Slide aula 1

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Cap´ıtulo 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Patr´ıcia Fonseca de Brito
patricia.fonseca@ufjf.edu.br
UFJF
Departamento de Matema´tica
31 de agosto de 2016
Patr´ıcia Fonseca (UFJF) GASL 31 de agosto de 2016 1 / 20
Suma´rio
1 1.1 - Matrizes
2 Sistemas de equac¸o˜es lineares
3 Matrizes equivalentes por linhas
4 Refereˆncias
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1.1 - Matrizes
Matriz
Uma matriz A, m × n, e´ uma tabela de mn nu´meros dispostos em m
linhas e n colunas.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . .
...
am1 am2 . . . amn

A = (aij)m×n
aij ou [A]ij e´ o elemento ou entrada de posic¸a˜o i , j da matriz A.
Se m = n temos uma matriz quadrada.
Duas matrizes sa˜o iguais se elas tem o mesmo tamanho e os
elementos correspondentes sa˜o iguais.
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1.1 - Matrizes
Operac¸o˜es com matrizes
Definic¸a˜o
A soma de duas matrizes do mesmo tamanho A = (aij)m×n e
B = (bij)m×n e´ definida como sendo a matriz m × n
C = A + B,
onde cij = aij + bij .
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1.1 - Matrizes
Operac¸o˜es com matrizes
Definic¸a˜o
A multiplicac¸a˜o de uma matriz A = (aij)m×n por um escalar α e´
definido pela matriz m × n
B = αA,
onde bij = αaij .
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1.1 - Matrizes
Operac¸o˜es com matrizes
Definic¸a˜o
O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira e´
igual ao nu´mero de linhas da segunda, A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e´
definido pela matriz m × n
C = AB,
onde cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj =
p∑
k=1
aikbkj .
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1.1 - Matrizes
Operac¸a˜o com Matrizes
Definic¸a˜o
A transposta de uma matriz A = (aij)m×n e´ definida pela matriz n ×m
B = At ,
onde bij = aji .
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1.1 - Matrizes
Propriedades da a´lgebra matricial
Sejam A, B e C matrizes, α e β escalares. Sa˜o va´lidas as seguintes
propriedades matriciais:
Comutatividade - A + B = B + A;
Associatividade - A + (B + C ) = (A + B) + C ;
Elemento neutro - A matriz 0¯ e´ tal que A + 0¯ = A;
Elemento sime´trico - Para cada matriz A existe uma u´nica matriz −A
tal que A + (−A) = 0¯;
Associatividade - α(βA) = (αβ)A;
Distributividade - (α + β)A = αA + βA;
Distributividade - α(A + B) = αA + αB;
Associatividade - A(BC ) = (AB)C ;
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1.1 - Matrizes
Propriedades da a´lgebra matricial - cont.
Elemento Neutro - Para cada inteiro positivo p a matriz, p × p,
chamada identidade e´ tal que AI = IA = A, sendo
Ip =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
... . . .
...
0 0 . . . 1
 ;
Distributividade - A(B + C ) = AB + AC e (B + C )A = BA + CA;
α(AB) = (αA)B = A(αB);
(At)t = A;
(A + B)t = At + Bt ;
(αA)t = αAt ;
(AB)t = BtAt .
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1.1 - Matrizes
A diferenc¸a entre duas matrizes de mesmo tamanho A e B e´ definida
por
A− B = A + (−B).
Seja A uma matriz n × n e p um inteiro positivo. Definimos a
poteˆncia p de A, por
Ap = A.A . . .A︸ ︷︷ ︸
p vezes
.
Quando p = 0, definimos A0 = In.
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Sistemas de equac¸o˜es lineares
Sistema de equac¸o˜es lineares
Um sistema de equac¸o˜es lineares e´ um conjunto de equac¸o˜es lineares,
ou seja, e´ um conjunto da forma
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
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Sistemas de equac¸o˜es lineares
O sistema linear pode ser escrito como uma equac¸a˜o matricial
AX = B,
onde
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . .
...
am1 am2 . . . amn
 , X =

x1
x2
...
xn
 , e B =

b1
b2
...
bm
 .
Uma soluc¸a˜o do sistema linear e´ uma matriz S =

s1
s2
...
sn
 tal que as
equac¸o˜es do sistema sa˜o satisfeitas quando substitu´ımos
x1 = s1, . . . , xn = sn.
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Sistemas de equac¸o˜es lineares
Como resolver um sistema linear?
Aplicar sucessivamente operac¸o˜es elementares ao sistema com intuito
de obter outro sistema, mas que seja mais fa´cil de resolver.
Essas operac¸o˜es podem ser aplicadas sobre a matriz de coeficientes
do sistema, chamada de matriz aumentada.
[A|B] =

a11 a12 . . . a1n| b1
a21 a22 . . . a2n| b2
... . . .
... | ...
am1 am2 . . . amn| bm
 .
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Sistemas de equac¸o˜es lineares
Definic¸a˜o
Uma operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz e´ uma das
seguintes operac¸o˜es:
(a) Trocar a posic¸a˜o de duas linhas da matriz;
(b) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(c) Somar a uma linha da matriz um mu´ltiplo escalar de outra linha.
Teorema
Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D, sa˜o tais que a matriz
aumentada [C |D] e´ obtida de [A|B] aplicando-se uma operac¸a˜o elementar,
enta˜o os dois sistemas possuem as mesmas soluc¸o˜es.
Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o sa˜o chamados de
sistemas equivalentes.
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Sistemas de equac¸o˜es lineares
Me´todo de Gauss-Jordan
O me´todo de Gauss-Jordan consiste em aplicar operac¸o˜es elementares na
matriz aumentada do sistema ate´ transforma´-la em uma matriz na forma
escalonada reduzida.
Definic¸a˜o
Uma matriz A = (aij)m×n esta´ na forma escalonada reduzida quando
satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(a) Todas as linhas nulas da matriz esta˜o abaixo das linhas na˜o nulas;
(b) O pivoˆ (1 elemento na˜o nulo de uma linha) de cada linha e´ 1;
(c) O pivoˆ de cada linha ocorre a` direita do pivoˆ da linha anterior;
(d) Se uma coluna conte´m um pivoˆ, enta˜o todos os seus outros elementos
sa˜o iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas na˜o necessariamente
(b) e (d), dizemos que ela esta´ na forma escalonada.
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Sistemas de equac¸o˜es lineares
Sistema linear sem soluc¸a˜o
Em geral, um sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se, a u´ltima
linha na˜o nula da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for
da forma [0 . . . 0|b′m], com b′m 6= 0.
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Sistemas de equac¸o˜es lineares
Sistema linear com infinitas soluc¸o˜es
Em geral, se o sistema linear tiver soluc¸a˜o e a forma escalonada reduzida
da matriz aumentada possuir colunas sem pivoˆs, as varia´veis que na˜o
esta˜o associadas a pivoˆs podem ser consideradas varia´veis livres, isto e´,
podem assumir valores arbitra´rios.
Proposic¸a˜o
Sejam A uma matriz m ×m e B uma matriz m × 1. Se o sistema linear
AX = B possui duas soluc¸o˜es distintas X0 6= X1, enta˜o ele tem infinitas
soluc¸o˜es.
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Matrizes equivalentes por linhas
Definic¸a˜o
Uma matriz A = (aij)m×n e´ equivalente por linhas a matriz
B = (bij)m×n, se B pode ser obtida de A aplicando-se uma sequencia de
operac¸o˜es elementares sobre as suas linhas.
Matrizes equivalentes por linhas e´ diferente de matrizes iguais.
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Matrizes equivalentes por linhas
Propriedades - Matrizes equivalentes por linhas
A relac¸a˜o ”ser equivalente por linhas”satisfaz as seguintes propriedades:
Toda matriz e´ equivalentepor linhas a ela mesma;
Se A e´ equivalente por linhas a B, enta˜o B e´ equivalente por linhas a
A;
Se A e´ equivalente por linhas a B e B e´ equivalente por linhas a C ,
enta˜o A e´ equivalente por linhas a C .
Teorema
Toda matriz A = (aij)m×n e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz
escalonada reduzida R = (rij)m×n.
Proposic¸a˜o
Seja R uma matriz m×m na forma escalonada reduzida. Se R 6= Im enta˜o
R tem uma linha nula.
Patr´ıcia Fonseca (UFJF) GASL 31 de agosto de 2016 19 / 20
Refereˆncias
R. J. dos Santos. Matrizes, vetores e geometria anal´ıtica. Imprensa
Universita´ria da UFMG, 2012.
Ate´ a pro´xima aula!
Patr´ıcia Fonseca (UFJF) GASL 31 de agosto de 2016 20 / 20
	1.1 - Matrizes
	Sistemas de equações lineares
	Matrizes equivalentes por linhas
	Referências