aplicação (continuação)
	Distribuição de probabilidade binomial – gráfico�(alto grau de segurança: máximo de 3 computadores)
	Distribuição uniforme de probabilidades
	Distribuição uniforme – gráfico 
	Distribuição normal de probabilidades�(distribuição gaussiana)
	Distribuição normal
	Distribuição normal padrão – gráfico (curva gaussiana)
	Interatividade
	Interatividade
	Resposta
	Resposta
	Distribuição normal padrão (ou padronizada)
	Tabela da distribuição normal reduzida de 0 a z
	Tabela (continuação)
	Exemplo – troca de celular entre 1 ano e 1 ano e meio 
	Gaussiana do exemplo – troca de celular entre 1 ano e 1 ano e meio ( 𝒛 𝟏 =−𝟏 e 𝒛 𝟐 =𝟎)
	Inferência e estimação – definições úteis
	Técnicas de amostragem
	Distribuições amostrais
	Estimação
	Intervalos de confiança
	Interatividade
	Resposta
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