C´alculo Diferencial e Integral II prova 2 turma M

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 2a prova - Turma M1 - 25/05/2011
1. Encontre o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
(4x+ 1)n
n2
(Ver o prob. 25, pag. 691 do Stewart).
Soluc¸a˜o. Usando o Teste da Raza˜o para an =
(4x+ 1)n
n2
,
ρ = lim
n→∞
|an+1|
|an| = limn→∞
|4x+ 1|n+1
(n+ 1)2
.
n2
|4x+ 1|n = limn→∞|4x+ 1|(
n
n+1
)2
= |4x+ 1| lim
n→∞
( 1
1+ 1
n
)2 = |4x+ 1| = |4(x+ 1
4
)| < 1.
⇒ a se´rie converge absolutamente se |x+ 1
4
| < 1
4
(e diverge se |x+ 1
4
| > 1
4
)
⇒ O raio de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
4n
n2
(x+ 1
4
)n e´ R = 1
4
⇒ a se´rie converge em
−1
4
< x+
1
4
<
1
4
⇒ −1
2
< x < 0
(b) Para x = 0 a se´rie e´
∞∑
n=1
1
n2
que converge pois e´ uma p-se´rie com p = 2 > 1. E
para x = −1
2
a se´rie e´
∞∑
n=1
(−1)n 1
n2
que converge pelo Teste da Se´rie Alternada, pois
{ 1
n2
} e´ uma sequeˆncia decrescente que tende para 0 quando n vai para o infinito.
O intervalo de convergeˆncia da se´rie e´ −1
2
≤ x < 0
2. Considere a curva dada por r = eθ para 0 ≤ θ ≤ 2pi.
(a) Fac¸a um esboc¸o.
(b) Encontre os pontos onde a tangente a` curva e´ horizontal, vertical ou faz um aˆngulo
de pi/4 com a horizontal e marque estes pontos em seu esboc¸o.
(c) Determine o comprimento L da parte da curva que esta´ fora do c´ırculo r = 2 mas
dentro do c´ırculo r = 5.
(Ver a relac¸a˜o com os probs. 29 e 45, pag. 604 do Stewart).
Soluc¸a˜o. (a) A curva r = eθ e´ uma espiral.
(b) Inclinac¸a˜o
dy
dx
da curva com equac¸a˜o polar r = eθ :
x = r cos θ, y = r sen θ.
dy
dθ
=
dr
dθ
sen θ+ r cos θ = eθ(sen θ+cos θ),
dx
dθ
=
dr
dθ
cos θ− rsen θ = eθ(cos θ− sen θ)
Pontos de tangente horizontal:
dy
dθ
= 0⇒ sen θ = − cos θ ⇒ θ = 3pi
4
ou θ =
7pi
4
,
sa˜o os pontos onde a tangente e´ horizontal.
Observamos que nestes pontos
dx
dθ
= 2eθ cos θ 6= 0.
Pontos de tangente vertical:
dx
dθ
= 0⇒ sen θ = cos θ ⇒ θ = pi
4
ou θ =
5pi
4
,
sa˜o os pontos onde a tangente e´ horizontal.
Observamos que nestes pontos
dy
dθ
= 2eθ cos θ 6= 0.
Pontos de tangente que faz um aˆngulo de pi/4 com a horizontal:
dy
dθ
=
dx
dθ
⇒ 2 sen θ = 0 ⇒ θ = 0, pi, 2 pi
sa˜o os pontos onde a tangente faz um aˆngulo de pi/4 com a horizontal.
(c) Intersec¸a˜o da espiral com r = 2 e com r = 5.
r = eθ = 2 ⇒ θ = ln 2, r = eθ = 5 ⇒ θ = ln 5.
Enta˜o o comprimento da parte da espiral que fica dentro de r = 5 e fora de r = 2 e´
L =
∫ ln 5
ln 2
√
r2 + (dr
dθ
)2 dθ =
∫ ln 5
ln 2
√
e2θ + e2θ dθ =
√
2
∫ ln 5
ln 2
eθ dθ =
√
2eθ
]ln 5
ln 2
=
√
2(5− 2) = 3
√
2
3. Encontre a a´rea da regia˜o que esta´ dentro de ambos os c´ırculos r = 2 sen θ e
r = sen θ + cos θ (Ver o prob. 35, pag. 636 do Stewart).
Soluc¸a˜o. Curvas: r = 2 sen θ, 0 ≤ θ ≤ pi e r = sen θ + cos θ, 0 ≤ θ ≤ 2 pi.
Pontos de intersec¸a˜o:
r = 2 sen θ = sen θ + cos θ ⇒ sen θ = cos θ ⇒ θ = pi
4
Para θ =
pi
4
temos r =
√
2 em ambas as curvas e o ponto correspondente (1, 1) esta´
no primeiro quadrante. O outro ponto de intersec¸a˜o e´ a origem (0, 0) que corresponde
aos aˆngulos θ = 0 ou θ = pi para a c´ırculo r = 2 sen θ e ao aˆngulo θ =
3pi
4
para o outro
c´ırculo r = sen θ + cos θ.
A a´rea encerrada por ambas as curvas e´
A = A1 + A2 =
1
2
∫ pi
4
0
(2 sen θ)2 dθ +
1
2
∫ 3pi
4
pi
4
(sen θ + cos θ)2 dθ
=
∫ pi
4
0
2
(1− cos 2θ)
2
dθ +
1
2
∫ 3pi
4
pi
4
(sen2θ + 2sen θ cos θ + cos θ2) dθ
=
∫ pi
4
0
(1− cos 2θ) dθ +
∫ 3pi
4
pi
4
(
1
2
+ sen θ cos θ) dθ
= (θ − sen 2θ
2
)
]pi
4
0
+ ( θ
2
+ sen
2θ
2
)
] 3pi
4
pi
4
=
(
pi
4
− 1
2
)
+
(
pi
4
)
=
1
2
(pi − 1)
4. Calcule a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva
x = 3t2, y = 2t3, 0 ≤ t ≤ 5
em torno do eixo y (Ver o prob. 65, pag. 605 do Stewart).
Soluc¸a˜o. A a´rea da superf´ıcie resultante e´
A =
∫ 5
0
2pix
√
(dx
dt
)2 + (dy
dt
)2 dt =
∫ 5
0
2 pi (3t2)
√
(6 t)2 + (6 t2)2 dt =
∫ 5
0
2pi (3t2)
√
36 t2 + 36 t4 dt =∫ 5
0
2 pi (3 t2)
√
36 t2 (1 + t2) dt =
∫ 5
0
2 pi (18 t3)
√
1 + t2 dt,
e fazendo a substituic¸a˜o u = 1 + t2, du = 2t dt; t2 = u− 1,
t = 0→ u = 1, t = 5→ u = 26,
A =
∫ 26
1
9pi t2
√
u du =
∫ 26
1
9pi (u− 1)√u du = 9 pi ∫ 26
1
(u3/2 − u1/2) du =
9 pi (2
5
u5/2 − 2
3
u3/2)
]26
1
= 9pi (2
5
((26)2
√
26− 1)− 2
3
(26
√
26− 1)) =
18pi
15
((3(676)− 5(26))
√
26− 3 + 5) = 6pi
5
(1898
√
26 + 2) =
12pi
5
(949
√
26 + 1)