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Capítulo 1
Grupo dos automorfismos de um
grupo
Definição 1.0.1. Seja G um grupo.
(i) Um homomorfismo f : G ÝÑ G é dito um endomorfismo de G.
(ii) Um isomorfismo f : G ÝÑ G é dito um automorfismo de G.
O conjunto de todos os automorfismos de um grupo G é denotado por
AutpGq.
Proposição 1.0.2. O par pAutpGq, �q, onde � é a operação de composição
de funções, é um grupo.
Demonstração. Quaisquer que sejam os elementos σ, τ, φ P AutpGq é de fácil
verificação que:
(i) � : AutpGq � AutpGq ÝÑ AutpGq, pσ, τq ÞÝÑ σ � τ, é uma operação
binária fechada sobre AutpGq,
(ii) pσ � τq � φ � σ � pτ � φq,
(iii) o elemento identidade de AutpGq é a aplicação id,
(iv) o elemento inverso da aplicação σ P AutpGq é a aplicação inversa σ�1 P
AutpGq.
Decorre disso que, pAutpGq, �q é um grupo.
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Proposição 1.0.3. Seja pG, �q um grupo e g um elemento de G. Então, a
aplicação
τg : G ÝÑ G, τgpxq � g � x � g
�1,
para todo x P G, é um automorfismo de G.
Nesse caso, tal automorfismo é chamado de automorfismo interno indu-
zido por g.
Demonstração. Seja um elemento g P G. Quaisquer que sejam os elementos
x, y P G, temos que
τgpx � yq � g � px � yq � g
�1
� g � px � g�1 � g � yq � g�1
� pg � x � g�1q � pg � y � g�1q
� τgpxq � τgpyq.
Portanto, τg é um endomorfismo. Também, para todo elemento y P G,
consideremos o elemento x � g�1 � y � g. Então,
τgpxq � τgpg
�1
� y � gq
� g � pg�1 � y � gq � g�1
� pg � g�1q � y � pg � g�1q
� y.
Ainda, quaisquer que sejam os elementos x, y P G tal que τgpxq � τgpyq,
temos que
g � x � g�1 � g � y � g�1
x � g�1 � y � g�1
x � y.
Podemos então concluir que a aplicação τg é um homomorfismo bijetor e
portanto um automorfismo.
Definição 1.0.4. Seja G um grupo. O conjunto de todos os automorfismos
internos é denotado por
InnpGq � tτg | g P Gu.
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Proposição 1.0.5. Seja G um grupo.
(i) InnpGq é um subgrupo normal de AutpGq;
(ii) InnpGq � G{ZpGq, onde ZpGq é o centro de G.
Demonstração. (i) Primeiramente, observemos que a aplicação id : G ÝÑ G,
definida por idpgq � g, para todo elemento g P G, pertence ao conjunto
InnpGq o que implica em InnpGq � H. De fato, nesse caso temos τe � id.
Em seguida, quaisquer que sejam os elementos τg1 , τg2 P InnpGq temos que
pτg1 � τg2qpxq � τg1pτg2pxqq
� g1 � pg2 � x � g
�1
2 q � g
�1
1
� pg1 � g2q � x � pg
�1
2 � g
�1
1 q
� pg1 � g2q � x � pg1 � g2q
�1
� pτg1�g2qpxq,
para todo elemento x P G. Segue disso que
τg1 � τg2 � τg1�g2 ,
quaisquer que sejam os elementos g1, g2 P G. A identidade acima nos permite
concluir também que
pτg1q
�1
� τg�11 ,
para todo elemento g1 P G. Isso mostra que InnpGq é um subgrupo de G.
Também, quaisquer que sejam os elementos g P G e φ P AutpGq, temos que
pφ � τg � φ
�1
qpxq � φpτgpφ
�1
pxqqq
� φpg � φ�1pxq � g�1q
� φpgq � φpφ�1pxqq � φpg�1q
� φpgq � x � φpgq�1
� τφpgqpxq,
para todo elemento x P G. Segue disso que
φ � τg � φ
�1
� τφpgq,
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quaisquer que sejam os elementos g P G e φ P AutpGq. Isso mostra que
InnpGq é um subgrupo normal de AutpGq.
(ii) Considere a aplicação
f : G ÝÑ InnpGq, fpgq � τg,
para todo elemento g P G. Mostremos que f é um epimorfismo. De fato,
quaisquer que sejam os elementos g1, g2 P G, temos que
fpg1 � g2q � τg1�g2
� τpg1q � τpg2q
� fpg1q � fpg2q.
É evidente que f é sobrejetor. Portanto, f é um epimorfismo. Mostremos
agora que kerpfq � ZpGq. Para todo elemento g P kerpfq, temos que fpgq � τe
se, e somente se, τg � τe se, e somente se,
g � x � g�1 � e � x � e�1 � x,
para todo elemento x P G se, e somente se,
g � x � x � g,
para todo elemento x P G se, e somente se, g P ZpGq. Pelo Teorema do
Homomorfismo podemos concluir que
G{ZpGq � InnpGq.
Corolário 1.0.6. Seja G um grupo. Se ZpGq � teu, então InnpGq � G.
Demonstração. Evidente.
Definição 1.0.7. Seja G um grupo. O grupo quociente AutpGq{InnpGq é
chamado de grupo das classes dos automorfismos externos e denotado por
OutpGq.
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Capítulo 2
Grupos cíclicos
Proposição 2.0.1. Seja o grupo abeliano pZ,�q. As seguintes afirmações
são verdadeiras:
(i) Um subconjunto H „ Z é um subgrupo de Z se, e somente se, H � n�Z,
para algum n P N.
(ii) m � Z … n � Z se, e somente se, m divide n.
Nesse caso, pm � Z : n � Zq �
n
m
.
Demonstração. (i) pñq Seja H um subgrupo de Z. Dois casos são conside-
rados:
1o caso. H � t0u. Nesse caso temos que H � 0 � Z.
2o caso. H � t0u. Seja n � minta P H | a ¡ 0u. Como n P H e
n � a � n� � � � � n
looooomooooon
a�vezes
, se a ¥ 0,
n � 0 � 0,
n � a � �pn � p�aqq, se a   0,
então concluímos que n �Z „ H. Entretanto, para todo h P H, pelo algoritmo
da divisão de Euclides, existem únicos inteiros q, r tal que h � n � q� r, onde
0 ¤ r   n. Segue disso que h � n � q o que mostra que h P n � Z. Portanto,
H „ n � Z.
pðq Certamente, n � Z � H. Sejam dois elementos a, b P Z. Então, como
n � a� n � b � n � pa� bq e � pn � aq � n � p�aq,
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segue que n � Z é um subgrupo de Z.
(ii) pñq Se m �Z … n �Z, então existe um inteiro k tal que n � k �m. Segue
disso que m divide n.
pðq Evidente.
Além disso, temos que
Z{n � Z
N
m � Z{n � Z � Z{m � Z,
pelo Corolário 2.0.18. Assim, pelo Corolário 1.5.7, obtemos a relação
�
�
�
�
Z{n � Z
N
m � Z{n � Z
�
�
�
�
�
|Z{n � Z|
|m � Z{n � Z|
p� |Z{m � Z|q
o que implica em
m �
n
|m � Z{n � Z|
, isto é, |m � Z{n � Z| �
n
m
.
Portanto, temos que pm � Z : n � Zq �
n
m
.
Lema 2.0.2. Seja o grupo abeliano pZ,�q. Então, o inteiro m é um gerador
do grupo Z se, e somente se, m � �1 ou m � 1.
Demonstração. Exercício.
Proposição 2.0.3. Seja pG, �q um grupo. Se G � xgy, é um grupo cíclico,
de ordem infinita. Então,
(i) A aplicação f : pZ,�q ÝÑ pG, �q, definida por fpmq � gm, para todo
m P Z, é um isomorfismo.
(ii) O elemento gm gera G se, somente se, m � �1.
Demonstração. (i) É evidente que a aplicação f está bem definida. Também
que fpm � nq � fpmq � fpnq, quaisquer que sejam os inteiros m,n P Z.
Ainda, Seja h P G um elemento qualquer. Então, existe um inteiro m tal
que h � gm. Segue disso que fpmq � h. Finalmente, sejam inteiros n,m tais
que fpnq � fpmq. Então, gn � gm o que implica em gn�m � e. Como g é
de ordem infinita, então devemos ter n � m � 0. Isso mostra que f é um
isomorfismo.
(ii) Por (i), temos que fpZq � G. Como os únicos geradores de Z são os
elementos �1 ou 1, então os únicos elementos geradores de G são g�1 ou
g1.
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Lema 2.0.4. Seja o grupo abeliano pZ{n �Z,`
n
q. Então, o elemento m é um
gerador do grupo Z{n � Z se, e somente se, M.D.C.tm,nu � 1.
Demonstração. Exercício.
Proposição 2.0.5. Seja pG, �q um grupo. Se G � xgy � te, g, � � � , gn�1u, é
um grupo cíclico, de ordem finita igual a n. Então,
(i) A aplicação f : pZ{n � Z,`
n
q ÝÑ pG, �q, definida por fpmq � gm, para
todo m P Z, é um isomorfismo.
(ii) O elemento gm gera G se, somente se, M.D.C.tm,nu � 1.
Demonstração. (i) A aplicação f está bem definida. De fato, sejam inteiros
k, l tal que k � l. Então, k � l � n � s, para alhum inteiro s. Segue disso que
fpkq � gk � gn�s�l � pgnqs � gl � es � gl � e � gl � gl � fplq. Também que
fpk � lq � fpkq � fplq, quaisquer que sejam os inteiros k, l P Z. Ainda, Seja
h P G um elemento qualquer. Então, existe um inteiro 0 ¤ k   n tal que
h � gk. Segue disso que fpkq � h. Finalmente, sejam inteiros k, l tais que
fpkq � fplq. Então, gk � gl o que implica em gk�l � e. Como g é de ordem
finita n, então devemos ter k � l � n � s, para algum inteiro s, o que implica
em k � l. Isso mostra que f é um isomorfismo.
(ii) Por (i), temos que fpZ{n�Zq � G. Como os únicos geradores de Z{n�Z são
os elementos m, para os quais M.D.C.tm,nu � 1, então os únicos elementos
geradores de G são gm, para os quais M.D.C.tm,nu � 1.
Proposição 2.0.6. Seja pG, �q um grupo. Se G � xgy � te, g, � � � ,gn�1u, é
um grupo cíclico, de ordem finita igual a n. Então,
(i) Se H é um subgrupo de G, então H é cíclico.
Nesse caso, H � xgmy, onde m é o menor inteiro positivo tal que
gm P H. O subgrupo H tem ordem igual a n{m.
(ii) Se d é um divisor de n, então existe um único subgrupo H de G com
ordem igual a d. Nesse caso, H � xgn{dy.
Demonstração. (i) Seja H um subgrupo de G. Considere m o menor inteiro
positivo tal que gm P H. É evidente que xgmy „ H. Por outro lado, para
todo elemento gs P H, onde s P Z, temos que existem únicos inteiros q, r
tal que s � mq � r, onde 0 ¤ r   m. Segue disso que r � 0 e portanto
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gs � gmq � pgmqq P xgmy. Isso mostra que H „ xgmy. Consequentemente,
obtemos H � xgmy.
Além disso, existem únicos inteiros q1, r1 tal que n � mq1 � r1, onde 0 ¤
r1   m. Segue disso que r1 � 0 e q1 �
n
m
. Portanto, podemos concluir que
Opgmq � n
m
.
(ii) Considere o subgrupo H0 � xg
n{d
y. Certamente, H0 é um subgrupo de
ordem d. Agora, seja H um subgrupo de G. Por (i), temos que H � xgmy,
ondem é o menor inteiro positivo tal que gm P H, eH tem ordem igual a n{m.
Segue disso que d � n{m o que implica em m � n{d. Assim, H � H0.
2.1 Homomorfismos de grupos cíclicos
Proposição 2.1.1. Sejam pG, �q e pG, �q grupos e elementos g P G e h P G.
Então:
(i) Se Opgq   8, então existe um homomorfismo f : xgy ÝÑ G tal que
fpgq � h se, e somente se, Ophq divide Opgq.
Nesse caso, o homomorfismo f é único e definido por fpgrq � hr, para
todo r P N.
(ii) Se Opgq � 8, então existe um homomorfismo f : xgy ÝÑ G tal que
fpgq � h.
Nesse caso, o homomorfismo f é único e definido por fpgrq � hr, para
todo r P N.
Demonstração. (i) pñq Se existe um homomorfismo f : xgy ÝÑ G tal que
fpgq � h, então
fpgrq � hr,
para todo r P Z. Segue disso que
eG � fpeGq � fpgOpgqq � hOpgq
o que mostra que Ophq divide Opgq.
pðq Primeitamente, observemos que existe um único inteiro u tal que Opgq �
Ophqu. Seja a aplicação f : xgy ÝÑ G, definida por
fpgrq � hr,
8
para todo r P Z. Mostremos que f é um homomorfismo de grupos. De fato,
quaisquer que seja os inteiros r, s tais que gr � gs, temos que r � s � Opgqt,
para algum inteiro t, o que implica em
hr � hOpgqt�s � hOpgqt � hs � phOpgqqt � hs
� phOphquqt � hs � pphOphqquqt � hs � ppeGquqt � hs � hs.
Segue disso que a aplicação está bem definida. Também, temos que
fpgr � gsq � fpgr�sq � hr�s � hr � hs � fpgrq � fpgsq
o que mostra que f é um homomorfismo de grupos.
Além disso, se f1 : xgy ÝÑ G é outro homomorfismo tal que f1pgq � h,
então
f1pg
r
q � hr � fpgrq,
para todo inteiro r o que mostra que f1 � f.
(ii) Se Opgq � 8, então definamos a aplicação f : xgy ÝÑ G por
fpgrq � hr,
para todo r P Z. Mostremos que f é um homomorfismo de grupos. De
fato, quaisquer que seja os inteiros r, s tais que gr � gs, temos que gr�s �
gr � pgsq�1 � eG o que implica em r � s � 0. Segue disso que
fpgrq � hr � hs � fpgsq
o que mostra que a aplicação f está bem definida. Também, temos que
fpgr � gsq � fpgr�sq � hr�s � hr � hs � fpgrq � fpgsq
o que mostra que f é um homomorfismo de grupos. Além disso, se
f1 : xgy ÝÑ G é outro homomorfismo tal que f1pgq � h, então
f1pg
r
q � hr � fpgrq,
para todo inteiro r o que mostra que f1 � f.
Proposição 2.1.2. Seja pG, �q um grupo cíclico. Se
G � xgy e f : G ÝÑ G é um homomorfismo de grupos, então
f é um automorfismo se, e somente se, fpgq é um gerador do grupo G.
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Demonstração. pñq Seja o subgrupo cíclico xfpgqy. Mostremos que G �
xfpgqy. Certamente temos xfpgqy „ G. Entretanto, para todo elemento h P
G, temos que existe um elemento g0 P G tal que fpg0q � h, pois f é um
automorfismo. Assim, existe um inteiro n P Z tal que gn � g0. Decorre disso
que pfpgqqn � fpgnq � fpg0q � h o que implica em h P xfpgqy. Portanto
podemos concluir que G � xfpgqy.
pðq Mostremos que f é bijetor. De fato, seja um elemento arbitrário h P G.
Por hipótese, existe um inteiro n P Z tal que pfpgqqn � h. Segue disso que,
fpgnq � pfpgqqn � h. Assim, f é sobrejetor. Agora, para mostrar que f é
injtor, consideramos dois casos:
1o caso. Opgq   8. Nesse caso, G é finito o que implica em Opfpgqq   8.
Assim, sejam inteiros m,n P Z tal que fpgmq � fpgnq. Segue disso que
pfpgqqm � pfpgqqn o que implica em pfpgqqm�n � eG e acarretando em m �
n � Opfpgqql, para algum inteiro l P Z. Por outro lado, por hipótese, existe
um inteiro n0 P Z tal que g � pfpgqq
n0
o que implica em
gm�n � ppfpgqqn0qm�n
� ppfpgqqn0qOpfpgqql
� pppfpgqqn0qOpfpgqqql
� pppfpgqqOpfpgqqqn0ql
� pen0G q
l
� eG.
Decorre disso que gm � gn. Isso mostra que f é injetor e portanto um auto-
morfismo de G.
2o caso. Opgq � 8. Nesse caso, G é infinito o que implica em Opfpgqq � 8.
Assim, sejam inteiros m,n P Z tal que fpgmq � fpgnq. Segue disso que
pfpgqqm � pfpgqqn o que implica em pfpgqqm�n � eG e acarretando em
m�n � 0. Decorre disso que gm � gn. Isso mostra que f é injetor e portanto
um automorfismo de G.
Corolário 2.1.3. AutpZq � tid,�idu.
Demonstração. Exercício (Sugestão: Aplique a Proposição 2.1.2).
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