Campos Magnéticos (Resumo)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E ENGENHARIAS 
FACULDADE DE COMPUTAÇÃO E ENGENHARIA ELÉTRICA 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA (2015) 
 
JEAN CHARLES CORTES FERREIRA 
JOSÉ VINÍCIUS PEREIRA ALVES 
 
 
 
 
 
RESUMO SOBRE CAMPOS MAGNÉTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marabá – PA 
2018 
JEAN CHARLES CORTES FERREIRA 
JOSÉ VINÍCIUS PEREIRA ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO SOBRE CAMPOS MAGNÉTICOS 
TEORIA ELETROMAGNÉTICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marabá – PA 
2018 
Resumo entregue ao professor Nadson Welkson 
Pereira de Souza, na Universidade Federal do 
Sul e Sudeste do Pará – Campus II, como parte 
dos requisitos necessários para obtenção de 
nota na disciplina de Teoria Eletromagnética II. 
Sumário 
 
1. Introdução ............................................................................................................. 3 
2. Lei de Biot-Savart ................................................................................................. 4 
3. Lei Circuital de Ampère ........................................................................................ 5 
4. Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético .............................................. 6 
5. Potencial Escalar e Potencial Vetor Magnético .................................................... 7 
6. Referências........................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. Introdução 
 Na circulação de cargas elétricas um campo magnético é gerado. Com este 
campo são estudadas leis e características similares aos dos campos elétricos. 
Entretanto, como as cargas estão em movimento, outros fenômenos são encontrados, 
como o potencial vetor, a não conservação de energia do campo magnético, entre 
outras. Neste trabalho são apresentadas as leis relativas aos campos magnéticos: a 
lei de Biot-Savart; a lei circuital de Ampère; o fluxo e a densidade de fluxo magnético 
e seus campos potenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2. Lei de Biot-Savart 
 A lei experimental de Biot-Savart estabelece que o campo magnético em um 
ponto qualquer P, produzido por um elemento diferencial de corrente é proporcional 
ao seno do ângulo que liga o filamento e a linha que conecta o filamento ao ponto P e 
inversamente proporcional ao quadrado da distância do elemento diferencial de 
corrente ao ponto P, como mostra a Figura 1. A direção deste campo é normal ao 
plano da linha onde passa a corrente I e a linha que liga ao ponto P. A constante de 
proporcionalidade é, no sistema internacional de unidades (SI), 
1
4
𝜋. 
 
 
Figura 1: Campo magnético 𝑑𝑯 em P devido ao elemento de corrente I 𝑑𝑳. 
 
 Em termos vetoriais e para uma corrente em uma linha 𝑳 (A/m), está lei é dada 
por: 
 
𝑑𝑯 =
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝑅
4𝜋𝑅2
 
 
(1) 
 Como a corrente só existe em um circuito fechado, tem-se que o campo 
magnético gerado em um ponto P devido a uma corrente que circula é: 
 
𝑯 = ∮
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝑅
4𝜋𝑅2
 (2) 
 
 Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações de carga, 
podemos ter diferentes distribuições de corrente: corrente em uma linha, corrente em 
5 
 
uma superfície e corrente em um volume. Se definirmos 𝑲 como a densidade de 
corrente superficial (𝐴/𝑚²) e 𝑱 como a densidade de corrente em um volume (𝐴/𝑚³) 
os elementos estão relacionados conforme: 
 𝐼𝑑𝑳 = 𝑲𝑑𝑺 = 𝑲𝑑𝑽 
 
(3) 
 E consequentemente, encontram-se os valores do campo magnético em um 
ponto gerado por estas, como sendo: 
 
𝑯 = ∮
𝑲𝑑𝑺 × 𝒂𝑅
4𝜋𝑅2
 (4) 
e 
 
𝑯 = ∮
𝑱𝑑𝑽 × 𝒂𝑅
4𝜋𝑅2
. (5) 
 
3. Lei Circuital de Ampère 
 Da mesma forma que a lei de Gauss para os campos elétricos, encontra-se a 
lei circuital de Ampère para os campos magnéticos. Esta lei é utilizada para solucionar 
problemas de campos magnéticos simétricos, em que se tem um conhecimento prévio 
da direção do campo (o que pode ser realizado pela utilização da regra da mão direita). 
 Esta lei estabelece que a integral de linha do campo 𝑯 em qualquer percurso 
fechado é exatamente igual à corrente enlaçada pelo percurso, ou seja, 
 
∮ 𝑯. 𝑑𝑳 = 𝐼 
 
(6) 
que indica que circular a linha do campo magnético permite definir qual a corrente que 
o gera. 
 Assim, pode-se usar a lei de Ampère para determinar o campo magnético para 
correntes que circulam em regiões definidas, desde que estas apresentem simetria, o 
que torna a solução do problema bem mais simples que a utilização da lei de Biot-
Savart. 
 
 
6 
 
4. Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético 
 Similarmente ao campo elétrico, o campo magnético apresenta um fluxo (𝜓) e 
uma densidade de fluxo magnético (𝑩). Entretanto, o campo magnético apresenta 
linhas de fluxo fechada, diferentemente do campo elétrico, o que determina só ser 
possível calculá-lo em superfícies abertas. 
 Sendo assim, podemos dizer que 𝑩 é similar ao fluxo elétrico (𝑫). Assim como 
𝑫 = 𝜀𝑜𝑬 no espaço livre, a densidade de fluxo magnético 𝑩 está relacionada à 
intensidade do campo magnético 𝑯, de acordo com 
 𝑩 = 𝜇𝑜𝑯 
 
(7) 
onde 𝜇𝑜 é uma constante conhecida com permeabilidade do espaço livre. Essa 
constante é dada em henrys/metro (𝐻/𝑚) e tem valor de 
 𝜇𝑜 = 4𝜋 × 10
−7 𝐻/𝑚. 
 
(8) 
 O fluxo magnético é o número total de linhas de fluxo que atravessam uma 
superfície aberta 𝑆 de forma normal, e é definido como: 
 
𝜓 = ∮𝑩. 𝑑𝑺
𝑆
 
 
(9) 
e é dado em webers (𝑊𝑏), e a densidade de fluxo magnético é dada em webers/metro 
quadrado (𝑊/𝑚²) ou Teslas (𝑇). 
 Em um campo eletrostático, o fluxo que passa através de uma superfície 
fechada é igual à carga encerrada, isto é, 𝜓 = ∮ 𝑫. 𝑑𝑺 = 𝑄. Então, é possível ter uma 
carga isolada, o que revela que as linhas de fluxo elétrico não são necessariamente 
fechadas. Diferentemente das linhas de fluxo elétrico, as linhas de fluxo magnético 
sempre se fecham sobre si mesmas, isto se deve ao fato de que não é possível ter 
um polo magnético isolado (ou cargas magnéticas). 
 Dessa forma, o fluxo total através de uma superfície fechada em um campo 
magnético deve ser zero, isto é, 
7 
 
 
∮ 𝑩. 𝑑𝑺 = 0 
 
(10) 
essa equação é referida como lei da conservação do fluxo magnético, ou lei de Gauss 
para campos magnetostáticos, assim como ∮ 𝑫. 𝑑𝑺 = 𝑄 é a lei de Gauss para campos 
eletrostáticos. 
 Embora o campo magnetostático não seja conservativo, o fluxo magnético se 
conserva. Ao aplicar o teorema da divergência à equação (10), obtemos: 
 
∮ 𝑩. 𝑑𝑺 = ∮ ∇. 𝐁 dV
𝑉𝑆
= 0 
 
(11) 
ou 
 ∇. 𝐁 = 0 
 
(12) 
 Essa equação é a quarta das equações de Maxwell, que mostra que o campo 
magnetostático não tem fontes nem sumidouros. A equação (12) sugere que as linhas 
de campo são sempre contínuas. 
 
5. Potencial Escalar e Potencial Vetor Magnético 
 Foi visto que o campo elétrico apresenta um potencial escalar. Da mesma 
forma, o campo magnético também o possui. Este potencial magnético, denotado por 
𝑉𝑚 com unidade de Ampère (𝐴) ou Ampère espira (𝐴 − 𝑒𝑠𝑝), tem uma relação similar 
ao do campo elétrico. Esta relação é 𝑯 = −∇𝑉𝑚, para 𝑱 = 0, o que satisfaz a condição 
∇ × 𝐇 = 𝐉 = ∇ × (−∇𝑉𝑚), desde que o rotacional do gradiente para qualquer potencial 
escalar é sempre zero. 
 Observa-se que o potencial 𝑉𝑚 satisfazà Equação de Laplace, pois 𝛻. 𝑩 =
𝜇𝑜∇. 𝑯 = 0 e, consequentemente, 𝜇𝑜∇. (−𝑉𝑚) = 0 ou ∇
2𝑉𝑚 = 0 para 𝑱 = 0. 
 Deve-se observar também que, o potencial escalar magnético não apresenta 
um único valor em um dado ponto. Ou seja, diferentemente do potencial elétrico que 
apresenta um único valor, o potencial escalar magnético em um ponto, apresenta um 
8 
 
novo valor cada vez que, através de um percurso fechado, retorna a este ponto. Ou 
seja, o campo magnético é não conservativo. 
 Sabemos que, para campos magnetostáticos, ∇. 𝑩 = 0, como estabelecido na 
equação (12). A fim de satisfazer simultaneamente essa equação e a de que 
∇. (∇ × 𝑨) = 0, podemos definir o potencial magnético vetorial 𝑨 (𝑊𝑏/𝑚), tal que: 
 𝐁 = ∇ × 𝐀 
 
(13) 
 Assim como é definido que 
 
𝑉 = ∫
𝑑𝑄
4𝜋𝜀𝑜𝑟
 
 
(14) 
Podemos definir que 
 𝑨 = ∫
𝜇𝑜𝐼𝑑𝑳
4𝜋𝑅𝐿
 - para corrente em uma linha 
(15) 
 
 𝑨 = ∫
𝜇𝑜𝑲𝑑𝑆
4𝜋𝑅𝑆
 - para corrente em uma superfície 
(16) 
 
 𝑨 = ∫
𝜇𝑜𝑱𝑑𝑉
4𝜋𝑅𝑉
 - para corrente em um volume 
(17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
6. Referências 
SADIKU, Matthew N. O.. Elementos de Eletromagnestismo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2012. 704 p. 
MEIRA, Eduard Montgomery. C Aplicado ao Aprendizado de Eletromagnetismo. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2012. 500 p.