C´alculo Diferencial e Integral II prova 2 turma A

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 2a prova - Turma A2 - 25/05/2011
1. (a) Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o f(x) e deter-
mine o intervalo de convergeˆncia da se´rie, se
f(x) =
x+ 2
x− 2
(b) Encontre a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o g(x) =
∫
f(x) dx,
onde f(x) e´ a func¸a˜o da parte (a).
Soluc¸a˜o. (a)
1
1− r =
∞∑
n=0
rn, |r| < 1. Logo,
1
x− 2 =
−1
2
1− x
2
=
∞∑
n=0
(
−1
2
)(
x
2
)n
=
∞∑
n=0
− x
n
2n+1
,
∣∣∣∣x2
∣∣∣∣ < 1
Enta˜o
x+ 2
x− 2 = −(x+ 2)
∞∑
n=0
xn
2n+1
= −(x+ 2)(1
2
+ x
22
+ x
2
23
+ . . .+ x
n−1
2n
+ x
n
2n+1
+ . . .), |x| < 2
= −x(1
2
+ x
22
+ x
2
23
+ . . .+ x
n−1
2n
+ x
n
2n+1
+ . . .)− 2(1
2
+ x
22
+ x
2
23
+ . . .+ x
n−1
2n
+ x
n
2n+1
+ . . .)
= −(x
2
+ x
2
22
+ x
3
23
+ . . .+ x
n
2n
+ x
n+1
2n+1
+ . . .)− (1 + x
2
+ x
2
22
+ . . .+ x
n−1
2n−1 +
xn
2n
+ . . .)
−(1 + x+ x2
2
+ x
3
22
+ . . .+ x
n
2n−1 + . . .)
= −1−
∞∑
n=1
xn
2n−1
, |x| < 2.
Ou seja, esta se´rie converge em −2 < x < 2 (e diverge fora deste intervalo).
(b) Examinando as extremidades do intervalo, se x = −2 ou 2, em cada caso
∞∑
n=1
(−1)n2 ou
∞∑
n=1
2, a se´rie
∞∑
n=1
xn
2n−1
diverge, pelo Teste da Divergeˆncia,
dado que, lim
n→∞
an 6= 0 para an = 2 ou an = (−1)n2.
E o intervalo de convergeˆncia e´ −2 < x < 2
2. Considere a curva espiral dada em coordenadas polares por r = eθ para 0 ≤ θ ≤ 2pi.
(a) Fac¸a um esboc¸o.
(b) Encontre os pontos onde a tangente a` curva e´ horizontal e marque estes pontos
em seu esboc¸o.
(c) Determine o comprimento da parte da curva que fica no interior de r = 2.
(d) Determine a a´rea delimitada pela curva e as semi-retas θ = 0 e θ = pi.
Soluc¸a˜o. (a),(b) Inclinac¸a˜o
dy
dx
da curva com equac¸a˜o polar r = eθ :
x = r cos θ, y = r sen θ.
dy
dθ
=
dr
dθ
sen θ+ r cos θ = eθ(sen θ+cos θ),
dx
dθ
=
dr
dθ
cos θ− rsen θ = eθ(cos θ− sen θ)
Pontos de tangente horizontal:
dy
dθ
= 0⇒ sen θ = − cos θ ⇒ θ = 3pi
4
ou θ =
7pi
4
,
sa˜o os pontos onde a tangente e´ horizontal.
Observamos que nestes pontos
dx
dθ
= 2eθ cos θ 6= 0.
(c) Intersec¸a˜o da espiral com r = 2.
r = eθ = 2 ⇒ θ = ln 2.
Enta˜o o comprimento da parte da espiral que fica dentro de r = 2 e´
L =
∫ ln 2
0
√
r2 + (dr
dθ
)2 dθ =
∫ ln 2
0
√
e2θ + e2θ dθ =
∫ ln 2
0
√
2eθ dθ =
√
2eθ
]ln 2
0
=
√
2(2− 1) =
√
2
(d) A´rea delimitada pela espiral e as semi-retas θ = 0 e θ = pi.
A =
∫ pi
0
1
2
r2 dθ =
∫ pi
0
1
2
e2θ dθ = 1
4
e2θ ]pi0 =
e2pi − 1
4