Utilizando a HP12C

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
FINANCEIRA 
 
 
Calculadora 
 
HP 12 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instrutor 
Prof. Jubé 
 
 
 
2 
 
INDICE 
 
1 CALCULADORA HP 12 C .........................................................................................................................................4 
1.1 TESTE DA CALCULADORA ..........................................................................................................................4 
1.2 NOTAÇÃO BRASILEIRA/AMERICANA PARA OS NÚMEROS ....................................................................4 
1.3 AS TECLAS "f" e "g".......................................................................................................................................4 
1.4 AS TECLAS "f REG" e "CLX".........................................................................................................................4 
1.5 CONTROLANDO O NÚMERO DE CASAS DECIMAIS NO VISOR ..............................................................4 
1.6 OPERAÇÕES ELEMENTARES .....................................................................................................................4 
1.7 AS TECLAS: “yx” , “1/x” , “CHS” .................................................................................................................5 
1.8 MEMÓRIAS PARA CÁLCULOS.....................................................................................................................5 
1.9 FUNÇÕES DE CALENDÁRIO........................................................................................................................5 
1.9.1 FORMATO DA DATA..................................................................................................................................5 
1.9.2 CÁLCULO DE UMA DATA FUTURA OU PASSADA .................................................................................6 
1.9.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE DIAS ENTRE DUAS DATAS.......................................................................6 
1.10 PORCENTAGEM............................................................................................................................................6 
1.11 DIFERENÇA PERCENTUAL..........................................................................................................................7 
1.12 PORCENTAGEM DO TOTAL ........................................................................................................................7 
1.13 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA..............................................................................................................7 
1.13.1 UTILIZAÇÃO DA HP 12C ...........................................................................................................................8 
2 JUROS/DESCONTOS SIMPLES..............................................................................................................................9 
2.1 DEFINIÇÃO DE JUROS SIMPLES ................................................................................................................9 
2.2 EXEMPLOS DIÁRIOS DE JUROS SIMPLES ................................................................................................9 
2.3 DEFINIÇÃO DE DESCONTOS SIMPLES......................................................................................................9 
2.3.1 EXEMPLOS DE DESCONTO SIMPLES DE DUPLICATA.........................................................................9 
2.4 TAXA ANTECIPADA e TAXA EFETIVA.......................................................................................................10 
2.4.1 CASE DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ....................................................................................................10 
3 TAXAS DE JUROS..................................................................................................................................................13 
3.1 TIPOS DE TAXAS DE JUROS.....................................................................................................................13 
3.1.1 TAXA NOMINAL .......................................................................................................................................13 
3.1.2 TAXA EFETIVA.........................................................................................................................................13 
3.1.3 TRANSFORMAÇÃO DE TAXA NOMINAL ...............................................................................................13 
3.1.4 TRANSFORMAÇÃO DE TAXA EFETIVA.................................................................................................13 
3.2 SPREAD/GANHO REAL ..............................................................................................................................14 
3.3 TAXA DE EMPRÉSTIMO .............................................................................................................................14 
3.4 TAXA DE /INFLAÇÃO ..................................................................................................................................14 
3.5 ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA DE VALORES ..............................................................................................15 
3.6 TAXA OVER .................................................................................................................................................15 
3.7 TAXA CDI .....................................................................................................................................................16 
4 JUROS/DESCONTOS COMPOSTOS ....................................................................................................................18 
4.1 DEFINIÇÃO DE JUROS COMPOSTOS ......................................................................................................18 
4.1.1 UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA HP 12 C ............................................................................................18 
4.2 EXEMPLO DE JUROS COMPOSTOS UTILIZANDO A CALCULADORA HP 12 C....................................18 
 
3 
4.3 DEFINIÇÃO DE DESCONTO COMPOSTO.................................................................................................18 
4.3.1 UTILIZAÇÃO DA HP 12 C ........................................................................................................................19 
5 RENDAS / FINANCIAMENTOS ..............................................................................................................................20 
5.1 DEFINIÇÃO DE RENDAS ............................................................................................................................20 
5.2 TIPOS DE RENDAS: ....................................................................................................................................20 
5.2.1 POSTECIPADAS (ou Imediatas): .............................................................................................................20 
5.2.2 ANTECIPADAS:........................................................................................................................................20 
5.2.3 DIFERIDAS: (ou com Carëncia) ...............................................................................................................20 
5.2.4 BALÕES: (ou com Parcelas Intemediárias)..............................................................................................20 
5.3 RENDAS POSTECIPADAS ou IMEDIATAS ................................................................................................20 
5.3.1 Fórmulas ...................................................................................................................................................21 
5.3.2 Resolução na Calculadora HP 12C ..........................................................................................................215.3.3 EXERCÍCIOS DE RENDAS POSTECIPADAS COM A HP 12C ..............................................................21 
5.4 RENDAS ANTECIPADAS ............................................................................................................................22 
5.4.1 FÓRMULAS ..............................................................................................................................................22 
5.4.2 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C..........................................................................................22 
5.4.3 EXERCÍCIOS DE RENDAS ANTECIPADAS COM A HP 12C.................................................................23 
5.5 RENDAS DIFERIDAS...................................................................................................................................23 
5.5.1 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C..........................................................................................23 
5.6 RENDAS COM BALÕES ou PARCELAS INTERMEDIÁRIAS.....................................................................24 
5.6.1 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C..........................................................................................24 
5.7 ÍNDICES/COEFICIENTES ...........................................................................................................................26 
5.7.1 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C..........................................................................................27 
5.7.2 EXERCÍCIOS DE COEFICIENTES COM A HP 12C................................................................................27 
5.8 LEASING ......................................................................................................................................................27 
5.8.1 LEASING com V.R.G de 1% no Final.......................................................................................................27 
5.8.2 LEASING com V.R.G Antecipado (Entrada) de 30% ...............................................................................27 
5.8.3 LEASING com V.R.G Diluído de 24% em 24 meses (1% a.m.)...............................................................27 
5.8.4 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C...........................................................................................28 
6 AMORTIZAÇÕES / PAGAMENTOS .......................................................................................................................29 
6.1 DEFINIÇÃO DE AMORTIZAÇÃO.................................................................................................................29 
6.2 PLANOS DE AMORTIZAÇÕES: ..................................................................................................................30 
6.2.1 PAGAMENTO NO FINAL: ........................................................................................................................30 
6.2.2 SISTEMA AMERICANO ou PAGAMENTO PERIÓDICO DE JUROS:.....................................................30 
6.2.3 SISTEMA FRANCÊS/PRICE ou de PRESTAÇÕES IGUAIS/CONSTANTES: ........................................30 
6.2.4 SISTEMA SAC (AMORTIZAÇÕES CONSTANTES):...............................................................................32 
7 FLUXO DE CAIXA...................................................................................................................................................34 
7.1 FLUXO DE CAIXA........................................................................................................................................34 
7.2 TAXA DE ATRATIVIDADE ...........................................................................................................................34 
7.3 VIDA ECONÔMICA ......................................................................................................................................34 
7.4 MÉTODOS....................................................................................................................................................34 
7.4.1 MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL NA HP 12C............................................................34 
7.4.2 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR – IRR NA HP 12C.................................................35 
 
4 
 
 
1 CALCULADORA HP 12 C 
 
Este módulo pretende apresentar, de uma maneira sucinta e objetiva, as principais funções da HP 12C e suas 
aplicações na Matemática Financeira, permitindo que você tenha um rápido aproveitamento da calculadora. 
 
Não pretende de forma alguma, substituir o Manual, cuja leitura é altamente recomendada, e sim complementá-lo. 
 
1.1 TESTE DA CALCULADORA 
 
Este teste indica se a calculadora está em perfeitas condições: 
 
a) desligue a calculadora ON; 
b) mantenha a tecla ON pressionada; 
c) pressione a tecla x; 
d) solte a tecla ON soltando em seguida a tecla x; 
e) depois de algum tempo durante o qual o visor apresenta a palavra RUNNING, o mesmo vai apresentar: 
-8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, e uma série de anunciadores; 
f) se isto aparecer, a calculadora está perfeita. Caso contrário... 
 
 
1.2 NOTAÇÃO BRASILEIRA/AMERICANA PARA OS NÚMEROS 
 
A calculadora normalmente vem com a notação americana para os números, ou seja, PONTO para separar a parte 
decimal e VÍRGULA para separar grupos de 3 dígitos da parte inteira. 
Para transformar para a notação brasileira, ou seja, VÍRGULA para separar a parte decimal e PONTO para dividir a 
parte inteira em grupos de 3 dígitos, proceda assim: 
 
a) desligue a calculadora; 
b) aperte a tecla Ponto ( . ) e a mantenha pressionada; 
c) ligue a calculadora: ON; 
d) solte a tecla Ponto ( . ) 
 
Obs.: Para transformar de uma notação para outra, utilize os 4 procedimentos acima descritos. 
 
Exemplo: digite na calculadora: 123456.78 
Se no visor aparecer 123,456.78 Notação AMERICANA 
Se no visor aparecer 123.456,78 Notação BRASILEIRA 
 
 
1.3 AS TECLAS "f" e "g" 
 
Para ativar a função em AZUL, deve-se apertar antes a tecla "g"; 
A função em BRANCO é ativada apenas apertando a tecla; 
Para ativar a função em AMARELO, é necessário apertar antes a tecla "f". 
 
 
1.4 AS TECLAS "f REG" e "CLX" 
 
Para apagar os dados da memória da calculadora, utilizamos "f REG"; 
Para apagar apenas os dados do VISOR da calculadora, utilizamos "CLX"; 
 
 
1.5 CONTROLANDO O NÚMERO DE CASAS DECIMAIS NO VISOR 
 
O número de casas decimais no visor pode ser controlado apertando a tecla "f" e o número de casas desejado. 
Internamente a HP 12C opera com 10 casas decimais, independente do número de casas que aparece no visor. 
Para arredondar o número para a quantidade de casas que aparece no visor, tecle "f RND". 
 
 
1.6 OPERAÇÕES ELEMENTARES 
 
 
5 
Observe que a HP 12C não tem a tecla = 
Utiliza o sistema RPG (Reverse Polish Notation - Notação Polonesa Inversa). 
Para somar 5 e 3 em uma calculadora comum, teclamos: 5 + 3 = 8. 
Na HP-12C informamos os 2 valores a operar, consecutivamente, e em seguida a operação que se deseja. 
A calculadora efetua a operação e apresenta o resultado. 
Para somar 5 e 3 na HP-12C, teclamos: 5 ENTER 3 + ======> O resultado apresentado é 8 
 
1.7 AS TECLAS: “yx” , “1/x” , “CHS” 
 
Nos cálculos de Matemática Financeira é muito usado: POTENCIAÇÃO e RADICIAÇÃO. 
Estas operações serão realizadas na HP-12C através das teclas yx e 1/x. 
Para efetuar uma POTENCIAÇÃO, elevamos a base ao expoente indicado. 
Utilizamos a tecla yx após a entrada da base e do expoente 
 
Exemplo: 1,65 ========> 1.6 ENTER 5 yx ===========> Resultado 10,49 
 
Para efetuar uma RADICIAÇÃO, utilizamos a propriedade matemática que diz que a RAIZ DE UM NÚMERO É 
IGUAL À SUA EXPONENCIAÇÃO COM O NUMERO INVERSO DO EXPOENTE.Exemplos: 8,41/4 = Raiz Quarta de 8,4 161/2 = Raiz Quadrada de 16 
 
Para invertermos o expoente usamos a tecla 1/x que inverte o número do visor. 
 
Exemplos: 8.4 ENTER 4 1/x yx =============> Resultado 1,70 
 16 ENTER 2 1/x yx =============> Resultado 4,00 
 
Para elevar um número a um Expoente Negativo, utilizamos a tecla CHS (CHANGE) que inverte o sinal do expoente 
 
Exemplo: 2,8-3 ======> 2.8 ENTER 3 CHS yx ==============> Resultado 0,05 
 5,689-1/3 =======> 5,689 ENTER 3 CHS 1/x yx =========> Resultado 0,56 
 
 
1.8 MEMÓRIAS PARA CÁLCULOS 
 
A HP-12C possui: 20 memórias operacionais numeradas de 0 a 9 e de .0 a .9 e 
05 memórias financeiras n, i, PV, PMT, FV. 
 
Números do visor são armazenados nas memórias através da tecla STO (STORE). 
 
Para recuperar números das memórias e trazê-los ao visor, usamos a tecla RCL (RECALL). 
 
Exemplo: 1234 STO 0 CLX RCL 0 1234; 
 
f REG além de apagar as memórias operacionais, apaga também todas as memórias financeiras e a pilha 
operacional. 
 
f FIN apaga exclusivamente as memórias financeiras. 
 
f Σ apaga especialmente as memórias de 1 a 6, usadas para cálculos estatísticos, e também a pilha operacional. 
 
 
1.9 FUNÇÕES DE CALENDÁRIO 
 
As funções de calendário fornecidas pela calculadora HP 12C podem trabalhar com datas entre 15/outubro/1582 até 
25/novembro/4046. 
 
 
1.9.1 FORMATO DA DATA 
 
A HP 12C usa 2 formatos: 
 g M.DY � Mês/Dia/Ano (sistema americano) 08/15/2011 ( dia 15 de agosto de 2011) 
 g D.MY � Dia/Mês/Ano (nosso sistema) 15/08/2011 ( dia 15 de agosto de 2011) 
 
 
6 
Alimentação de data na calculadora: 
O dia e o mês com 2 algarismos e o ano com 4 algarismos. 
 
Ex: 15/08/2011 � g D.MY 15.082011 ENTER (f 6) 
 
1.9.2 CÁLCULO DE UMA DATA FUTURA OU PASSADA 
 
Obtemos uma nova data através da função g DATE: 
 
a) tecle a data base seguida de ENTER 
b) tecle o número de dias para a data futura - caso deseje uma data passada, tecle CHS. 
c) tecle g DATE 
 
No visor aparecerá a nova data, e o dia da semana, no canto direito. 
A convenção para os dias da semana é a seguinte: 
 
 1 - 2a. f. 2 - 3a. f. 3 - 4a. f. 4 - 5a. f. 5 - 6a. f. 6 - sábado 7 - domingo 
 
Para saber o dia da semana referente a uma data, basta somar zero a esta data, usando a função g DATE. 
 
Exemplo 1 - Qual a data de vencimento de uma aplicação financeira para 34 dias, efetuada em 15/08/2011? 
 
 g DMY 15.082011 ENTER 34 g DATE ============> Resposta: 18/09/2011 7 (Dom) 
 
Exemplo 2 – Qual foi à data da aplicação financeira resgata em 15/08/2011 e que foi aplicada por 42 dias? 
 
 g DMY 15.082011 ENTER 42 CHS g DATE ========> Resposta: 04/07/2011 1 (2a.f) 
 
 
1.9.3 CÁLCULO DO NÚMERO DE DIAS ENTRE DUAS DATAS 
 
Obtemos a quantidade de dias entre duas datas através da função g ∆ DYS: 
 
a) tecle a data base seguida de ENTER; 
b) tecle a segunda data; 
c) tecle g ∆ DYS. 
 
Exemplo: Quantos dias há entre 29.08.2011 e 25.12.2011? 
 
 29.082011 ENTER 25.122011 g ∆ DYS ===> Resp.: 118 dias 
 
Esta resposta leva em consideração o número real de dias entre as duas datas (inclusive os anos bissextos). 
 
1.10 PORCENTAGEM 
 
PORCENTAGEM é a parte proporcional calculada sobre uma quantidade de 100 unidades. 
 
CÁLCULO NA HP 12C - Usa-se a tecla % . 
 
1o) Alimenta-se na calculadora o valor base sobre o qual queremos calcular a porcentagem (ENTER); 
2o) Alimenta-se a taxa percentual e tecla-se %; 
3o) O resultado que aparecer no visor é a porcentagem calculada. 
 
Exemplo 01: O salário de um profissional, em maio/2011 era de $ 1.252,00. Em junho/2011 recebeu um reajuste de 
3,38%. Qual o novo salário? 
 
1252 ENTER 3.38 % (Porcentagem) + (Montante) => Resp.: $ 1.294,32 
 
Exemplo 02: Um aparelho de som tem como preço a prazo: $ 415,00. Na compra à vista a loja concede um desconto 
de 2,5 %. Qual o valor à vista? 
 
415 ENTER 2.5 % (Porcentagem) - (Valor com Desconto) => Resp.: $ 404,63 
 
Assim, se quisermos somar ou subtrair a porcentagem ao valor base, usamos + ou − . 
 
 
7 
 
 
 
 
1.11 DIFERENÇA PERCENTUAL 
 
DIFERENÇA PERCENTUAL é a diferença entre 2 valores, expressos na forma percentual. 
 
CÁLCULO NA HP 12C - Utiliza-se à tecla ∆ % 
 
1o) Alimenta-se na calculadora o valor base sobre o qual queremos calcular a diferença percentual (ENTER); 
2o) Alimenta-se o valor que queremos calcular a diferença percentual e tecla-se ∆ %; 
3o) O resultado que aparecer no visor é a diferença percentual entre os 2 valores. 
 
Exemplo 01: O dólar americano era vendido em 23/07/2011, no Brasil, por R$ 1,47 e em 24/07/2011 por R$ 1,50. 
Qual a diferença percentual do dólar, entre as datas? 
 
 1.47 ENTER 1,50 ∆ % => Resp.: 2,04 % 
 
Exemplo 02: Um eletrodoméstico está sendo vendido na loja A, por $ 540,00. O mesmo eletrodoméstico está sendo 
vendido na loja B por 567,00. Qual a diferença percentual entre os preços: 
 
a) Da loja A para a loja B (comparação contra o preço da loja B) 
 
567 ENTER 540 ∆ % => Resp.: ( - ) 4,76 % mais barato que a loja B 
 
b) Da loja B para a loja A (comparação contra o preço da loja A) 
 
540 ENTER 567 ∆ % => Resp.: 5 % mais caro que a loja A 
 
 
1.12 PORCENTAGEM DO TOTAL 
 
PORCENTAGEM DO TOTAL é a porcentagem de uma parte sobre um total. 
 
CÁLCULO NA HP 12C - Utiliza-se à tecla % T 
 
1o) Alimenta-se na calculadora o valor total sobre o qual queremos calcular os percentuais parciais (ENTER); 
2o) Alimenta-se cada valor parcial e tecla-se % T , seguida da tecla CLX que limpa apenas o VISOR; 
3o) O resultado que aparecer no visor é o percentual de cada valor sobre o total. 
 
Exemplo 01: Vendemos para o primeiro cliente, 25.000 unidades de um produto; para o segundo 75.000; e para um 
terceiro, 40.000. Qual a porcentagem de venda a cada um dos clientes? 
 
 25000 ENTER 75000 + 40000 + => 140.000 ENTER 
 
 25000 % T => 17,86 % 
 CLX 75000 % T => 53,57 % 
 CLX 40000 % T => 28,57 % 
 
Exemplo 02: Quanto representa percentualmente 0,2 e 4 em relação à $ 17,5? 
 
 17,5 ENTER 0,2 % T => 1,14 % 
 CLX 4 % T => 22,86 % 
 
 
1.13 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
É um processo matemático para obtermos o valor médio de um grupo de dados, onde são considerados pesos 
específicos para cada dado (grau de importância na série). 
 
Exemplo: Dadas às notas escolares: Matemática 8, Português 10, História 0. E considerando os seguintes pesos: 6, 
3 e 1, respectivamente. Qual a média aritmética do aluno? 
 
 
8 
 (8 x 6) + (10 x 3) + (0 x 1) 78 
 ------------------------------------ = --------- � 7,8 
 6 + 3 + 1 10 
 
 
 
1.13.1 UTILIZAÇÃO DA HP 12C 
 
A Calculadora HP 12C está programada da seguinte forma para este cálculo: 
- Alimentam-se os dados na calculadora através de ENTER e em seguida o respectivo peso utilizando a tecla Σ+Obs: após alimentar o 1o dado, no visor tem que aparecer 1. Caso contrário, f REG para limpar os registros. 
- Calculamos a média aritmética ponderada utilizando: 
 
PRAZO MÉDIO � RCL 6 RCL 4 / 
 
VALOR MÉDIO � RCL 6 RCL 2 / 
 
Exemplo: Calcular o PRAZO MÉDIO e o VALOR MÉDIO das 3 duplicatas abaixo que foram descontadas 
- $ 15.000,00 com vencimento para 28 dias 
- $ 70.000,00 com vencimento para 32 dias 
- $ 38.000,00 com vencimento para 35 dias 
 
Alimentando-se a calculadora uma única vez, obtemos os 2 valores médios: 
15000 ENTER 28 Σ+ � no visor aparece 1 
70000 ENTER 32 Σ+ � no visor aparece 2 
38000 ENTER 35 Σ+ � no visor aparece 3 
 
PRAZO MÉDIO � RCL 6 RCL 4 / � 32,44 dias (Prazo Médio do lote de duplicatas) 
 
VALOR MÉDIO � RCL 6 RCL 2 / � $ 42.000,00 (Valor Médio do lote de duplicatas) 
 
1o. C A S O: 
 TAXAS DO DÓLAR 
 
Em 01/julho/2011 o dólar comercial estava cotado a R$ 1,62; 
Em 16/julho/2011, a R$ 1,66 e 
Em 07/agosto/2011, a R$ 1,70. 
Qual a variação percentual do dólar comercial de 16/julho para 01/julho? 
E qual a variação de 07/agosto para 16/julho? 
 
1,66 ENTER 1,62 ∆ % � Resp.: -2,41% 
1,70 ENTER 1,66 ∆ % � Resp.: -2,35% 
 
2o. C A S O: 
 PREÇOS DE UMA GELADEIRA 
 
Em 13/julho/2011 a LOJA DOS MILAGRES LTDA ofertava uma geladeira por R$ 734,50 à vista. 
Na mesma data, e na mesma cidade, a LOJA DOS FRIOS LTDA oferta a mesma geladeira (marca, modelo, cor, 
tamanho) por R$ 799,99. 
 
Pergunta-se: O preço da geladeira na LOJA DOS MILAGRES, é quantos por cento MAIS BARATO que o preço da 
LOJA DOS FRIOS? 
 
799.99 ENTER 734.50 ∆ % � Resp.: - 8,19 % 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
2 JUROS/DESCONTOS SIMPLES 
 
 
2.1 DEFINIÇÃO DE JUROS SIMPLES 
 
JURO é a remuneração pelo capital empregado. É o pagamento pelo favor de um empréstimo. 
O JURO é SIMPLES quando é produzido unicamente pelo Capital Inicial. 
 
J = Pv x i x n M = C + J � Fv = Pv x ( 1 + i x n) 
 
Sendo: J � Juros C � Capital inicial aplicado 
M � Montante n � Prazo da aplicação do capital inicial 
I � Taxa unitária de juros (taxa ÷ 100) 
 
Observação: Em qualquer uma das duas fórmulas acima, caso necessário calcular outra variável, utiliza-se uma das 
duas fórmulas fazendo-se os cálculos através do processo de resolução de equação do 1º grau com uma única 
variável. 
 
 
2.2 EXEMPLOS DIÁRIOS DE JUROS SIMPLES 
 
a) Determinar os juros para o pagamento com atraso de um boleto de cobrança de valor igual a $ 1.345,00. A loja 
está cobrando os juros do atraso à taxa de 5% ao mês. 
J = Pv x i x n � J = 1345 x 5/100/30 x 1 � J = $ 2,24 
 
Na calculadora HP 12C: 
1345 ENTER 5 % 30 / 1 x (Juro) � $ 2,24 
 
b) Quais os juros pagos por um empréstimo de hot-money por 4 dias, de $ 15.600,00 à taxa mensal de 3,5% de 
juros, sendo os mesmos juros simples? Qual o total para o pagamento do mesmo? 
 J = Pv x i x n � J = 15600 x 3,5/100/30 x 4 � J = $ 72,80 
 
Na calculadora HP 12C: 
15600 ENTER 3.5 % 30 / 4 x (Juro) + (Montante) � $ 72,80 e $ 15.672,80 
 
 
2.3 DEFINIÇÃO DE DESCONTOS SIMPLES 
 
DESCONTO é o abatimento pelo pagamento antecipado de uma dívida. 
Chama-se DESCONTO SIMPLES aquele que é calculado sobre um único valor do título (Nominal ou Atual). 
 
Desconto RACIONAL ou POR DENTRO - quando é calculado sobre o Valor Atual do título. 
Desconto COMERCIAL ou Por Fora ou Bancário - quando o abatimento incide sobre o Valor Nominal do título: 
No Brasil, utiliza-se o Desconto Comercial, por Fora ou Bancário. 
 
D = Vn x id x n Vl =Vn - D � Vl =Vn x ( 1 - id x n) 
 
Sendo: D � Desconto Comercial Vn � Valor Nominal do Título 
id � taxa unitária de descontos Vl � Valor Líquido (Atual, Presente) 
n � Prazo da antecipação do pagamento 
 
 
2.3.1 EXEMPLOS DE DESCONTO SIMPLES DE DUPLICATA 
 
01) Uma duplicata de R$ 1.200,00 foi resgatada 25 dias antes do vencimento. A taxa do desconto foi de 2,84% a.m. 
 � Qual o valor do desconto? 
 � Qual o Valor Líquido a pagar? 
 
 
10 
 D = Vn x id x n 
 
Na calculadora HP 12 C: 
 1200 ENTER 2.84 % 30 / 25 x (Desconto) � R$ 28,40 – (Valor a pagar) � R$ 1.171,60 
 
02) Uma duplicata de R$ 13.500,00 foi descontada numa Agência Bancária, 28 dias antes do seu vencimento, à taxa 
de 2,95% a.m. 
 � Qual o valor do desconto? 
 � Qual o valor do IOF (IOF = 0,0041% a.d.) 
 � Qual o valor líquido da operação? 
 
 D = Vn x id x n 
 
Na calculadora HP 12 C: 
13500 ENTER 2.95 % 30 / 28 x (Desconto) � R$ 371,70 (STO 1) 
13500 ENTER 0.0041 % 28 x (IOF) � R$ 15,50 (STO 2) 
13500 ENTER RCL 1 – RCL 2 – (Valor a pagar)� R$ 13.112,80 
 
2.4 TAXA ANTECIPADA e TAXA EFETIVA 
 
Utilizada quando do Desconto de Duplicatas. 
O BANCO cobra os juros antecipadamente sobre o Valor Nominal da duplicata. 
O CLIENTE/EMPRESA calcula o juro pago sobre o Valor Recebido no desconto. 
 
Exemplo: Desconto de uma duplicata de R$ 100,00. 
O BANCO cobra a taxa de 10% a.m. antecipada sobro e VALOR NOMINAL do título 
� 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 
O CLIENTE/EMPRESA calcula sobre o Valor Líquido � R$ 10,00 de R$ 90,00 = 11,11% a.m. 
 
Forma prática de conversão destas taxas, na Calculadora HP 12C: 
 
Efetiva � Antecipada Antecipada � Efetiva 
1 ENTER 
+ Taxa %  
1 ∆ % 
CHS 
 
Exemplos: 
a) Um desconto de duplicata é realizado com a taxa cobrada pelo banco de 2,50% a.m. antecipada. Qual o custo 
efetivo desta operação para o cliente/empresa? 
 
1 ENTER 2.50 % - 1 ∆ % � 2,56% a.m. custo efetivo p/o cliente 
 
b) Um desconto de duplicata é realizado com a taxa cobrada pelo banco de 2,85% a.m. antecipada. Qual o custo 
efetivo desta operação para o cliente/empresa? 
 
1 ENTER 2.85 % - 1 ∆ % � 2,93% a.m. custo efetivo p/o cliente 
 
 
2.4.1 CASE DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
1o. C A S O: 
BOLETO DE COBRANÇA 
 
Uma boleto de cobrança emitido pela empresa “das meias ltda” no valor de $ 345,23, tem no seu campo 
observações: 
 
“Após o vencimento cobrar R$ 0,54 por dia de atraso, multa de 2%. Receber até o 5o dia do vencimento. Após, 
protestar”. 
Qual a taxa efetiva de juros se o cliente pagar: 
 
 
11 
� 1 dia após o vencimento? VALOR DO TÍTULO: 345,23 
ATRASO: 0,54 
MULTA: 6,90 
 TOTAL PAGO: 352,67 
345.23 ENTER 352.67 ∆ % � 2,16% a.d. 30 x � 64,65% a.m. 
� 5 dias após o vencimento? VALOR DO TÍTULO: 345,23 
ATRASO: 2,70 
MULTA: 6,90 
TOTAL PAGO: 354,83 
 
345.23 ENTER 354.83 ∆ % � 2,78% para 5 dias 5 : 30 x � 16,68% a.m. 
 
2o. C A S O: 
 DESCONTO DE CHEQUES PRÉ 
 
Uma empresa necessita de recursos para suprir o seu fluxo de caixa em 06/ago/2011 fez a seguinte operação com o 
“BANCO DA PRAÇA”: desconto dos seguintes cheques pré-datados: 
 
1) R$ 225,00 para 23 dias; 2) R$ 185,50 para 26 dias; 
3) R$ 111,25 para 30 dias; 4) R$ 89,00 para 34 dias; 
5) R$ 199,99 para 38 dias. 
 
Taxa de Desconto = 2,55% a.m. antecipada 
Tarifas Cobradas: Tarifa de Contrato = R$ 25,00 
Custos da Operação: IOF = 0,0041% a.d. 
 CPMF = 0,38% do Valor Liberado 
 
Qual o custo efetivo (taxa de juros) da operação para o cliente na operação? 
 
Vn = 225 ENTER 185.50 + 111.25 + 89 + 199.99 � 810,74 
 
n (prazo médio): 225,00 ENTER 23 Σ+ (1 no visor da calculadora) 
 185,50 ENTER 26 Σ+ (2 no visor) 
 111,25 ENTER 30 Σ+ (3 no visor) 
 89,00 ENTER 34 Σ+(4 no visor) 
 199,99 ENTER 38 Σ+ (5 no visor) 
 
RCL 6 RCL 4 / � 29,55 dias 
 
D = Vn x i x n = 810,74 x 2,55% / 30 x 29,55 � D = 20,36 
IOF = Vn x i x n = 810,74 x 0,0041% x 29,55 � IOF = 0,98 
CPMF = Vn x i = 810,74 x 0,38 % � CPMF = 3,08 
Contrato � CPMF = 25,00 
 TOTAL = 49,42 
 
810,74 ENTER 49,42 %T � 6,10% no período (29,55 dias) 
6,10% ENTER 29,55: 30 x � 6,19% a.m. 
 
Custo da operação para o cliente = 6,19% ao mês. 
 
3o. C A S O: 
 DESCONTO DE DUPLICATAS 
 
Uma empresa necessita de recursos para suprir o seu fluxo de caixa. Em 25/jul/2011 manteve contato com o gerente 
do BANCO “X” onde consultou uma operação com as seguintes condições: 
 
DUPLICATAS: R$ 1.225,00 com Vencimento em 22/08/2011 
R$ 885,00 com Vencimento em 28/08/2011 
R$ 1.000,00 com Vencimento em 03/09/2011 
R$ 2.890,00 com Vencimento em 06/09/2011 
 
Taxa de Desconto = 2,48% a.m. antecipada 
 
12 
 
Tarifas Cobradas: Tarifa de Contrato = R$ 25,00 
Tarifa por Duplicata = R$ 4,50 
Custos da Operação: IOF = 0,0041% a.d. 
 CPMF = 0,38% do Valor Liberado 
Qual o custo efetivo (taxa de juros) da operação para o cliente na operação? 
 
Vn = 1225 ENTER 885 + 1000 + 2890 � 6.000,00 
 
Prazo das Duplicatas: 25.072011 ENTER 22.082011 g ∆∆∆∆ DYS ���� 28 dias 
25.072011 ENTER 28.082011 g ∆∆∆∆ DYS ���� 34 dias 
25.072011 ENTER 03.092011 g ∆∆∆∆ DYS ���� 40 dias 
25.072011 ENTER 06.092011 g ∆∆∆∆ DYS ���� 43 dias 
 
n (prazo médio): 1225 ENTER 28 Σ+ (1 no visor da calculadora) 
 885 ENTER 34 Σ+ (2 no visor) 
1000 ENTER 40 Σ+ (3 no visor) 
2890 ENTER 43 Σ+ (4 no visor) 
 
 RCL 6 RCL 4 : � 38,11 dias 
 
D = Vn x i x n = 6000 x 2,48% / 30 x 38,11 � D = 189,03 
IOF = Vn x i x n = 6000 x 0,0041% x 38,11 � IOF = 9,38 
CPMF = Vn x i = 6000 x 0,38 % � CPMF = 22,80 
� Contrato = 25,00 
 Tarifa das duplicatas: 4,50 x 4 � = 18,00 
TOTAL = 264,21 
 
6000 ENTER 264.21 %T � 4,40% no período (38,11 dias) 
4,40% ENTER 38,11: 30 x � 3,47% a.m. 
 
Custo da operação para o cliente = 3,47% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
3 TAXAS DE JUROS 
 
3.1 TIPOS DE TAXAS DE JUROS 
 
3.1.1 TAXA NOMINAL 
 
O período da taxa É DIFERENTE do período da capitalização. 
 
EXEMPLO: A Caderneta de Poupança no país. 
A Caderneta de Poupança paga juros de 6% a.a. com capitalização (crédito dos juros) mensal. 
 
Observemos: taxa = 6% a.a. capitalização = mensal, o período da taxa AO ANO do período da capitalização 
MENSAL. 
 
3.1.2 TAXA EFETIVA 
 
O período da taxa É IGUAL do período da capitalização. 
 
EXEMPLO: A Inflação mensal divulgada. 
Por exemplo: 0,56% a.m. com capitalização (medição da inflação) mensal. 
 
Observemos: taxa = 0,56% a.m. capitalização = mensal, o período da taxa AO MÊS do período da capitalização 
MENSAL. 
 
3.1.3 TRANSFORMAÇÃO DE TAXA NOMINAL 
 
� TAXA EFETIVA: ÷ (divide) ou x (multiplica) 
 
Caderneta de Poupança: 6% a.a. ÷ 12 meses (em 1 ano) = 0,5% a.m. 
Logo, a taxa efetiva é: 0,5% a.m. com capitalização mensal. 
 
 
3.1.4 TRANSFORMAÇÃO DE TAXA EFETIVA 
 
� TAXA EFETIVA: Capitaliza ou Descaplitaliza 
 
DESCAPITALIZAÇÃO CAPITALIZAÇÃO 
 
(período MAIOR ���� período MENOR) (período MENOR ���� período MAIOR) 
 
Taxa ENTER 
100 / 
 + 
yx 1/x <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< N >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> yx 
1 - 
100 x 
 
Obs: N � é o número de períodos menores dentro do período maior. 
Exemplo: 
Caderneta de Poupança: 0,5% a.m. � Qual a Taxa Efetiva ao Ano? 
 
CAPITALIZAÇÃO 
 
(período MENOR � período MAIOR) 
 
0,5 ENTER 
100 ÷ 
1 + 
12 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> yx 
1 - 
100 x 
 
Portanto, a Caderneta de Poupança paga efetivamente 6,17% ao ano. 
 
14 
 
Observação: 
 N � é o número de períodos menores dentro do período maior. 
 No exemplo: período maior = ano 
 período menor = meses 
 12 meses dentro do ano � portanto: N = 12 
Caso for de ano para dias � 360 (comercialmente tem 360 dias num ano) 
Caso for de mês para dias � 30 (comercialmente tem 30 dias num mês) 
Caso for de dias para ano � 360 (comercialmente tem 360 dias num ano) 
Caso for de dias para mês � 30 (comercialmente tem 30 dias num mês) 
 
3.2 SPREAD/GANHO REAL 
 
Spread pode ser definido como sendo o Ganho obtido em um repasse/aplicação de dinheiro/capital. 
 
 ( Iemp + 1) Sp � Spread 
 Sp = [[[[ -------------------- - 1 ]]]] x 100 Icap � Taxa Centesimal de Captação 
 ( Icap + 1) Iemp � Taxa Centesimal de Empréstimo 
 
Exemplo: Uma instituição financeira cobra uma taxa efetiva de 8,37% a.m. no seu cheque especial, mas capta o 
recurso a um custo de 3,18% a.m. Qual o spread obtido pela entidade financeira? 
 
 ( 8,37/100 + 1) 1,084 
 Sp = [ ----------------------- - 1] x 100 = [ -------- - 1] x 100 = (1,050 - 1) x 100 ==> 5,03 % a. m. 
 ( 3,18/100 + 1) 1,032 
 
Utilizando a Calculadora HP 12C: 
 
8.37 ENTER 100 ÷ 1 + 
3.18 ENTER 100 ÷ 1 + ÷ 1 - 100 x � 5,03 % 
 
 
3.3 TAXA DE EMPRÉSTIMO 
 
Taxa de Empréstimo pode ser definida como sendo a Taxa de Juros paga pelo dinheiro emprestado. 
 
Emp � Taxa de Empréstimo 
 Emp = {{{{ [ ( Icap + 1 ) . ( Isp + 1 ) ] - 1 }}}} x 100 Isp � Taxa Centesimal do Spread 
Icap � Taxa Centesimal da Captação 
 
Exemplo: Um banco que tem um custo de captação de 3,45 % a.m., vai emprestar um capital a uma empresa, 
por mês, e deseja ganhar um spread de 2,5%. Qual a taxa de empréstimo que será cobrada da empresa cliente? 
 
 Emp = {{{{[(3,45/100+1) x (2,5/100+1) ] -1}}}} x 100 = {{{{[ (1,035 ) x (1,025)] - 1}}}} x 100 = (1,06 -1) x 100 
 
Utilizando a HP 12C: 
3.45 ENTER 100 ÷ 1 + 
2.5 ENTER 100 ÷ 1 + x 1 - 100 x � 6,036 % 
 
 
3.4 TAXA DE /INFLAÇÃO 
 
Inflação pode ser definida como sendo a perda do poder aquisitivo. 
 
O cálculo da taxa de inflação acumulada é feito através da fórmula: 
 
Infl = {{{{ [ (Infl1 + 1 ) x (Infl2 + 1) x (Infl3 + 1 ) x ... x (Infln + 1 ) ] - 1 }}}} x 100 
 
Infl1 � Inflação no 1o. período considerado, na forma centesimal 
Infl2 � Inflação no 2o. período considerado, na forma centesimal 
Infl3 � Inflação no 3o. período considerado, na forma centesimal, 
Infln � Inflação no último período considerado, na forma centesimal 
 
 
 
15 
 
Exemplo: No ano de 2011, no Brasil, a inflação mensal, medida pelo INPC/IBGE, apresentou os índices: 
 
 Jan � 0,77%; Fev � 0,49%; Mar � 0,48%; Abr � 0,84%; Mai � 0,57% e Jun � 0,60%. 
 
Qual a inflação acumulada no período de janeiro a junho de 2011? 
 
Infl = {{{{[(1+0,77/100)x(1+0,49/100)x(1+0,48/100)x(1+0,84/100)x(1+0,57/100)x(1+0,60/100)] - 1·x100 
 
Utilizando a HP 12C: 
 
0.77 ENTER 100 ÷ 1 + 
0.49 ENTER 100 ÷ 1 + x 
0.48 ENTER 100 ÷ 1 + x 
0.84 ENTER 100 ÷ 1 + x 
0.57 ENTER 100 ÷ 1 + x 
0.60 ENTER 100 ÷ 1 + x 1 - 100 x � 3,81 % no período 
 
 
3.5 ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA DE VALORES 
 
É a atualização pela correção monetária de um determinado valor depois de um tempo estabelecido. 
 
O cálculo da atualização monetária é feito através da fórmula: 
 
 Vlratualizado= Vlrinicial x (Corr1 + 1) x (Corr2 + 1) x (Corr3 + 1) x ... x (Corrn + 1) 
 
Vlratualizado � Valor final atualizado 
Vlrinicial � Valor inicial para ser atualizado, corrigido monetariamente. 
Corr1 � Correção monetária no 1o período considerado, na forma centesimal. 
Corr2 � Correção monetária no 2o período considerado, na forma centesimal. 
Corr3 � Correção monetária no 3o período considerado, na forma centesimal. 
Corrn � Correção monetária no último período considerado, na forma centesimal. 
 
 
Exemplo 01: Uma dívida de $ 2.450,00 em 01/04/2001 foi paga em 01/08/2001 atualizada pela inflação mensal, 
medida pela TR, que foi de: Abr/01 = 0,15%; Mai = 0,18%; Jun = 0,15% e Jul = 0,24. Qual o Valor Atualizado a ser 
pago em 01/05/2001? 
 
 Vlratualizado = 2450 x (0,15/100 + 1) x (0,18/100 + 1) x (0,15/100 + 1) x (0,24100 + 1) 
 
Utilizando a HP 12C: 
 
2450 ENTER 
0.15 ENTER 100 ÷ 1 + x � 2.469,85 � (Valor atualizado após a 1a correção monetária) 
0.18 ENTER 100 ÷ 1 + x � 2.480,96 � (Valor atualizado após a 2a correção monetária) 
0.15 ENTER 100 ÷ 1 + x � 2.497,83 � (Valor atualizado após a 3a correção monetária) 
0.24 ENTER 100 ÷ 1 + x � 2.512,82 � (Valor atualizado após a última correção monetária) 
 Valor atualizado = 2.467,69 
 
 
3.6 TAXA OVER 
 
Algumas operações financeiras, principalmente aquelas de curto prazo, definem os juros com base no NÚMERO DE 
DIAS ÚTEIS e não em dias corridos conforme é mais usual. Esta sistemática costuma se verificar nas operações 
financeiras de prazos curtos (curtíssimos) definidas por Hot Money, as quais têm como referencial a taxa de 
Certificado de Depósito Interbancário (CDI), acrescida de um spread (comissão). 
 
Outras operações do mercado financeiro também vêm incorporando o uso de taxas over em seus cálculos, como é o 
caso dos juros de cheques especiais, fundos de investimentos, etc. 
 
Exemplo: A taxa over em determinado momento está definida em 5,7% a.m. e no mesmo período (30 dc) estão 
previstos 22 dias úteis. 
 
 
16 
 
 
Transformamos a taxa over mensal para diária, através de uma divisão (taxa nominal): 
 
Temos: 5.7 ENTER 30 ÷ � 0,19% a.d. 
 
Capitalizamos a taxa efetiva diária para o número de dias úteis do período: 
 
Então: 0,19 ENTER 100 ÷ 1 + 22 yx 1 - 100 x � 4.26% a.m. 
 
Conclusão: pode-se concluir que 4,26% representa a TAXA EFETIVA para os 22 dias úteis, ou mesmo para os 30 
dias corridos do mês. 
 
 
3.7 TAXA CDI 
 
O mercado financeiro trabalha para o cálculo do CDI o ano tendo 252 dias úteis. 
 
Exemplo: A taxa anual do CDI está em 20% a.a. Qual a taxa OVER MENSAL? 
 
Na Calculadora HP 12 C 
 
Taxa ENTER 20 ENTER 
100 ÷÷÷÷ 100 ÷÷÷÷ 
1 + 1 + 
N 1/x yx 252 1/x yx 
1 - 1 - 
100 x 100 x 
30 x 30 x 
� 2,171 % a.m. TAXA OVER 
 
1o. C A S O: 
 TAXAS EQUIVALENTES 
 
Na semana de 16 a 21 de julho de 2001. O mercado financeiro trabalhou com as seguintes taxas: 
 
a) VENDOR e COMPROR: taxa máxima de 39,45% a.a.; Qual a taxa equivalente ao mês? 
 
39.45 ENTER 100 : 1 + 12 1/x yx 1 - 100 x � Resp.: 2,81% a.m. 
 
b) CONTA GARANTIDA: mínima de 2,32% a.m. para grandes empresas; Qual a taxa equivalente ao ano? 
 
2.32 ENTER 100 : 1 + 12 yx 1 - 100 x � Resp.: 31,68% a.a. 
 
c) LEASING: 3,07% a.m. para máquinas/equipamentos/informática.Qual a taxa equivalente ao trimestre? 
 
3.07 ENTER 100 : 1 + 4 yx 1 - 100 x � Resp.: 12,86% a.t. 
 
d) CAPITAL DE GIRO PRÉFIXADO: máxima de 71,55% a.a. para pequenas e médias empresas 
 Qual a taxa equivalente ao mês? 
 
71.55 ENTER 100 : 1 + 12 1/x yx 1 - 100 x � Resp.: 4,60% a.m. 
 
 
2o. C A S O: 
 NEGOCIAÇÃO COM TAXA PÓS-FIXADA 
 
A “empresa dos metais ltda”, fez 1 empréstimo bancário de 
R$ 35.000,00 para ser pago mensalmente os encargos que são: juros de 1,5% a.m. + IGPM. 
A negociação é realizada para 180 dias, pagando a empresa, no final, o principal + os últimos encargos. Quais os 
valores pagos mensalmente? 
As taxas mensais do IGPM foram: 0,23%, 0,56%, 1,00%, 0,86%, 0,98% e 1,48%. 
 
17 
Quais os valores pagos mensalmente pela empresa? 
 
35000 STO1 ENTER 1.5% + 0.23% + RCL1 - � 606,71 
RCL1 ENTER 1.5% + 0.56% + RCL1 - � 723,94 
RCL1 ENTER 1.5% + 1.00% + RCL1 - � 880,25 
RCL1 ENTER 1.5% + 0.86% + RCL1 - � 830,52 
RCL1 ENTER 1.5% + 0.98% + RCL1 - � 873,15 
RCL1 ENTER 1.5% + 1.48% + � 36.050,77 
 
3o. C A S O: 
 TAXA DE JUROS + C.M. DA CADERNETA DE POUPANÇA 
 
Um cliente fez um depósito de R$ 600,00 numa caderneta de poupança em 01/03/2011. 
Os juros pagos são de 0,5% a.m. + TR. 
O cliente deseja saber o saldo da sua caderneta de poupança em 01/08/2011. 
As TR’s período foram: 0,17%, 0,15%, 0,18%, 0,15% e 0,24%. 
 
600 ENTER 0.5% + 0.17% + 
0.5% + 0,15% + 
0.5% + 0,18% + 
0.5% + 0,15% + 
0.5% + 0,24% + � R$ 620,64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
4 JUROS/DESCONTOS COMPOSTOS 
 
4.1 DEFINIÇÃO DE JUROS COMPOSTOS 
 
JUROS COMPOSTOS, Acumulados ou Capitalizados, são os que no fim de cada período, são somados ao capital 
inicial, para produzirem novos juros no período seguinte. 
 
FV = PV . ( 1 + i )n 
 
Sendo: FV => Montante PV => Capital inicial 
i => Taxa efetiva n => Prazo da operação; no mesmo período da taxa efetiva 
 
Exemplo: Determinar o montante de $ 3.000,00 à taxa de 2% a.m., no fim de 2 anos. Resp.: $ 4.825,31 
 
PV = 3000 � i = 2% am = 0,02 (efetiva ao mês) � n = 2 anos = 24 meses (igual ao período da taxa) 
 
Resolvendo pela Fórmula: FV = 3000 x (1 + 0,02)24 = 3000 x (1,02)24 = 3000 x 1,608 = 4.825,31 
 
 
4.1.1 UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA HP 12 C 
 
Observemos o teclado da calculadora: 
 
n i PV PMT FV CHS 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 Prazo do negócio taxa efetiva capital inicial 0 montante troca de sinal 
 
A Calculadora HP 12C está preparada (programada) para efetuar este cálculo, diretamente. 
 
IMPORTANTE � a) ter sempre a TAXA EFETIVA; 
b) ter sempre o PRAZO do negócio na mesma unidade da taxa efetiva. 
 
Recomendações ���� A tecla que não tem valor, sempre ZERAR (alimentá-la com zero); 
 A tecla da pergunta em questão, sempre é a última a ser apertada. 
 
 
4.2 EXEMPLO DE JUROS COMPOSTOS UTILIZANDO A CALCULADORA HP 12 C 
 
Calcular o resgate bruto e o resgate líquido de uma aplicação financeira de $ 10.000,00 a taxa de 1,3% a.m. em 5 
meses (IR = 20%). 
 
 10000 CHS PV 1.3 i 5 n 0 PMT FV � 10.667,12 (RESGATE BRUTO) 
 10000 - 20% - 10000 + � 10.533,70 (RESGATE LÍQUIDO) 
 
4.3 DEFINIÇÃO DE DESCONTO COMPOSTO 
 
DESCONTO COMPOSTO é aquele obtido em função de cálculos no regime de capitalização composta. É o 
desconto obtido quando de pagamento antecipado de compromissos de longo prazo. 
 
Desconto Composto é obtido através da diferença entre o Valor Nominal (Valor de Face) e o Valor do Pagamento 
Antecipado. 
 
D = FV - PV 
e 
PV = FV / ( 1 + i )n � PV = FV . ( 1 + i )-n 
 
 
 
19 
Sendo: FV => Valor Nominal do Título PV => Valor do pagamento antecipado do título 
i => Taxa efetiva n => Prazo da operação; no mesmo período da taxa efetiva 
 
 
Exemplo: Qual o DESCONTO COMPOSTO concedido no pagamento de um título de valor nominal de $ 560,00 com 
vencimento para 2,5 anos, à taxa de 19% a.a.? 
 
Inicialmente calcularo Valor Presente para subtrair do Valor Futuro (Nominal) e ter o Desconto da Operação. 
 
FV = 560 � i = 19/100 = 0,19 (efetiva ao ano) � n = 2,5 anos (igual ao período da taxa) � PV = ? 
 
Resolvendo pela Fórmula: PV = 560 x (1 + 0,19)-2,5 = 560 x (1,19)-2,5 = 560 x 0,647 = 362,51 
 
Então: D = FV - PV � D = 560 - 362,51 = 197,49 
 
4.3.1 UTILIZAÇÃO DA HP 12 C 
 
Observemos o teclado da calculadora: 
 
n i PV PMT FV CHS 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 prazo do negócio taxa efetiva valor pgto antecipado 0 valor nominal troca de sinal 
 
A Calculadora HP 12C está preparada (programada) para efetuar este cálculo, diretamente. 
 
IMPORTANTE � 1o) ter sempre a TAXA EFETIVA; 
 2º) ter sempre o PRAZO do negócio na mesma unidade da taxa efetiva. 
 
Recomendações ���� A tecla que não tem valor, sempre ZERAR (alimentá-la com zero); 
 A tecla da pergunta em questão, sempre é a última a ser apertada. 
 
1o. C A S O: 
 APLICAÇÃO EM CDB 
 
Um cliente fez uma aplicação de R$ 25.000,00 em CDB, no dia 06/07/2011 com vencimento para 24/08/2011. 
O banco está oferecendo a taxa de juros de 17,04% a.a. 
O ir = 20% sobre o rendimento da aplicação. 
Qual o valor do resgate bruto e do resgate líquido do CDB? 
 
25000 CHS PV 
17.04 i 
06.072001 ENTER 24.082001 g ∆∆∆∆ DYS 360 : n 
0 PMT 
FV � 25.541,19 RESGATE BRUTO 
25000 – 20% - 25000 + � 25.432,95 RESGATE LÍQUIDO 
 
2o. C A S E: 
 RENEGOCIAÇÃO DE DÍVIDA 
 
Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 10.000,00 pagável no final de 1,5 anos, à taxa pré-fixada de 30% a.a., 
capitalizados mensalmente. Decorrido 10 meses, a empresa possui recursos em caixa e dá por conta R$ 5.000,00 e 
refinancia o restante para pagar após 5 meses da renegociação. Sobre o pagamento por conta, o banco deu uma 
taxa de desconto de 2% a.m. Na renegociação, o banco cobrou a taxa de juros de 2,35% a.m. Calcular o valor que 
deverá ser pago pela empresa para quitar a dívida no final do 5o mês após a renegociação. 
 
10000 CHS PV 30 ENTER 12 : i 1.5 ENTER 12 x n 0 PMT FV CHS FV 2 i 
8 n PV 5000 – PV 2.35 i 5 n FV � R$ 9.335,13 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
5 RENDAS / FINANCIAMENTOS 
 
5.1 DEFINIÇÃO DE RENDAS 
 
RENDAS. conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital 
ou amortizar uma dívida. 
 
5.2 TIPOS DE RENDAS: 
 
Quanto ao Vencimento dos Termos, podem ser: 
 
5.2.1 POSTECIPADAS (ou Imediatas): 
 
Quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período (ex.: Empréstimos Bancários ou Vendas a Prazo sem 
entrada e com todas as prestações iguais) 
 
Exemplo: Renda imediata de 6 termos mensais de $ 100,00 0 1 2 3 4 5 6 
.................................................................... 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 100 100 100 100 100 100 
 
5.2.2 ANTECIPADAS: 
 
Quando os pagamentos ocorrem no início de cada período (ex.: Caderneta de Poupança ou Vendas a Prazo com 
entrada e as demais prestações iguais) 
 
Exemplo: Renda antecipada de 6 termos mensais de $ 100,00 (1+5) 0 1 2 3 4 5 
.................................................................... 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 100 100 100 100 100 100 
 
5.2.3 DIFERIDAS: (ou com Carência) 
 
Quando há um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos. (ex.: Finame de 36 meses com 
carência de 12 meses e pagamentos semestrais iguais) 
 
Exemplo: Renda de 6 termos mensais de $ 100,00 com 3 meses de carência. 
 1 2 3 4 5 6 
 0........1........2........3.................................................. 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
100 100 100 100 100 100 
 
5.2.4 BALÕES: (ou com Parcelas Intemediárias) 
 
Quando durante o plano de pagamento ocorrer valores intermediários; descapitalizamos os mesmos para o valor 
presente, e então, utilizamos as Rendas Postecipadas ou as Rendas Antecipadas. (ex.: Compra de Imóvel 
parcelando a entrada em 4 pgtos anuais e o restante em 120 parcelas mensais) 
 
Exemplo: Renda de 6 termos mensais de 0 1 2 3 4 5 6 
 $ 100,00 com 1 balão de $ 250,00 .................................................................... 
 no 2º. mês e outro balão de R$ 135,00 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 no 5º. Mês. 100 100 100 100 100 100 
 ⇓ ⇓ 
 250 135 
 
 
5.3 RENDAS POSTECIPADAS ou IMEDIATAS 
 
Quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período 
 
21 
 
 
5.3.1 Fórmulas 
 
 ( 1 + i )n - 1 ( 1 + i )n - 1 
 Valor Atual: A__ = PMT ------------------------- Montante: S__ = PMT . -------------------------- 
 n i i . ( 1 + i )n n i i 
 
5.3.2 Resolução na Calculadora HP 12C 
 
A Calculadora HP 12C está programada com essas fórmulas para fazer os cálculos necessários. Isto ocorre 
quando colocamos a calculadora no modo g END para as RENDAS POSTECIPADAS. 
 
Exemplo 01: Qual o valor à vista (atual) de uma compra em 10 parcelas mensais de $ 80,00 cada uma, sem 
entrada (renda postecipada), à taxa de 5% a.m.? 
 
PV = ? PMT = 80 i = 5% a.m. n = 10 meses (também em mês) PV = ? 
⇑ Na calculadora HP 12C: 
0........1........2........3........4........5........6........7........8........9........10 g END 80 CHS PMT 5 i 10 n 0 FV PV � PV = 617,74 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
80 80 80 80 80 80 80 80 80 80Conclusão: O valor atual (valor do empréstimo, valor à vista, valor da mercadoria) correspondente dos 10 
pagamentos mensais de $ 80 cada um, à taxa de 5% a.m. é de $ 617,74. 
 
Exemplo 02: Qual o valor das prestações na compra de uma TV que à vista custa $ 545,00, sendo o financiamento 
em 6 meses, sem entrada, com a taxa de 4,11 a.m.? 
 
545 PV = 545 i = 4,11% a.m. n = 6 meses (também em mês) PMT = ? 
⇑ Na calculadora HP 12C: 
0........1........2........3........4........5........6 g END 545 CHS PV 4.11 i 6 n 0 FV PMT � PMT = 104,34 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
? ? ? ? ? ? PMT 
 
Conclusão: O valor das 6 prestações iguais pagas um periodo após a compra (sem entrada) é de $ 104,34. Pagar à 
vista $ 545,00 ou 6 x $ 104,34 sem entrada, à taxa de 4,11% a.m., é a mesma coisa; ninguém perde, ninguém 
ganha. 
 
Exemplo 03: Na compra de uma geladeira de valor à vista igual a $ 700,00 que será paga em 5 prestações mensais, 
iguais de $ 156,92 cada uma, sem entrada, qual a taxa de juros no negócio? 
 
700 PV = 700,00 n = 5 meses PMT = 156,92 i = ? % ao mês 
⇑ Na calculadora HP 12C: 
0........1........2........3........4........5 g END 700 CHS PV 5 n 156,92 PMT 0 FV i � i = 3,93% a. m. 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 1 5 6 , 9 2 
 
Conclusão: A taxa do negócio é de 3,93% a m. Como o período está em meses, a taxa encontrada também está 
em meses. 
 
 
5.3.3 EXERCÍCIOS DE RENDAS POSTECIPADAS COM A HP 12C 
 
01) Qual o valor à vista de uma mercadoria comprada sem entrada e em 12 pagamentos mensais e iguais de R$ 
100,00 cada um, à taxa de 4% a.m.? 
 
g END 100 CHS PMT 4 i 12 n O FV PV � PV = 938,51 
 
02) Qual o valor de um financiamento bancário pago em 12 prestações mensais e iguais de R$ 1.000,00 cada uma e 
com a taxa de 1% a.m.? 
 
g END 1000 CHS PMT 1 i 12 n O FV PV � PV = 11.255,08 
 
03) Qual a taxa mensal de juros de um empréstimo de R$ 2.500,00 a ser pago em 10 prestações iguais, mensais, 
sem entrada, de R$ 264,37 cada uma? 
 
g END 2500 CHS PV 10 n 284,37 PMT O FV i � i = 2,41 % a.m. 
 
 
22 
 
 
 
04) Um financiamento de $ 12.000,00 será pago em 15 prestações mensais iguais. Se a taxa de juros for de 
3,91% a.m., calcular o valor das prestações. Caso o pagamento seja único e no final do 15º. mês, qual o 
montante respectivo? 
 
g END 12000 CHS PV 15 n 3.91i 0 FV PMT � PMT = 1.072,51 
 0 PMT FV � FV = 21.332,48 
 
 
5.4 RENDAS ANTECIPADAS 
 
Quando os pagamentos ocorrem no início de cada período. 
 
5.4.1 FÓRMULAS 
 _ ( 1 + i )n-1 - 1 _ ( 1 + i )n - 1 
Valor Atual: A__ = PMT . [ 1 + ------------------------ ] Montan : S__ = PMT. ( 1 + i ) . ------------------------ 
 n i i . ( 1 + i )n-1 ni i 
 
 
 
5.4.2 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C 
 
A Calculadora HP 12C está programada com essas fórmulas para fazer os cálculos necessários. Isto ocorre 
quando colocamos a calculadora no modo g BEG para as RENDAS ANTECIPADAS. 
 
Exemplo 01: Qual o valor à vista (atual) de uma compra em 15 pagamentos mensais de $ 49,30 cada uma, 
sendo a 1ª prestação paga no momento da compra, à taxa de 1% a.m.? 
 
 PV = ? 
 ⇑ 
 0.........1..........2...........3..........4.........5..........6..........7..........8...........9..........10...........11..........12..........13..........14 ( 1 + 14 ) 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 
 
 PMT = 49,30 i = 1% a.m. n = 15 meses (também em mês) PV = ? 
 
Na calculadora HP 12C: 
 
g BEG 49.30 CHS PMT 1 i 15 n 0 FV PV � PV = 690,38 
 
Conclusão: O valor à vista da mercadoria a ser paga em 15 pagamentos mensais de $ 49,30 cada uma, com a taxa 
de 1% a.m. é de $ 690,38. 
 
Exemplo 02: Qual o valor das prestações na compra de um estofado que à vista custa $ 984,50, sendo o 
financiamento em 6 meses, com a 1a. no momento da compra, com a taxa de 4,32% a.m.? 
 
 984,50 PV = 984,50 i = 4,32% a.m. n = 6 meses (também em mês) PMT = ? 
 ⇑ Na calculadora HP 12C: 
 0........1........2........3........4........5........6 g BEG 984,50 CHS PV 4.32 i 6 n 0 FV PMT � PMT = 181,91 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
? ? ? ? ? ? ? PMT 
 
Conclusão: O valor das 6 prestações iguais pagas com a 1a. no ato da compra é de $ 181,91. Pagar à vista $ 
984,50 ou (1+ 5) x $ 181,91, à taxa de 4,32% a.m., é a mesma coisa. 
 
Exemplo 03: Na compra de uma cafeteira de valor à vista igual a $ 423,00 que será paga em 4 prestações mensais, 
sendo a 1ª na entrada, iguais de $ 110,25 cada uma, qual a taxa de juros no negócio? 
 
 423 PV = 423,00 n = 4 meses PMT = 110,25 i = ? % ao mês 
 ⇑ Na calculadora HP 12C: 
 0...........1...........2...........3 ( 1 + 3 ) g BEG 423 CHS PV 4 n 110,25 PMT 0 FV i � i = 2,85% a. m. 
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 110,25 110,25 110,25 110,25 
 
Conclusão: A taxa do negócio é de 2,85% a m. Como o período está em meses, a taxa encontrada também está em 
meses. 
 
 
 
23 
 
 
5.4.3 EXERCÍCIOS DE RENDAS ANTECIPADAS COM A HP 12C 
 
1) Qual o valor da prestação mensal, antecipada, necessária para amortizar, com 12 pagamentos, um 
Financiamento de R$ 10.000,00, com juros de 5% a.m. ? 
 
g BEG 10000 CHS PV 12 n 5 i 0 FV PMT � PMT = 1.074,53 
 
2) Quanto se deve depositar, no início de cada mês, numa Caderneta de Poupança que paga 0,5% a.m., 
 para constituir o montante de R$ 100.000,00no fim de 8 anos? 
 
g BEG 100000 CHS FV 96 n 0.5 i 0 PV PMT � PMT = 810,09 
 
 
5.5 RENDAS DIFERIDAS 
 
Quando há um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos. 
 
5.5.1 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C 
 
Exemplo 01: Qual o valor à vista de uma compra realizada em 12 pagamentos mensais iguais de $ 66,00 cada 
uma, com uma carência de 3 meses, à taxa de 2% a.m.? 
 
 PV = ? PV1 
 ⇑ ⇑ 
 ⇑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 0......1......2......3.................................................................................................................. 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 
 
1O.) Cálculo do Valor do Financiamento (Presente PV1) da série de 12 pagamentos de $ 66,00 cada: 
 PMT = 66 i = 2% a.m. n = 12 meses (também em mês) PV1 = ? 
 Na calculadora HP 12C: 
 g BEG 66 CHS PMT 2 i 12 n 0 FV PV � PV = 711,93 
 
2O.) Cálculo do Valor à vista da mercadoria (Presente PV) do valor financiado (PV1) 
 FV = 711,93 i = 2% a.m. n = 3 meses (também em mês) PV = ? 
 Na calculadora HP 12C: 
 711,93 CHS FV 2 i 3 n 0 PMT PV � PV = 670,87 
 
3O.) Resolvendo na calculadora HP 12C, direto, de uma vez só: 
 g BEG 66 CHS PMT 2 i 12 n 0 FV PV CHS FV 3 n 0 PMT PV � PV = 670,87 
 
Conclusão: O valor à vista da mercadoria comprada e paga em 12 pagamentos mensais de $ 66,00 cada uma e 
com uma carência de 3 meses, com a taxa de 2% a.m. é de $ 670,87. 
 
Exemplo 02: Qual o valor das prestações mensais na compra de um veículo, cujo valor à vista é igual a R$ 
14.500,00, realizada em 10 pagamentos mensais iguais, com uma carência de 4 meses, com a taxa de 5,5% a.m.? 
 
 14.500 PV1 
 ⇑ ⇑ 
 ⇑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 0......1......2......3.......4........................................................................................... 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 
 
1O) Cálculo do Valor do Financiamento (Presente PV1) da carência – valor atualizado da dívida para fazer o 
financiamento 
PV = 14.500 i = 5,5% a.m. n = 4 meses (também em mês) PV1 = ? 
Na calculadora HP 12C: 
14500 CHS PV 5.5 i 4 n 0 PMT FV � FV = 17.962,96 
 
2O) Cálculo do Valor das Prestações Mensais (PMT) 
PV = 17.962,96 i = 5,5% a.m. n = 10 pagamentos mensais PMT = ? 
Na calculadora HP 12C: 
g BEG 17962.96 CHS PV 5.5 i 10 n 0 FV PMT � PMT = 2.258,87 
 
24 
 
3O) Resolvendo na calculadora HP 12C, direto, de uma vez só: 
14500 CHS PV 5.5 i 4 n 0 PMT FV CHS PV 10 n 0 FV g BEG PMT � PMT = 2.258,87 
Conclusão: O valor das prestações a serem pagas na compra do veículo de valor à vista de R$ 14.500,00, em 10 
pagamentos iguais após uma carência de 4 meses, à taxa de 5,5% ao mês é de de $ 2.258,87. 
 
 
5.6 RENDAS COM BALÕES ou PARCELAS INTERMEDIÁRIAS 
 
Quando durante o plano de pagamento ocorrer valores intermediários; descapitalizamos os mesmos para o 
valor presente, e então, utilizamos as Rendas Postecipadas ou as Rendas Antecipadas. 
 
Balão (Parcela Intermediária) nada mais é que a Entrada não paga no momento da compra e parcelada em 1 ou 
mais vezes para ser paga, além do valor normal da prestação. 
 
5.6.1 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C 
 
Exemplo 01: Um empréstimo de $ 250.000,00 à taxa de 2,5% a.m., será liquidado em 12 prestações mensais e 
iguais de $ 20.850,00 e mais uma parcela intermediária (balão), a ser paga 90 dias após a contratação da operação. 
 
Qual o valor do balão? 
 
 250.000 
 ⇑ 
 0........1........2........3........4........5........6........7........8........9........10........11........12 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 P M T = 1 2 x 2 0 . 8 5 0 
 ⇓ 
 ? (Balão) 
 
1O.) Cálculo do Valor Presente que corresponde ao financiamento que foi pago em 12 x de 20.850 cada uma: 
 
 PMT = 20.850 i = 2,5% a.m. n = 12 meses (também em mês) PV (financiamento) = ? 
 Na calculadora HP 12C: 
 g END 20850 CHS PMT 2.5 i 12 n 0 FV PV � PV = 213.874,39 
 
2O.) Cálculo do Valor que deveria ter sido dado como Entrada 
 
 250.000,00 - 213.874,39 = 36.125,61 
 
 
 
3O.) Cálculo do Valor do Balão a ser pago 90 dias após o negócio realizado: 
 
 PV = 36.125,61 i = 2,5% a.m. n = 3 meses (prestações também em mês) FV = ? 
 Na calculadora HP 12C: 
 g END 36125.61 CHS PV 2.5 i 3 n 0 PMT FV � FV = 38.903,33 
 
4O.) Resolvendo na calculadora HP 12C, direto, de uma vez só: 
 
 g END 20850 CHS PMT 2.5 i 12 n 0 FV PV 250000 - PV 3 n 0 PMT FV � FV = 38.903,33 
 
Considerações: Na venda de uma mercadoria, temos duas partes: 
 - Entrada 
 - Financiamento 
 
A ENTRADA quando não é paga no momento do negócio, é financiada para ser paga depois junto com uma das 
prestações; isto corresponde ao BALÃO ou PARCELA INTERMEDIÁRIA. 
 
O FINANCIAMENTO corresponde às Prestações que serão pagas periodicamente. 
 
Conclusão: O empréstimo de $ 250.000,00 à taxa de 2,5% a.m., será liquidado em 12 prestações mensais e iguais 
de $ 20.850,00 cada uma e mais um balão no valor de $ 38.903,33, a ser paga 90 dias após a contratação da 
operação. 
 
Exemplo 02: Qual é o valor da prestação mensal relativa a um empréstimo de $ 400.000,00 à taxa de 4% a.m., com 
3 parcelas intermediárias de $ 60.000,00, $ 80.000,00 e $ 70.000,00 cada uma ? As parcelas vencem em 60, 90 e 
180 dias, respectivamente, e a dívida será paga em 10 prestações iguais. 
 
 
25 
 
 
 
 400.000 
 ⇑ 
 0........1........2........3........4........5........6........7........8........9........10 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 
 ⇓ ⇓ ⇓ 
 60.000 80.000 70.000 
 
1O.) Cálculo do Valor Presente (PV1, PV2, PV3) de cada Balão: 
 
 FV = 60.000 i = 4% a.m. n = 2 meses (também em mês) PV1 = ? 
Na calculadora HP 12C: 
 g END 60000 CHS FV 4 i 2 n 0 PMT PV � PV1 = 55.473,37 
 
 FV = 80.000 i = 4% a.m. n = 3 meses (também em mês) PV2 = ? 
Na calculadora HP 12C: 
 g END 80000 CHS FV 4 i 3 n 0 PMT PV � PV2 = 71.119,71 
 
 FV = 70.000 i = 4% a.m. n = 6 meses (também em mês) PV1 = ? 
Na calculadora HP 12C: 
 g END 70000 CHS FV 4 i 6 n 0 PMT PV � PV3 = 55.322,02 
 
2O.) Cálculo do Valor a Financiar (Valor da Dívida - Valor Total dos Balões) 
 
 Valor a Financiar = 400.000 – 181.915,10 � (PV1 + PV2 + PV3 ) = 218.084,90 
 
3O.) Cálculo do Valor das Prestações para pagar o Valor Financiado: 
 
 PV = 218.084,90 i = 4% a.m. n = 10 meses (prestações também em mês) PMT = ? 
Na calculadora HP 12C: 
 218084.90 CHS PV 4 i 10 n 0 FV PMT � PMT = 26.887,89 
 
4O.) Resolvendo na calculadora HP 12C, direto, de uma vez só: 
 
 g END 60000 CHS FV 4 i 2 n 0 PMT PV STO 1 
80000 CHS FV 3 n PV STO 2 
70000 CHS FV 6 n PV ENTER RCL 1 + RCL 2 + 400000 - PV 10 n 0 FV PMT 
 � PMT = 26.887,89 
 
Conclusão: O valor da prestação mensal relativa a um empréstimo de $ 400.000,00 à taxa de 4% a.m., com 3 
parcelas intermediárias de $ 60.000,00, $ 80.000,00 e $ 70.000,00 cada uma vencendo em 60, 90 e 180 dias, 
respectivamente, e a dívida paga em 10 prestações iguais é igual a $ 26.887,89. 
 
Exemplo 03: Um empréstimo foi financiado em 9 pagamentos mensais de $ 2.580,00 cada um e 3 balões com 
vencimentos para 90, 150 e 180 dias após o negócio, respectivamente de $ 4.500,00, $ 5.670,00 e $ 9.700,00, à 
taxa de 3,46% a.m. Qual o valor do empréstimo? 
 
 ? 
 ⇑ 
 0...........1...........2...........3...........4...........5...........6...........7...........8...........9 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
 P M T = 9 x 2 . 5 8 0 
 ⇓ ⇓ ⇓ 
 4.500 5.670 9.700 
 
1O.) Cálculo do Valor Presente (PV1, PV2, PV3) de cada Balão: 
 
 FV = 4.500 i = 3,46% a.m. n = 3 meses (também em mês) PV1 = ? 
 
Na calculadora HP 12C: 
 g END 4500 CHS FV 3.46 i 3 n 0 PMT PV � PV1 = 4.063,45 
 
 
26 
 FV = 5.670 i = 3,46% a.m. n = 5 meses (também em mês) PV2 = ? 
Na calculadora HP 12C: 
 g END 5670 CHS FV 3.46 i 5 n 0 PMT PV � PV2 = 4.783,22 
 
 FV = 9.700 i = 3,46% a.m. n = 6 meses (também em mês) PV1 = ? 
Na calculadora HP 12C: 
 g END 9700 CHS FV 3.46 i 6 n 0 PMT PV � PV3 = 7.909,28 
 
2O.) Cálculo do Valor Presente que corresponde ao financiamento a pagar em 9 x de 2.580 cada uma: 
 
 PMT = 2.580,00 i = 3,46% a.m. n = 9 meses (prestações também em mês) PV = ? 
Na calculadora HP 12C: 
 g END 2580 CHS PMT 3.46 i 9 n 0 FV PV � PV = 19.664,07 
 
 
 
3O.) Cálculo do Valor do Empréstimo: 
 
 4.063,45 + 4.783,22 + 7.909,28 + 19.664,07 = 36.420,03 
 
4O.) Resolvendo na calculadora HP 12C, direto, de uma vez só: 
 
g END 4500 CHS FV 3.46 i 3 n 0 PMT PV STO 1 
 5670 CHS FV 5 n PV STO 2 
 9700 CHS FV 6 n PV STO 3 
 2580 CHS PMT 9 n 0 FV PV 
 ENTER RCL 1 + RCL 2 + RCL 3 + � � � � � 36.420,03 
Conclusão: O valor do empréstimo financiado em 9 pagamentos mensais de $ 2.580,00 cada um e 3 balões com 
vencimentos em 90, 150 e 180 dias após o negócio, respectivamente de valores $ 4.500,00, $ 5.670,00 e $ 9.700,00, 
à taxa de 3,46% a.m. é de $ 36.420,03. 
 
5.7 ÍNDICES/COEFICIENTES 
 
São valores utilizados na prática para serem multiplicados pelo valor da mercadoria que se quer comprar. 
 
Exemplo: Ao pedirmos a um vendedor de uma loja de eletrodomésticos, qual a prestação a ser paga mensalmente 
na compra de um aparelho de som que tem seu preço à vista de $ 500,00 e que queremos efetuar o pagamento em 
6 vezes, observamos que o mesmo faz uso de uma tabela que normalmente está no verso da sua máquina de 
calcular. 
 
Obs: Na realidade está utilizando um cálculo previamente executado por alguém e que facilita a venda do vendedor, 
sem haver necessidade de que ele saiba Matemática Financeira. 
 
Temos que entender o que foi feito e o que são os valores que estão nesta tabela que o vendedor utiliza. 
 
No nosso exemplo acima: Queremos saber para uma mercadoria de $ 500,00, durante 6 meses, e digamos que a 
taxa de juros utilizada pela loja para o financiamento seja de 5,5% a.m. Teremos então, na máquina HP-12C: (g 
END). 
 
 1 CHS PV 
 6 n O cálculo feito é sobre o preço à vista de $ 1,00 u.m. para o prazo e taxas negociadas. 
 5,5 i 
 0 FV O que calculamos é a Prestação Periódica a ser paga sobre o preço 1 da mercadoria. 
 ? PMT => 0,20017895 
 
Conclusão: como a mercadoria custa 500 unidades, temos que multiplicar o ÍNDICE por 500 e teremos a prestação 
periódica a ser paga; 
 
 500,00 x 0,20017895 = 100,0894739; portanto 6 x de 100.09 u.m. 
 Nada mais é do que calcular o PMT com os dados do negócio: preço à vista, prazo, taxa. 
 
 
ÍNDICE nada mais é que PMT (prestação) quando PV (valor da mercadoria) é igual a 1. 
 
 
 
 
27 
5.7.1 RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12 C 
 
Exemplo 01: Sendo: a taxa de 3,25% a.m, o prazo de 12 vezes mensais iguais e sem entrada. Qual o índice? 
Na HP 12 C: 
g END 1 CHS PV 3.25 i 12 n 0 FV PMT � PMT = 0,10196719 
 
Conclusão: 0,10196719 é o ÍNDICE; isto quer dizer: toma-se o valor da dívida, multiplica-se por este índice e 
obtendo o valor das 12 prestações iguais e mensais. 
 
Caso Prático: Suponhamos que vamos nesta loja comprar uma geladeira que tem seu preço à vista igual a $ 
850,00. Qual é o valor das prestações a pagar, financiando em 12 vezes mensais e iguais e com o índice 
0,10196719? 
 850 x 0,10196719 = 86,67 
 
Portanto, a geladeira será paga em 12 prestações mensais iguais de $ 86,67 cada uma. 
 
5.7.2 EXERCÍCIOS DE COEFICIENTES COM A HP 12C 
 
01) Sendo o índice 0,09644127; o prazo (1 + 11) vezes mensais iguais, calcular a taxa mensal de juros. 
 
g BEG 1 CHS PV 12 n 0.09644127 PMT 0 FV i � i = 2,77% 
 
02) Sendo o índice 0,12489489; o prazo 10 vezes mensais iguais e