Características Mecânicas dos Materiais

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CAPITULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS - 
CARREGAMENTO ESTÁTICO 
 
 
3.1 - INTRODUÇÃO 
 
No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de 
vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras 
que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas 
dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados 
sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar 
informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá 
ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir 
numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da 
peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande 
quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças 
fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em 
quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser 
completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes; 
2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou 
insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender 
a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e 
portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de 
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são 
apresentadas no apêndice deste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o 
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis 
para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente 
e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o 
projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de 
rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de 
tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou 
carregamento. 
O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova a uma tração progressiva, 
sob a ação de uma cara lente e gradualmente crescente, em uma máquina de ensaios que 
permite medir, continuamente, a força de tração P e a correspondente variação de comprimento 
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previamente assinalado no corpo de prova. O alongamento assim determinado compõe-se de 
deformações "elásticas" e "permanentes". A deformação permanente pode ser medida após o 
descarregamento da barra solicitada. Na curva tensão deformação se distinguem os seguintes 
valores-limite: 
Limite de elasticidade que é a maior tensão que se pode aplicar ao corpo de prova sem que ele 
sofra deformação permanente. Considera-se limite de elasticidade "técnico" a tensão sob a 
qual se verifica uma deformação permanente de 0,03%. 
Limite de proporcionalidade é a máxima tensão sob a qual ainda se verifica 
proporcionalidade entre a tensão e a deformação, isto é, sob a qual ainda é constante o módulo 
de elasticidade. 
 
 
x ≥ y escoamento x ≥ u ruptura 
 
Figura 1 - Teste de tração em materiais dúcteis e frágeis 
 
Limite de escoamento é a tensão sob a qual se verifica um "escoamento", isto é, um 
alongamento sem um correspondente aumento da tensão aplicada.( y também usado neste 
livro como Sy) Durante o escoamento, a tensão pode variar entre o limite superior de
 
 
escoamento e o limite inferior de escoamento. Não sendo possível determinar o limite de 
escoamento, considera-se o mesmo como sendo igual à tensão sob a qual se verifica uma 
deformação permanente de 0,2%. 
 
Limite de ruptura é a máxima tensão que se pode aplicar ao corpo de prova ( u ou 
também usado neste livro como Su ou Srup). 
 
3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS 
 
Podem-se primeiramente definir dois tipos de materiais. Os materiais dúcteis, que são 
capazes de suportar uma deformação plástica relativamente grande antes de sofrerem fratura. 
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Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material por ocasião da 
fratura. Já o material é considerado frágil, quando se verifica uma pequena deformação 
plástica. A linha divisória entre a ductilidade e a fragilidade é o alongamento de 5%. Diz-se que 
um material com menos de 5% de alongamento na fratura é frágil, enquanto que um que tenha 
mais de 5 é dúctil. Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material 
por ocasião da fratura. A ductilidade é também importante, porque é uma medida da 
propriedade que indica a capacidade do material ser trabalhado a frio. Dobramento, 
embutimento ou estampagem são operações de processamento de metais que exigem 
materiais dúcteis. 
 
 
Figura 2 - Máquina para ensaio de dureza 
 
Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é, 
geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell, 
Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga 
padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É 
uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de 
corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa 
estimativa da resistência à tração. A relação é 
 
Sut= 3,45 HB , (onde Sut ou u ) é expresso em MPa. 
 
As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de 
materiais. Para o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a 
resolução de problemas e a execução de projetos. 
66 
 
 
 
 
 
A avaliação de tensões produzidas por cargas externas e peso próprio (F) é uma das 
preocupações fundamentais no dimensionamento de estruturas. A tensão ( ) é avaliada por: 
F 
A 
 
onde F representa o carregamento e A a área da secção resistente. 
 
Os materiais podem ser solicitados por tensões de tração, de compressão ou de 
cisalhamento. Porém, quando submetidos a tensões de tração e compressão surge, 
internamente ao material, tensões de cisalhamento. 
 
 
Figura 3 - Tensões de tração, compressão e cisalhamento 
 
As deformações são representadas pelas alterações de forma e dimensões de um corpo 
resultantes das tensões. Conforme o tipo de carregamento aplicado tais deformações podem 
ocorrer instantaneamente ou a longo prazo. Dependendo ainda do tipo de material e da 
magnitude do carregamento as deformações podem ser reversíveis ou permanentes. 
 
Corpo de prova antes do ensaio de tração (a) 
 
 
 
Corpo de prova antes do ensaio de tração (b) 
Figura 4 – Comprimento final e inicial do corpo de prova no ensaio de tração 
Deformação específica pode ser definida com a relação entre a variação dimensional 
 
( ) devido ao carregamento e a dimensão inicial 
 
l o l f 
67 
 
Te
n
sã
o
 
( 
) 
 
 
 
 
 
lo 
 
onde lo é a dimensão antes da aplicação da carga e lf a dimensão após a aplicação da carga. 
 
Em função dos mecanismos de tensão e deformação os materiais podem ser 
classificados em elásticos, plásticos, viscosos. Entretanto, na prática, como os materiais 
empregados na engenhariacivil não são perfeitos, eles apresentam um comportamento 
intermediário, podendo ser elasto-plásticos, visco-elásticos, visco-elasto-plásticos. Desse modo 
as relações tensão-deformação, que definem o comportamento dos materiais, são 
apresentadas nos itens subseqüentes. 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 
 
Figura 5 - Corpo de prova submetido a tração 
 
Em nível microestrutural, a deformação elástica é resultante de uma pequena elongação 
da célula unitária na direção da tensão de tração ou a uma pequena contração na direção da 
tensão de compressão. Esta deformação não resulta em qualquer alteração das posições 
relativas dos átomos, conseqüentemente ocorre uma alteração no volume do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Def. Elástica Def. Plástica 
 
Deformação ( ) 
 
Figura 6 - Gráfico tensão x deformação de material levado à ruptura 
68 
 
 
 
 
 
As deformações elásticas são reversíveis, isto é, o material recupera sua forma inicial 
após a remoção do carregamento. É também instantânea, ou seja, a sua magnitude independe 
do tempo decorrido desde o momento de aplicação da carga. 
 
 
 
 
MÓDULO DE ELASTICIDADE 
 
Quando a deformação medida é uma função linear da tensão e independente do tempo, 
o material possui comportamento elástico perfeito. Este comportamento é representado pela lei 
de Hook. 
 
 
E 
 
onde E é uma constante, denominada módulo de elasticidade, ou módulo de Young. O módulo 
de elasticidade é a inclinação da reta do gráfico tensão x deformação. 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE POISSON 
 
Qualquer variação dimensional em uma determinada direção, causada por uma força 
uniaxial, produz uma variação nas dimensões ortogonais à direção da força aplicada. Por 
exemplo, pode-se observar uma pequena contração na direção perpendicular à direção da força 
de compressão. A relação entre a deformação lateral x e a deformação direta (vertical) y, com 
sinal negativo, é denominada coeficiente de Poisson ( ). 
 
 
Figura 7 – Deformação lateral e direta – Coeficiente de Poisson 
 
x 
y 
69 
 
 
 
 
 
O coeficiente de Poisson ( ) está normalmente na faixa 0,25 a 0,50. Nas aplicações de 
engenharia, as tensões de cisalhamento também solicitam as estruturas cristalinas . Essas 
produzem um deslocamento de um plano de átomos em relação ao plano adjacente. 
A deformação elástica de cisalhamento (Figura 8)definida pela tangente do ângulo de 
 
cisalhamento : 
 
= tg 
 
e o módulo de cisalhamento G é a relação entre a tensão ( ) e a deformação de cisalhamento 
 
( ): 
 
G 
 
 
Este módulo de cisalhamento (G) também chamado de rigidez. O módulo de 
cisalhamento esta relacionado ao módulo de elasticidade e ao coeficiente de Poisson: 
E 
G 
2(1 )
 
 
 
 
A tensão de cisalhamento produz um deslocamento de um plano atômico em relação ao 
seguinte. Desde que os vizinhos dos átomos sejam mantidos, a deformação será elástica 
(Figura 8 ). 
 
 
Figura 8 - Deformação elástica por cisalhamento 
 
Considerando-se a faixa de variação do coeficiente de Poisson, o módulo de 
cisalhamento é entre 33 e 45% do valor do módulo de elasticidade. 
Os módulos de elasticidade (E) à tração e à compressão, o módulo de cisalhamento (G), assim 
como o coeficiente de Poisson ( ), são parâmetros importantes que definem um material, dando 
elementos para a previsão do seu comportamento frente às solicitações externas. 
 
 
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA 
Quando submetidos a um determinado nível de tensão, muitos materiais apresentam uma 
deformação permanente, não reversível e que não produz alteração de volume, denominada 
deformação plástica. Ela é resultante de um deslocamento relativo permanente de planos 
cristalinos e moléculas adjacentes. Trata-se de uma deformação irreversível, porque os átomos 
70 
 
Te
n
sã
o
 
( 
) 
 
 
 
 
e moléculas deslocados não retornam a sua posição inicial, mesmo depois da remoção do 
 
carregamento. 
 
 
 
Def. Elástica Def. Plástica 
 
DUCTILIDADE 
É a deformação plástica total até o 
ponto de ruptura, provocada por tensões que 
ultrapassam o limite de elasticidade. Quando 
um material é submetido à tração, a ductilidade 
pode ser medida pela estricção que é a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
irreversível 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
reversível 
 
redução da área da seção transversal do 
material, imediatamente antes da ruptura. É 
expressa em porcentagem (%) como sendo: 
Ao - Af 
 
Deformação ( ) 
 
 
Figura 9- Comportamento de material elasto- 
plástico durante carga e descarga 
Es x 100 
Ao
 
 
onde Es é a estricção, Ao a área inicial e Af a área final. 
Uma outra medida da ductilidade é o alongamento, que também pode ser medido em 
porcentagem (%), sendo igual a: 
 
lo lf 
Al lo
 
 
x100 
 
onde Al é o alongamento, lo o comprimento inicial e lf é comprimento final. 
 
Portanto, quanto mais dúctil um material, maior é a redução de área ou alongamento 
antes da ruptura. 
A tensão de escoamento é a tensão na qual o material começa a sofrer deformação 
plástica. 
 
 
FLUÊNCIA E RELAXAÇÃO 
Quando os materiais são submetidos a carregamentos constantes por longos períodos 
de tempo, apresentam, além da deformação elástica instantânea uma parcela de deformação 
plástica variável com o tempo e uma parcela de deformação denominada anelástica, ou seja, 
uma deformação reversível não instantânea. Este processo no qual a tensão ( ) aplicada à 
peça é constante e a deformação crescente com o tempo, é denominado fluência (Figura 10). 
Se a peça for submetida a uma deformação constante, a fluência manifesta-se na forma 
 
de alívio de tensão ao longo do tempo, conhecido por relaxação. 
71 
 
D
ef
o
rm
aç
ão
 
( )
 
Te
n
s
ão
 
 
 
 
 
 
 
 
Def. por fluência 
 
 
 
 
Def. elástica instantânea 
ou anelástica 
 
Tempo 
 
 
 
Tempo 
 
Figura 10 - Exemplos de deformação (direita) por fluência e relaxação da tensão (esquerda) por fluência 
 
 
 
DUREZA 
É definida pela resistência da superfície do material à penetração efetuada por um 
material de dureza superior. A escala Brinell - BHN (Brinell Hardness Number) contém índices 
de medida de dureza, calculados a partir da área de penetração de uma esfera metálica (de aço 
ou de carbeto de tungstênio) no material. A penetração desta esfera é feita a partir de uma força 
e intervalo de tempo padronizado. A escala Rockwell de dureza pode ser relacionada a BHN, 
mas é a medida da profundidade de penetração (p) da esfera, e não da área da calota esférica 
utilizada para definir dureza BHN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 - Medida de dureza Brinnell 
 
 
 
BHN = 
2 N 
D( D D2 d 2 
 
Para materiais que possam ser considerados homogêneos e isotrópicos, é possível 
estimar aproximadamente a resistência à tração ou à compressão a partir da dureza. 
72 
 
 
 
 
 
TENACIDADE 
 
É a medida da energia necessária para 
romper o material, expressa em N m. No gráfico 
carga x deslocamento pode-se medir a tenacidade 
pelo cálculo da área sob a curva (Figura 12). 
A tenacidade é medida através de um ensaio 
 
dinâmico onde o corpo-de-prova recebe o impacto 
de uma massa conhecida que cai de uma altura 
conhecida. 
A resiliência é a energia dissipada pelo material em 
 
deformação no regime elástica. 
 
 
 
 
Figura12 - Tenacidade 
 
 
FADIGA 
 
A fadiga é uma propriedade que os materiais apresentam quando submetidos a esforços 
cíclicos, como ocorre numa ponte ferroviária cujo maior carregamento acontece com a 
passagem do trem. Nesta situação, o material pode romper com um nível de tensão inferior ao 
da ruptura estática, como alguém que fica dobrando um arame quando não pode cortá-lo com 
as mãos. 
 
 
(a) Número de Ciclos x Resistência (b) Número de Ciclos x Resistência 
Figura 13 – Gráficos típicos de fadiga apresentando o número de ciclos de carregamento necessários para romper a 
diferentes tensões de (a) aços e concreto armado e (b) polímeros. 
 
 
A ruptura por fadiga depende do nível de tensão ao que o material é submetido em cada ciclo: 
assim, quando o material é submetido a uma tensão da ordem de 95% da tensão de ruptura 
estática, exigirá um número menor de ciclos do que quando a tensão é de 90%. Em alguns 
materiais estruturais, como o concreto e o aço, existe o chamado limite de fadiga, que é a 
porcentagem da tensão de ruptura estática abaixo da qual o material não rompe por fadiga, isto 
73 
 
 
 
 
 
é, suportaria um número infinito de ciclos. Outros materiais, como os polímeros termoplásticos 
não apresentam limite de fadiga, rompendo sempre com o esforço cíclico, mesmo que isso 
demande um número imenso de ciclos. 
 
3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO 
 
Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é, 
geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell, 
Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga 
padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É 
uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de 
corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa 
estimativa da resistência à tração. A relação é 
Sut= 3,45 HB , onde S é expresso em MPa. 
 
As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de materiais. Para 
o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a resolução de problemas 
e a execução de projetos. Os engenheiros que trabalham com projetos de máquinas e 
desenvolvimento de novos produtos de todo tipo de estrutura são confrontados quase sempre 
com problemas onde as peças possuem tensões normais de tração e compressão e flexão, 
além tensões de cisalhamento.Porque uma peça falha? Esta questão tem ocupado os cientistas 
e engenheiros por décadas. Hoje se tem muito mais entendimento sobre vários mecanismos de 
falhas do que se sabia no passado, devido a melhoria de técnicas de medição e testes. A 
resposta mais simples e óbvia para a pergunta acima seria dizer que as peças falham porque 
suas tensões atuantes excedem suas resistências. Que tipo de tensões ocasionam as falhas,as 
tensões devido a compressão, tração, cisalhamento? A resposta seria: “Depende”. 
Depende do material em questão; depende de sua resistência à compressão, tração e 
cisalhamento. Depende também do tipo de carregamento e da presença ou ausência de 
fissuras no material. Para uma combinação de cargas estáticas que produzem tensões 
críticas, como saber se o material irá falhar para uma determinada aplicação? Uma vez que é 
impraticável testar cada material e cada combinação de tensões, uma teoria de falha é 
necessária para predizer com base na performance do teste de tração simples do material, tão 
forte e resistente será sob outras condições de carga estática. A “teoria” por trás de todas as 
teorias de falha é que qualquer que seja o responsável pela falha no teste padrão clássico de 
tração será também responsável pela falha sob todas as outras condições de carga estática. 
74 
 
 
 
 
 
Por exemplo, suponha que um material tenha uma resistência à tração de 700 MPa. A 
teoria prediz que sob qualquer condição de carga, o material irá falhar, se e somente se, a 
tensão normal máxima exceder a 700 MPa. Para uma tensão normal de 560 MPa, não há 
previsão de falha na peça. Por outro lado, suponha que seja postulado que a falha durante o 
teste de tração ocorreu porque o material é limitado pela sua capacidade inerente de resistir a 
tensão de cisalhamento, e que baseado no teste de tração a sua capacidade de tensão 
cisalhante é de 350 MPa. Então se a peça foi submetida a uma tensão de cisalhamento de 420 
MPa, sua falha foi prevista pela teoria. 
 
O estudante de engenharia já tendo estudado os princípios de Mecânica dos sólidos e 
resistência dos Materiais reconheceu nos exemplos acima a ilustração da teoria da máxima 
tensão normal e a teoria da máxima tensão cisalhante. 
Falha em uma peça submetida a um tipo qualquer de carregamento é considerada como 
qualquer comportamento que a torna inútil para o qual foi projetada. Neste ponto iremos 
considerar somente carga estática, deixando a parte de fadiga para o próximo capítulo. Carga 
estática pode resultar de uma deflexão ou instabilidade elástica bem como uma distorção 
plástica ou fratura. A distorção ou deformação plástica, está associada com tensões cisalhantes 
e envolvem deslocamentos ao longo de planos de deslocamentos. A falha é definida como 
ocorrendo quando a deformação plástica alcança um limite arbitrário, por exemplo 0,2 % em um 
teste padrão de tração. O escoamento poderá no entanto ocorrer em áreas localizadas de 
concentração de tensões ou em qualquer peça submetida à flexão ou torção quando 
escoamento seja restrito a superfície externa. 
 
 
3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA 
 
Enquanto os materiais dúcteis irão sofrer fratura se tencionado estaticamente acima de 
seu limite de resistência máximo, sua falha nos elementos de máquinas é geralmente 
considerado ocorrer quando escoam sob carga estática. O limite de resistência ao escoamento 
de um material dúctil é muito menor do que seu limite de resistência. 
Historicamente, várias teorias foram formuladas para explicar esta falha: a teoria da 
máxima tensão normal, a teoria da máxima deformação normal, a teoria da energia de 
deformação máxima, a teoria da energia de distorção (Von Mises-Hencky) e a teoria da máxima 
tensão cisalhante. Destas somente as duas últimas concordam com os resultados 
experimentais e delas, a teoria de von Mises-Hencky é a mais precisa. Serão discutidas as 
duas últimas teorias. 
75 
 
 
 
 
 
 
 
A) CRITÉRIO DE VON MISES-HENCKY OU CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE 
DISTORÇÃO 
O critério de Von Mises leva em consideração todas as tensões que atuam no corpo – 
 
tensões tridimensionais, ou seja, as três tensões que atuam no cubo, definidas como s1 , s2 e s3 
 
. Baseado em experimentos que mostram que corpos tencionados hidrostaticamente possuem 
escoamento muito acima (ou não escoam) dos valores dados pelos testes de tração. 
Von Mises conclui que o escoamento está diretamente relacionado com a distorção 
angular do material da estrutura. Por esta razão, este critério é baseado na teoria da energia de 
distorção máxima. 
Desta forma, a energia que produz a distorção angular em uma estrutura é igual à 
 
energia total de deformação menos a energia para produzir a variação de volume, ou seja: 
 
 
 
 
Figura 14 – Energias aplicada em um corpo para variar seu volume 
 
A tensão σm é chamada de tensão média e dada por: 
 
 1 2 3 
m 3 
 
A energia de distorção do corpo provoca uma distorção na sua forma geométrica, como 
mostrado: 
76 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 – Distorçãogeométrica de um corpo 
 
Este critério se baseia na determinação da energia de distorção (isto é, energia 
relacionada a mudanças na forma) do material. Neste critério, estamos interessados na tensão 
equivalente 
 
2 
1 2 
eq 2 
 
e o material é considerado no regime elástico enquanto 
 
S 
eq Y 
onde SY é o limite de escoamento do material, tensão esta determinada em um ensaio de 
tração. Graficamente esta relação é representada pela figura 15, onde cada ponto, de 
 
coordenadas 
 
, representa o estado de tensões em um ponto do corpo. A região interna a 
1 2 
 
elipse de Mises indica que o ponto do corpo encontra-se no regime elástico. O contorno indica 
plastificação e a região externa é inacessível. 
Esta teoria preconiza que em qualquer material elasticamente tencionado aparece uma 
variação no formato, no volume ou em ambos. 
A energia total de deformação em uma peça submetida a carregamento pode ser 
considerada consistindo de duas componentes ,uma devido ao carregamento hidrostático que 
varia seu volume e outra devido a distorção com a variação do seu formato. Ao separar estas 
duas componentes, a parcela da energia de distorção irá apresentar a medida da tensão 
cisalhante presente. O componente estrutural estará em condições de segurança enquanto o 
maior valor da energia de distorção por unidade de volume do material permanecer abaixo da 
energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar o escoamento no corpo 
de prova de mesmo material submetido a ensaio de tração. 
É conveniente quando utilizar esta teoria em trabalhar com a tensão equivalente, definida com o 
valor da tensão de tração uniaxial que produz o mesmo nivel de energia de distorção que a 
tensão real envolvida. 
77 
 
2 
 
2 
1 1 2 2 
y
 
 
 
 
Seja a energia de distorção por unidade de volume em um material isotrópico em estado 
 
plano de tensões: 
 
Ud 1 .G 
6 
 
Sendo a e b as tensões principais e G o módulo de elasticidade transversal. 
 
No caso particular de um corpo de prova em ensaio de tração, que esteja começando a 
 
escoar, temos 1 = y e 2 =0, sendo (Ud)e = 2 
 
/6. G. 
Assim o critério da máxima energia de distorção indica que o elemento estrutural está 
seguro enquanto Ud < (Ud)e ou seja 
2 
- +
 2 
= S 2 1 1 2 2 y 
 
 
Figura 16 - Teoria da energia de distorção ou Von Mises 
 
 
 
 
B) CRITÉRIO DE TRESCA OU DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO 
 
Este critério estabelece que a falha (escoamento) começa sempre que a tensão 
cisalhante máxima em uma peça torna-se igual à tensão cisalhante máxima (Ssy) que o material 
pode suportar. Neste critério, as duas tensões são consideradas, lembrando-se que: 
 
 
τ máx 
 
σ1 σ 2 
2 
 
Tensão cisalhante máxima é a metade da 
⇒ 
diferença entre as duas tensões que atuam
 
 
Assim, o procedimento é feito calculando-se a máxima tensão cisalhante que atua na 
estrutura, usando o modelo matemático apropriado, e comparando com o limite de resistência 
(escoamento) ao cisalhamento (Ssy). 
Escoamento começa quando: 
 
 
máx S sy 
78 
 
Sy
 
 
 
 
 
 
O limite de resistência ao cisalhamento ou tensão cisalhante do material está relacionado com 
Sy (limite de escoamento a tração / compressão). Desta forma, para um teste uniaxial de tração, 
apenas a tensão 1 está presente, sendo a condição extrema quando 1 = Sy, então: 
Sy Ssy 0,5 2 
 
O limite de resistência ao cisalhamento do material é a metade do limite de resistência 
do material, seja no escoamento (Sy) como no limite de resistência máximo (Su). 
A representação gráfica deste critério esta mostrada abaixo: 
 
 
 
Figura 17 – representação gráfica do Critério de Tresca 
 
Este critério é mais usado para materiais dúcteis. 
 
 
 
Figura 18 – Exemplificação de torção em uma peça 
 
Para garantir que a estrutura não ira falhar, usa-se um fator de segurança n. 
 
 
 
máx 
 
 
 
máx 
 
Ssy Sy 
n 2n 
 
Ssu Su 
n 2n 
 
A teoria da máxima tensão cisalhante deve ser a mais antiga teoria sendo 
originariamente proposta por Coulomb (1736-1806), que apresentou as maiores contribuições 
79 
 
 
 
 
 
para o campo da mecânica e da eletricidade. Esta teoria está representada graficamente na 
figura 17. Note cuidadosamente na figura 17 que no primeiro e terceiro quadrantes a tensão 
principal zero está envolvida no circulo principal de Mohr, o mesmo não acontecendo no 
segundo e quarto quadrantes. Esta teoria se correlaciona razoavelmente com o escoamento de 
materiais dúcteis. Contudo a teoria da máxima energia de distorção seria mais recomendada 
porque correlaciona melhor com os dados atuais de testes de materiais dúcteis, sendo: 
SY = Limite de Resistência ao Escoamento; 
 
1, 2 - tensões normais principais 
 
 
 
 
ESTADO UNIAXIAL - 1 < SY 
 
O Elemento estrutural é considerado seguro enquanto a tensão máxima de cisalhamento 
max no elemento não exceder a tensão de cisalhamento correspondente a um corpo de prova 
do mesmo material, que escoa no ensaio de tração. 
 
 
 
 
3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
1. A viga mostrada na figura abaixo foi construída de um material com Sy = 150MPa. 
Determinar a largura b da viga, sabendo-se que l = 1,5m, h=0,35m, P=100.000N, 
segurança n=1,7, usando o escoamento como a característica de resistência do 
material. 
 
 
 
Resolução: 
 
Figura 19 – Figura exercício resolvido 
 
y 
h 
M P l 
2 
 
M 
y I 
I 
 
b h 3 
12 
 
 
P l h 12 P l 
⇒
 6 P l 
b h3 2 
12 
2 h2 b h2 
80 
 
 
 
 
 
⇒ 
S y 
 
 
 
Então: 
Condições de dimensionamento 
n 
 
6 P l 
 
Sy 
⇒
 
 
b 6 P l n 
b h2 n h2 S y 
 
 
 
⇒ b 6 100000 1,5 1,7 
( 0,35 )2 150 106 
 
 
⇒ b 0,083 m 
 
 
 
 
3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA 
A) CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE) 
Este critério de comparação entre s e v, estabelece que a falha da estrutura ocorre 
sempre que a maior tensão (principal) que atua na peça, determinada pelo modelo matemático 
apropriado, se iguala ao limite de escoamento (Sy) ou ao limite de resistência (Su). Assim: 
 
 
 
 
s1 = Sy 
 
s1 = Su 
 
Figura 20 – Tensão normal atuante em uma peça – Critério de Rankine 
 
s1 é a máxima tensão normal que atua 
 
Se o estado de tensão que atua no corpo da estrutura for um estado plano de tensão, ou 
seja, tensões normais sx , sy e tensão cisalhante txy , mesmo assim a comparação com S é feita 
tomando-se apenas a maior delas. 
Assim: 
81 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 - Estado de tensão que atua no corpo de uma estrutura em um estado plano de tensão 
 
Apenas s1 é usada na comparação. Pelo que foi visto, o critério da máxima tensão 
normal, s1 sendo a única tensão importante, tem sua aplicação em estruturas onde outras 
tensões são pequenas ou desprezíveis. 
Uma representação gráfica ilustra este critério conforme mostrado abaixo: 
 
 
 
 
Sut = limite de resistência à tração 
 
Figura 22 - Critério de Rankine 
 
Suc = limite de resistência à compressão 
Para os aços ⇒ Sut = Suc 
 
Para garantir a integridade da estrutura, assegurar que a mesma não vai falhar, usa-se 
um fator de segurança n (1,3 n 2,0) e a comparação é feita. Neste caso o escoamento é 
considerado como limite de resistência critica. Critério mais usado para materiais frágeis. 
 
S ut 
1 n 
 
Neste casoo escoamento é considerado como limite de resistência crítico. 
 
 
Critério mais usado para materiais frágeis. 
 
S y 
1 n 
82 
 
 
 
 
 
O componente estrutural se rompe quando a máxima tensão normal atinge o valor da 
tensão última U do material, determinada em um ensaio de tração em um corpo de prova de 
mesmo material. Assim, o componente estrutural se encontrará em situação de segurança 
enquanto os valores absolutos das tensões principais forem menores que Sut. 
O critério da máxima tensão normal é conhecido também com critério de Coulomb, 
 
devido ao 
 
físico francês Charles Augustin de Coulomb. Este critério tem uma deficiência séria, uma vez 
que se baseia na hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na 
compressão. 
 
 
 
 
B) CRITÉRIO DE MOHR 
 
Ensaios de tração, compressão, torção Envoltória dos círculos de Mohr 
 
 
 
Figura 23 - Critério de Mohr 
 
 
Este critério, sugerido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, pode ser usado para prever 
os efeitos de um certo estado de tensões plano em um material frágil, quando alguns resultados 
de vários tipos de ensaios podem ser obtidos para esse material. O estado de tensões que 
corresponde à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração pode ser representado em um 
diagrama de círculo de Mohr pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em UT . Do 
mesmo modo, o estado de tensões que corresponde à ruptura no ensaio de compressão pode 
ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em SUC. Fica claro que um 
83 
 
 
 
 
 
estado de tensões representado por um círculo inteiramente contido em qualquer dos dois 
círculos descritos é um estado de tensões seguro. 
 
 
3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS 
 
A seleção de um determinado material para integrar um novo produto é uma tarefa 
dinâmica e os princípios que a controlam são constantemente alterados à medida que novos 
materiais são também continuamente concebidos, bem como os requisitos técnicos e econômicos 
podem ser mudados. Um exemplo desse fato é a substituição das ligas metálicas por materiais 
compósitos na fuselagem dos aviões comerciais de última geração. A necessidade de minimizar 
gastos com combustível e melhorar o desempenho dessas aeronaves leva ao uso de um material 
mais leve. Um outro exemplo é encontrado na indústria automobilística. Até o início da década 
passada era comum que os blocos de motores fossem fabricados em ferro fundido, um material 
relativamente pesado. Entretanto, nos últimos anos a indústria automobilística tem substituído o 
ferro fundido por ligas de alumínio, que além de serem mais leves, permitem que o motor seja 
refrigerado de maneira mais eficiente. A substituição de materiais é um processo contínuo que 
ocorre desde os primórdios da civilização, à medida que, em função de suas necessidades, o 
homem iniciou a transformação de materiais em ferramentas e utensílios. Na indústria moderna, 
muitos fatores e aspectos são constantemente alterados. Isto provoca a contínua busca pela 
reposição de materiais, tendo como objetivo o menor custo de produção, bem como o aumento da 
eficiência do produto final. Uma lâmpada,por exemplo, é constituída por um bulbo de quartzo 
(SiO2) e por um filamento de tungstênio. O tungstênio, por suportar facilmente temperaturas 
acima de 2.0000C, é usado para transformar energia elétrica em energia luminosa. Entretanto, 
 
em presença de oxigênio, esse metal é intensamente oxidado em temperaturas elevadas, o que 
leva a sua degradação. Em uma lâmpada elétrica, o tungstênio é inserido dentro do bulbo e 
selado a vácuo, o que evita a oxidação do filamento. Um exemplo clássico de alteração no perfil 
de consumo de materiais é o caso da indústria automobilística. Em 1975, um carro médio 
americano exibia em torno de 80% de seu peso em ligas ferrosas. Com a necessidade de redução 
de peso imposta pelos aumentos do custo de combustíveis na década de 70, o emprego dessa 
ligas passou a ser responsável por 73% do peso. Tal redução é significativamente profunda 
quando se considera que o veículo teve seu peso reduzido em aproximadamente 25% no mesmo 
período, resultado direto do uso de materiais mais leves e da diminuição em tamanho. Nesse 
período, o uso de materiais leves, como os plásticos e o alumínio, passou de 8% do peso total do 
veículo para valores próximos a 23%. Atualmente, é possível encontrar em alguns automóveis, 
84 
 
 
 
 
 
carrocerias construídas integralmente em alumínio, o que além de representar redução de custos, 
resulta em um produto mais resistente à corrosão. 
 
 
 
 
3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS 
 
A principal característica dos materiais metálicos está relacionada à forma ordenada 
com que os seus átomos estão arranjados no espaço, o que pode ser melhor sintetizado pelo 
termo “estrutura cristalina”. Em função do arranjo atômico, os materiais metálicos apresentam, 
em geral, boa resistência mecânica e podem ser deformados permanentemente sob a ação de 
forças externas. 
Além, disso, como resultado das ligações metálicas, eles são bons condutores de calor e 
eletricidade. Os materiais metálicos são substâncias inorgânicas compostas por um ou mais 
elementos metálicos e podem também conter elementos não-metálicos, como o oxigênio, 
carbono e nitrogênio. 
Dentre os materiais metálicos, destacam-se as ligas de alumínio, largamente empregadas 
na construção de aeronaves, as ligas de titânio usadas na confecção de implantes ortopédicos e 
as superligas de níquel, apropriadas para fabricação de componentes para operação em 
temperaturas elevadas. Os metais são vitais para indústria moderna, pois seu uso ocorre em uma 
gama de aplicações excepcionalmente diversificada, da indústria de microeletrônica à automotiva. 
 
 
 
 
AÇOS ESPECIAIS 
 
Aços especiais são os aços que pelo seu percentual de carbono ou pela adição de 
elementos de liga, principalmente metálicos, apresentam propriedades específicas em termos 
de resistência mecânica, à corrosão e características eletromagnéticas. Assim como nos aços 
comuns, os aços especiais podem ser planos ou longos. 
 
 
 
 
AÇOS ESPECIAIS PLANOS 
 
Os aços especiais planos são produzidos através de processos de laminação a quente 
ou a frio, sendo comercializados nas formas de bobinas e chapas. Os tipos mais importantes 
são os aços inoxidáveis, os aços siliciosos (ou aços elétricos) e os aços carbono e/ou ligados. 
85 
 
 
 
 
 
AÇOS INOXIDÁVEIS 
 
O aço inoxidável é versátil, reciclável e está presente em vários segmentos de mercado, 
pelas suas características mecânicas, de durabilidade, limpeza e beleza. Deve conter mínimo 
de 10% de cromo em sua composição, o que permite a formação em sua superfície de fina 
película protetora de óxido de cromo, que impede a corrosão (oxidação) do ferro. Outros 
elementos como níquel, molibdênio e cobre, quando adicionados, melhoram a resistência à 
corrosão e as características mecânicas destes aços. Os aços inoxidáveis são divididos em 
três tipos básicos conforme o teor de cromo, níquel e carbono em sua composição e suas 
características metalúrgicas. 
- Aços Inoxidáveis Martensíticos - contêm de 10% a 30% de cromo e alto carbono. O 
 
maior teor de carbono torna estes aços temperáveis, obtendo-se dureza superficial. 
 
- Aços Inoxidáveis Ferríticos - possuem teor de cromo idêntico aos martensíticos e baixo 
teor de carbono, apresentando superior resistência à corrosão. 
- Aços Inoxidáveis Austeníticos - quando, além do cromo, contêm níquel em percentagens de 
 
5% a 25%. Estes são os inoxidáveis considerados mais nobres, pois o níquel melhora a 
resistência àcorrosão, as qualidades mecânicas e a resistência ao trabalho em temperaturas 
elevadas. 
Cabe ressaltar que o setor de bens de consumo duráveis é o maior consumidor, 
especificamente o de cutelaria e baixelas. O consumo industrial, englobando indústrias 
alimentícia, bebidas, láctea, vinícolas e de balcões e frigoríficos, é o segundo maior 
demandante, seguido pelo setor de transportes (indústria automobilística). 
 
 
 
 
AÇOS SILICIOSOS 
 
Os aços siliciosos ou aços elétricos têm características eletromagnéticas e podem ser de 
dois tipos: G.O. - grão orientado e G.N.O. - grão não orientado. Os aços ao silício G.O. 
apresentam excelentes propriedades magnéticas na direção de laminação. Estes aços são 
utilizados basicamente na fabricação dos núcleos de transformadores, e em menor escala em 
reatores de potência, hidrogeradores e turbogeradores, propiciando economia de energia 
elétrica e maior eficiência dos equipamentos. Os aços ao silício G.N.O. possuem as mesmas 
propriedades magnéticas em qualquer direção. As principais aplicações são na fabricação de 
núcleos de geradores e motores elétricos, não necessitando de tratamento térmico posterior. 
Note-se que algumas vezes são também chamados de especiais os aços ao silício, 
semiprocessados, os quais necessitam ser submetidos a tratamento térmico posterior pelo 
86 
 
 
 
 
 
usuário, para adquirir características magnéticas do aço silicioso G.N.O., porém com qualidade 
inferior. 
 
 
 
 
AÇOS CARBONO/LIGADOS 
 
São utilizados em máquinas e equipamentos que requerem propriedades mecânicas 
especiais, conferidas pelo alto teor de carbono (de 0,5% a 2,0% C) e/ou pelos elementos de liga 
adicionados em sua confecção. Os principais usos são nos implementos agrícolas, ferramentas 
e cutelaria. 
 
 
 
 
AÇOS ESPECIAIS LONGOS 
 
Os aços especiais longos apresentam enorme gama de tipos em função das 
propriedades físicas e químicas requeridas. São geralmente comercializados sob as formas de 
blocos, tarugos, barras, fio-máquina, arames e tubos. Para fins de estudos, podem ser 
classificados em quatro tipos básicos: 
 
 
AÇOS PARA CONSTRUÇÃO MECÂNICA 
 
São aços que contêm carbono até 0,5% e/ou outros elementos de liga como silício, 
manganês, cromo e molibdênio, de forma a melhorar suas características de resistência 
mecânica. Os aços para construção mecânica são classificados por vários critérios como 
composição química, tratamento térmico a ser submetido e aplicação final dos produtos. Os 
principais tipos de aços são: microligados, para tratamento térmico, para forjados, para molas, 
para porcas e parafusos e para rolamentos. Estima-se que cerca de 90% dos aços para 
construção mecânica destina-se à indústria automobilística e de autopeças. A indústria 
ferroviária, implementos agrícolas e de artigos de uso doméstico seriam as demais usuárias. 
 
 
 
 
AÇOS DE ALTA-LIGA 
 
Estes aços contêm elementos de liga como cromo, níquel, molibdênio, vanádio, 
tungstênio e cobalto, adquirindo propriedades de dureza e resistência mecânica, entre outras, 
necessárias à fabricação de ferramentas de usinagem, estampos, moldes e matrizes, válvulas e 
outros produtos. Os principais tipos são: aço ferramenta, aço rápido, aço inoxidável, aço válvula 
e superligas. 
87 
 
 
 
 
 
Os aços ferramenta podem ser para trabalho a frio e a quente. As principais 
características do aço ferramenta para trabalho a frio são: alta resistência a abrasão, alta 
tenacidade, elevada retenção de corte, alta resistência ao choque e grande estabilidade 
dimensional. No caso dos aços para trabalho a quente, as principais características são: 
elevada resistência mecânica a quente, boa resistência a abrasão em temperaturas elevadas, 
boa condutibilidade térmica e elevada resistência à fadiga. 
Os aços rápidos são aços ferramenta utilizados para fabricação de ferramentas de corte. 
Os aços inoxidáveis longos destinam-se a diversos usos onde se necessite material não 
corrosivo, tais como indústrias de alimentos, bebidas e hospitalar. Os aços válvula são 
inoxidáveis destinados, especificamente, para a produção de válvulas de motores a combustão. 
As superligas são ligas nobres, principalmente à base de níquel, feitas sob encomenda, 
para utilização em resistências elétricas, eletrodos de vela de automóvel, implantes cirúrgicos, 
entre outros. 
 
 
3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS 
 
Os materiais classificados como cerâmicos envolvem substâncias altamente resistentes ao 
calor e no tocante à estrutura atômica, podem apresentar arranjo ordenado e desordenado, 
dependendo do tipo de átomo envolvido e à forma de obtenção do material. Esses materiais são 
constituídos por elementos metálicos e não-metálicos (inorgânicos), formando reações químicas 
covalentes e iônicas. 
Em função do arranjo atômico e das ligações químicas presentes, os materiais cerâmicos 
apresentam elevada resistência mecânica, alta fragilidade, alta dureza, grande resistência ao calor 
e, principalmente, são isolantes térmicos e elétricos. Nas últimas décadas, uma gama bastante 
variada de novos materiais cerâmicos foi desenvolvida. Tais materiais caracterizam-se, 
principalmente, pelo controle de suas composições, das dimensões de suas partículas e do 
processo de produção dos componentes. Como resultado desse procedimento, é possível produzir 
dispositivos de alta resistência mecânica e resistente a temperaturas elevadas, o que possibilita a 
aplicação dos mesmos em máquinas térmicas, onde o aumento do rendimento está ligado ao 
aumento da temperatura de trabalho. Em razão de sua excelente estabilidade térmica, os materiais 
cerâmicos têm um importante papel na fabricação de diversos componentes, tais como insertos de 
pistões de motores de combustão interna ou ainda, na produção de componentes de turbinas a 
gás. A figura 24 mostra produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos. Exemplos de 
materiais cerâmicos incluem a alumina, a sílica, o nitreto de silício, a zircônia e o dissiliceto de 
molibdênio, todos caracterizados como materiais cerâmicos de engenharia.Em função da alta 
 
 
 
 
 
estabilidade térmica, os mate
componentes de máquinas térm
a temperatura de operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
Figura 24 - Produtos automo
de pistões e anéis de nitret
nitreto de silício. 
 
 
Entretanto, além das 
tenacidade à fratura, que corre
no interior do material. Assim, 
componente fabricado com ma
ruptura do mesmo. Tal fenôm
Algumas partes da fuselagem
cerâmico. Durante a reentrada 
temperaturas acima de 1.0000C
O recobrimento de material ce
elevadas, serve como proteção,
 
 
 
 
3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRIC
 
Os materiais polimérico
naturais, envolvem ainda aque
tiveram sua utilização viabilizada
principal característica que dife
relacionada à presença de cad
 
eriais cerâmicos são, em princípio, ideais n
micas, as quais têm seu rendimento aumentado 
(b) 
otivos fabricados com materiais cerâmicos: (a) Parte supe
to de silício sinterizado, (b) Rotor de turbo-alimentador 
 características citadas, os materiais cerâmico
esponde à falta de capacidade de limitar a propa
 no caso da existência de uma pequena trinca 
ateriais cerâmico, a mesma propagaria rapidam
meno ocorre em escala muito menor em ma
m do ônibus espacial americano são recobert
 dessa aeronave na atmosfera terrestre, em conse
C podem ser geradas, o que poderia danificar par
erâmico utilizado, que pode suportar temperatur
, isolando o calor geradodo resto da aeronave. 
COS 
os, apesar de abrangerem diversos materiais cl
eles de natureza sintética e artificial. Grande par
a a partir da década de 20, com os avanços da qu
erencia os materiais poliméricos dos outros tipos 
deias moleculares de grande extensão constituída
88 
 
na fabricação de 
 quando se eleva 
erior 
r de 
cos exibem baixa 
pagação de trincas 
 no interior de um 
mente, causando a 
ateriais metálicos. 
ertas com material 
seqüência do atrito, 
artes desse veículo. 
ras extremamente 
lassificados como 
rte desses últimos 
química orgânica. A 
 de materiais está 
as principalmente 
89 
 
 
 
 
 
por carbono. O arranjo dos átomos da cadeia molecular pode levar a mesma a ser caracterizada 
como linear, ramificada ou tridimensional. O tipo de arranjo da cadeia controla as propriedades do 
material polimérico. Embora esses materiais não apresentem arranjos atômicos semelhantes ao 
cristalino, alguns podem exibir regiões com grande ordenação atômica (cristalinas) envolvidas por 
regiões de alta desordem (não-cristalina). Devido à natureza das ligações atômicas envolvidas 
(intramoleculares ligações covalentes e intermoleculares ligações secundárias), a maioria 
dos plásticos não conduz eletricidade e calor. Além disso, em função do arranjo atômico de seus 
átomos, os materiais poliméricos exibem, em geral, baixa densidade e baixa estabilidade térmica. 
Tal conjunto de características permite que os mesmos sejam freqüentemente utilizados 
como isolantes elétrico ou térmico ou na confecção de produtos onde o peso reduzido é 
importante. Um dos materiais poliméricos mais versáteis é o polietileno, com um número de 
aplicações industriais bastante amplo. Outros exemplos de materiais poliméricos incluem os 
poliuretano, que é usado na fabricação de implantes cardíacos ou a borracha natural utilizada na 
fabricação de pneus.O painel de um automóvel moderno é essencialmente fabricado com o uso 
de plásticos (material polimérico). Entretanto, os automóveis fabricados há mais de 20 anos 
tinham o mesmo painel fabricado a partir de materiais metálicos. Tal substituição foi efetuada 
em função de dois fatores: segurança e custos. Com o uso de plásticos, o painel se tornou mais 
seguro para os ocupantes do veículo em caso de acidente, pois esse materiais deformam-se 
mais facilmente que os materiais metálicos. Com o desenvolvimento da indústria petroquímica, 
os plásticos tiveram seu custo reduzido, bem como os processo de moldagem tornaram-se mais 
eficiente, o que resultou em um produto de preço reduzido. Um automóvel de competição de 
última geração é basicamente construído com o uso de materiais compósitos do tipo matriz 
plástica e reforço de fibras de carbono. O material compósito matriz plástica/fibras de carbono 
permite obter uma relação resistência mecânica/peso extremamente elevada e muito maior que a 
de diversos materiais metálicos. Em um automóvel de competição é importante reduzir o peso total 
do veículo. Portanto, com o uso desse material compósito é possível projetar o veiculo, com um 
peso total menor. Por outro lado, o emprego de tal material em automóveis de passeio não se 
justifica à medida que o custo de produção seria excessivamente elevado em comparação com o 
uso do aço. 
O emprego de materiais para se produzir um produto manufaturado exige etapas de 
fabricação onde as características desses materiais são alteradas no tocante à forma, a 
dimensões, e principalmente, em relação a sua estrutura interna. No caso de materiais metálicos, o 
processamento pode envolver técnicas como a fundição, o forjamento, ou a laminação. No caso de 
materiais cerâmicos, este podem ser fundidos, sinterizados, ou tratados termicamente. 
90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPO DE MATERIAL CARACTERÍSTICAS CONSTITUINTES 
METÁLICO Média – Alta resistência mecânica 
Alta ductilidade 
Bom condutor térmico e elétrico 
Baixa – Alta temperatura de fusão 
Baixa – Alta dureza 
Elementos metálicos e não-metalicos 
POLIMÉRICO Bom isolante térmico e elétrico 
 
Alta ductilidade 
 
Baixa resistência mecânica 
 
Baixa dureza 
 
Baixa estabilidade térmica 
Cadeiras moleculares orgânicas 
CERÂMICO Alta resistência mecânica 
Alta fragilidade 
Bom isolante térmica e elétrico 
Alta temperatura de fusão 
Alta dureza 
Óxidos 
Silicatos 
Nitretos 
Tabela 1 - Constituição e características dos materiais 
 
Os materiais poliméricos são processados principalmente por moldagem a quente. Em 
todos os casos, um número elevado de variáveis operacionais é observado e as características e 
intensidade dessas afetarão de maneira significativa, a natureza do produto final. Por exemplo, a 
transformação de um lingote de aço em uma chapa metálica a ser utilizada na fabricação de um 
automóvel exige que o material seja conformado plasticamente, o que além de gerar tensões na 
estrutura cristalina do metal, pode modificar sua estrutura atômica, alterando o arranjo dos átomos. 
Tal situação pode alterar de maneira significativa, as propriedades mecânica do material utilizado. 
Um outro exemplo está relacionado à produção de uma peça metálica pelo processo de 
fundição de metais, como é o caso de um bloco de motor de automóvel. Neste caso, um molde, 
com uma cavidade com a mesma forma geométrica do bloco é preenchido por um volume de 
metal líquido. Após a solidificação deste metal, a peça é desmoldada e a fundição do pistão é 
concluída. Quando a velocidade de solidificação do metal líquido é alta ou baixa, a estrutura 
interna do material será afetada em relação a defeitos na estrutura atômica e distribuição de 
constituintes e conseqüentemente, alterando as propriedades da peça. 
Concluindo, um material para ser aplicado em engenharia necessita apresentar dados 
sobre suas características básicas e também sobre a maneira com que o mesmo foi processado 
91 
 
 
 
 
 
até o momento de ser empregado. Uma chapa de aço, que é na verdade uma liga de ferro e 
carbono, laminada "a frio" apresenta características distintas de uma outra laminada "a quente". 
No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de 
vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras 
que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas 
dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados 
sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar 
informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá 
ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir 
numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da 
peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande 
quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças 
fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em 
quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser 
completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes; 
2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou 
insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender 
a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e 
portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de 
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são 
apresentadas no apêndicedeste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o 
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis 
para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente 
e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o 
projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de 
rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de 
tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou 
carregamento. 
 
 
3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Qual a peça solicitada por maior tensão; uma barra de aço de seção reta 1,31 1,53 cm 
solicitada por uma carga de 209,5 N ou uma barra de aço duro de seção circular de 
diâmetro 6,8 mm sob uma carga de tração de 139,0 N ? 
92 
 
 
 
 
 
2. Em um fio de aço são marcados dois traços que distam entre si 50,0 mm. O fio é 
tencionado e a distância entre traços passa a ser 57,6 mm. Qual o alongamento sofrido? 
3. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Es) de um aço é 2.100.000 kgf/cm2, 
 
quanto se alongará um fio de 12,7 mm de diâmetro e com 10 m de comprimento, quando 
solicitado por uma carga de tração de 18.000 kgf? 
4. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Ec) de um concreto é 250.000 kgf/cm2 , 
 
quando se encubará (deformação elástica-instantânea) uma viga de seção reta 20 30 
cm com 10m de comprimento, quando submetida a uma carga de compressão de 
18.000 kgf? 
 
5. Com o valor de encurtamento obtido no exercício 4 calcule em quanto foi reduzida a 
carga de tração do exercício 3. 
6. Uma carga de 450 kgf, quando aplicada a um fio de aço com 240 cm de comprimento e 
 
0,16 cm2 de área de seção transversal, provoca uma deformação elástica de 0,3 cm. 
Calcular a tensão ( ), a deformação ( ) e o módulo de Young (Es). 
7. Ao se determinar a dureza Brinell de um exemplar de uma amostra de cobre, usou-se 
 
uma esfera de diâmetro 2mm impressa com uma força igual a 40 kgf. Os diâmetros de 
impressão, medidos a 180 um do outro foram de 0,67 e 0,69 mm. Qual a dureza Brinell 
do corpo de prova ensaiado? 
8. Uma barra de alumínio com 12,5 mm de diâmetro, possui duas marcas que distam entre 
 
si 50mm. Os seguintes dados obtidos de um ensaio de tração: 
 
Carga (kgf) Distância entre marcas (mm) 
900 50,05 
1800 50,10 
2700 50,15 
3600 54,80 
Tabela 2 – exercício proposto 8 
 
a) Construir a curva tensão deformação; 
 
b) Calcular o módulo de deformação longitudinal da barra; 
 
c) Calcular a tenacidade do material, Para este cálculo, é necessário, fazer uma 
simplificação admitindo patamar de escoamento linear até a ruptura (material elástico- 
plástico perfeito). 
93 
 
 
 
 
 
SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS 
 
9. Projetou-se um pequeno pino de 8 mm de diâmetro, de um ferro fundido cujas tensões 
de resistência a tração e a compressão são respectivamente rt=293 MPa e rc=965 
MPa. Este pino suportará uma carga compressiva de 3500 N combinada com uma carga 
 
torcional de 9000 N.m. Calcular o fator de segurança usando a teoria da Tensão Normal 
 
Máxima, Teoria de Mohr Modificada e Teoria de Coulomb-Mohr. 
 
 
10. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura abaixo 
baseando-se na teoria da máxima energia de distorção e na teoria da máxima tensão de 
corte e compare-as. 
Material: Alumínio com e =330 MPa 
Comprimento da haste: L = 160 mm 
Comprimento do braço: a = 200 mm 
Diâmetro externo da Haste: 45 mm 
Carregamento : F = 4500 N 
 
 
 
 
Figura 25 – Exercício proposto 10 
 
11. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura acima se 
baseando na teoria de Mohr modificada. 
Material: Ferro fundido cinzento com rt =380 MPa e rc = 1200 MPa 
 
Comprimento da haste: L = 160 mm 
Comprimento do braço: a = 200 mm 
Diâmetro externo da haste: 39 mm 
Carregamento : F = 4500 N 
 
 
12. Determinar os fatores de segurança, correspondentes às falhas pelas teorias da tensão 
normal máxima, da tensão cisalhante máxima, e da teoria de Von-Mises (energia da 
distorção) respectivamente para um aço 1020 Laminado, para cada um dos seguintes 
estados de tensão: 
a) x =70 MPa e y = -28 MPa. 
 
b) x =70 MPa e xy = 28 MPa. (sentido horário). 
 
c) x = -14MPa , y = -56 MPa e xy = 28 MPa. (sentido anti-horário). 
d) x =70 MPa e y = 35 MPa. xy = 70 MPa. (sentido horário). 
94 
 
 
 
 
 
 
 
13. Usando os valores típicos das resistências do ferro fundido ASTM 40, determinar os 
fatores de segurança correspondentes à fratura, pelas teorias da tensão normal máxima, 
de Coulomb-Mohr e modificada de Mohr, respectivamente, para cada um dos seguintes 
estados de tensão: 
a) x =70 MPa e y = -28 MPa. 
 
b) x =70 MPa e xy = 28 MPa. (sentido horário). 
 
c) x = -14MPa , y = -56 MPa e xy = 28 MPa. (sentido anti-horário). 
d) x =70 MPa e y = 35 MPa. xy = 70 MPa. (sentido horário). 
 
 
14. Um tubo de alumínio com e =290 MPa e rt = 441 MPa tem 80 mm de diâmetro externo 
e espessura de parede de 1,25 mm e esta sujeito a uma pressão estática interna de 8,9 
MPa. Calcular o fator de segurança, contra o escoamento, aplicando as três teorias para 
materiais dúcteis. 
 
 
15. Um cilindro de paredes grossas deve ter um diâmetro interno de 15 mm, ser feiro de um 
aço SAE 4140 normalizado e deve resistir a uma pressão interna de 35 MPa baseado 
num fator de segurança de 4. Especificar um diâmetro externo satisfatório, baseado a 
decisão no escoamento, de acordo com a teoria da máxima tensão cisalhante. 
 
 
16. Um elemento de máquina de seção retangular esta submetido a uma carga P = 5000N. 
 
O elemento é confeccionado com aço SAE 1020 normalizado. O raio de curvatura r = 50 
mm e b = 10mm, c = 10 mm. Determine o coeficiente de segurança correspondente a 
teoria de von-Mises. 
 
 
 
 
CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E FRATURA 
 
17. Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao estado de tensões 
indicado. O aço utilizado tem σY = 331 MPa. Usando a teoria da máxima tensão de 
cisalhamento (Tresca), determinar se vai ocorrer escoamento quando: a) σ0 = 210 MPa; 
b) σ0 = 252 MPa; c) σ0 = 294 MPa. Resp.: a) Não; b) Sim; c)Sim. 
 
 
18. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima energia de distorção (von 
 
Mises). 
95 
 
 
 
 
 
Resp. : a)Não; b) Não; c) Sim. 
 
19. Um componente estrutural de aço, com σY = 300 MPa, fica submetido ao estado de 
tensões indicado. 
 
 
Figura 26 – Exercício proposto 19 
 
Determinar, usando o critério da máxima energia de distorção, se o escoamento vai 
ocorrer quando: 
a) 0 =60 MPa; b) 0 = 120 MPa; c) 0 = 130 MPa. Resp. : a) Não; b) Não; c) Sim. 
 
20. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima tensão de cisalhamento. 
 
Resp. : a) Não; b) Sim; c) Sim. 
 
 
 
Figura 27 – Exercício resolvido 20 
96 
 
 
 
 
 
21. Uma barra de alumínio é feita de uma liga para a qual σUT = 70 MPa e σUC = 175 MPa. 
 
Sabendo-se que a intensidade T dos torques indicados é aumentada gradativamente e 
usando o critério de Mohr, determinar a tensão de cisalhamento 0 que deve ocorrer na 
ruptura da barra. Resp. : 50 MPa. 
 
 
22. Um elemento de máquina é feito de ferro fundido para o qual σUT = 51,7 MPa e σUC = 
 
124,1 MPa. Determinar, para cada um dos estados de tensões indicados, e usando o 
critério de Mohr, a tensão σ0 para a qual deve ocorrer a ruptura do elemento. Resp. : a) 
51,7 MPa; b) 42,8 MPa; c) 56,4 MPa.23. A tensão de escoamento para um dado material vale 110 MPa. Se esse material está 
sujeito a tensão plana e a falha por escoamento ocorre quando uma das tensões 
principais é igual a +120 MPa, qual o valor da menor intensidade para a outra tensão 
principal ? Usar o critério de Von Mises. Resp.: 23,9 MPa. 
24. Se um eixo é construído com um material para o qual σY = 50 ksi, determine a tensão 
tangencial máxima de torção no inicio do escoamento segundo : a) teoria da máxima 
tensão tangencial (Tresca); b) teoria da máxima energia de distorção (Von Mises). 
Resp.: a) 25 ksi; b) 28,9 ksi. 
 
 
25. O estado de tensões abaixo mostrado ocorre no ponto crítico de um elemento estrutural 
cuja tensão de escoamento σY = 300 MPa. Esboçar o hexágono de Tresca e a elipse de 
von Mises marcando sobre mesmos o ponto correspondente ao estado de tensões dado 
e demonstrando se há segurança ao segurança ao escoamento. 
 
 
Figura 28 – Exercício resolvido 25 
97 
 
 
 
 
 
26. O teste de tração em um corpo de prova de aço 12.5 mm diâmetro e 50 mm de 
 
comprimento , forneceu o seguinte resultado : 
 
 
Carga (kN) 
 
26 
 
36 
 
46.5 
 
54.5 
 
71 
 
75 
 
80.5 
 
85 
 
Alongamento (mm) 
 
0.05 
 
0.07 
 
0.09 
 
0.11 
 
0.15 
 
0.20 
 
0.31 
 
0.41
 
 
Tabela 3 – Exercício proposto 26 
 
1. Calcule o limite de resistência ao escoamento 0.2% e o módulo de elasticidade. [ 640 
 
MPa, 207 GPa ] 
 
2. Um peça cilíndrica de 800 mm de comprimento deverá resistir a uma força de tração 
de 2 kN sendo que o seu comprimento não deve exceder a 1 mm. O fator de 
segurança mínimo é 2.5 . 
 
 
Figura 29 – Exercício resolvido 26 
 
 
27. Este exemplo introduz conceitos que serão utilizados no tratamento de juntas com 
flanges. Um parafuso olhal de diâmetro de 18 mm (1) é montado através de um furo de 
diâmetro 20 mm em uma luva de diâmetro externo de 35 mm (2),com a porca para 
fixação. A porca é então apertada produzindo uma força inicial de montagem e a carga 
P finalmente é aplicada. A máxima tensão admissível é de 550 e 80 MPa para o 
parafuso e a luva respectivamente, e o módulo de elasticidade são 550 e 80 para o 
parafuso e a luva respectivamente. Qual a máxima carga que a montagem poderá 
resistir sem perda de contato e qual a força inicial será necessária? Resposta [ 136, 52 
kN ]. 
 
 
29. Três barras de comprimento 0.5 m são idênticas e feitas de aço com limite de 
escoamento de 250 MPa e conectadas por dois pinos. São submetidas a carga de 15 
kN. Estas barras foram projetadas para suportar igual carga e fator de segurança 2,5. 
98 
 
 
 
 
 
Devido a erro de fabricação o comprimento da barra central difere de 0,2 mm do 
comprimento das outras barras exigindo que um dos pinos esteja trabalhando forçado 
yield steel, are conectada por dois pinos e onde é aplicada uma carga de 15 kN. 
Desprezando a flambagem, determine o real fator de segurança na montagem se 
a. a barra central é a maior de todas. Resposta [ 2.0 ] 
 
b. a barra central é a menor de todas. Resposta [ 1.6 ] 
 
 
 
Figura 30 – Exercício resolvido 29 
 
 
30. Uma prensa consiste de um parafuso central rosqueado 1 através da viga 2 que 
está conectado à base através de dois cilindros idênticos 3. Todos os componentes são de aço 
; suas dimensões efetivas são: 
 
1. o passo do parafuso central é de 3mm , seu diâmetro é de 20 mm e seu comprimento 
é de 250 mm; 
2. a viga possui 300 mm de largura, 60 mm de profundidade e comprimento de 250 mm; 
 
3. Os cilindros são de 250 mm de comprimento e diâmetro de 15 mm cada. 
 
 
 
Figura 31 – Exercício resolvido 30 
 
O parafuso é girado manualmente até assentar-se na base. Qual a tensão nos cilindros 
quando após isto. o parafuso gira um quarto de volta ? Despreze os efeitos de deflexão 
e flambagem. 
[Resposta 209 MPa ] 
99 
 
o
 
 
 
 
 
 
31 . O disco anular de raios ri e ro e espessura b, é apoio ao longo de sua superfície 
externa. Uma carga é transmitida uniformemente para sua periferia interna por 
cisalhamento. Supondo que o cisalhamento no disco para o raio r seja uniforme, 
calcule a rigidez devida : 
1. a carga axial,F. Resposta [ 2 b G / ln ( ro/ri ) ] 
 
2. um torque, T. Resposta [ 4 b G /( 1/ri2 - 1/r 2 ) ] 
 
 
 
Figura 32 – Exercício resolvido 31 
 
 
32. Quando um eixo sólido de seção circular é submetido a a uma pressão uniforme p 
(devido a montagem com interferência de uma polia por exemplo) , as tensões radiais e 
circunferências no eixo são compressivas e iguais a p. Usando a teoria de falha da máxima 
tensão cisalhante, deduza equação de projeto para uma seção transversal de um eixo de 
módulo Z, carregada pela pressão p, por um momento fletor M e um torque T. 
Resposta [ n √{ (M/Z + p)2 + (T/Z)2 } = S ] 
 
 
 
 
Figura 33 – Exercício resolvido 32 
 
 
33. As componentes de tensão resultantes em uma seção transversal de uma peça circular 
de diâmetro 50 mm, material dúctil, são mostradas: força de tração de 120 kN, força 
cisalhante vertical de 120 kN , momento fletor de 0,5 kNm e um torque de 1,5 kNm. Qual 
a tensão máxima equivalente nesta seção transversal? Resposta [ 292 MPa ] 
100 
 
σ 1 2
x y y
e
 
 
 
 
 
 
Figura 34 – Exercício resolvido 33 
 
 
34. Determine para cada um dos seguintes estados bidimensionais de tensão (MPA) , as 
tensões principais e a orientação da máxima tensão principal. Faça um desenho dos 
elementos orientados segundo as direções principais. 
A) σ x = 80 ; σ y = 170 ; xy = 60 c.w. Resposta [ 50, 200 MPa, 
116.6o ] 
B) σ x = -220 ; σ y = -70 ; xy = 180 c.c.w. Resposta [ -340, 50 MPa, 56.3o ] 
C) σ x = -205 ; σ y = -445 ; xy = 35 c.w. Resposta [ -450, -200 MPa, -8.1o 
 
] 
 
 
35. Mostre que a teoria de falha por distorção leva às seguintes formas alternativas para um 
estado plano de tensão : 
 
2 
= σ 2 
 
2
 
 
- σ 1 σ 2 + σ 
2
 
2
 
 
onde σ 1 e σ 2 são as tensões principais, 
= σ m + 3 σ a ou em termos dos componentes básicos 
= σ 
2
 - σ x σ y + σ 
2
 + 3 σ x 2 
 
ou em termos dos componentes cartesianos. 
 
Qual a relação entre as resistência à tração e ao cisalhamento que esta teoria prediz? 
Resposta [ 0.577 ] 
 
 
36. Um eixo uniformemente sólido ABCDE é apoiado por dois mancais em A e D, e gira a 
 
900 rpm. Uma potência de 50 kW é aplicada ao eixo através de uma polia de diâmetro 
de 560 mm em C. A potência de 30 kW é dissipada pela polia de 280 mm de diâmetro 
em B, e 20 kW pela polia de 210 mm de diâmetro em E. Cada polia, as duas correias 
são paralelas e a relação de tração nelas é de 3:1. Determine o diâmetro mínimo 
admissível do eixo se a tensão admissível de projeto devido a fadiga é de 100 MPa. 
Resposta [ diâmetro de 40 mm ] 
101 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 35 – Exercício resolvido 36 
 
 
37. O braço de uma broca abcdefg é feito de um eixo de aço com limite de resistência a 
fadiga de 450 MPa e está submetido ao carregamento mostrado na figura. Um mancal 
de apoio em g prevê a reação de torque necessário ao equilíbrio. Qual o fator de 
segurança? Resposta [ teoria da máxima tensão cisalhante 1.21; teoria da 
energia de distorção 1.22 ] 
 
 
Figura36 – Exercício resolvido 37 
 
 
38. O eixo horizontal ABCD é apoiado em dois mancais em B e D como mostra a figura. 
 
Uma correia envolve uma polia de 250 mm de diâmetro fica no eixo em A, e uma 
engrenagem de 150 mm de diâmetro primitivo está montada no eixo em C. Os 
diâmetros do eixo e a disposição axial dos componentes está mostrada abaixo. 
 
 
 
Figura 37 – Exercício resolvido 38 
102 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.6] 
As forças atuantes na correia são horizontais e na relação F1/F2 = 4, enquanto que a 
reação vertical no pinhão ,P atua tangencialmente ao círculo primitivo. Determine o fator 
de segurança do eixo quando suporta uma potência de 20 KW através da correia para o 
pinhão a uma freqüência de 7,5 Hz, sendo que o limite de escoamento do material do 
eixo é de 500 MPa. Neste exemplo são desprezados aspectos de fadiga e concentração 
de tensão Um grande fator de segurança deverá ser portanto obtido devido a estas 
considerações. 
Resposta [teoria da máxima tensão cisalhante 14.5 ou teoria da energia de distorção