Resumo Ondas e Antenas

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ELETROMAGNETISMO II 
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Jr. – Claudio Vara de Aquino 
210
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de onda deduzida no capítulo anterior é para meios sem perdas ( = 0). Vamos agora 
encontrar a equação da onda em um meio que apresenta condutividade não nula. Considerando para 
o caso geral o campo magnético H

 polarizado na direção z e o campo elétrico E

 polarizado em y, as 
equações de Maxwell em rotacional são escritas como: 
 
 
t
E
E
x
H y
y
z





 
 
(23.1) 
 
e 
 
 
t
H
x
E zy





 
 
(23.2) 
 
Que também podem ser escritas na forma fasorial como: 
 
   yz Ejx
H


 
 
(23.3) 
 
 
z
y Hj
x
E



 
 
(23.4) 
 
Derivando (23.4) em relação a x: 
 
 
x
Hj
x
E z
2
y
2





 
 
(23.5) 
 
E substituindo (23.3) em (23.5): 
 
 
  y2
y
2
Ejj
x
E



 
 
(23.6) 
 
Inversamente, se derivarmos (23.3) em relação a x, e substituirmos (23.4) no resultado disso, 
teremos: 
 
 
  z2
z
2
Hjj
x
H


 
 
(23.7) 
 
A equação (23.6) é a equação da onda em Ey, e (23.7) é a equação da onda em Hz, para meios que 
apresentam condutividade diferente de zero, ou seja, com perdas. 
 
As equações (23.6) e (23.7) podem ser escritas como: 
 
 
y
2
2
y
2
E
x
E



 
 
(23.8) 
23 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS EM MEIOS CONDUTORES 
ELETROMAGNETISMO II 
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e 
 
 
z
2
2
z
2
H
x
H



 
 
(23.9) 
 
Onde: 
 
   jj2 
(23.10) 
 
 é chamada de constante de propagação, cujas partes real e imaginária são positivas do tipo: 
 
  j 
� � � � ¦
 
Onde: 
 
 


















 11
2
2
 
 
 
(23.12) 
 
 


















 11
2
2
 
 
 
(23.13) 
 
 é chamada de constante de atenuação, sua unidade é m-1, mas é costumeiramente expresso como 
Np/m, onde Np (Nepper) é um adimensional do tipo radiano.  é chamada de constante de 
deslocamento de fase, com unidade rad/m. 
 
Deve-se notar que quando  = 0 (dielétrico perfeito), temos  = 0 e  = /v. 
 
Para bons condutores tem-se 
 
 
1


 
 
(23.14) 
 
e: 
 
 
22




 
 
(23.15) 
 
 






22
 
 
(23.16) 
 
Vamos propor como solução para a equação (23.8) a seguinte expressão: 
 
 
y
tjx
0 aˆeeEE


 (23.17) 
 
Prova: 
 
 tjx
0 eeEx
E 


 
 
(23.18) 
ELETROMAGNETISMO II 
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EeeE
x
E 2tjx
0
2
2
2


  
 
(23.19) 
 
Pela equação (23.4) e considerando a parte negativa ou progressiva na equação (23.18) vem: 
 
 tjx
0z eeEHj
 (23.20) 
 
onde 
 
 tjx
0z eeEj
H 


 
 
(23.21) 
 
ou ainda 
 
 tjx
0z eeHH
 
(23.22) 
 
Pela igualdade 
 
 
00 Ej
H


 
 
(23.23) 
 
ou 
 
 
  00
H
jj
jE


 
 
(23.24) 
 
 
00 Hj
jE


 
 
(23.25) 
 
Desta forma, a impedância intrínseca do meio,  em ohms, é definida como sendo a relação 
complexa: 
 
 
0
0
H
E
 
 
(23.26) 
 
Esta impedância intrínseca também pode ser escrita na forma polar onde: 
 
  
(23.27) 
 
Neste caso: 
 
 
 4 21 


 
 
 
(23.28) 
 
e: 
 
 
 


2tg 
 
(23.29) 
 
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Exemplo 23.1 
No espaço livre: 
 
y
3 aˆ)xt(sen10)t,z(E 

 
 
Obtenha )t,z(H

e , se a frequência é 95.5 MHz. 
 
Solução 
 
O vetor E

está polarizado na direção y, e a 
onda está se propagando na direção positiva 
de z. Portanto o resultado do produto vetorial 
HE

 deve estar na direção positiva de z. Para 
que isso ocorra, H

deve ter a orientação –âx. 
 
xxaˆHH 

 
 
 4 2x
y
1H
E




 
 
Como, no espaço livre,  = 0, 
 
)(120
0
0 
 
 
  02tg 


 
 


120
E
H yx 
 
x
3
aˆ)zt(sen
120
10H 



 
 
 j 
 


















 11
2
2
 
 
  011
2


 
 


















 11
2
2
 
 
   11
2
 
 
1276 1085.8104105.952  
 
 
m/rad2 
 
0.2j 
 
Exemplo 23.2 
Uma onda eletromagnética propaga-se com frequência de 10 GHz em um meio com r = 2,  = 1 S/m, 
r = 1. Sabendo-se que a onda propaga-se na direção de xaˆ e que o vetor intensidade de campo 
elétrico aponta na direção yaˆ em t = 0. Determine as constantes , , , , e as expressões para E

 
e H

. Assuma E0 = 1 V/m. 
 
Solução 
 


















 11
2
2
 
 
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



















1
1085.821028.6
11
2
1085.821041028.6
2
1210
127
10 
 
m/Np123 
 


















 11
2
2
 
 

















 

1
1085.821028.6
11
2
1085.821041028.6
2
1210
127
10 
 
m/rad71,320 
 
mm20
71,320
22





 
 
 4 21 


 
 
















74,229
1085.821028,6
11
85.82
104
4
2
1210
12
7
 
 


2tg 
 
 
1210 1085.821028,6
12tg

 
 
o98.20 
 
 
A onda se propaga na direção negativa de x. 
O vetor E está na direção negativa de y. 
Portanto o vetor H deve apontar na direção 
positiva de z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
)xt(jx
0 aˆeeEE


 
 
m/Vaˆee0.1E y
)x71,320t1028.6(jx123 10 

 
 
z
)xt(jx
0 aˆeeHH


 
 

0
0
H
E
 
 

 00
EH 
 
z
)xt(jx0 aˆeeEH 

 
 
m/Aee0044,0H )349.0x71,320t1028.6(jx123
10 

 
x 
y 
z 
E 
H 
EH 
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EXERCÍCIOS 
 
 
1)-Determine  em 500 kHz para um meio com r = 12 e  = 0, e frequência de 1 MHz. Sob que 
velocidade ocorrerá a propagação de uma onda eletromagnética nesse meio? 
 
 
2)- Uma onda eletromagnética propaga-se no espaço livre com comprimento de onda de 0,50 m. 
Quando a mesma onda penetra em um dielétrico perfeito, seu comprimento de onda varia para 1 
m. Supondo que r = 1, calcule r e a velocidade da onda no dielétrico. 
 
3)- Uma onda eletromagnética propaga-se no espaço livre, com constante de defasagem de 0,524 
rad/m. Entrando em um dielétrico perfeito, essa mesma onda passa a ter uma constante de 
defasagem de1,81 rad/m. Supondo que r = 1, ache r e a velocidade de propagação. 
 
4)- Num meio quase condutor, r= 1000, r = 18,5 e  =5.1 S/m. Calcule , ,  e a velocidade U para 
uma frequência de 109 Hz. Calcule . )t,z(H

sabendo-se que: 
 
x
z aˆ)ztcos(e50)t,z(E  

 
 
5)- Calcule a constante de defasagem no cobre ( = 5,7107 S/m), para a frequência de 500 MHz.