UFSM-Engenharia_Economica

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Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise 1 
ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DPS 1016 
Engenharia Econômica 
 
 
Material de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia de Produção e Sistemas 
Centro de Tecnologia - Universidade Federal de Santa Maria - RS 
 
Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise 2 
ANDREAS.WEISE@UFSM.BR 
 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução e conceitos básicos 
 
 1.1 O objeto de estudo da econômia 
 1.2 Fundamentos da análise macroeconômica 
 1.3 Fundamentos da análise microeconômica 
 1.4 Definição de Engenharia Econômica 
 1.5 Definição e modalidades de Juros 
 1.6 Juros simples e compostos 
 1.7 Diagrama de fluxo de caixa 
 
2. Relações de equivalência 
 
 2.1 - Dado “P” achar “F” 
 2.2 - Dado “F” achar “P” 
 2.3 - Dado “A” achar “F” 
 2.4 - Dado “F” achar “A” 
 2.5 - Dado “A” achar “P” 
 2.6 - Dado “P” achar “A” 
 2.7 - Dado “G” achar “A” 
 2.8 - Dado “G” achar “P” 
 2.9 – Séries perpétuas 
 
3. Taxas de juros 
 
 3.1 - Considerações gerais 
 3.2 - Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
 3.3 - Taxas cobradas antecipadamente 
 3.4 - Taxas Equivalentes 
 3.5 - Taxa Global de Juros 
 3.6 - Taxa Mínima de Atratividade 
 
4. Financiamento 
 
 4.1 - Fontes de recursos 
 4.2 - Seleção das fontes de financiamento 
 4.3 - Amortização de dívidas 
 4.4 - Sistema de amortização francês (Tabela Price) 
 4.5 - Sistema de amortização constante (SAC) 
 4.6 - Sistema de amortização misto (SAM) 
 4.7 - Sistema de amortização crescente (SACRE) 
 4.8 - Outros sistemas de amortização 
 4.8.1 - Sistema americano 
 4.8.2 - Pagamento único, com juros postecipados 
 4.8.3 - Pagamento único, com juros antecipados 
 4.8.4 - Sistema de amortizações variáveis 
 4.9 - Comentários sobre os sistemas de amortização 
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 4.10 - Correção monetária dos empréstimos 
 4.10.1 - Prestação calculada após a incorporação da correção monetária ao saldo 
devedor 
 4.10.2 - Prestação calculada antes da incorporação da correção monetária ao saldo 
devedor 
 
5. Métodos determinísticos de análise de investimentos 
 
 5.1 - Valor Presente Líquido 
 5.1.1 - Projetos com vidas iguais 
 5.1.2 - Projetos com vidas diferentes 
 5.2 - Valor (ou Custo) Anual Uniforme Equivalente 
 5.2.1 - Valor anual uniforme equivalente 
 5.2.2 - Custo anual uniforme equivalente 
 5.3 - Taxa Interna de Retorno 
 5.3.1 - Casos especiais 
 5.3.2 - Análise incremental 
 5.3.3 - Interseção de Fisher 
 5.3.4 - Projetos com vidas diferentes 
 5.4 - Análise Benefício/Custo 
 5.5 - Tempo de Recuperação do Capital - PAYBACK 
 5.6 - Métodos Modificados 
 5.7 - Estudo de Caso 
 
6. Bibliografia 
 
7. Calendário 
 
8. Apendice 
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1. INTRODUCAO E CONCEITOS BÁSICOS 
 
1.1 O OBJETO DE ESTUDO DA ECONOMIA 
 
A palavra economia é de origem Grega (oikonomes) (de oikos = casa e nomos = norma, 
lei), que significa a administração de uma casa. Xenofontes (455 a 345 a.c.) foi o primeiro 
a usar o termo Economia no sentido exposto anteriormente, ou seja, abrangendo apenas o 
governo ou a administração do lar. 
A Economia se define como “uma ciência social que estuda como o individuo e a 
sociedade decidem (escolhem) empregar recursos produtivos escassos na produção de 
bens e serviços, de modo a distribuí-los entre as várias pessoas e grupos da sociedade, a 
fim de satisfazer as necessidades humanas da melhor maneira possível.” (PINHO; 
VASCONSELLOS, 2006, p. 2). 
Percebe-se os cinco conceitos básicos escrita na definição anterior, como: 
 Recursos; 
 Escassez; 
 Necessidades; 
 Produção; e 
 Distribuição. 
 
Os recursos (seja mão-de-obra, terra, matérias-primas, etc.) são limitados. Ao contrário as 
necessidades que se renovam e mudam, ou seja, são ilimitadas, pois sempre o individio tem 
o desejo elevar o padrão de vida e a população cresce mundialmente. 
Mesmo nos países mais ricos do mundo, todos os recursos disponíveis não estão 
suficientes para satisfazer todas as necessidades. Por isso, se fala de escassez, ou seja, 
recursos limitados. Viviendo com a escassez, a sociedade busca alternativas de produção e 
de distribuição dos resultados da atividade produtiva para atender as necessidades de 
diversos grupos da sociedade. 
Para satisfação das necessidades: 
 
Produção → Distribuição → Consumo 
 
Nesse processo de produção e consumo, surgem e são solucionados muitos problemas de 
caráter econômico: 
 
 Produção ↔ Consumo 
 
 ↓ ↓ 
 
 Que bens produzir Como vão gastar 
 e 
 Que meios utilizará para produzir 
 
Assim se encontra a questão principal da economia: Como alocar recursos produtivos 
limitados para satisfazer todas as necessidades da população? 
Então a sociedade deve tomar decisão sobre a melhor forma da utilização de recursos 
limitados, sendo estudar assuntos como inflação, taxa de juros, taxa de câmbio, 
desemprego, crescimento, déficit público, vulnerabilidade externa, etc. 
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 Micro 
 Economia Descritiva → T E [ ] P E 
 Macro 
 
 ↓ ↓ 
 
 Economia Positiva Economia Normativa 
 
Economia Descritiva trata da identificação do fato econômico. É a partir dos 
levantamentos descritivos sobre a conduta dos agentes econômicos que se inicia o 
complexo de conhecimento sistematizado da realidade no campo da economia positiva. È a 
tarefa de levantamento e descrição dos fatos que se dedica a economia descritiva; é através 
dela que a realidade começa a ser submetida a um criterioso tratamento no sentido de que 
possam se analisados as relações básicas que se estabelecem entre os diversos agentes que 
compõem o quadro da atividade econômica. 
Teoria Econômica (TE) é o compartimento central da economia, compete-lhe dar 
ordenamento lógico aos levantamentos sistematizados fornecidos pela economia descritiva, 
produzindo generalizações que sejam capazes de ligar aos fatos entre si, desvendar cadeias 
de ações manifestadas e estabelecer relações que identifiquem os graus de dependência de 
um fenômeno em relação a outro. Surgiram então em decorrência conjunto de princípios, 
de teorias, de modelos e de leis fundamentadas nas descrições apresentadas. 
A teoria econômica adota duas posições distintas na apresentação e análise do fenômeno 
econômico, estas posições são conhecidas como microeconomia e macroeconomia. 
A microeconomia é aquela parte da teoria econômica que estuda o processo de formação 
de preços e o funcionamento dos mercados, ou seja, comportamento das unidades, tais 
como os consumidores, as indústrias e empresas, e suas inter-relações. 
A macroeconomia estuda o funcionamento do sistema econômico em seu conjunto. Seu 
propósito é obter uma visão simplificada da economia que,porém, ao mesmo tempo, 
permita conhecer e atuar sobre o nível da atividade econômica de um determinado país ou 
de um conjunto de países. 
Os desenvolvimentos elaborados no compartimento da teoria econômica tem a finalidade 
de servir a Política Econômica (PE). Nesse terceiro compartimento é que serão utilizados 
os princípios, as teorias, os modelos e as leis. A utilização terá a finalidade de conduzir 
adequadamente a ação econômica com vistas a objetivos pré-determinados. Quando 
empregamos a expressão política econômica governamental estamos nos referindo as ações 
praticas desenvolvidas pelo governo com a finalidade de condicionar, balizar e conduzir o 
sistema econômico no sentido de que sejam alcançados um ou mais objetivos 
politicamente estabelecidos. 
Para completar existem ainda a Lei da Economia, que é a relação entre um fenômeno e sua 
causa, Economia política é uma ciência e conseqüentemente possui princípios, normas e 
leis. Assim, as leis podem ser dividas: 
Leis Naturais são aquelas de forma global, gerias; exprimem uma relação constante entre 
a causa e o efeito. Ex: leis físicas são aquelas onde cientistas podem determinar 
perfeitamente a causa; a água a zero grau congela. 
Leis Sociais exprimem a tendência que certos fatos tem em produzir certos efeitos. Ex: 
fenômenos econômicos podem garantir a tendência de acontecimento do fato, segundo as 
condições propostas; a escassez do produto indica um aumento do preço. 
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Leis Tipicamente Econômicas é lei da oferta e da procura – essa lei diz que o preço 
aumenta. Não pode dizer quanto (em valores), quando e como acontecera e nem em que 
medida poderá ser produzida. 
 
1.2 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MACROECONÔMICA 
 
A Macroeconomia, segundo Garcia e Vasconcellos (2002, p. 83), “[...] estuda a economia 
como um todo, analisando a determinação e o comportamento de grandes agregados, tais 
como: renda e produto nacionais, nível geral de preços, emprego e desemprego, estoque de 
moeda e taxas de juros, balança de pagamentos e taxa de câmbio”. 
Assim sendo, a Macroeconomia faz uma abordagem global das unidades econômicas 
individuais e de mercados específicos. Por exemplo, essa teoria considera apenas o nível 
geral de preços, e não atende as mudanças dos preços dos bens das diferentes indústrias. 
Basicamente, a macroeconômia constitui-se de cinco mercados, que através de suas ofertas 
e demandas determinam os agregados macroeconômicos. Estes cinco mercados são 
mercado de bens e serviços, de trabalho, monetário, de títulos e de divisas. 
 
1.2.1 Mercado de Bens e Serviços 
 
Determina o nível de produção agregada, bem como o nível geral de preços. Para Garcia e 
Vasconcellos (2002, p. 90) “A idéia seria a de idealizarmos a economia como se ela 
teoricamente produzisse apenas um único bem, que seria obtido através da agregação dos 
diversos bens produzidos.” 
O nível geral dos preços e do agregado da produção depende da demanda agregada – 
consumidores, empresas, governo, setor externo – e da oferta agregada de bens e serviços. 
Para que ao menos houvesse um equilíbrio de mercado, seria necessário que a oferta 
agregada de bens e serviços fosse igual à demanda agregada de bens e serviços. 
O mercado de bens e serviços define as variáveis de: nível de renda, produto nacional e de 
preços, consumo, poupança e investimentos agregados e exportações e importações 
globais. 
 
1.2.2 Mercado de Trabalho 
 
Nesse mercado admite-se um único tipo de mão-de-obra, independente do grau de 
qualificação, escolaridade, sexo etc. Ele determina os salários e o nível de emprego. A 
oferta de mão-de-obra dá-se pelo salário e pela evolução da população economicamente 
ativa. E a procura de mão-de-obra ocorre pelo seu custo à empresa e do nível de produção 
desejada pela mesma. O equilíbrio nesse mercado se dá pela igualdade entre a oferta e a 
demanda de mão-de-obra. Esse mercado determina o nível de emprego e a taxa de salário. 
 
1.2.3 Mercado Monetário 
 
Existem em função de que todas as operações comerciais da economia são realizadas 
através da moeda. Nele existe, portanto, uma demanda e também uma oferta de moeda – 
através do Banco Central – que juntas determinam uma taxa de juros. Aqui, a igualdade 
entre a oferta e a demanda de moeda é dá a condição de equilíbrio no mercado monetário. 
E é ele que impõe, além da taxa de juros, o estoque de moeda. 
 
 
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1.2.4 Mercado de Títulos 
 
Determina o preço dos títulos, por exemplo, do título público federal. Ele analisa o papel 
dos agentes econômicos superavitários – que gastam menos e ganham mais, podendo 
efetuar empréstimos – e dos agentes econômicos deficitários – que gastam mais que 
ganham, que geralmente recorrem à empréstimos dos superavitários. Quando a oferta de 
títulos se iguala a sua demanda, ocorre o equilíbrio desse mercado. 
 
1.2.5 Mercado de Divisas 
 
Divisas são moedas estrangeiras, dessa forma ele também é chamado de mercado de moeda 
estrangeira, e cuida das transações da economia com o resto do mundo. Para que ocorra um 
equilíbrio nesse mercado a oferta de divisas – gerada pelas exportações e entrada de capital 
– seja iguala sua demanda – gerada pelas importações e saída de capital financeiro. A taxa 
de câmbio é a variável determinada neste mercado que possui interferência do Banco 
Central, que fixa ou deixa a taxa de câmbio flutuar. 
Na análise macroeconômica, os gastos do governo e a oferta da moeda [...] não são 
determinadas nesses mercados, mas sim de forma autônoma pelas autoridades. [...] já que 
dependem do tipo de política econômica adotada pelas autoridades. [...] Elas vão 
condicionar o comportamento de todos os demais agregados, [...] (GARCIA; 
VASCONCELLOS, 2002, p. 92). 
 
1.3 FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MICROECONOMICA 
 
A Microeconomia é concebida como o ramo da ciência econômica voltado ao estudo do 
comportamento das unidades de consumo representadas pelos indivíduos ao estudo das 
empresas, suas respectivas produções e custos, e ao estudo da geração e preços dos 
diversos bens, serviços e fatores produtivos (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). 
O individuo é considerado como fornecedor de trabalho e capital, demandantes de bens de 
consumo. Já a firma é considerada demandante de trabalho e fatores de produção e 
fornecedoras de produtos. Assim, o individuo requer maximizar o seu consumo e uma 
firma (empresa) maximizar o seu lucro. 
Entre estes dois pontos, a microeconomia procura analisar o mercado, e, ainda, os tipos de 
mecanismos, que estabelecem preços relativos entre os produtos e serviços, tentando alocar 
de modos alternativos os recursos dos quais dispõe determinados indivíduos organizados 
numa sociedade. 
Para este fim, a microeconomia preocupa-se em explicar como é gerado o preço dos 
produtos finais e dos fatores de produção num equilíbrio, geralmente perfeitamente 
competitivo. A explicação pode ser feito a partir de seguintes teorias (PINHO; 
VASCONCELLOS, 2006): 
 Teoria do Consumidor estuda as preferências do consumidor analisando o seu 
comportamento, as suas escolhas, as restrições quanto a valores e a demanda de 
mercado. A partir dessa teoria se determina a curva de demanda. 
 Teoria da Firma estuda a estrutura econômica de organizações cujo objetivo é 
maximizar lucros. Organizações que para isso compram fatores de produção e 
vendem o produto desses fatores de produção para os consumidores. Estuda 
estruturas de mercado tanto competitivas quanto monopolísticas. Apartir dessa 
teoria se determina a curva de oferta. 
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 Teoria da Produção estuda o processo de transformação de fatores adquiridos pela 
empresa em produtos finais para a venda no mercado. Estuda as relações entre as 
variações dos fatores de produção e suas conseqüências no produto final. Determina 
as curvas de custo, que são utilizadas pelas firmas para determinar o volume ótimo 
de oferta. 
 
Em geral a economia estuda o mercado em si, a produção, custo e eficiência, e a oferta e 
demanda, entre outros assuntos. 
Os estudos sobre o mercado incluem o comportamento dos agentes (indivíduos e firmas) e 
as suas interações em mercados específicos, considerando a escassez de recursos e a 
regulação governamental. Um determinado mercado pode ser para de um produto ou de 
serviços de um fator de produção. A teoria considera ainda considera o “jogo” de uma 
quantidade demandada (comprador) e quantidade ofertada (vendedor) para cada preço 
possível por unidade. Com estes dois lados, oferta (procura) e demanda, a microeconomia 
descreve como o mercado pode atingir o equilíbrio entre o preço e a quantidade negociada 
ou explicar as variações do mercado ao longo do tempo. 
A estrutura do mercado pode ser classificada em: 
 Monopólio; 
 Monopsónio; 
 Oligopólio; 
 Oligopsónio; 
 Concorrência perfeita; e 
 Concorrência monopolística. 
 
Um segundo ponto de estudo de microeconomia é a produção, custo e eficiência. A 
produção é um processo que usa insumos para criar produtos, destinados ao comércio ou ao 
consumo (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). A produção é um fluxo, logo é mensurável 
através de um rácio por unidade de tempo. É comum distinguir entre a produção de bens de 
consumo (alimentos, etc.), bens de investimento (novos carros, edifícios, estradas, etc.), 
bens públicos (defesa nacional, segurança pública, proteção civil, etc.) ou bens privados 
(computadores novos, bananas, etc.). 
Já o custo de oportunidade está relacionado com o custo econômico: é o valor da melhor 
alternativa dispensada, quando se tem que fazer uma escolha entre duas ações desejadas, 
mas mutuamente exclusivas (EHRLICH; MORAES, 2009). É descrita como sendo a 
expressão da “relação básica entre escassez e escolha.” O custo de oportunidade é um fator 
que garante a utilização eficiente dos recursos escassos. Os custos de oportunidade não se 
restringem a custos monetários. Podem também ser medidos em tempo, lazer, ou qualquer 
outra coisa que corresponda a um benefício alternativo (utilidade). 
As entradas para o processo de produção incluem fatores de produção básicos como o 
trabalho, capital (bens duradouros usados na produção, como uma fábrica) e terra 
(incluindo recursos naturais). Outros fatores incluem bens intermédios usados na produção 
dos bens finais, como seja o aço num carro novo. 
Quando a economia se refere a eficiência econômica na produção, na verdade, descreve o 
quanto um sistema utiliza bem os recursos disponíveis, dada a tecnologia disponível. A 
eficiência pode aumentar se conseguirá obter um maior resultado sem aumentar os recursos 
usados, ou seja, se conseguirá reduzir o “desperdício”. 
A fronteira de possibilidades de produção (FPP) é uma ferramenta analítica que 
representa a escassez, custo e eficiência (PINHO; VASCONCELLOS, 2006). No caso mais 
simples, estuda-se uma economia que produz apenas dois bens. A FPP é uma tabela ou 
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gráfico (ver Figura 1) que mostra as várias combinações de quantidades dos dois produtos 
que são possíveis, dado a tecnologia e os fatores de produção disponíveis. 
Cada ponto na curva da Figura 1 mostra uma produção potencial total máxima para a 
economia, que é a produção máxima de um bem (Carne), dada uma quantidade de 
produção do outro bem (batata). 
A escassez é representada na Figura 1 pelas pessoas poderem querer além da FPP, mas não 
poderem consumir. Quando a produção de um bem aumenta, a produção do outro diminui, 
numa relação inversa. Isso ocorre porque uma maior produção de um bem requer a 
transferência de insumos da produção do outro bem, diminuindo-a. A inclinação da curva 
num ponto determina o trade-off entre os dois bens e mede o quanto uma unidade adicional 
de um bem implica reduzir o outro bem, que é um exemplo de custo de oportunidade 
(PINHO; VASCONSELLOS, 2006). Ao longo da FPP, escassez significa que escolher 
mais de um bem implica ter menos do outro. Ainda assim, numa economia de mercado, o 
movimento ao longo da curva pode ser explicado como uma escolha que os agentes vêm 
como preferível. 
 
 
Figura 1: Fronteira de possibilidades de produção 
 
A última das grandes áreas de estudo da microeconomia é a oferta e demanda, se refere à 
determinação do preço e quantidade num mercado de concorrência perfeita. Assim, eles 
estão fundamentalmente importantes na construção de modelos para outras estruturas de 
mercados. 
 
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0
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 (R
$)
Número de apartamentos
Preço de equilíbrio
c d
Excesso de oferta
Excesso de procura
a
b
210.000
45
 
Figura 2: Oferta e demanda 
 
Para o mercado de um bem, a demanda mostra a quantidade que os possíveis compradores 
estariam dispostos a comprar para cada preço unitário do bem (ver Figura 2). A demanda é 
freqüentemente representada usando uma tabela ou um gráfico relacionando o preço com a 
quantidade demandada (ver Figura 2). 
A teoria da demanda descreve os consumidores individuais como entes “racionais” que 
escolhem a quantidade “melhor possível” de cada bem, em função dos rendimentos, 
preços, preferências, etc. 
A lei da demanda diz que, regra geral, o preço e a quantidade demandada num determinado 
mercado estão inversamente relacionados, ou seja, quanto mais alto for o preço de um 
produto, menos pessoas estarão dispostas ou poderão comprá-lo (tudo o resto inalterado). 
Quando o preço de um bem sobe, o poder de compra geral diminui (efeito renda) e os 
consumidores mudam para bens mais baratos (efeito substituição). Outros fatores também 
podem afetar a demanda. Por exemplo, um aumento na renda desloca a curva da demanda 
em direção oposta à origem. 
Já a oferta é a relação entre o preço de um bem e a quantidade que os fornecedores colocam 
à venda para cada preço desse bem. A oferta é normalmente representada através de um 
gráfico relacionando o preço com a quantidade ofertada. 
Assume-se que os produtores maximizam o lucro, o que significa que tentam produzir a 
quantidade que lhes irá dar o maior lucro possível. 
 
1.4 DEFINICAO DE ENGENHARIA ECONÔMICA 
 
Os estudos sobre engenharia econômica iniciaram nos Estados Unidos em 1887, quando 
Arthur Wellington publicou seu livro “The Economic Theory of Railway Location”, texto 
que sintetizava análise de viabilidade econômica para ferrovias. 
“A Engenharia econômica objetiva a análise econômica de decisões sobre investimentos. E 
tem aplicações bastante amplas, pois os investimentos poderão tanto ser de empresas, como 
de particulares ou de entidades governamentais.” (CASAROTTO; KOPITTKE, 2007, 
p. 105). 
Pode-se definir Engenharia Econômica como o estudo que compreende os métodos, as 
técnicas e os princípios necessários para se tomar decisões entre alternativas de 
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investimentos,relativas à aquisição e à disposição de bens de capital, tanto de empresas, 
como de particulares ou de entidades do governo, indicando a mais econômica. 
Segundo Hess et al. (1984, p.1) “justifica-se o nome, porque grande parte dos problemas de 
investimento dependem de informações e justificativas técnicas e porque na maioria das 
organizações tais decisões são tomadas ou por engenheiros, ou por administradores agindo 
com base nas recomendações dos engenheiros”. 
Ela é importante para todos que precisam decidir sobre propostas tecnicamente corretas, e 
seus fundamentos podem ser utilizados tanto para empresas privadas como estatais. 
Todo o fundamento da engenharia econômica se baseia na matemática financeira, que se 
preocupa com o valor do dinheiro no tempo. 
O estudo de Engenharia Econômica envolve: 
a) um problema a resolver ou uma função a executar, como por exemplo o transporte 
de material dentro de um almoxarifado; 
b) diversas alternativas possíveis, por exemplo, transporte manual, por empilhadeira, 
por carrinhos ou ainda por correia transportadora; 
c) avaliação de cada alternativa, determinando as vantagens e desvantagens, tais como 
custo, eficiência, distância, volume transportado, etc.; 
d) comparação e escolha da melhor alternativa, sendo que, neste caso, devemos 
“otimizar alternativas”, ou seja, minimizar custos ou maximizar lucros. 
 
As principais características de um estudo econômico são: 
a) avaliar quantitativamente vantagens e desvantagens; 
b) adotar unidades coerentes (R$, €, U$,…); 
c) determinar o investimento necessário; 
d) estimar custos (manutenção, mão-de-obra, energia elétrica, impostos, refugos, …); 
e) avaliar receitas (vendas, mercado, …); 
f) conhecimento técnico do processo em estudo; 
g) considerar somente problemas futuros (ex.: já investi tanto em um determinado 
projeto que o jeito é investir um pouco mais nele); 
h) inicialmente desprezar fatores imponderáveis, considerado-los somente após a 
análise (prestígio, status, valor promocional, etc.); 
i) avaliar o risco do investimento; 
j) considerar critérios econômicos, ou seja, a rentabilidade do investimento; 
k) considerar critérios financeiros, ou seja, a disponibilidade de recursos. 
 
Pode-se citar como exemplos de aplicação (CASAROTTO; KOPITTKE, 2007): 
 Efetuar o transporte de materiais manualmente ou comprar uma correia 
transportadora; 
 Fazer uma rede de abastecimento de água com tubos grossos ou finos; 
 Substituição de equipamentos obsoletos; 
 Comprar carro a prazo ou à vista. 
 
Para fazer um estudo econômico adequado alguns princípios básicos devem ser 
considerados, sendo os seguintes: 
a) deve haver alternativas de investimentos. É infrutífero calcular se é vantajoso 
comprar um carro à vista se não há condições de conseguir dinheiro para tal; 
b) as alternativas devem ser expressas em dinheiro. Não á possível comparar 
diretamente 200 horas/mensais de mão de obra com 500 kWh de energia. 
Convertendo os dados em termos monetários teremos um denominador comum 
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muito prático. Alguns dados, entretanto, são difíceis de converter em dinheiro. 
Exemplos que ocorrem muito nos casos reais são: boa vontade de um fornecedor, 
boa imagem da empresa ou status. São os chamados intangíveis; 
c) só as diferenças entre as alternativas são relevantes. Numa análise para decidir 
sobre o tipo de motor a comprar não interessa sobre o consumo dos mesmos se 
forem idênticos; 
d) sempre serão considerados os juros sobre o capital empregado. Sempre existem 
oportunidades de empregar dinheiro de maneira que ele renda alguma coisa. Ao se 
aplicar o capital em um projeto devemos ter certeza de ser esta a maneira mais 
rendosa de utilizá-lo; 
e) nos estudos econômicos o passado geralmente não é considerado; interessa-nos o 
presente e o futuro. A afirmação: “não posso vender este carro por menos de $ 
10000 porque gastei isto com ele em oficina” não faz sentido, o que normalmente 
interessa é o valor de mercado do carro. 
 
Os critérios de aprovação de um projeto são os seguintes: 
 critérios financeiros: disponibilidade de recursos; 
 critérios econômicos: rentabilidade do investimento; e 
 critérios imponderáveis: fatores não convertidos em dinheiro. 
 
Neste curso, a atenção especial será sobre os critérios econômicos, ou seja, a principal 
questão que será abordada é quanto o financiamento e a rentabilidade dos investimentos. 
 
1.5 DEFINICAO E MODALIDADES DE JUROS 
 
Para podermos compreender o conceito de capitalização temos de começar pelos seguintes 
conceitos base: 
 Capital (Principal) é a quantidade de moeda (meios líquidos) que originou uma 
transação entre duas entidades ou indivíduos que é aplicada durante um certo 
período de tempo. 
 Tempo é o prazo pelo qual o capital é aplicado; 
 Período de tempo é a unidade de tempo em que o tempo global da aplicação foi 
subdividido, para efeito de cálculo dos juros. Toda transação financeira deve 
necessariamente prever quando (datas de início e do término da operação) e por 
quanto tempo (duração da operação) se dará a cedência (o empréstimo) do capital. 
Este prazo deve estar expresso em determinada unidade de tempo (que pode ser: 
dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc.). 
 Juro será a remuneração recebida (ou paga) em troca do empréstimo de algum 
recurso financeiro. Ao possuir um recurso financeiro que excede as necessidades, 
pode-se, em geral, adquirir alguns bens extraordinários ao dia a dia (tais como 
imóveis, veículos, viagens etc.), pode também aplicá-los (ou mesmo emprestá-los). 
Quando se empresta recursos financeiros, então, abre-se mão, temporariamente, da 
disponibilidade deles e em troca desta disponibilidade recebe-se o juro. Sendo 
assim, podemos dizer que o juro é o aluguer pago (ou recebido) pelo uso de um 
recurso financeiro, e, portanto, será função do prazo deste aluguer, do valor do 
recurso alugado e do risco envolvido na transação. 
 Taxa de juro é a constante de proporcionalidade entre o juro produzido e o capital 
aplicado numa unidade de tempo. 
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 Inflação defini-la como sendo o aumento generalizado de preços na economia. Este 
fenômeno provoca a redução do poder aquisitivo da moeda, que nada mais é do 
que, com a mesma quantidade de moedas (unidades monetárias, dinheiro), passar-se 
a comprar menos produtos e serviços. O processo inverso da inflação, quando há 
uma queda generalizada dos preços na economia, denomina-se deflação. 
 Forma de pagamento de juros determina como os juros serão pagos e sua 
periodicidade. 
 Spread é a taxa de intermediação cobrada pelo intermediário financeiro. 
 
Os tipos de taxa de juros são expressos em período anual ou mensal, com base em ano 
comercial, convencionado em 360 dias (semestral = 180 dias, trimestral= 90 dias, mensal = 
30 dias). Nada impede que sejam contratadas com base no ano civil, 365 dias. Os títulos 
federais, por exemplo, adotavam como período de remuneração o ano civil. Atualmente, 
utilizam com base em ano de 252 dias úteis. Os tipos de taxas de juros se diferenciam de 
seguinte maneira: 
a) Taxas fixas: São aquelas que não se alteram durante todo o prazo da operação 
financeira (tomador – cedente), mesmo que exista mais de um período de 
capitalização. 
b) Pré-fixada: Quando determinada ou definida no ato da contratação. Por exemplo, 
2,69% a.m.; 4,50% por 90 dias. 
c) Pós-fixada: Quando o valor efetivo do juro é calculado somente após o reajuste da 
base decálculo. Normalmente, é utilizado para contratos com previsão de reajuste 
monetário, atrelado a um índice de variação de preços, como, por exemplo, IGP-M, 
INPC, IPCA, IGP-DI. 
d) Taxa Flutuante (ou variáveis): São as que variam a cada período de capitalização, 
ou seja, são fixadas novas taxas para o novo período de capitalização. Para tanto, há 
uma taxa de juros referencial como Libor – London Interbank Offered Rate 
(mercado londrino), Prime (mercado americano), Anbid (mercado brasileiro), etc. 
Por ser uma espécie de indexação (que engloba uma taxa de inflação e uma taxa de 
juros) esse modelo de taxa de juros proporciona maior segurança ao investidor. 
 
1.6 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 
Os juros são a remuneração do capital. Representam o dinheiro pago pelo uso de dinheiro 
emprestado ou o ganho de dinheiro gerado pelo capital empregado num investimento. A 
especificação dos juros é feita pela taxa de juros, definida como a razão entre os juros que 
serão cobrados no fim do período e o capital inicialmente empregado (HESS ET AL., 
1984). O intervalo de tempo no qual os juros são calculados é o seu período de 
capitalização. A taxa deve sempre especificar este período. 
 
Exemplo 1: Seja uma quantia de R$ 1.000,00 que rendeu R$ 120,00 de juros após um ano. 
A taxa de juros foi de R$ 120,00 / R$ 1.000,00 = 0,12 ou 12% a.a. (ao ano). 
 
Define-se montante (F) como sendo o principal (P) mais os juros (J) devidos: 
 
 F = P + J (1) 
 
Exemplo 2: Para o Exemplo 1, F = R$ 1.000,00 + R$ 120,00 = R$ 1.120,00 
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Existem dois regimes de capitalização para os juros, denominados de juros simples e juros 
compostos (EHRLICH; MORARES, 2009). 
 
 Juros simples: apenas o principal rende juros. 
 J = i P n (2) 
 F = P (1 + i n) (3) 
onde: J – juros 
 i – taxa de juros 
 P – principal 
 n – número de períodos de capitalização 
 F – montante 
 
 Juros compostos: a cada período de capitalização, os juros são incorporados ao 
capital e passam a também render juros. 
 J = P [(1 + i)n – 1] (4) 
 F = P (1 + i)n (5) 
onde : J – juros 
 i – taxa de juros 
 P – principal 
 n – número de períodos de capitalização 
 F – montante 
 
A Equação 5 permite calcular o montante F que se obtém a partir de um investimento P 
aplicado à taxa i, após n períodos. Esta é uma das mais importantes equações da 
Matemárica Financeira. 
 
Resolução em planilha eletrônica: 
 
 
 
Fórmulas da planilha: 
C7 = C2*(1+C3*C4) 
C10 = C2*(1+C3)^C4 
 
 
Exemplo 3: Seja R$ 1.000,00 aplicados a 15% a.a., durante 5 anos. Calcular o montante 
após cada período de capitalização, a o total a receber no final do 5º ano, empregando a 
fórmula. 
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Solução: 
 
Período 
Montante (F) – [R$] 
Juros simples Juros compostos 
0 1.000,00 1.000,00 
1 1.000 + 0,15 x 1.000 = 1.150,00 1.000 + 0,15 x 1.000 = 1.150,00 
2 1.150 + 0,15 x 1.000 = 1.300,00 1.150 + 0,15 x 1.150 = 1.322,50 
3 1.300 + 0,15 x 1.000 = 1.450,00 1.322,50 + 0,15 x 1.322,50 = 1.520,88 
4 1.450 + 0,15 x 1.000 = 1.600,00 1.520,88 + 0,15 x 1.520,88 = 1.749,01 
5 1.600 + 0,15 x 1.000 = 1.750,00 1.749,01 + 0,15 x 1.749,01 = 2.011,36 
Fórmula F = P (1 + i n) F = P (1 + i)
n
 
 1.000 x (1 + 0,15 x 5) = 1.750,00 1.000 x (1 + 0,15)
5
 = 2.011,36 
 
Na prática, em estudos econômicos são utilizados quase sempre juros compostos. Neste 
texto, daqui para frente, sempre será considerada a hipótese dos juros compostos, salvo 
quando mencionado o contrário. 
No Exemplo 3, R$1.000,00 hoje são equivalentes a R$ 2.011,36 daqui a cinco anos, à taxa 
de 5% a.a. (juros compostos). Assim, a taxa de juros e o número de períodos estabelecem 
um fator de conversão para tornar equivalentes duas quantias de dinheiro, considerado em 
diferentes pontos no tempo. 
 
Exemplo 4: Qual é o fator de conversão para tornar equivalente uma quantia hoje numa 
quantia daqui a cinco anos, considerando juros de 15% ao ano? Considere as quantias 
fornecidas e calculadas no Exemplo 3. 
Solução: R$ 2.011,36 / R$ 1.000,00 = 2,01136 
 
Este fator de conversão pode ser aplicado a qualquer quantia presente para calcular a 
equivalência no futuro, sob as mesmas condições para i e n. 
 
Exemplo 5: Qual é a quantia equivalentes a um valor de R$ 5.370,00 hoje, considerando 
juros de 15% ao ano, durante 5 anos? 
Solução: F = 5.370,00 x 2,01136 = R$ 10.801,00 
 
1.7 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
 
Para elaborar o fluxo de caixa deve-se estimar o momento no tempo em que se darão os 
desembolsos e as receitas previstas para o empreendimento. Necessita-se, portanto, de 
orçamentos para o custo de construção e do respectivo cronograma, da planilha de vendas e 
do respectivo plano de vendas, bem como da estimativa de desembolsos diversos 
associados ao empreendimento. 
Os principais elementos a considerar no fluxo de caixa de um empreendimento imobiliário 
são os seguintes: 
1. Custo do terreno: corresponde ao valor do terreno. A aquisição do terreno pode 
dar-se por desembolso de dinheiro, por troca de área construída, ou por uma 
combinação destas duas modalidades. 
2. Custo da legalização do terreno: corresponde às despesas com impostos de 
transmissão, escritura e registro do imóvel. 
3. Custo dos projetos: refere-se ao custo de elaboração de todos os projetos 
necessários ao empreendimento. 
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4. Custo de construção: corresponde aos custos diretos de construção, conforme 
cronograma previsto para a execução da obra. 
5. Despesas administrativas: inclui todos os custos administrativos necessários para 
a execução do empreendimento. 
6. Despesas com seguros: correspondem aos prêmios das apólices de seguros 
(responsabilidade civil do construtor, danos físicos, garantia de término da obra, 
etc.) 
7. Despesas de vendas: inclui todos os custos referentes à publicidade do 
empreendimento. Os maiores custos incorrem no momento de seu lançamento e nos 
meses seguintes. 
8. Corretagem: é a comissão sobre as vendas, devida ao corretor. É paga à vista, no 
momento da venda. 
9. Receita de vendas: segue o plano de vendas e é função da estratégia do 
incorporador. 
10. Financiamentos: no caso de empreendimentos financiados, devem-se considerar 
também as receitas e despesas destes financiamentos (juros e amortizações, 
comissões diversas, IOF, etc.). 
11. Receita financeira: Sempre que houver sobra de caixa, este valor pode ser 
aplicado, proporcionando uma receita. 
12. Impostos e taxas diversas: taxas para habite-se e averbação, imposto de renda, 
etc., de acordo com a legislação fiscal em vigor. 
 
Outras despesas ainda podem ser consideradas, dependendo de sua importância em termos 
de valor. Estas despesas, que não foram detalhadas no projeto, podem ser consideradas 
numa conta genérica de despesas diversas. Deve-se lembrar também que existe sempre 
uma incerteza associada às estimativas feitas, tanto em valor quanto ao momento de sua 
ocorrência. Assim, não será de grande valia esmiuçar excessivamente o fluxo de caixa. Em 
algumas situações, pode ser interessante considerar na análise um valor de contingência, 
que leva em conta estas incertezas (quanto maior a incerteza, maior a contingência). 
 
Engenharia Econômica Prof. Dr. Eng. Dipl. Wirt. Ing. Andreas Dittmar Weise 17 
ANDREAS.WEISE@UFSM.BR2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
 
2.1 DADO “P” ACHAR “F” 
 
Esta relação permite determinar o valor futuro F (montante) equivalente a um valor 
presente P (principal) e vice-versa, considerando uma aplicação à taxa de juros i durante 
um período n (Figura 3). 
 
 
Figura 3: Dado P determinar F, e vice-versa 
 
 F = P (1 + i)n (6) 
 
O termo entre parênteses na Equação 2.1 representa um fator de conversão, denominado de 
“achar F dado P”, e tem a seguinte notação e significado: 
 
 (F/P; i; n) = (1 + i)n (7) 
 
A notação aqui adotada é a notação internacional. O exemplo do que já foi comentado 
sobre a simbologia, também não existe uniformização de notação para os fatores de 
conversão, na bibliografia existente. 
Estes fator, e os que serão apresentados a seguir, podem sr facilmente tabelados, em função 
de i e n. O uso destas tabelas apresenta utilidade quando se dispõe de apenas uma 
calculadora não financeira para resolver problemas de matemática financeira. Embora não 
faremos apelo a este tipo de tabela neste texto, indicaremos a resolução de problemas 
através destes fatores, por serem de mais fácil memorização do que as fórmulas 
respectivas. Além disto, interessa destacar o raciocínio aplicado na resolução dos 
problemas propostos, mais do que “fazer contas”. Calculadoras financeiras e planilhas 
eletrônicas dispõem de rotinas para fazer os cálculos respectivos. Caso não se disponha 
destes instrumentos, deve-se calcular o valor dos fatores usando as respectivas fórmulas ou 
consultando as já referidas tabelas. 
 
A Equação 5 pode então ser reescrita como: 
 
 F = P (F/P; i; n) (8) 
 
Exemplo 6: Uma construtora contraiu um empréstimo de R$ 30.000,00 para ser devolvido 
em 5 meses. Qual o montante a ser devolvido, se a taxa de juros deste empréstimo é de 
4,5% a.m.? Solução: 
 
0 
n 
0 
n 
P 
F 
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 F = P (F/P; i; n) = P (1 + i)n 
 F = P (F/P; 4,5%; 5) = 30.000 (1 + 0,045)5 
 F = R$ 37.385,46 
 
2.2 DADO “F” ACHAR “P” 
 
Da Equação 6 tira-se que: 
 
 
ni) (1
F
 P


 (9) 
Fazendo (P/F; i; n) = 
ni) (1
1
 

 (fator “achar P dado F”) (10) 
tem-se que P = F (P/F; i; n) (11) 
 
 
Exemplo 7: Uma empreiteira precisa adquirir escoras metálicas no valor de R$ 8.000,00, 
que serão necessárias daqui a 6 meses. Quanto ela deve investir hoje em papéis que rendem 
2,2% a.m., para ter este dinheiro disponível quando necessário? 
Solução: 
 
 
 
 P = F (P/F; i; n) =
ni) (1
F
 

 
 P = 8.000 (P/F; 2,2%; 6) =
6)022,0 (1
8.000
 

 
 P = R$ 7.020,77 
 
2.3 DADO “A” ACHAR “F” 
 
Em muitas situações práticas, onde se tem uma série uniforme de pagamentos, exige-se que 
o primeiro pagamento da série seja feito no momento de fechamento do negócio, servindo 
como entrada. Tem-se então uma série uniforme antecipada, como mostrado na Figura 4. 
Observa-se nesta figura que a série antecipada A' inicia no período 0 (zero) e termina no 
período (n-1). Uma outra situação prática é aquela na qual se faz depósitos regulares num 
P 
0 
6 
8.000 
F 
0 
5 
30.000 
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fundo que rende juros i, iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1), para retirar 
um valor F na data n. Também nesta situação tem-se uma série uniforme antecipada. 
 
 
Figura 4: Série uniforme antecipada 
 
A relação entre uma série uniforme A e uma série uniforme antecipada A' é a seguinte: 
 
 A' = 
)1( i
A

 (12) 
ou A' = A (P/F; i; 1) (13) 
e A = A' (1+i) (14) 
ou A = A' (F/P; i; 1) (15) 
 
 
Como F = A (F/A; i, n) ,aplicando a Equação 11 tem-se: 
 
 F = A' (F/P; i; 1) (F/A; i, n) (16) 
 
Substituindo os fatores pelas suas expressões (Equação 7 e Equação 21, respectivamente), 
chega-se a: 
 
 F = A' 
 
i) (1 1] - i) [(1 n
i

 (17) 
e A' = F 
 i) (1 1] - i) [(1
i 
n 
 (18) 
ou A' = F (A/F; i; n) (P/F, i; 1) (19) 
 
 
Exemplo 8: Num financiamento de compra de apartamento, uma parcela de R$ 6.000,00, 
referente à entrega de chaves, vence daqui a 5 meses. O comprador propõe parcelar esta 
quantia em 5 parcelas iguais, iniciando hoje. Se a TMA do vendedor é de 2,5% a.m., de 
quanto deve ser a prestação exigida do comprador? 
 
 
0 (n-1) n 
P 
A' 
0 (n-1) 
n 
F 
A' 
0 4 
5 
6.000 
A' 
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Solução 1: 
 A' = F 
 i) (1 1] - i) [(1
i 
n 
 
 A' = 6.000 
 0,025) (1 1] - 0,025) [(1
0,025 
5 
 
 A' = 6.000 x 0,1856066 
 A' = R$ 1.113,64 
 
Solução 2: 
 
 A' = F (A/F; i; n) (P/F, i; 1) 
 A' = 6.000 (A/F; 2,5%; 5) (P/F, 2,5%; 1) 
 A' = F x 
1 - i) (1 n
i
 x
ni) (1
1
 

 = 6.000 x 
1 - 0,025) (1
 025,0
5
 x 
10,025) (1
1
 

 
 A' = 6.000 x 0,1902468 x 0,9756097 = R$ 1.113,64 
 
 
Exemplo 9: Se um investidor aplicar R$ 1.000,00 por mês, durante 2 anos numa aplicação 
que lhe renderá 12% a.a., capitalizados mensalmente, qual a quantia que ele terá disponível 
em 2 anos? 
 
 
 
Solução: 
 i = 12% a.a./12meses = 1% a.m. 
 F = A (F/A; i; n) = A 
i
1 - i) (1 n
 
 F = 1.000 (F/A; 1%; 24) 
 F = 1.000 
01,0
1 - 0,01) (1 24
 
 F = R$ 26.973,47 
 
2.4 DADO “F” ACHAR “A” 
 
Esta relação permite determinar o valor futuro F equivalente a uma série uniforme A e 
vice-versa, considerando uma aplicação à taxa de juros i durante um período n (Figura 5). 
 
F 
1.000 
0 
24 1 
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Figura 5: Dado A determinar F, e vice-versa 
 
 F = A 
i
1 - i) (1 n
 (20) 
Fazendo (F/A; i; n) = 
i
1 - i) (1 n
 (fator “achar F dado A”) (21) 
tem-se que F = A (F/A; i; n) (22) 
 
Da Equação 20 tem-se que: 
 
A = F 
1 - i) (1 n
i
 (23) 
Fazendo (A/F; i; n) = 
1 - i) (1 n
i
 (fator “achar A dado F”) (24) 
tem-se que A = F (A/F; i; n) (25) 
 
 
Exemplo 10: Uma construtora necessitará comprar um carro novo daqui a um ano. Nesta 
ocasião, dará um carro usado como parte do pagamento, mas mesmo assim estima que 
precisará desembolsar R$ 15.000,00 para efetuar o negócio. Quanto ela deverá aplicar por 
mês num fundo de investimentos que lhe renderá 1,8% a.m. neste período, para ter 
disponível esta quantia? 
 
 
 
Solução: 
 
 A = F (A/F; i; n) = F 
1 - i) (1 n
i
 
 A = F (A/F; 1,8%; 12) 
0 n 0 
n 
F 
A 
1 
A 
15.000 
0 
12 1 
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 A = 15.000 
1 - 0,018) (1
018,0
12
 
 A = R$ 1.131,03 
 
2.5 DADO “A” ACHAR “P” 
 
Em muitas situações práticas, onde se tem uma série uniforme de pagamentos, exige-se que 
o primeiro pagamento da série seja feito no momento de fechamento do negócio, servindo 
como entrada. Tem-se então uma série uniforme antecipada, como mostrado na Figura 6. 
Observa-se nesta figuraque a série antecipada A' inicia no período 0 (zero) e termina no 
período (n-1). Uma outra situação prática é aquela na qual se faz depósitos regulares num 
fundo que rende juros i, iniciando na data 0 (zero) e terminando na data (n-1), para retirar 
um valor F na data n. Também nesta situação tem-se uma série uniforme antecipada. 
 
 
Figura 6: Série uniforme antecipada 
 
A relação entre uma série uniforme A e uma série uniforme antecipada A' é a seguinte: 
 
 A' = 
)1( i
A

 (26) 
ou A' = A (P/F; i; 1) (27) 
e A = A' (1+i) (28) 
ou A = A' (F/P; i; 1) (29) 
 
Como P = A (P/A; i, n) ,aplicando a Equação 28 tem-se: 
 
 P = A' (F/P; i; 1) (P/A; i, n) (30) 
 
Substituindo os fatores pelas suas expressões (Equação 10 e Equação 38, respectivamente), 
chega-se a: 
 
 P = A' 
1-n
n
i) (1 
1 - i) (1


i
 (31) 
e A' = P 
1 - i) (1
i) (1 
n
1-n

i
 (32) 
ou A' = P (A/P; i; n) (P/F, i; 1) (33) 
 
 
0 (n-1) n 
P 
A' 
0 (n-1) 
n 
F 
A' 
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Exemplo 11: A poupança de um apartamento é de R$ 15.000,00. Um comprador propõe 
parcelar esta poupança em 6 vezes, iniciando os pagamentos hoje. Se a TMA da empresa 
vendedora é de 2% a.m., de quanto deve ser a prestação exigida? 
 
 
 
Solução 1: 
 
 A' = P 
1 - i) (1
i) (1 
n
1-n

i
 
 A' = 15.000 
1 - 0,02) (1
0,02) (1 02,0
6
1-6


 
 A' = 15.000 x 0,1750253 
 A' = R$ 2.625,38 
 
Solução 2: 
 
 A' = P (A/P; i; n) (P/F, i; 1) 
 A' = 15.000 (A/P; 2%; 6) (P/F, 2%; 1) 
 A' = P x 
1 - i) (1
i) (1 
n
n

i
 x
ni) (1
1
 

 = 15.000 x 
1 - 0,02) (1
0,02) (1 02,0
6
6


 x 
10,02) (1
1
 

 
 A' = 15.000 x 0,1785258 x 0,9803921 = R$ 2.625,38 
 
2.6 DADO “P” ACHAR “A” 
 
Esta relação permite determinar uma série uniforme A, que é equivalente a um valor 
presente P e vice-versa, considerando uma aplicação à taxa de juros i durante um período n 
(Figura 7). 
 
 
Figura 7: Dado P determinar A, e vice-versa 
 
0 5 6 
15.000 
A' 
0 
n 
0 
n 
P 
A 
1 
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 A = P 
1 - i) (1
i) (1 
n
n

i
 (34) 
Fazendo (A/P; i; n) = 
1 - i) (1
i) (1 
n
n

i
 (fator “achar A dado P”) (35) 
tem-se que A = P (A/P; i; n) (36) 
 
Da Equação 34 tem-se que: 
 P = A 
n
n
i) (1 
1 - i) (1


i
 (37) 
Fazendo (P/A; i; n) = 
n
n
i) (1 
1 - i) (1


i
 (fator “achar P dado A”) (38) 
tem-se que P = A (P/A; i; n) (39) 
 
 
Exemplo 12: As condições de financiamento de um apartamento exigem como poupança a 
quantia de R$ 20.000,00. Um comprador está interessado no negócio, mas precisa parcelar 
esta poupança em 5 vezes, iniciando os pagamentos em 30 dias. Se a TMA da empresa 
vendedora é de 2% a.m., de quanto deve ser a prestação exigida? 
Solução: 
 
 
 
 A = P (P/A; i; n) = P 
n
n
i) (1 
1 - i) (1


i
 
 A = 20.000 (A/P; 2%; 5) 
 A = 20.000 
1 - 0,02) (1
0,02) (1 02,0
5
5


 
 A = R$ 4.243,17 
 
 
Exemplo 13: A poupança de um apartamento é de uma entrada mais 12 prestações mensais 
fixas de R$ 1.200,00, com vencimentos iniciando em 30 dias. Um potencial comprador 
propõe pagar a entrada solicitada mais R$ 12.000,00 hoje, para liquidar a parte parcelada 
da poupança. Se a TMA do vendedor é de 2,5% a.m., ele deve aceitar este negócio? 
Solução: 
 
A 0 
5 
20.000 
1 
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P = A (P/A; i; n)= A 
n
n
i) (1 
1 - i) (1


i
 
P = 1.200 (P/A; 2,5%; 12) 
P = 1.200 
12
12
0,025) (1 025,0
1 - 0,025) (1


 
 P = R$ 12.309,32 
 
Como a proposta do comprador é inferior ao valor equivalente das parcelas vincendas, o 
vendedor não deve aceitar a proposta. 
 
2.7 DADO “G” ACHAR “A” 
 
Esta relação permite determinar uma série uniforme A equivalente a uma série gradiente G 
e vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um período n (Figura 8). 
 
 
Figura 8: Dado G determinar A, e vice-versa 
 
 A = G 
] 
1 - i) (1
i
 x 
i
n
 - 
i
1
 [
n
 (40) 
Fazendo (A/G; i; n) = 
] 
1 - i) (1
i
 x 
i
n
 - 
i
1
 [
n
 (fator “achar A dado G”) (41) 
tem-se que A = G (A/G; i; n) (42) 
 
 
Exemplo 14: Considere os mesmos dados do Exemplo 15 e calcule a série uniforme 
equivalente. 
Solução: 
 
A = 2.000,00 + 200 (A/G; 10%, 6) 
 A = 2.000,00 + 200 
] 
1 - 0,10) (1
0,10
 x 
0,10
6
 - 
0,10
1
 [
6
 
0 n 
P 
2 0 n 
G 
1 
(n-1)G 
1.200 0 
12 
P 
1 
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 A = 2.000,00 + 200 x 2,2235572 = 2.000,00 + 444,71 
 A = R$ 2.444,71 
 
2.8 DADO “G” ACHAR “P” 
 
Esta relação permite determinar o valor presente P equivalente a uma série gradiente G e 
vice-versa, considerando uma taxa de juros i durante um período n (Figura 9). 
 
 
Figura 9: Dado G determinar P, e vice-versa 
 
 P = G 
} 
i) (1
1
 ] 
i
n
 - 
1 - i) (1
[ {
n2
n


i
 (43) 
Fazendo (P/G; i; n) = 
} 
i) (1
1
 ] 
i
n
 - 
1 - i) (1
[ {
n2
n


i
 (fator “achar P dado G”) (44) 
tem-se que P = G (P/G; i; n) (45) 
 
 
Exemplo 15: Um determinado veículo tem um custo anual de manutenção de R$ 2.000,00. 
Estima-se que, a partir do 2º ano de uso, devido ao crescente desgaste, este custo aumente 
em R$ 200,00 ao ano. Considerando que este veículo tem 6 anos de vida útil, calcule o 
valor presente dos custos de manutenção, para uma TMA de 10% a.a. 
 
Solução: 
 
O problema pode ser decomposto em uma série uniforme de R$ 2.000,00 e uma série 
gradiente com G = R$ 200,00. O valor presente será então: 
 
 P = 2.000 (P/A; 10%; 6) + 200 (P/G; 10%, 6) 
 P = 2.000 
6
6
0,10) (1 10,0
1 - 0,10) (1


 + 200 
} 
0,10) (1
1
 ] 
0,10
6
 - 
10,0
1 - )10,0 (1
[ {
62
6


 
0 n 
P 
2 0 n 
G 
1 
(n-1)G 
200 
1.000 
2 0 6 1 
2.000 
200 
1.000 
2 0 6 1 
2 0 6 1 
2.000 
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 P = 2.000 x 4,3552607 + 200 x 9,6841712 = 8.710,52 + 1.936,83 
 P = R$ 10.647,35 
 
2.9 – SÉRIES PERPÉTUAS 
 
Uma série perpétua é aquela na qual os pagamentos (ou recebimentos) não tem um 
horizonte de tempo finito, ou o número de períodos no qual eles ocorrem é muito grande. 
O valor presente de uma série perpétua é: 
 P = 
n
n
i) (1 
1 - i) (1
 lim


 i
A
n
 = A 
i
1
 
 P = 
i
A
 (46) 
e A = i P (47) 
 
 
Exemplo 16: Quanto deve ser depositado numa caderneta de poupança que rende 0,5% 
a.m., para fazer-se retiradas perpétuasde R$ 3.000,00 a cada seis meses? 
 
Solução: i = (1 + 0,005)
6
 – 1 = 0,030378 a.s. 
 P = 
030378,0
000.3
 = R$ 98.755,68 
 
 
Exemplo 17: Qual é o custo, em termos de valor presente, de uma máquina que tem vida 
útil muito longa, cujo valor de aquisição é R$ 10.000,00 e que consome anualmente R$ 
2.000,000 em despesas de operação e manutenção? Considere uma taxa de juros de 15% 
a.a. 
Solução: 
 P = 10.000,00 + 
i
A
 = 10.000,00 + 
15,0
000.2
 = 10.000 + 13.333,33 
 P = R$ 23.333,33 
 
 
Exemplo 18: Quanto pode-se retirar a cada doze meses de um fundo de investimento que 
rende 1% a.m., de forma a que ele sempre permaneça com o mesmo valor do investimento 
inicial, que foi de R$ 50.000,00? 
Solução: 
 i = (1 + 0,01)12 – 1 = 0,126825 a.a. 
 A = i P = 0,126825 x 50.000,00 
 A = R$ 6.341,25 
 Ou seja, a série perpétua corresponde aos rendimentos da aplicação. 
 
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3. TAXAS DE JUROS 
 
3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 
Todas as decisões que envolvem quantias de dinheiro, além da quantia propriamente dita, 
devem também considerar o momento no tempo em que esta quantia será desembolsada ou 
recebida. 
O fluxo de caixa é um diagrama que mostra as quantias de dinheiro (desembolsos e 
recebimentos) ao longo do período considerado na análise. Este diagrama é composto de 
uma reta horizontal, que constitui-se na escala de tempo, e por flechas verticais, que 
representam as entradas e saídas de dinheiro (Figura 10). 
 
 
Figura 10: Fluxo de caixa genérico 
 
Os períodos de tempo são representados em intervalos contíguos, progredindo da esquerda 
para a direita, iniciando no instante 0 (início do primeiro período a ser considerado na 
análise) e terminando no instante n (fim do último período a ser considerado na análise). 
Assim, cada número representa o período de tempo acumulado até aquele ponto. 
Por convenção, as saídas de dinheiro são representadas por flechas para baixo, abaixo da 
linha de tempo, e as entradas de dinheiro são representadas por flechas para cima, acima da 
linha de tempo. As flechas não precisam representar em escala as quantias de dinheiro. 
Por hipótese, os valores ocorrem num único momento em cada período considerado. O 
valor inicial é desembolsado (ou recebido) no instante zero, e os demais recebimentos (ou 
desembolsos) dão-se no fim de cada período em que ocorrem, a menos que indicado de 
outro modo. 
Não existe uniformização de simbologia na bibliografia disponível, variando de autor para 
autor. A simbologia apresentada a seguir é a mais comum, e será adotada neste texto. 
Costuma-se identificar genericamente a quantia inicial pela letra P (valor Presente) ou I 
(Investimento) e as quantias seguintes por Fi, com i = 1, ..., n (valor Futuro). A quantia 
inicial também pode ser representada por F0. 
Quando todos os valores futuros são iguais e consecutivos, eles são comumente 
representados pela letra A (de Anuidade, embora nem sempre os períodos considerados 
tenham esta periodicidade). Estes valores constituem uma série uniforme de pagamentos 
(ou recebimentos), iniciando no período 1 e terminando no período n (Figura 11). 
 
0 1 2 3 4 n 
P (=I =F0) 
F1 
F2 F3 
F4 
Fn 
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Figura 11: Série uniforme de pagamentos 
 
Uma variante da série uniforme é a série uniforme antecipada, que difere daquela apenas 
no fato de que os pagamentos (ou recebimentos) iniciam já no período inicial (data zero) do 
fluxo de caixa, terminando no período n-1, conforme mostrado na Figura 12. 
 
 
Figura 12: Série uniforme antecipada de pagamentos 
 
Uma série de pagamentos (ou recebimentos) que cresce a uma razão constante G em cada 
período, iniciando com o valor G no período 2, e terminando com o valor (n-1)G no 
período n, é denominada de série em gradiente (Figura 13). Observe que esta série não 
apresenta nenhum valor no período 1. 
 
 
Figura 13: Série gradiente de pagamentos 
 
3.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
Uma taxa de juros efetiva é aquela na qual o período referido na taxa coincide com o 
período de capitalização (exemplo: 12% a.a. com capitalização anual). Mas nem sempre o 
período referido na taxa coincide com o período de capitalização (exemplo: 12% a.a. com 
capitalização mensal). Muitas vezes uma taxa de juros é assim enunciada para aparentar 
um rendimento maior, ou aparentar uma cobrança de juros mais baixa. Nesta situação, tem-
se uma taxa de juros nominal. 
Para uma taxa nominal in, capitalizada k vezes por período, a taxa efetiva i é: 
 
0 1 2 3 n 
A 
0 1 2 3 n 
A 
n-1 
0 1 2 3 n 
G 
2G 
(n-1)G 
4 
3G 
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k)
k
i
 (1 i) (1 n
 (48) 
 
1 - )
k
i
 (1 i n k
 (49) 
 
Um outro modo de solucionar o problema consiste em transformar primeiro a taxa nominal 
numa taxa efetiva, considerando o período de capitalização enunciado, e a seguir aplicar a 
Equação 51: 
 
 
k
i
i n
 (50) 
 ieq = (1 + i)k– 1 (51) 
 
Resolução em planilha eletrônica: 
 
 
 
Fórmulas da planilha: 
C5 = (1+C2/C3)^12-1 
C6 = EFETIVA(C2;C3) 
 
 
Exemplo 19: Qual a taxa anual efetiva equivalente a taxa de 30% a.a. com capitalização 
mensal? 
Solução 1: 
 
 
1 - )
k
i
 (1 i n k
  
1 - )
12
0,3
 (1 i 12
 = 0,3449 = 34,49% a.a. 
 
Solução 2: 
 
 
k
i
i n
  
.a.m %5,2
12
%30
i
 
 Ieq = (1 + i)k– 1 = (1 + 0,025)12 – 1 = 0,3449 = 34,49% a.a. 
 
 
Exemplo 20: Qual a taxa mensal efetiva equivalente a taxa de 4% a.m. com capitalização 
anual? 
Solução 1: 
 
 
1 - )
k
i
 (1 i n k
  
1 - )
1/12
0,04
 (1 i 12/1
 =0,0332 = 3,32% a.a. 
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Solução 2: 
 
 
k
i
i n
  
12
1
% 4
i
i = 4% a.m. x 12 meses = 48% a.a. (taxa efetiva) 
 Ieq = (1+ i)k – 1 = (1 + 0,48)1/12 – 1 = 0,0332 = 3,32% a.m. 
 
3.3 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE 
 
Em alguns empréstimos costuma-se cobrar antecipadamente os juros. Ou seja, os juros são 
pagos no momento em que se recebe o dinheiro emprestado, sendo devolvido no final 
apenas o principal emprestado. Nestas situações, a taxa de juros real é maior do que aquela 
enunciada. 
 
 
Exemplo 21: Calcule a taxa efetiva anual e mensal de um empréstimo de R$ 10.000 por 
um ano a uma taxa de 30% a.a., sendo os juros cobrados antecipadamente. 
Solução. Juros: J = R$ 10.000 x 0,3 = R$ 3.000,00 
Dinheiro efetivamente recebido: P = R$ 10.000,00 – R$ 3.000,00 = R$ 7.000,00 
Dinheiro a ser devolvido: F = R$ 10.000,00 
 
 
 
 F = P (1 + i)n 
 10.000 = 7.000 (1 + i) * 1 
 i = (10.000 / 7.000) – 1 
 i = 0,4286 = 42,86% a.a. 
i = (1+ i)1/m – 1 = (1 + 0,4286)1/12 – 1 = 0,0302 = 3,02% a.m. 
 
3.4 TAXAS EQUIVALENTES 
 
A taxa de juros sempre é expressa em termos numéricos e com menção de seu período de 
capitalização. Duas taxas de juros podem ser equivalentes, ou seja, produzirem o mesmo 
montante após um mesmo período de tempo, porém com períodos de capitalização 
diferentes. 
A conversão entre taxas de juros é feita utilizando-se a relação: 
 
 P(1 + ieq) = P(1 + i)k(52) 
 ieq = (1 + i)k– 1 (53) 
1 
0 
7.000 
10.000 
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onde: i
eq
 – taxa de juros equivalente 
 i - taxa de juros a ser convertida 
 k – número de vezes que a taxa i vai ser capitalizada no período 
 
Duas situações podem ocorrer: converter uma taxa de juros com um período de 
capitalização menor em uma taxa com um período de capitalização maior ou converter 
uma taxa de juros com um período de capitalização maior em uma taxa com um período de 
capitalização menor. 
 
 
Exemplo 22: Converter a taxa de juros de 1% a.m. para uma taxa de juros com 
capitalização anual. 
Solução: 
 
ieq = (1 + i)k – 1 = (1 + 0,01)12 – 1 = 12,68% a.a. 
 
 
Exemplo 23: Converter a taxa de juros de 12% a.a. para uma taxa de juros com 
capitalização mensal. 
Solução: 
 
 ieq = (1+ i)k – 1 = (1 + 0,12)1/12 – 1 = 0,9489% a.m. 
 
3.5 TAXA GLOBAL DE JUROS 
 
 
 
 Pcorr. = P(1 + ) (54) 
 F = Pcorr.(1 + i) (55) 
 F = P(1 + )(1 + i) (56) 
 F = P(1 + ig) (57) 
 
Onde ig é a taxa global que considera simultaneamente a inflação e os juros. 
 
 P(1 + ig) = P(1 + )(1 + i) (58) 
 (1 + ig) = (1 + )(1 + i) (59) 
 ig = (1 + )(1 + i) - 1 (60) 
 
 
P 
Pcorr. 
0 1  
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Exemplo 24: Determine o valor atualizado de um investimento de R$ 75.000,00 feito a 12 
meses. Neste tempo, ele foi corrigido pela inflação que ocorreu no período (8%) e foi 
remunerado por uma taxa de juros de 12,0%. 
Solução: 
 
F = P(1 + )(1 + i) 
F = 75.000,00(1 + 0,08)(1+0,12) = 90.720,00 
 
 
Exemplo 25: Um cliente deseja financiar uma compra de R$ 8.500,00 em 6 vezes, sem 
entrada. Qual é o valor de cada prestação que deve ser cobrada dele, se estima-se uma 
inflação de 2,3% a.m. e a TMA da empresa vendedora for de 1,5% a.m.? 
 
 
 
 
  11
1



n
g
g
n
g
i
ii
PA
 
(1 + ig) = (1 + i)(1 + ) 
(1 + ig) = (1 + 0,015)(1 + 0,023) 
ig = 3,83% a.m. 
 
  10383,01
0383,01.0383,0
8500
6
6


A
 
A = 1.612,51 
 
3.6 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 
 
A taxa mínima de atratividade (TMA) é a menor taxa que um investidor aceita como 
rentabilidade para um investimento. É a taxa a partir da qual o investidor considera que 
está tendo ganhos financeiros (Casarotto; Kopitke, 1994). Sua determinação deve 
considerar duas situações: 
1. A TMA deve remunerar adequadamente os capitais (próprios e de terceiros) 
investidos: 
 
Capital do Total
3 Cap Custo x 3 CapQuant Própr Cap CustoPrópr x CapQuant 
Capital de Custo
osos

 (61) 
 
2. A TMA deve expressar a remuneração de um investimento alternativo, de baixo risco, 
para o investidor. 
8.500 
A = ? 
0 
1 6 
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A TMA a ser adotada é a maior das encontradas nas duas situações acima mencionadas. 
Assim sendo, verifica-se que a TMA depende da situação econômica e financeira do 
investidor. Cada investidor, ou empresa, tem sua própria TMA. 
Somente pode-se somar ou comparar quantias de dinheiro que estejam referidas a um 
mesmo período de tempo. Para movimentar quantias de dinheiro no tempo, utiliza-se uma 
taxa de juros denominada de taxa de desconto (normalmente, deve-se comparar valores 
atuais com valores futuros, devendo-se, pois “descontar” estes últimos valores). 
Numa análise de investimento, a taxa de desconto a ser utilizada pelo investidor é a sua 
TMA. Por isso, um investimento pode ser atrativo para um investidor A e não ser atrativo 
para um investidor B, por exemplo. 
 
 
Exemplo 26: Uma empresa está avaliando a possibilidade de diversificar seus negócios. 
Para tal, dispõe de 35% do capital necessário, devendo financiar os 65% restantes, a um 
custo de 12% a.a. (o dinheiro emprestado somente poderá ser aplicado neste projeto). Os 
acionistas exigem uma remuneração de 15% a.a. do capital investido na empresa. Caso a 
empresa desista deste negócio, ela pode aplicar seu dinheiro em papéis do governo, a um 
rendimento de 12,8% a.a. Qual a TMA que a empresa deve adotar na análise deste 
investimento? 
Solução: 
Custo do dinheiro: 
 
%05,13
100%
12% x 65% 15% x 35%
Capital de Custo 


 
 
Remuneração do investimento alternativo: 12,8% a.a. 
 
Logo, para a análise de viabilidade econômica deste empreendimento deve ser adotada uma 
TMA de 13,05% a.a. 
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4. FINANCIAMENTO 
 
4.1 FONTES DE RECURSOS 
 
Para a execução de um projeto de investimento, nem sempre os recursos próprios são 
suficientes, devendo uma parte ser financiada. De qualquer forma, o aporte de capital 
próprio é muito importante, dado que quase sempre as instituições financeiras só 
emprestam dinheiro até certos limites do capital total necessário. 
A decisão de financiar o projeto implica em modificações no custo do capital para a 
empresa. Este custo é uma média ponderada do custo dos recursos próprios e do custo dos 
recursos de terceiros. O retorno de um projeto deve, no mínimo, cobrir estes custos. 
O dinheiro proveniente de empréstimos, ao contrário do capital próprio, não participa no 
risco empresarial associado ao projeto. Por isso, normalmente é remunerado a uma taxa 
mais baixa do que o capital dos acionistas (quotistas). Além disso, os juros são 
considerados como despesas para efeito de tributação, ou seja, diminuem o imposto de 
renda a pagar. A desvantagem dos empréstimos é que eles tem datas de vencimentos 
prefixadas para serem restituídos. Além disto, os direitos dos credores tem preferência 
sobre os direitos dos proprietários da empresa, numa eventual liquidação. 
O capital próprio não tem data de vencimento, salvo nos casos de sociedades constituídas 
por tempo limitado. Por participarem no risco do projeto, os proprietários recebem uma 
remuneração média maior e tem o controle administrativo do empreendimento. 
Para obter crédito junto às instituições financeiras, as empresas precisam atender algums 
requisitos. Entre outras condições, elas devem: 
• aportar uma parcela mínima de recursos próprios; 
• oferecer garantias reais; 
• demonstrar que tem condições de cumprir os compromissos assumidos; e 
• demonstrar que o projeto é rentável. 
 
O endividamento excessivo pode provocar um risco financeiro elevado, que pode 
comprometer a viabilidade do projeto. A capacidade financeira do projeto corresponde à 
capacidade dele gerar receitas que cubram, pelo menos, os custos de produção, as despesas 
financeiras (juros) e gerar recursos para devolver os empréstimos. 
Define-se como risco primário a risco associado à possibilidade de que o fluxo de caixa 
gerado pelo projeto não seja suficiente para pagar os juros e as amortizações das dívidas 
(incluindo as debêntures e os dividendos obrigatórios dos acionistas preferenciais). A 
possibilidade de que os proprietários (possuidores de ações ordinárias ou quotistas) não 
sejam remunerados é defino como risco secundário (Woiler & Mathias, 1985). 
 
4.1.1 Fatores a serem considerados na seleção das fontes de financiamento 
 
Para a análise dos recursos necessários à implementação de um projeto, deve-se prever o 
volume total deinvestimentos e o correspondente cronograma de desembolsos. Com estes 
dados, pode-se fazer a busca e seleção das fontes de recursos necessários à execução do 
projeto. Woiler & Mathias (1985) recomendam analisar os seguintes fatores na seleção de 
financiamentos: 
a) Compatibilidade: os fundos devem ser adequados às aplicações previstas. Deve-se 
considerar que os financiamentos de curto prazo são normalmente mais caros que 
os de longo prazo. Daí a recomendação de que eles sejam utilizados apenas para 
financiar parte do ativo circulante. 
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b) Risco: fontes que participam do risco do negócio exigem uma remuneração maior. 
Para otimizar seu custo de capital, a empresa deve balancear adequadamente a 
participação das diferentes fontes de recursos. 
c) Rendimento: quanto mais elevado for o risco do empreendimento, maior será a 
remuneração exigida do projeto de investimento. 
d) Controle: um endividamento excessivo levar à perda do controle da empresa – os 
credores podem querer interferir na sua administração, de modo a garantir a 
restituição dos empréstimos. 
e) Flexibilidade: um endividamento elevado pode dificultar a concessão de novos 
empréstimos à empresa, mesmo que existam recursos a custos baixos. Isto dificulta 
a flexibilidade da empresa de alterar a composição dos fundos que a financiam. 
f) Época: a disponibilidade de recursos e os seus custos dependem da liquidez 
existente na economia. Assim, em termos de obtenção de recursos, um projeto 
pode ser viável numa época e inviável em outra. 
 
4.1.2 Classificação das fontes de financiamento 
 
As fontes de financiamentos podem ser classificadas (Holanda, 1975; Woiler & Mathias, 
1985): 
a) Quanto ao prazo: 
• curto prazo: empréstimos bancários em conta corrente; crédito mercantil, 
operações de desconto de duplicatas; 
• médio prazo: empréstimos e créditos diversos; 
• longo prazo: empréstimos bancários, debêntures, aporte próprio (lucros retidos, 
ações). 
b) Quanto à origem: 
• fontes internas: reservas (depreciação, exaustão, outras reservas, etc.), lucros 
retidos, outros fundos e provisões; 
• fontes externas: aportes novos de capital próprio (ações), e empréstimos 
(instituições financeiras, fornecedores, debêntures, etc.). 
ou ainda: 
• recursos próprios: lucros retidos, reservas diversas e ações; 
• recursos de terceiros: empréstimos diversos. 
 
4.2 SELEÇÃO DAS FONTES DE FINANCIAMENTO 
 
Evidentemente, procura-se sempre obter recursos nas fontes que representam os menores 
custos de financiamento. 
Na maior parte das vezes, os custos especificados pelas instituições financeiras são 
nominais. Para chegar-se aos custos efetivos, deve-se calcular as taxas efetivas de juros e a 
cobrança de diversas taxas (administrativas, de abertura de crédito, de aval, etc.), 
comissões, além do imposto sobre operações financeiras (IOF). Também as contrapartidas 
exigidas pela instituição financeira, como saldo médio em conta corrente e/ou aplicações, 
seguros, etc., representam um custo adicional. 
O problema da seleção da fonte de financiamento resume-se, pois a selecionar aquela que 
tem o menor custo efetivo dentre as opções disponíveis. O custo efetivo de um empréstimo 
é obtido através do cálculo da taxa de juros real do empreendimento, que corresponde à 
taxa interna de retorno do fluxo de caixa do empréstimo. 
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Além do critério econômico acima mencionado, deve-se também considerar o critério 
financeiro, ou seja, a questão ligada à disponibilidade de caixa da empresa. O sistema de 
amortização, que determina o fluxo de caixa da devolução do empréstimo e do pagamento 
dos juros correspondentes, fornece elementos para este estudo. 
Os principais sistemas de amortização são: 
• sistema francês ou tabela price (TP); 
• sistema de amortização constante (SAC); 
• sistema de amortização misto (SAM); 
• sistema de amortização crescente (SACRE); 
• sistema americano; 
• pagamento único com juros postecipados; 
• pagamento único com juros antecipados; 
• sistema de amortizações variáveis. 
 
4.3 AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS 
 
Muitas vêzes, para viabilizar um empreendimento imobiliário faz-se necessário financiar 
uma parte dos recursos necessários. A devolução do empréstimo dá-se através de 
prestações. A cada período t é paga uma prestação, que é composta de uma parcela de 
amortização e de uma parcela de juros: 
 
 pt = at + jt (62) 
onde: p – prestação 
 a – amortização 
 j – juros 
 
A amortização corresponde à devolução do dinheiro (principal) emprestado. Os juros são 
a remuneração deste dinheiro. Os juros incidem sobre o saldo devedor do período: 
 
 jt = SD(t-1) x i (63) 
onde: j – juros 
 SD – saldo devedor 
 i – taxa de juros 
 
O saldo devedor do t-ésimo período é obtido mediante a subtração da parcela de 
amortização do período, do saldo devedor anterior: 
 
SDt = SD(t-1) – at (64) 
onde: SD – saldo devedor 
 a – amortização 
 
Os juros variam com o saldo devedor; à medida que este vai decrescendo, os juros também 
vão ficando menores. 
Alguns financiamentos incluem um prazo de carência, durante o qual não há devolução 
do principal emprestado. Duas situações podem ocorrer: 
 durante o prazo de carência ocorre o pagamento de juros; e 
 durante o prazo de carência não há necessidade de pagamento de juros, que são 
capitalizados (somados ao saldo devedor, passam a também render juros). 
 
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A seguir serão apresentadas as principais modalidades de amortização de dívidas. 
 
4.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) 
 
O Sistema Francês de amortização também é conhecido como “sistema de prestações 
constantes”. Este sistema de amortização caracteriza-se por ter suas prestações constantes. 
Foi popularizado no crédito direto ao consumidor e pelos financiamentos para aquisição de 
casa (moradia) própria. Atualmente, é utilizado comumente e em alguns financiamentos de 
curto prazo. 
A Tabela Price (TP) é um caso particular do sistema francês, no qual as taxas usadas nos 
contratos são nominais (usualmente são dadas em termos anuais) e as prestações tem 
periodicidade menor do que aquela enunciada na taxa (em geral, usam-se prestações 
mensais). 
Como a prestação é constante, a amortização é variável, crescendo exponencialmente ao 
longo do tempo. O saldo devedor decresce exponencialmente, seguindo o movimento dos 
juros (Figura 14). 
 
 
Figura 14: Evolução da prestação (a) e do saldo devedor (b) no 
 
Sistema Francês de amortização 
O valor da prestação p (que corresponde ao valor A de uma série uniforme, conforme visto 
no capítulo 2) é dado por: 
 
 p = P (A/P; i; n) (65) 
ou p = P 
1 - i) (1
i) (1 
n
n

i
 (66) 
ou ainda: p = P 
n-i) 1(1 
i
 (67) 
onde: p – valor da prestação (constante) 
 P – principal (dívida inicial) 
 i – taxa de juros 
 n – número de períodos para amortização da dívida 
 
A amortização é obtida subtraindo-se da prestação paga o valor correspondente aos juros 
do período: 
 
Período 
Prestação 
 ($) 
juros 
amortização 
1 n 
Saldo Devedor 
 ($) 
1 n 
(a) (b) 
Período 
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