C´alculo Diferencial e Integral II prova 1

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 1a prova - Turma A1 - 08/07/2002
1. Considere a se´rie
∞∑
k=1
ak. Se a n-e´sima soma parcial desta se´rie e´
3n− 1
2n+ 1
encontre:
(a) ak e
∞∑
k=1
ak.
(b) Verifique se a se´rie converge ou diverge. Se convergir calcule a soma.
Soluc¸a˜o. (a) ak = sk−sk−1 = 3k − 1
2k + 1
− 3k − 2
2k − 1 =
(3k − 1)(2k − 1)− (3k − 2)(2k + 1)
(2k + 1)(2k − 1)
=⇒ ak = 6k
2 − 5k + 1− (6k2 − 3k − 2)
(2k + 1)(2k − 1) =
3− 2k)
(2k + 1)(2k − 1)
E
∞∑
k=1
ak = lim
n→∞
sn = lim
n→∞
3n− 1
2n− 1 = limn→∞
3− 1
n
2 + 1
n
=
3
2
.
(b) A se´rie converge para a soma
3
2
.
2. Determine se as seguintes se´ries sa˜o convergentes ou divergentes:
(a)
∞∑
k=1
e1/k
k2
Soluc¸a˜o.
lim
k→∞
uk = lim
k→∞
ln
(
2k
k + 1
)
= lim
k→∞
ln
(
2
1 + 1
k
)
= ln 2 6= 0.
Pelo teste da divergeˆncia, a se´rie diverge.
(b)
∞∑
k=1
8k +
√
k
5 + k2 + k7/2
Soluc¸a˜o.
uk+1
uk
=
(k+1)!
(k+1)k+1
k!
kk
=
(k + 1)!
(k + 1)k+1
.
kk
k!
=
=
k!(k + 1)
(k + 1k(k + 1))
.
kk
k!
=
(
k
k + 1
)k
=
1
(1 + 1
k
)k
=⇒ lim
k→∞
uk+1
uk
= lim
k→∞
1
(1 + 1
k
)k
=
1
e
< 1. Pelo teste da raza˜o, a se´rie converge.
3. Determine se as seguintes se´ries sa˜o absolutamente convergentes ou condicionalmente
convergentes.
(a)
∞∑
k=1
(−1)k+1 k + 4
k2 + k
Soluc¸a˜o. Para ver se a se´rie dos valores absolutos converge, usamos o teste da integral
e, por substituic¸a˜o, u = ln x, du = 1
x
dx, dx = x du, temos∫ ∞
2
1
x (ln x)2
dx =
∫ ∞
ln 2
1
xu2
x du =
∫ ∞
ln 2
u−2 du = −1
u
]∞
ln 2
=
1
ln 2
, converge.
=⇒ A se´rie converge absolutamente.
(b)
∞∑
k=1
(−1)k k!
1.3.5 . . . (2k − 1)
Soluc¸a˜o.