C´alculo Diferencial e Integral II prova 2

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 2a prova - 17/05/2004 - 13:00h
1. Nos itens abaixo encontre a se´rie de Maclaurin de f(x) :
(a) f(x) = cos(x3),
Soluc¸a˜o. A se´rie e´ alternada do tipo
∞∑
n=1
(−1)nbn com bn =
√
n
n+ 1
> 0. Aplicamos o
Teste da Se´rie Alternada.
(i) Se f(x) =
√
x
x+ 1
, enta˜o f ′(x) =
(x+ 1) 1
2
√
x
−√x
(x+ 1)2
=
x+ 1− 2x
2
√
x(x+ 1)2
=
=
1− x
2
√
x(x+ 1)2
≤ 0, x ≥ 1 e f(x) e´ decrescente. E a sequeˆncia {
√
n
n+ 1
} e´ decrescente.
(ii) lim
n→∞
√
n
n+ 1
= lim
n→∞
1√
n
1 + 1
n
= 0.
Por (i) e (ii) e pelo Teste da se´rie alternada, concluimos que a se´rie converge.
(b) f(x) =
∫ x
0
et
2
dt
Soluc¸a˜o. Pelo Teste de Comparac¸a˜o para se´ries de termos positivos, como
cos2 3n
1 + 2n
≤ 1
2n
temos que a se´rie dada converge pois a se´rie maior
∞∑
n=1
1
2n
, que e´ a se´rie geome´trica
de raza˜o 1
2
< 1, tambe´m converge.
2. Considere a func¸a˜o f(x) =
√
x, x ≥ 0.
(a) Encontre a se´rie de f(x) em torno do ponto a = 1;
(b) Determine o intervalo de convergeˆncia da se´rie do item anterior;
(c) Encontre a Se´rie de Maclaurin da func¸a˜o
√
x2 + 1. (Sugesta˜o: Utilize a se´rie
do item (a))
Soluc¸a˜o. (a) Usaremos o Teste da integral para se´ries com termo geral positivo e
decrecescente. Vemos que f(x) =
1
x (ln x)2
e´ cont´ınua e decrescente pois f ′(x) =
−((ln x)2 + 2 ln x
x2(ln x)4
< 0. Integrando por substituic¸a˜o, u = ln x, du = 1/x dx,∫ ∞
2
1
x(ln x)2
dx =
∫ ∞
ln 2
1
u2
du = −1
u
]∞
ln 2
= =
1
ln 2
< ∞ e a integral converge.
Portanto, a se´rie converge.
(b) Rn ≤
∫ ∞
n
1
x(ln x)2
dx =
1
ln n
⇒ R5 ≤ 1
ln 5
3. Seja R a regia˜o interior a` curva de equac¸a˜o polar r = 2(1+ cos θ) e exterior ao c´ırculo
de centro na origem e raio 2.
(a) Esboce a regia˜o R;
(b) Encontre a a´rea da regia˜o R. (Lembrete: A a´rea da regia˜o limitada pela curva
r = f(θ) para α ≤ θ ≤ b)
(c) Determine o valor do limite da sequeˆncia.
Soluc¸a˜o. (a) a1 = 1, a2 = 3− 1
a1
= 2, a3 = 3− 1
a2
=
5
2
, a4 = 3− 1
a3
=
13
5
,
a5 = 3− 1
a4
=
34
13
. Os cinco primeiros termos formam uma sequeˆncia crescente.
(b) (i) Vamos provar que a sequeˆncia {an} toda e´ crescente. Seja
P(n) : an < an+1, onde n e´ um nu´mero natural.
Temos que P(1) e´ verdadeira pois a1 = 1 < a2 = 2.
Suponhamos que P(k) seja verdadeira para um k natural e fixado, ou seja que
ak < ak+1 onde k e´ fixo.
Mas enta˜o,
⇒ 1
ak+1
<
1
ak
⇒ − 1
ak
< − 1
ak+1
⇒ 3− 1
ak
< 3− 1
ak+1
⇒ ak+1 < ak+2.
E concluimos que P(k + 1) tambe´m e´ verdadeira.
Portanto P(n) : an < an+1 vale para todo n ∈ N, por induc¸a˜o matema´tica. Donde
a sequeˆncia {an} e´ crescente.
(ii) Provemos que an < 3 e portanto que {an} e´ limitada superiormente.
Sabemos que a1 < 3. Suponha que ak < 3 onde k e´ um nu´mero fixo. Mas enta˜o
− 1
ak
< −1
3
e
3− 1
ak
< 3− 1
3
< 3. Portanto ak+1 < 3. Donde concluimos, por induc¸a˜o matema´tica,
que an e´ limitada superiormente pelo nu´mero 3, para todo n natural .
(iii) Por (i) e (ii) concluimos que {an} converge, grac¸as ao Teorema da Sequeˆncia
Mono´tona.
(c) an+1 = 3− 1
an
⇒ lim
n→∞
an+1 = 3− lim
n→∞
1
an
⇒ L = 3− 1
L
,
onde os limites sa˜o iguais porque {an+1} e´ uma subsequeˆncia da sequeˆncia convergente
{an}. Donde, L2 = 3L− 1⇒ L2 − 3L+ 1 = 0⇒ L = 3±
√
5
2
⇒ L = 3 +
√
5
2
.
De fato, eliminamos o sinal negativo pois temos
3−√5
2
< 1 e seria absurdo afirmar
L < 1 pois a condic¸a˜o 1 < an, (a sequeˆncia e´ crescente) implica que 1 ≤ lim
n→∞
an = L.